1 BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Menurut Miliken dan Johnson (1992) menjelaskan rancangan percobaan merupakan hal yang berhubungan dengan perencanaan peneliti untuk mendapatkan informasi lengkap dari bahan-bahan yang tersedia. Rancangan percobaan banyak dimanfaatkan dalam bidang industri atau penelitian yang berkaitan dengan rancangan produk, perbaikan produk dan lain sebagainya. Tidak hanya dalam bidang industri, rancangan percobaan juga banyak dimanfaatkan dalam bidang pertanian, bidang kesehatan dan lain sebagainya.
Salah satu contoh pemanfaatan rancangan percobaan dalam bidang industri mesin yaitu dilakukan oleh Effendi (2014) meneliti tentang kekuatan puntir produk baling-baling kapal dengan variabel yang mempengaruhi yaitu temperatur peleburan, temperatur cetakan, jenis cetakan, dan bahan tambahan. Keempat variabel pengaruh tersebut yang disebut faktor. Pengertian faktor sendiri ialah variabel yang dipilih untuk dicobakan dalam percobaan sebagai penyusun struktur rancangan. Sehingga, percobaan tersebut dapat disimpulkan menggunakan 4 faktor.
2
60°, 348° dan 530°. Ketiga, jenis cetakan dengan bahan : kuningan, lilin dan besi. Keempat, bahan tambahan dengan persentase : 0%, 5% dan 10%. Setiap kategori yang diberikan pada setiap faktor tersebut yang disebut taraf. Pengertian taraf sendiri ialah kategori yang ditentukan untuk suatu faktor yang dicobakan dalam percobaan. Sehingga, percobaan tersebut dapat disimpulkan menggunakan 3 taraf.
Effendi (2014) melakukan penelitian dengan menggunakan 4 faktor dan 3 taraf maka percobaan yang dilakukan disebut dengan percobaan faktorial. Pengertian percobaan faktorial ialah percobaan yang dilakukan dengan cara semua taraf dari suatu faktor dikombinasikan terhadap semua taraf dari faktor lainya. Faktorial merupakan kombinasi yang kemudian muncul dari taraf-taraf faktor yang digunakan dalam percobaan. Rancangan percobaan faktorial inilah dapat diketahui faktor manakah yang signifikan di antara sejumlah faktor yang memberikan pengaruh terhadap response yang ada pada suatu percobaan.
Contoh rancangan percobaan yang dilakukan dengan 3 taraf dinamakan rancangan percobaan faktorial 3� dengan k merupakan banyaknya faktor dalam percobaan. Jumlah faktor yang dilakukan dalam percobaan tersebut yaitu 4 maka menjadi rancangan faktorial 34. Akan tetapi, pada rancangan percobaan faktorial 3� dengan jumlah faktor yang banyak maka akan menghasilkan 3� kombinasi
3
menginterpretasikan pengaruh interaksi tingkat tinggi pada rancangan faktorial lengkap.
Sebagai contoh percobaan mesin baling-baling kapal dengan rancangan faktorial 34, maka ada 34 = 81 kombinasi perlakuan yang didapat. Banyaknya kombinasi perlakuan membuat percobaan menjadi kurang efisien. Solusi yang tepat untuk mengurangi kombinasi perlakuan tersebut, digunakan rancangan percobaan yang disebut rancangan Fractional Factorial (FF). Rancangan FF ini telah diperkenalkan pertama kali oleh Tippet (Box dan Meyer, 1986).
Rancangan FF merupakan rancangan yang bertujuan untuk meminimumkan banyak kombinasi perlakuan yang akan dicobakan. Penggunaan rancangan FF hanya dilakukan terhadap sebagian dari kombinasi perlakuan yang akan dicobakan akan tetapi tidak menghilangkan informasi penting yang diperlukan. Rancangan FF sangat berguna untuk percobaan yang melibatkan banyak faktor serta taraf dan untuk mengidentifikasi faktor-faktor manakah yang signifikan. Banyaknya faktor dan taraf tertentu dapat dibentuk beberapa struktur rancangan FF yang berbeda. Misal, untuk setiap faktor bertaraf 3 maka disebut struktur rancangan FF tiga-level.
4
sudah ditetapkan peneliti sejak awal penelitian akan dilakukan. Peneliti hanya mengamati sekali untuk tiap-tiap perlakuan. Hal tersebut disebut rancangan tanpa pengulangan.
Jika suatu percobaan lebih dari satu unit percobaan pada setiap perlakuan, maka dapat digunakan analisis varian yang berguna untuk menguji efek utama dan efek interaksi dalam model. Sedangkan, Percobaan yang hanya terdapat satu pengamatan pada tiap-tiap perlakuan, sehingga tidak terdapat derajat bebas untuk mengestimasi �2 data tidak ada error dalam setiap perlakuan. Sehingga dalam menaksir efek faktor yang signifikan dari rancangan FF tanpa pengulangan dapat menggunakan analisis atau metode tertentu yaitu Bissell, Lenth dan Fang.
Bissell dalam Sauddin (2006), mengadopsi dari uji Disperse Cochran (1954) dalam mengkonstruksi uji statistik untuk mengidentifikasi faktor yang signifikan. Keunggulan metode Bissell dapat mengidentifikasi faktor signfikian dari jumlah faktor yang digunakan hanya sedikit. Metode Lenth mempunyai keunggulan mengidentifikasi faktor signifikan dari jumlah faktor yang banyak akan tetapi batas perhitungan untuk jumlah efek faktor dibawah lima tidak dapat dilakukan dengan metode Lenth.
B. Pembatasan Permasalahan
5 C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang dijelaskan di atas, maka rumusan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimanakah langkah-langkah penggunaan Metode Bissell dengan rancangan FF 3k − p untuk menentukan faktor signifikan?
2. Bagaimanakah aplikasi Metode Bissell dengan rancangan FF 3k − p untuk menentukan faktor signifikan pada percobaan mesin bubut?
D. Tujuan
Dari permasalahan yang dikemukakan di atas, tujuan penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Menjelaskan langkah-langkah penggunaan metode Bissell dengan rancangan FF 3k − p untuk menentukan faktor signifikan.
2. Menjelaskan aplikasi Metode Bissell dengan rancangan FF 3k − p untuk menentukan faktor signifikan pada percobaan mesin bubut.
E. Manfaat
Manfaat yang ingin dicapai dari penulisan ini adalah:
1. Bagi penulis
6 2. Bagi para pembaca
Dapat melengkapi dan menambah pengetahuan dalam bidang rancangan percobaan khususnya pada rancangan FF 3k − p serta penggunaan metode Bissell.
3. Bagi jurusan Matematika FMIPA UNY
1 BAB II KAJIAN PUSTAKA
A. Rancangan Percobaan
Rancangan percobaan dapat diartikan sebagai serangkaian uji dimana perubahan yang berarti dilakukan pada variabel dari suatu proses atau sistem sehingga dapat diamati dan diidentifikasi alasan-alasan perubahan yang terjadi pada respon output dari percobaan tersebut (Montgomery, 2001:1). Rancangan percobaan banyak dimanfaatkan dalam bidang industri atau penelitian yang berkaitan dengan rancangan produk, perbaikan produk dan lain sebagainya. Tidak hanya dalam bidang industri, rancangan percobaan juga banyak dimanfaatkan dalam bidang pertanian, bidang kesehatan dan lain sebagainya.
Menurut Montgomery (2001) menjelaskan Beberapa istilah dalam rancangan percobaan yang perlu diketahui antara lain :
1. Perlakuan (Treatment)
Perlakuan ialah prosedur atau metode yang diharapkan pada unit percobaan, misalnya bahan pembuatan mesin yang berbeda dan lain sebagainya.
2. Faktor
2 3. Taraf atau Level
Taraf ialah nilai-nilai dari faktor yang dicobakan daam percobaan, misalkan tingkatan temperatur yang berbeda, jenis bahan cetakan yang berbeda dan lain sebagainya.
4. Pengamatan berulang
Pengamatan berulang ialah pengamatan yang dilakukan berulang kali dalam waktu yang berbeda pada suatu objek atau satuan amatan yang sama untuk mengetahui keragaman yang muncul pada respon.
B. Percobaan Faktorial
Percobaan faktorial adalah suatu percobaan mengenai sekumpulan perlakuan yang terdiri atas semua kombinasi yang mungkin dari taraf beberapa faktor. Sekumpulan kombinasi perlakuan tersebut yang dinyatakan dengan kata faktorial (Gasperz, 1991:181). Secara umum, dapat dikatakan percobaan faktorial adalah suatu percobaan untuk meneliti suatu hal yang dipengaruhi oleh beberapa faktor.
3
lainya untuk faktor yang lain, maka kedua faktor dikatakan berinteraksi. Jika pola respon dari suatu faktor tidak berubah pada berbagai kondisi faktor lain, maka dapat dikatakan kedua faktor tersebut tidak berinteraksi.
Berdasarkan adanya banyak taraf dalam setiap faktor, percobaan ini sering dilakukan dengan menambah perkalian antara banyak taraf faktor yang satu dengan yang lainya. Misal, ada level dari faktor A dan level dari faktor B, maka terdapat kombinasi perlakuan. Sebagai contoh, dalam suatu percobaan dengan 4 faktor yaitu A,B,C dan D yang masing-masing terdiri atas 3 taraf, level dari faktor A, level dari faktor B, level dari faktorl C dan level dari faktor D, maka diperoleh percobaan faktorial x x x = x x x = 8 kombinasi perlakuan..
C. Percobaan faktorial �
4
biasanya dinotasikan dengan angka. Misalnya, untuk level tinggi yaitu 2, untuk level menengah yaitu 1, dan untuk level rendah yaitu 0.
Percobaan yang dilakukan dengan menggunakan 3 faktor misalnya A,B dan C yang masing-masing bertaraf 3 maka dalam percobaan tersebut dengan tanpa pengulangan terdapat = 27 kombinasi perlakuan. Kombinasi perlakuan tersebut, ketiga taraf faktornya dikodekan dengan 0, 1, dan 2. Untuk 0 merupakan taraf rendah, 1 untuk taraf sedang dan 2 untuk taraf tertinggi.
Tabel 2.1. Kombinasi Perlakuan dari Rancangan Faktorial Faktor
A
Faktor B
Faktor C
0 1 2
0 0
1
2
1 0
1
2
2 0
1
2
5
pembatasan dari jumlah amatan, yang sering digunakan nilai batas yaitu 1 sehingga di notasikan − .
Menurut Montgomery (2005), interaksi � faktor memiliki �− ortogonal komponen 2 derajat kebebasan. Sebagai contoh, empat faktor interaksi ABCD memiliki − = 8 ortogonal komponen dua derajat kebebasan dilambangkan
, , , , , , , .
Untuk komponen ini, dapat dilihat bahwa satu-satunya eksponen yang diperbolehkan pada huruf pertama adalah 1. Jika eksponen pada huruf pertama bukan 1, maka seluruh komponen harus kuadrat dengan menggunakan modulus 3, terlihat pada komponen interaksi berikut
= = =
D. Rancangan FF
6
Rancangan yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut yaitu rancangan FF.
Struktur rancangan FF ditentukan dari banyak faktor dan fraksi yang digunakan. Dengan banyaknya faktor dan fraksi tertentu dapat dibentuk struktur rancangan FF yang berbeda bergantung pada pemilihan generator terbaik, defining relation (dilambangkan dengan huruf I), alias yaitu dua atau lebih
pengaruh yang memiliki sifat yang sama diperoleh dari perkalian faktor-faktor utama dengan defining relation dan berdasarkan resolusi yang didapat dari panjang defining relation. Jika ada faktor utama yang terpaut di dalam alias, untuk rancangan yang hanya memiliki 1 defining relation maka defining relation dikuadratkan setelah itu dikalikan dengan faktor utama (Sudjana, 1989). Hal tersebut dilakukan untuk memperoleh alias lain yang mungkin diduga tidak terpaut.
7 E. Model Linear Rancangan FF
Diberikan variabel respon y dari rancangan FF yang pengamatanya hanya sekali dilakukan tanpa pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan dan , , …, � variabel input yang berkaitan dengan faktor independen. Hubungan antara variabel-variabel tersebut dapat digambarkan dalam persamaan berikut :
y = � + � + � + …+ �� � + � (1)
jika dilakukan pengamatan sebanyak n kali maka persamaan (1) menjadi :
y = � + � � + � � + …+ �� �� + �� (2)
model kedua dapat ditulis dalam model linear, sebagai berikut :
y = X � + � (3)
dengan :
, , …, � = Variabel bebas = Variabel terikat � = Konstanta � , � , … , �� = Parameter
� = error
y = [ … �]T adalah vektor pengamatan berukuran x � = [� � … ��]T adalah vektor parameter
X = Matriks berukuran x � + � = Vektor error berukuran x
8 [ � ] = [ � ⋱ � � � �� ] [ � � �� ] + [ � � �� ]
F. Rancangan FF Tiga-Level
Rancangan FF dengan 3 taraf atau level dinotasikan dengan � − , yang artinya rancangan ini mencobakan � − (dimana k adalah banyaknya faktor dan p adalah banyaknya fraksi) kombinasi perlakuan dari seluruhnya yaitu � kombinasi perlakuan lengkap (full-factorial design). Fraksi percobaan dapat diartikan sebagai seberapa besar proporsi total atau jumlah perlakuan yang akan dicobakan dalam rancangan FF. struktur rancangan FF ditentukan banyaknya faktor yang dicobakan dan fraksi percobaan yang digunakan. Dengan jumlah faktor dan fraksi tertentu, dapat dibentuk beberapa struktur rancangan FF yang berbeda.
Percobaaan dengan tiga taraf, fraksi yang bisa digunakan adalah :
1. Fraksi = dari kombinasi perlakuan lengkap. Bentuknya � − . Misalkan percobaan dengan 4 faktor maka rancangan FF dinotasikan − , rancangan ini melakukan 27 kombinasi perlakuan dari 81 kombinasi perlakuan lengkap. Untuk 3 faktor maka rancangan FF − , rancangan ini melakukan 9 kombinasi perlakuan dari 27 kombinasi lengkap.
9
dari 81 kombinasi perlakuan lengkap. Untuk percobaan − , rancangan ini melakukan 3 kombinasi perlakuan dari 27 kombinasi perlakuan lengkap.
Pembentukan struktur rancangan FF � − juga dipengaruhi oleh pemilihan fraksi yang digunakan (Sartono, 2008). Hal tersebut akan dijelaskan sebagai berikut:
1. Fraksi = untuk � = atau � = . Pertama, Struktur rancangan FF untuk � = maka – = dan sebagai rancangan dasar untuk faktor terakhir dihilangkan karena menjadi generator yaitu faktor . Kedua, struktur rancangan FF untuk � = maka – = , sebagai rancangan dasar untuk faktor terakhir dihilangkan karena menjadi generator yaitu faktor
.
2. Fraksi = untuk � = atau � = . Pertama, Struktur rancangan FF untuk � = maka – = sebagai rancangan dasar untuk 2 faktor terakhir dihilangkan karena menjadi generator yaitu faktor . Kedua, struktur rancangan FF untuk � = maka – = sebagai rancangan dasar untuk 2 faktor terakhir dihilangkan karena menjadi generator yaitu faktor
.
G. Tabel Rancangan FF Tiga Level
10 1. Efek sederhana (simple effect)
Efek sederhana adalah Pengaruh suatu faktor terhadap taraf tertentu dari faktor lain.
2. Pengaruh utama (main effect)
Pengaruh utama adalah Rata-rata dari pengaruh sederhana atau rata-rata terhadap taraf dari faktor lain.
3. Efek interaksi (interaction)
Efek interaksi adalah jika pengaruh dari suatu faktor berbeda pada tiap taraf untuk faktor lainya maka antara faktor tersebut dikatakan terjadi interaksi dimana nilai efek interaksi adalah nilai rata-rata dari selisih efek sederhana suatu faktor.
Perhitungan efek masing-masing faktor dapat menggunakan tabel respon atau sering disebut tabel Orthogonal Array (OA) dan disimbolkan dengan � dengan merupakan jumlah percobaan yang akan dilakukan (Hidayat, 2012). OA dikembangkan oleh Taguchi dalam keluarga matriks Fractional Factorial
Experiment (FFE). OA diciptakan oleh Jaques Hardmand pada tahun 1897 dan
mulai diterapkan pada perang dunia II oleh Plackett Burman.
11
rendah,sedang dan tinggi. Permisalan pembuatan tabel OA dapat dilihat pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2. Matriks � OA dengan faktor ,
Run Faktor Respon
(y)
A B C
1 0 0 0
2 1 0 1
3 2 0 2
4 0 1 1
5 1 1 2
6 2 1 0
7 0 2 2
8 1 2 0
9 2 2 1
Efek dari masing-masing faktor dapat diperoleh dengan mengurangkan nilai terbesar dengan nilai terkecil di antara nilai masing-masing faktor untuk taraf rendah, sedang dan tinggi dengan nilai dari masing-masing faktor untuk setiap taraf diberikan sebagai berikut :
̅̅̅ = � +� +� ; ̅̅̅ = � +� +� ; ̅̅̅= � +� +�
̅̅̅ = � +� +� ; ̅̅̅ = � +� +� ; ̅̅̅ = � +� +�
̅̅̅ = � +� +� ; ̅̅̅ = � +� +� ; ̅̅̅ = � +� +�
12
Tabel 2.3. Matriks umum � OA dengan 3 faktor A,B dan C
Run Response
0 1 2 0 1 2 0 1 2
1 - - - -
2 - - - -
3 - - - -
4 - - - -
5 - - - -
6 - - - -
7 - - - -
8 - - - -
9 - - - -
Average (̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Estimated main effect
Terbesar- Terkecil
Terbesar- Terkecil
Terbesar- Terkecil
H. Metode Bissell
Diberikan rancangan FF berjumlah � faktor dengan � , � , � , …, �� sebagai efek faktor dan � , � , � , …, �� rata-rata kuadrat yang saling bebas masing-masing mempunyai derajat bebas �.
Hipotesis yang akan diuji adalah
13
� ∶ ∃ �� ≠ ; i = 1, 2,..,� ( ada faktor yang berpengaruh terhadap output )
Untuk rata-rata kuadrat dari masing-masing faktor diberikan sebagai berikut
� = ∑�� = ��− ̅ ; � = � −
Jika mengalikan kedua ruas dengan
� , diperoleh ��
� =
∑� � − ̅ � =
�
Karena
� ∑�� = � − ̅ berdistribusi khi kuadrat, akibatnya ��
� berdistribusi khi kuadrat dengan derajat bebas �. Dengan demikian untuk �� , i = 1,2,…, �, yaitu
��
� ~ � ; = �
���
� ~ � ; = �
Karena ��
� berdistribusi khi kuadrat , maka dapat dinyatakan ekspektasi dan varian ��
� yaitu
��
� = �→ �
� � = �
14 � ��� = �→ �
� � � = �
� � = (� ) �
Selanjutnya m merupakan faktor skala dari ditribusi khi kuadrat,
� � = �
jika merupakan variansi sampel,
�− �
� ~ �−
dari persamaan 1 dan 2 diperoleh
� �̂ = �̂ = �
maka
� −
�̂ = � −
�
= � − �
15 �= � − �
Karena persamaan 2 berdistribusi khi kuadrat, nilai Bissell dikonstruksikan dari persamaan tersebut, diperoleh
�= � − � ~ �−
Untuk menentukan apakah ada pengaruh dar faktor-faktor atau tidak, diuji hipotesis � untuk setiap nilai � yang diperoleh, dengan kriteria jika � < �,�− maka � ditolak atau � > −�,�− maka � ditolak. Untuk
menentukan faktor yang signifikan dapat dilihat nilai rata-rata kuadrat ( Mean Square/ MS ) terbesar dari hasil perhitungan.
1
DAFTAR PUSTAKA
Bagus Sartono.(2008). Rancangan Faktorial Pecahan. Jurusan Statistika. IPB. Bogor.
Box, G.E.P dan Meyer, R.D.(1986). An Analysis for unreplicated fractional factorials. Technometric.28. 1 pp 11-18.
Denmiar Dominggo.(2014). Chi square Table. Diakses dari
www.slideshare.net/dennimardomingo/chi-square-table pada tanggal 02 Oktober 2014. Jam 10.40 WIB.
Effendi, M. Syafwansyah.(2014). Peningkatan Kekuatan Puntir Produk Baling-baling Kapal Bahan Kuningan dengan Pendekatan Metode Taguchi pada Industri kecil Pengecoran Negara Kandangan Kalimantan Selatan. Jurnal penelitian dan aplikasi Teknik Industri Vol, 12 No. 1. Hlm. 1-12
M. Arbi Hidayat.(2012). Penerapan Optimasi Multirespon Menggunakan Hybrid Principal Component Analysis-Taguchi pada Proses Turning Material Polyacetal. Jurnal penelitian dan aplikasi Teknik Industri Hlm. 1-6
Montgomery Douglas C.(2001). Design and Analysis of Experiment. 5th Edition John Willey and Sons.
Montgomery Douglas C.(2005). Design and Analysis of Experiment. 6th Edition John Willey and Sons.
Sauddin, Adnan. (2006). Identifikasi Faktor Signifikan Rancangan Faktorial Fraksional Tanpa Pengulangan dengan Metode Bissell, Lenth dan Fang. Thesis. Fakultas Pertanian Universitas Taman Siswa. Padang.
Sudjana.(1994). Desain dan Analisis Eksperimen. Tarsito. Bandung.
Wahyuni, Ana. (1998). Rancangan Percobaan Faktorial 2�. Jurusan Matematika. UNDIP. Semarang.
