Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

A.Pengertian

Model Matematika merupakan representasi sistem yang berupa formulasi abstrak secara matematis. Pemodelan Matematika merupakan proses untuk mendapatkan model matematika tersebut.

B. Model Pertumbuhan Konstan

Pada suatu ekosistem, diambil satu spesies untuk dibahas. Misalnya jumlah penduduk dalam satu kota, jumlah pohon pinus di suatu hutan, atau pertumbuhan bakteri pada suatu eksperimen. Berikut akan dibahas model pertumbuhan populasi untuk satu spesies tersebut.

Dalam hal ini, populasi yang sedang dibicarakan mempunyai persediaan makan yang cukup, dan perbedaan mendasar untuk masing-masing populasi tidak diperhatikan (misalnya perbedaan umur masing-masing individu dalam populasi, perbedaan jenis kelamin).

DIdefinisikan

N t

( )

untuk menyatakan banyaknya populasi pada saat t, dengan

t

≥

0

, dan

R

₀untuk menyatakan angka pertumbuhan. Selanjutnya, tingkat pertumbuhan populasi terhadap waktu sebanding dengan banyaknya populasi pada saat itu, sehingga diperoleh

( )

penyelesaian dari (1) adalah

( )

( )

Perhatikan jika R₀ >

0

, maka populasi terus bertambah seiring berjalannya waktu, menuju jumlah tak hingga, untuk t→ ∞. Keadaan ini disebut dengan model pertumbuhan murni.

Jika R₀ <

0

, maka populasi akan terus mengalami penurunan seiring berjalannya waktu, makin lama akan dekat dengan nol (hanpir punah), untuk t→ ∞. Keadaan ini disebut model kematian murni.

Jika R₀ =

0

, maka populasi

N t

( )

=

N

₀. Artinya banyaknya populasi untuk t→ ∞selalu konstan. C.Latihan

1. Berapa lama banyaknya populasi akan menjadi dua kali lipat, jika R₀ >

0

?

2. Berdasarkan jawaban no 1, jika suatu populasi tumbuh secara kontinu dengan angka pertumbuhan konstan 2% per tahun. Berapa lama populasi tersebut menjadi dua kali lipat?

3. Berdasarkan bagian B, jawaban no 1 dan 2, tuliskan langkah-langkah pemodelan matematika.

D.Panjang Tisue Toilet

1. Diberikan satu gulung tissue toilet dengan satu sheet. Menggunakan langkah-langkah pemodelan matematika dan tanpa membuka gulungan tissue tersebut, tentukan berapa total panjang tissue tersebut?

2. Seorang ibu yang hemat selalu mencari barang yang murah tetapi tetap berkualitas bila berbelanja. Suatu hari, ketika sedang berbelanja, ia melihat obral kertas tisu kamar mandi. Setiap pak yang diobral terdiri dari atas 4 gulung kertas tisu, dengan masing-masing 250 lembar untuk setiap gulung. Mengingat betapa anak-anaknya senang memainkan kertas tisu yang selama ini ia gunakan, maka ia mencoba memperkirakan ketebalan kertas tisu obral tersebut untuk dibandingkan dengan yang biasanya ia gunakan.

Ia tahu bahwa setiap lembarnya mempunyai panjang 10 cm, dan ia perkirakan diameter atau garis tengah gulungan itu 8 cm. Setiap gulungan itu menggunakan silinder dari karton yang mempunyai diameter 3 cm. Pada mulanya ia kebingungan menyadari bahwa lembaran-lembaran tisu tersebut sesungguhnya digulung pada silinder karton secara spiral dengan radius yang semakin besar. Namun, tidak berapa lama kemudian, ia tahu bagaimana mengatasi masalah ini dan segera menghitung ketebalan kertas tisu obral tersebut.

Seorang ibu yang hemat selalu mencari barang yang murah bila berbelanja. Suatu hari, ketika

sedang berbelanja, ia melihat obral kertas tisu kamar mandi. Setiap pak yang diobral terdiri dari

atas 4 gulung kertas tisu, dengan masing-masing 240 lembar untuk setiap gulung. Mengingat

betapa senangnya anak-anaknya terhadap kertas tisu yang selama ini ia gunakan, maka ia mencoba

memperkirakan ketebalan kertas tisu obral tersebut untuk dibandingkan dengan yang biasanya ia

gunakan.

Ia tahu bahwa setiap lembarnya mempunyai panjang 14 cm, dan ia perkirakan diameter atau

garis tengah gulungan itu 11 cm. Setiap gulungan itu menggunakan silinder dari karton

yang mempunyai diameter 4 cm. Pada mulanya ia kebingungan menyadari bahwa

lembaran-lembaran tisu tersebut seungguhnya digulung pada silinder karton secara spiral

dengan radius yang semakin besar. Namun, tidak berapa lama kemudian, ia tahu bagaimana

mengatasi masalah ini dan segera menghitung ketebalan kertas tisu obral tersebut.

Pertanyaannya:

Berapakah tebal kertas tisu tersebut? Terdapat sekitar berapa putaran kertas tisu dalam setiap gulungan?

Jawab:

misalnya tebal tisu = x diameter karton = d = 4cm diameter total = 11 cm

satu kali putaran akan menambah diameter gulungan sebesar 2x,misalkan ada n kali putaran,maka: diameter total = (d+2x)+(n-1)2x

11 = d + 2nx 11 = 4 + 2nx 2nx = 7 n = 3,5/x

kemudian,panjang total tisu = 14 x 240 = 3360 cm 3360 = pi [(d+2x)+(d+4x)+(d+6x)+...+(d+2nx)] 3360/pi = n[d+2x+d+2nx]/2

3360/pi = n[d+(n+1)x] 3360/pi = 3,5[4+(3,5+x)]/x

berikutnya dengan menjabarkan persamaan diatas akan didapatkan nilai x kemudian diperoleh lah nilai n.

Atau

L = Luas lingkaran besar-luas lingkaran kecil L = pi.(11/2)^2-pi.(4/2)^2

L = 82,46680716

Kita tahu bahwa Luas permukaan tisu itu = tebal x panjang 82,46680716 = tebal x (240x14)

tebal = (82,46680716)/3360 tebal = 0,024543692 cm.