VIII. ANALISIS DATA DERET BERKALA (TIME SERIES)
8.1Pendahuluan
· Data Berkala (Data Deret waktu) adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan atau sekumpulan hasil observasi yang diatur dan didapat menurut urutan kronologis waktu, misalnya perkembangan produksi, harga barang, hasil penjualan, jumlah penduduk, dll.
· Analisis data berkala memungkinkan kita untuk mengetahui perkembangan suatu/beberapa kejadian serta pengaruhnya/hubunganya terhadap kejadian lain. · Dengan data berkala kita dapat membuat ramalan berdasarkan garis regresi atau garis
trend.
· Data berkala terdiri dari komponen-komponen, sehingga dengan analisis data berkala kita dapat mengetahui masing-masing komponen atau bahkan menghilangkan suatu/beberapa komponen.
· Karena ada pengaruh dari komponen, data berkala selalu mengalami perubahan-perubahan, sehingga apabila dibuat grafik akan menunjukkan adanya fluktuasi.
8.2Komponen Data Berkala
Ada empat komponen gerak/variasi data berkala, yaitu : 1. Gerak Jangka Panjang atau Trend
· Trend melukiskan gerak data berkala selama jangka waktu yang panjang/cukup lama. Gerak ini mencerminkan sifat kontinuitas atau keadaan yang serba terus dari waktu ke waktu selama jangka waktu tersebut. Karena sifat kontinuitas ini, maka trend dianggap sebagai gerak stabil dan menunjukkan arah perkembangan secara umum (kecenderungan menaik/menurun).
Gambar 1. Trend Linier Naik Gambar 2. Trend Linier Turun
· Trend sangat berguna untuk membuat peramalan (forecasting) yang merupakan perkiraan untuk masa depan yang diperlukanbagi perencanaan.
· Trend dibedakan menjadi dua jenis, yakni :
a. Trend Linier → mengikuti pola garis lurus ( Y = a + b t )
b. Trend Non Linier → mengikuti pola lengkung (parabola, eksponensial, logaritma, dll).
2. Gerak Siklis
· Gerak siklis adalah gerak/variasi jangka panjang di sekitar garis trend (temponya lebih pendek). Gerak siklis terjadi berulang-ulang namun tidak perlu periodic, artinya bisa berulang setelah jangka waktu tertentu atau bisa juga tidak berulang dalam jangka waktu yang sama.
· Perkembangan perekonomian yang turun naik di sekitar trend dan “Business Cycles”
adalah contoh gerak siklis.
· Gerak siklis melukiskan terjadinya empat fase kejadian dalam jangka waktu tertentu, yakni kemajuan, kemunduran, depresi dan pemulihan.
t t
Gambar 3. Gerak Siklis
3. Gerak Musiman
Gerak musiman terjadi lebih teratur dibandingkan gerak siklis dan bersifat lengkap, biasanya selama satu tahun kalender. Gerak ini berpola tetap dari waktu ke waktu. Factor utama yang menyebabkan gerak ini adalah iklim dan kebiasaan.
4. Gerak Ireguler atau Faktor Residu (Gerak Tak Teratur)
· Gerak ini bersifat sporadis/tidak teratur dan sulit dikuasai.
· Perang, bencana alam, mogok dan kekacauan adalah beberapa faktor yang terkenal yang bisa menyebabkan gerak ini terjadi.
· Dengan adanya pengaruh tersebut, maka gerak ireguler sulit untuk dilukiskan dalam suatu model.
8.3 Metode Umum Untuk Menguraikan Keempat Komponen Data Berkala
· Untuk keperluan analisis, akan diambil sebuah model yang menyatakan pengaruh keempat komponen terhadap data yang disebut “ model multiplikatif ”.
· Hasil bulanan sering dianggap sebagai produk dari keempat komponen itu, sehingga diperoleh model (8.1)
Y = T S M R (8.1)
dengan : T = Trend S = Gerak Siklis M = Gerak Musiman R = Gerak Ireguler/Residu
· Sedangkan untuk data tahunan gerak musiman biasanya tidak tercermin dalam total tahunan atau rata-rata bulanan tiap tahun, sehingga modelnya menjadi :
Y = T S R (8.2)
· Jika model (8.2) dibagi dengan pengaruh trend (T) maka modelnya menjadi :
Y = S R (8.3)
Model ini merupakan pengaruh gabungan antara komponen siklis dan residu.
· Selain model multiplikatif ada juga yang dinamakan “ model aditif “, dengan analogi yang sama maka diperoleh model berikut :
- Hasil Bulanan : Y = T + S + M + R (8.4)
- Hasil Tahunan : Y = T + S + R (8.5)
Gerak siklis (sekitar trend) Garis Trend
(1)
(1) (4)
(2)
(2)
(3)
(3) (4)
Keterangan : (1) Kemajuan (2) Kemunduran (3) Depresi (4) Pemulihan
8.4 Analisis Trend Linier
Persamaan trend linier adalah Y = a + b t (8.6)
Berikut adalah beberapa cara untuk menentukan persamaan trend linier : 1. Metode Tangan Bebas
Langkah-langkah :
1. Buat sumbu datar t dan sumbu tegak Y, dimana t menyatakan variabel waktu (tahun, bulan, dll) dan Y menyatakan variabel yang akan dianalisis (nilai data berkalanya). 2. Buat diagram pencar dari koordinat (t ,Y).
3. Tarik garis yang dapat mewakili atau paling tidak mendekati semua titik koordinat yang membentuk diagram pencar tersebut.
4. Jika garis yang terbentuk bergerak di sekitar garis lurus, maka cukup alasan untuk menentukan bahwa trend yang terbentuk adalah trend linier. Sedangkan apabila garis yang terbentuk cenderung lengkung, maka trend yang terbentuk adalah trend non linier.
Catatan : cara menarik garis trend dengan metode tangan bebas adalah cara termudah, namun bersifat subjektif.
· Contoh 8.1.
Berikut adalah data mengenai hasil penjualan (jutaan rupiah) di sebuah perusahaan “X” selama periode 10 tahun.
Tabel 1. Hasil Penjualan Perusahaan “X” Periode Tahun 1996 – 2005
Tahun Hasil Penjualan
2001 22
Sumbu datar t = tahun Sumbu tegak Y = hasil penjualan
2. Metode Setengah Rata-rata (Semi Rata-rata)
Cara ini merupakan cara yang paling mudah dalam menentukan persamaan trend linier berdasarkan perhitungan data berkala.
Langkah-langkah :
1. Data berkala dibagi menjadi 2 bagian, masing-masing harus mempunyai banyak data yang sama. Jika banyak data ganjil, maka data yang paling tengah tidak diikut sertakan dalam perhitungan atau dimasukkan dalam 2 bagian tersebut.
Tahun Hasil Penjualan
1996 14
1996 1998 2000 2002 2004 2006
Tahun ( t) Hasil Penjualan (Y)
Dari diagram di samping terlihat bahwa garis trend yang ditarik cenderung mengikuti garis lurus, sehinggga dapat dikatakan bahwa trend hasil penjualan perusahaan “X” selama periode 10 tahun berbentuk trend linier naik.
Gambar 4. Diagram Pencar Hasil Penjualan Terhadap Tahun
2. Untuk setiap bagian dihitung rata-ratanya, sehingga terdapat dua buah nilai sumbu tegak (Y1 dan Y2). Sedangkan untuk sumbu datar (t1 dan t2) ditentukan berdasarkan
waktu (tahun) yang paling tengah untuk setiap bagian. Sehingga diperoleh dua nilai koordinat (t1,Y1) dan (t2,Y2).
3. Lukiskan dua nilai koordinat pada grafik, lalu hubungkan. Garis yang diperoleh merupakan trend yang akan dicari persamaannya.
4. Masukkan dua nilai koordinat pada persamaan Y = a + b t , sehingga akan diperoleh 2 persamaan.
5. Tentukan nilai koefisien a dan b dengan cara eliminasi dan substitusi.
· Contoh 8.2.
Untuk kasus pada contoh 1. Tentukan persamaan trend linier dengan metode setengah rata-rata !
Jawab :
Karena banyak data genap (10 tahun), maka setiap bagian mempunyai 5 buah data.
Tahun (t) Hasil Penjualan (Y)
1996 14
1997 18
1998 17 → bagian 1 → rata-rata 1 = → ( , )
1999 16
2000 20
2001 22
2002 24
2003 23 → bagian 2 → rata-rata 2 = → ( , )
2004 25
2005 28
Sehingga persamaan trend liniernya adalah Y = + t
Dari persamaan trend diperoleh b = , artinya hasil penjualan diperkirakan akan sebesar setiap tahun.
Dengan menggunakan persamaan trend tersebut kita bisa memperkirakan berapa hasil penjualan pada tahun 2008, yaitu dengan memasukkan nilai tahun pada persamaan tersebut, sehingga diperoleh :
t = 2008 → Y = + ( x 2008) =
☺ untuk tahun 2008 diperkirakan hasil penjualan mencapai Rp.
0 5 10 15 20 25 30
1998 Tahun (t) 2003
Gambar 5. Perkiraan Garis Trend
Hasil Penjualan (Y)
Masukan 2 nilai koordinat pada persamaan Y = a + b t
·Untuk ( , ) → (1)
·Untuk ( , ) → (2)
3. Metode Kuadrat Terkecil
· Metode kuadrat terkecil menghendaki jumlah kuadrat penyimpangan antara nilai sebenarnya dan nilai taksiran yang diperoleh dari trend mencapai harga terkecil.
· Penentuan persamaan trend linier Y = a + b t dengan metode kuadrat terkecil, agar lebih mudah digunakan cara koding/sandi.
· Untuk variabel waktu (tahun) ditransformasikan menjadi bilangan-bilangan berikut : …, -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,… jika banyak tahun ganjil.
…, -7 , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , 5 , 7 ,… jika banyak tahun genap.
· Secara umum, jika tm adalah tahun median (tahun yang paling tengah) maka
transformasi digunakan rumus berikut :
(
ti -tm)
jika banyak tahun ganjil dan 2(
ti -tm)
jika banyak tahun genap, dimana ti menyatakan tahun ke-i.· Nilai koefisien a dan b ditentukan dengan rumus :
n
dengan : Yi = nilai data berkala pada tahun-tahun yang diketahui
n = banyak tahun
ti = koding tahun (tahun yang sudah ditransformasi)
· Contoh 8.3. (banyak tahun ganjil)
Berikut adalah jumlah produksi barang (unit) di perusahaan “Y ” selama periode 13 tahun.
Tabel 2. Jumlah Produksi Barang Perusahaan “Y” Periode Tahun 1996 – 2008
Tahun 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Jumlah Produksi 112 124 116 155 140 175 190 200 185 210 225 230 250
Catatan : Data Rekaan
Tentukan persamaan trend linier untuk data tersebut ! (n = 13)
Jawab :
Karena banyak tahun ganjil, maka tahun ditransformasikan menjadi … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,… Dengan tm = (tahun median), transformasi yang digunakan adalah
(
ti -)
diperolehDari persamaan trend diperoleh b = , artinya jumlah produksi diperkirakan akan sebesar setiap tahun.
Dengan menggunakan persamaan trend tersebut kita bisa memperkirakan berapa jumlah produksi pada tahun 2010, yaitu dengan memasukkan nilai koding tahun untuk tahun 2010 pada persamaan tersebut.
Koding tahun 2010 adalah 2010 – =
t = → Y = + ( x ) =
☺ untuk tahun 2010 diperkirakan jumlah produksi mencapai unit barang.
· Contoh 8.4. (banyak tahun genap)
Dari contoh 8.2. tentukan persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat terkecil !
Tabel 4. Perhitungan Persamaan Trend Linier Dengan Metode Kuadrat Terkecil (Tahun Genap) Tahun Hasil Penjualan (Yi) Koding (ti) ti Yi ti2
Dari persamaan trend diperoleh b = , artinya hasil penjualan diperkirakan akan sebesar setiap tahun.
Dengan menggunakan persamaan trend tersebut kita bisa memperkirakan berapa hasil penjualan pada tahun 2008, yaitu dengan memasukkan nilai koding tahun untuk tahun 2008 pada persamaan tersebut.
Koding tahun 2008 adalah 2(2008 – ) =
t = → Y = + ( x ) =
8.5 Analisis Trend Non Linier
· Metode kuadrat terkecil tidak hanya digunakan untuk menentukan persamaan trend linier, tetapi juga dapat digunakan untuk menentukan persamaan trend non linier. · Berikut adalah beberapa persamaan trend non linier :
a. Trend Parabola Kuadratik (pangkat dua)
Persamaan trend : Y = a + b t + c t 2 (8.9)
Dengan menggunakan cara koding, nilai koefisien a, b dan c dicari dengan menyelesaikan tiga sistem persamaan berikut :
å
= +å
2Data mengenai angka kelahiran per 1000 penduduk daerah “Z” selama 9 tahun :
Tabel 5. Angka Kelahiran Penduduk Daerah “Z” Periode Tahun 2000-2008
Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Angka Kelahiran 25,0 23,7 21,3 18,5 16,9 17,6 19,5 23,6 24,0
Catatan : Data Rekaan
Buatlah persamaan trendnya ! (n = 9)
Jawab :
Untuk mengetahui apakah titik pencar dari data tersebut berpola lurus atau lengkung, maka kita harus menggambarkan diagram pencarnya terlebih dahulu.
Karena banyak tahun ganjil, maka tahun ditransformasikan menjadi … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,… Dengan tm = (tahun median), transformasi yang digunakan adalah
(
ti -)
diperoleh :Tabel 6. Perhitungan Persamaan Trend Parabola Kuadratik Tahun Angka Kelahiran (Yi) Koding (ti) ti2 ti4 ti Yi ti2Yi
Dari diagram disamping terlihat bahwa titik-titik cenderung membentuk pola lengkung (pola parabola kuadratik).
Maka kita dapat menentukan trendnya dengan menggunakan persamaan trend parabola kuadratik.
Dengan menggunakan rumus (8.10), (8.11) dan (8.12) diperoleh 3 persamaan berikut : (1)
(2) (3)
Selesaikan persamaan (2) untuk memperoleh b (2)
Selanjutnya persamaan (1) dan (3) digunakan untuk mengeliminasi a (1)
(3)
Substitusi c untuk memperoleh nilai a (1)
Sehingga trend parabola kuadratiknya adalah Y =
b. Trend Parabola Kubik (pangkat tiga)
Persamaan trend : Y = a + b t + c t 2 + d t 3 (8.13) Dengan menggunakan cara koding, nilai koefisien a, b, c dan d dicari dengan menyelesaikan empat sistem persamaan berikut :
å
Yi =na +cå
ti2 (8.14)c. Trend Eksponensial dan Logaritma
Persamaan trend eksponensial : Y = a bt (8.18)
Persamaan trend logaritma : log Y = log a + t log b (8.19)
Misalkan : log a = A log b = B log Y =Y’
Maka persamaan (8.19) menjadi Y’ = A + B t → trend semi linier Sehingga nilai A dan B dihitung dengan rumus :
· Contoh 8.6
Berikut adalah data mengenai jumlah penduduk (per 1000) di kota A selama periode 10 tahun.
Tabel 7. Jumlah Penduduk Di Kota A Periode Tahun 1998 – 2007
Tahun 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Jumlah Penduduk (Yi) 265,1 283,1 286,8 339,4 407,6 407,5 457,1 435,7 586,9 604,6
Buatlah persamaan trend eksponensial dan trend logaritmanya ! (n = 10)
Jawab :
Karena banyak tahun genap, maka tahun ditransformasikan menjadi … , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , 5 ,… Dengan tm = (tahun median) maka transformasi yang digunakan
adalah 2
(
ti -)
sehingga diperoleh : (n = 10)Tabel 7. Perhitungan Persamaan Eksponensial Dan Logaritman Tahun Jumlah Penduduk (Yi) Koding (ti) ti2 log Yi ti log Yi
1998 265,1 -9 81 2,42 -21,78
1999 283,1 -7 49 2,45 -17,15
2000 286,8 -5 25 2,46 -12,3
2001 339,4 -3 9 2,53 -7,59
2002 407,6 -1 1 2,61 -2,61
2003 407,5 1 1 2,61 2,61
2004 457,1 3 9 2,66 7,98
2005 435,7 5 25 2,64 13,2
2006 586,9 7 49 2,77 19,39
2007 604,6 9 81 2,78 25,02
Jumlah 4073,8 - 330 25,93 6,77
Dengan menggunakan rumus (8.20) dan (8.21) diperoleh
=
=
å
n Y
a log i
log → a = antilog ( ) =
=
=
å
å
2
log
log
i i i
t
Y
t
b
→ b = antilog ( ) =Sehingga persamaan trend logaritmanya adalah →log Y = + t
