MAKALAH TEOREMA BINOMIAL docx 1

MAKALAH

“TEOREMA BINOMIAL”

Dosen Penguji

: Benny Nawa Trisna, M.Pd

Mata Kuliah

: Matematika Diskrit

Di Susun Oleh :

Ahmad Sairoji

(30613230

Muhammad Hairul Saleh

(3061323066)

Muhammad Salimi

(30613230

Nurul Huda

(30613230

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

(STKIP–PGRI) BANJARMASIN KAMPUS II BANJARBARU

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr.Wb

Segala puji bagi Allah SWT. yang telah memberikan kami kemudahan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini. Tanpa pertolongan-Nya mungkin penyusun tidak akan sanggup menyelesaikannya dengan baik. Shalawat dan salam semoga terlimpah curahkan kepada baginda tercinta kita yakni Nabi Muhammad SAW.

Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu tentang "TEOREMA BINOMIAL” dan untuk memenuhi tugas dari mata kuliah “MATEMATIKA DISKRIT” yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber. Makalah ini di susun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan akhirnya makalah ini dapat terselesaikan.

Penyusun juga mengucapkan terima kasih kepada Dosen Mata kuliah ini yaitu ibu Benny Nawa Trisna, M.Pd yang telah memberikan tugas untuk pembuatan makalah ini. Semoga makalah ini dapat memberikan pengetahuan yang lebih luas kepada pembaca. Walaupun makalah ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Penyusun membutuhkan kritik dan saran dari pembaca yang membangun.

Terima kasih.

Banjarbaru, 20 Maret 2016

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...i

DAFTAR ISI ...ii

BAB I . PENDAHULUAN A. Latar Belakang... 1

B. Rumusan Masalah... 1

C. Tujuan Penulisan... 2

BAB II. PEMBAHASAN A. Sejarah Teorema Binomial... 3

B. Koefesien Binomial... 3

C. Teorema Binomial... 4

D. Identitas Pascal... 5

E. Teorema Multinomial... 7

F. Penggunaan Teorema Binomial... 7

G. Penggunaan Identitas Pascal... 8

H. Penggunaan Teorema Multinomial... 10

I. Teorema Binomial untuk Sembarang Pangkat Real... 10

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan... 11

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam perkuliahan Sehari −¿ hari pasti kita tidak asing dengan kata Teorema. Secara umum Teorema ialah pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya. Biasanya teorema menjadi sarana umtuk menjawab permasalahan. Lebih jelasnya teorema adalah sebuah pernyataan, sering dinyatakan dalam bahasa alami, yang dapat dibuktikan atas dasar asumsi yang dinyatakan secara eksplisit ataupun yang sebelumnya disetujui. Dalam logika, sebuah teorema adalah pernyataan dalam bahasa formal yang saat diturunkan dengan mengaplikasikan aturan inferensi dan aksioma dari sebuah sistem deduktif.

Pembelajaran di bidang mata kuliah Matematika diskrit pun tidak luput dengan yang namanya teorema dalam beberapa pembelajaran didalamnya. Dimana matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan(lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam matematika diskrit seperti bilangan bulat,graf, atau kalimat logika dan tidak berubah secara kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Salah satu yang akan dipelajari di matematika diskrit adalah Teorema Binomial dimana ini juga dipelajari di Teori Bilangan ataupun Aljabar Elementer. Dalam aljabar elementer, Teorema Binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variable (binomial). Dimana dalam Teorema Binomial pun masih terdapat pembahasan −¿ pembahasan lainnya seperti identitas pascal dan lain −¿ lainnya.

B. Rumusan Masalah

i) Apa yang dimaksud dengan Teorema Binomial untuk Sembarang Pangkat Real ?

B. Tujuan Penulisan

a) Mengetahui Sejarah dari Teorema Binomial

b) Mengetahui yang dimaksud dengan Koefesien Binomial c) Mengetahui yang dimaksud dengan Teorema Binomial d) Mengetahui yang dimaksud dengan identitas pascal

e) Mengetahui yang dimaksud dengan Teorema Multinomial f) Mengetahui penggunaan Teorema Binomial

g) Mengetahui penggunaan Identitas pascal h) Mengetahui penggunaan Teorema Multinomial

BAB II

PEMBAHASAN

A. Sejarah Teorema Binomial

Rumus dan susunan segitiga dari koefisien binomial ini sering dikaitkan dengan Blaise Pascal, yang menguraikannya pada abad ke-17. Tetapi, sebenarnya rumus dan susunan tersebut telah dikenal oleh banyak matematikawan jauh sebelum Pascal. Contohnya, Sir Isaac Newton dihargai atas jasanya yang menjelaskan mengenai teorema binomial umum, yang berlaku untuk setiap eksponen. Matematikawan Yunani abad ke-4 SM Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen, seperti yang dilakukan oleh matematikawan India abad ke-3 SM Pingala untuk tingkat yang lebih tinggi. Sebuah teorema binomial yang lebih umum dan kemudian disebut "segitiga Pascal" telah dikenal di abad ke-10 M oleh matematikawan India

Halayudha dan matematikawan PersiaAl-Karaji, di abad ke-11 oleh penyair dan matematikawan Persia Umar Khayyām, dan di abad ke-13 oleh matematikawan Cina Yang Hui, yang semuanya memperoleh hasil yang sama. Al-Karaji juga memberikan sebuah pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga Pascal, dengan menggunakan induksi matematika.

B. Koefesien Binomial

Koefesien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan, misalnya (x + y)n_{. Sepintas terlihat bahwa ekspresi}

(x + y)n _{tidak ada hubungannya dengan kombinasi, tetapi kenyataannya kita bisa mendapatkan}

rumus untuk penjabaran (x + y)n _{dengan menggunakan rumus banyaknya kombinasi-k dari n}

unsur. Teori untuk menurunkan rumus yang diperoleh dari penjabaran (x + y)n _dengan

menggunakan kombinasi dikenal dengan Teorema Binomial. Sebelum membahas teorema ini, perhatikan ilustrasi berikut ini. Dalam aljabar kita tahu bahwa :

(x + y)2 _{= x}2 _{+ 2xy + y}2

Penjabaran dari (x + y)2 _{merupakan perkalian 2 faktor (x + y), yaitu :}

C. Teorema Binomial

Kita tentu telah akrab dengan formula (� + �)2 _{= �}2 _{+ 2�� + �}2 _{atau (� + �)}3 _{= �}3 _{+ 3�}2_{b +}

3��2 _{+ �}3_{. Ruas kiri dari persamaan-persamaan itu merupakan ekspresi binomial berpangkat}

(power of binomial expression), sedang ruas kanan persamaan-persamaan tersebut dinamakan ekspansi dari ekspresi binomial di ruas kiri. Pada sub bab ini akan dibahas sebuah teorema penting dalam kombinatorika yang dikenal dengan nama Teorema Binomial. Teorema ini memberikan koefisien-koefisien dari ekspansi ekspresi binomial berpangkat. Kita akan membuktikan teorema ini menggunakan argumen kombinatorial. Ilustrasi berikut akan memberikan gambaran bagaimana penalaran kombinatorial digunakan untuk membukti-kan teorema tersebut.

ILUTRASI: Kita tahu bahwa (� + �)3 _{= (� + � (�) + �) (� + �) . Ketika melakukan}

ekspansi, kita menjumlahkan semua hasil kali sebuah suku pada faktor pertama, sebuah suku pada faktor ke dua, dan sebuah suku pada faktor ke tiga. Dihasilkan suku-suku dengan bentuk �3_,

�2_{b, ��}2_{, dan �}3_{. Untuk menemukan suku dengan bentuk �}3_{, pada tiap-tiap faktor harus dipilih} sebuah �. Ini dapat dilakukan dengan 1 cara. Dengan demikian, koefisien dari �3 _{adalah 1. Untuk} menemukan suku �2_{b, dari dua faktor harus dipilih masing-masing sebuah �, dan memilih � dari} faktor yang lain. Ini berarti kita memilih 2 dari 3 buah � yang tersedia, yang diketahui dapat kita

lakukan dengan

(

3₂

)

= 3 cara. Sama halnya dengan suku ��2 _{yang dapat ditemukan dengan}

(

3

1

)

=3 cara. Terakhir, suku �3 dapat ditemukan dengan 1 cara, yaitu memilih � dari setiap faktor. Konsekuensinya, ditemukan (�+ �)3_=�3_+3�2_b+3��2_+�3_.

 TEOREMA BINOMIAL: Misal � dan � merupakan bilangan-bilangan real, dan �

sebuah bilangan bulat nonnegatif, maka

(a+b)n=

(

n 0

)

a

n

+

(

n 1

)

a

n−1 b+

(

n

2

)

a

n−2 b2

(

n

n−1

)

ab

n−1

+

(

n

n

)

b

n

¿

∑

k=0

n

(

n k

)

a

n−k

Bilangan

(

n_k

)

pada persamaan ini disebut koefisien binomial.

Bukti: Terdapat � faktor yang berbentuk (� + �). Faktor-faktor ini akan diekspansi sehingga ditemukan suku-suku berbentuk �n₋k _�k _{, dengan � = 0, 1, 2, ⋯ , �. Banyak cara}

menemukan suku berbentuk ��−�_�k _{sama dengan banyak cara memilih � − � buah � dari � faktor}

yang ada. Ini dapat dilakukan dengan

(

_{n – k}n

)

=

(

n

k

)

cara. Dengan demikian, koefisien dari ��−�

�k _adalah

(

n

n – k

)

=

(

n

k

)

.

D. Identitas Pascal

 IDENTITAS PASCAL: Untuk �dan �bilangan bulat positif, dengan � ≤ , berlaku

(

n+1

k

)

=

(

n k−1

)

+

(

n

k

)

.

Bukti: Misal A adalah himpunan dengan � + 1 elemen. Asumsikan � sebuah elemen

dalam A dan misal B = A – {�}. Jelas bahwa, terdapat

(

n+1

k

)

himpunan bagian dari A dengan

� elemen. Tentu saja, terdapat dua cara membentuk himpunan bagian dari A dengan � elemen: (1) memuat � bersama �−1 elemen dari B; atau (2) hanya memuat � elemen dari B (tidak memuat �).

Jelas bahwa, karena terdapat

(

_k−1n

)

himpunan bagian dari B dengan �−1 elemen, maka

terdapat

(

n

k−1

)

himpunan bagian dari A dengan � elemen yang memuat �. Juga karena

terdapat

(

n

k

)

himpunan bagian dari B dengan � elemen, padahal B = A – {�}, maka terdapat

(

n

k

)

himpunan bagian dari A dengan � elemen yang tidak memuat �. Konsekuensinya,

(

n+1

k

)

=

(

n k−1

)

+

(

n

Catatan: Selain dengan bukti kombinatorial, seperti yang sudah dipaparkan, Identitas

Pascal dapat juga dibuktikan dengan manipulasi aljabar formula

(

n

k

)

.

Identitas Pascal adalah dasar untuk sebuah susunan geometris koefisien-koefisien binomial dalam sebuah segitiga, seperti ditunjukkan gambar berikut. Baris ke � dalam segitiga

memuat koefisien-koefisien binomial

(

n

k

)

, dengan � = 0,1,2, ⋯ , � . Segitiga ini dikenal

dengan nama Segitiga Pascal.

Identitas pada proposisi berikut dapat diperoleh dari Teorema Binomial, tetapi kita akan membuktikannya menggunakan argumen kombinatorial. Suatu identitas yang dihasilkan dari proses counting (kombinatorial) dinamakan identitas kombinatorial.

 PROPOSISI: Jika �sebuah bilangan bulat nonnegatif, maka

∑

k=0

n

(

n k

)

=

(

n

0

)

+

(

n

1

)

+

(

n

2

)

+…+

(

n n

)

=2

n

Bukti: Sebuah himpunan dengan � elemen mempunyai 2n _{himpunan bagian berbeda.}

Setiap himpunan bagian mungkin mempunyai 0 elemen, 1 elemen, 2 elemen, . . . , atau � elemen.

dari � elemen) ,

(

n₁

)

himpunan bagian dengan 1 elemen,

(

n₂

)

himpunan bagian dengan 2

 PROPOSISI: Jika �sebuah bilangan bulat positif, maka

∑

Bukti: Berdasarkan Teorema Binomial, diperoleh

0=(1+(−1))n

∑

dan �sebuah bilangan bulat nonnegatif, maka

(x1+x2+x3+⋯+xr)n=

∑

⋯ + �r. Pada saat melakukan ekspansi, tepat satu suku dari setiap faktor diambil untuk dikalikan.

Setiap dilakukan, perkalian ini menghasilkan sebuah suku berbentuk x₁n1x

2

seterusnya, memilih �r dari �r faktor (dari � − �1 − �2 − ⋯ − �r – 1 = �r faktor). Menurut Proposisi

1.2.20 dan 1.2.16, ini dapat dilakukan dengan

(

_n n

1, n2, n3, … nr

)

car+a.

F. Penggunaan Teorema Binomial

Penggunaan Teorema Binomial diilustrasikan pada contoh-contoh berikut.

 CONTOH: Temukan ekspansi (�+�)5

Solusi: Menurut Teorema Binomial

(a+b)5=

∑

Solusi: Menurut Teorema Binomial, koefisien yang dimaksud adalah

(

10

Solusi: Menurut Teorema Binomial,

(1+x)n=

∑

(Catatan: Formula ini juga sering disebut Teorema Binomial)

Koefisien �13 _{diperoleh jika � = 13, yaitu}

(

n

13

)

.

G. Penggunaan Identitas Pascal

 CONTOH: Gunakan argumen kombinatorial untuk membuktikan

Bukti: Misal � sebuah himpunan dengan 2� elemen yang dipartisi menjadi dua himpunan

saling lepas, � dan �, masing-masing dengan � elemen. Banyak himpunan bagian dengan 2

elemen dari � adalah

(

2n

2

)

. Sembarang himpunan bagian dari � mempunyai 2 elemen jika dan hanya jika termuat dalam satu dari tiga kelas berikut: (1) kelas semua himpunan bagian dengan 2 elemen dari �; (2) kelas semua himpunan bagian dengan 2 elemen dari �; atau (3) kelas semua himpunan bagian dengan 2 elemen dari � sedemikian hingga setiap himpunan bagian memuat tepat satu elemen dari � dan satu elemen dari �. Kelas (1) dan (2)

masing-masing memuat

(

n₂

)

himpunan bagian. Sebuah elemen dari � dapat dipilih dengan � cara, dan

sebuah elemen dari � juga dapat dipilih dengan � cara, sehingga kelas (3) memuat � ∙ � = �2

himpunan bagian. Dengan demikian, banyak himpunan bagian dari � adalah 2

(

n 2

)

+n

2

 CONTOH: Gunakan Identitas Pascal untuk menunjukkan bahwa

∑

Bukti: Menurut Identitas Pascal,

 CONTOH: Buktikan bahwa

1+2+3+…+n=n(n+1) 2

Solusi: Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan induksi matematik, tetapi di sini kita akan

menggunakan identitas kombinatorial yang sudah kita buktikan pada Contoh sebelumnya,

1+2+3+…+n=

(

1

H. Penggunaan Teorema Multinomial

Penggunaan Teorema Multinomial diilustrasikan pada contoh berikut.

(a+b+c)2=

(

2

I. Teorema Binomial untuk Sembarang Pangkat Real.

kita perlu mendefinisikan

(

n

k

)

agar berlaku untuk sembarang bilangan real � dan

bilangan bulat nonnegatif �.

1,jika k=0

Berdasarkan definisi ini, kita dapat

(

−2

 TEOREMA BINOMIAL DIPERLUAS (EXTENDED BINOMIAL THEOREM):

Untuk sembarang bilangan real �dan �, dengan |x| <1

Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema Taylor (Deret Taylor) dalam Kalkulus, tetapi tidak diberikan di sini.

BAB III

PENUTUP

A.

Kesimpulan

o TEOREMA BINOMIAL: Misal � dan � merupakan bilangan-bilangan real, dan �

sebuah bilangan bulat nonnegatif, maka

¿

∑

k

)

pada persamaan ini disebut koefisien binomial.

o IDENTITAS PASCAL: Untuk �dan �bilangan bulat positif, dengan � ≤ , berlaku

dan �sebuah bilangan bulat nonnegatif, maka

(x1+x2+x3+⋯+xr)n=

∑

r

)

disebut koefisien multinomial.

o TEOREMA BINOMIAL DIPERLUAS (EXTENDED BINOMIAL THEOREM): Untuk

sembarang bilangan real �dan �, dengan |x| <1 pelajari lah teorema ini karena sangat bermanfaat dibidang Matematika diskrit.