FUNGSI PELUANG GABUNGAN
FUNGSI PELUANG GABUNGAN
Ilustrasi
Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan dengan kategori kategori yang berbeda
kategori-kategori yang berbeda.
Misalkan diperhatikan komponen-komponen yang dimiliki suatu bangunan.
•Kekuatan bangunan •Ti i b
•Banyak lantai •Banyak lift •Tinggi bangunan
•Luas bangunan
•Luas taman/daerah hijau
bangunan
•Banyak lift
•Banyak pintu/tangga darurat •Banyak ruangan
•.... •...
KONTINU DISKRIT
Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y menyatakan tinggi bangunan
tinggi bangunan.
Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh f(x, y), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y.
f( < <b) b k di t ib i l d i k k t b b il i k il d i
f(x<a, y<b) bermakna distribusi peluang dari kekuatan bangunan bernilai kecil dari a
Ilustrasi
Misalkan peubah acak X1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X2 menyatakan banyak lift, peubah acak X3 menyatakan banyak ruangan.
f(x1, x2, x3) = P(X1=x1, X2=x2, X3=x3) menyatakan distribusi peluang dari kejadian
bersama /serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang gabungan dari /
X1, X2, dan X3.
F
i P l
G b
Fungsi Peluang Gabungan
1. P
(
X=x, Y=y
)
0 untuk semua (
x, y
)
D
2.
3 U t k
b
d
h A d l
d
h d fi i i
b l k
(
,
) 1
x y
P X
x Y
y
I S K
R
3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi
xy
berlaku,
[( , )
]
( , )
A
P X Y
A
f x y
RI T
1. f
(
x, y
)
0 untuk semua (
x, y
)
2.
( , )
1
f x y dxdy
K O N3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi
xy
berlaku,
( , )
1
f x y dxdy
N T I N[( , )
]
( , )
AC
h 1
Contoh 1
Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3
pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika
X
adalah banyaknya
buah jeruk dan
Y
adalah banyaknya buah apel yang terambil,
hitung:
hitung:
a. Fungsi peluang gabungan
f
(
x
,
y
)
b.
P
[( , )
[(
X
,
Y
)
A
] dimana
]
A
adalah daerah {(
{(
x,y)|x + y
y)
y
2}
}
Jawab:
a. Pasangan nilai
(x,y
) yang mungkin dari kasus di atas adalah;
(0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1).
f
(3 0)
3
f
(3,0) artinya peluang terambil 3 jeruk dan 1 pisang.
Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah :
8
C
4= 70.
Banyak cara yang mungkin terambilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah
Banyak cara yang mungkin, terambilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah :
3 2 3 4
C C C
Solusi 1
D
b
f
l
3 2 3 4 8 4
4
( , ) , 0,1, 2, 3, 0,1, 2
8 4
x y x y
C C C x y x y
f x y x y
C
Distribusi fungsi peluangnya:
x
f(x,y) 0 1 2 3 h(y)
y
0 0 3/70 9/70 3/70 15/70
1 2/70 18/70 18/70 2/70 40/70
2 3/70 9/70 3/70 0 15/70
[(
)
]
(
2)
P X Y
A
P X
Y
g(x)
/ 5/70 / 30/70 / 30/70 5/70 / 1
b.
[( , )
]
(
2)
(
0,
1)
(
0,
2)
(
1,
0)
(
1,
1)
(
2,
0)
P X Y
A
P X
Y
P X
Y
P X
Y
P X
Y
P X
Y
P X
Y
(0,1)
(0, 2)
(1, 0)
(1,1)
(2, 0)
2
3
3
18
9
35
1
70
70
70
70
70
70
2
f
f
f
f
f
Contoh 2
Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk
dibawa pulang melalui
drive in
dan
walk in.
Pada suatu hari yang
dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk
menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan)
masing-masing untuk
drive in
dan
walk in
, yang berturut-turut dinotasikan
sebagai peubah acak
X
dan
Y
. Misalkan fungsi kepadatan peluang
gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah:
2
(
2 ),
0
1, 0
1
( , )
3
0
lainnya
x
y
x
y
f x y
x y
0,
x y
, lainnya
a. Selidiki apakah f(x,y) adalah fungsi peluang.
b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas
drive in dan walk in masing masing kurang dari setengah
Solusi 2
a.
1 1 1 1 1
2
2
1
1
( , )
(
2 )
(
4
)
(1 4 )
3
3
3
f x y dxdy
x
y dxdy
x
yx
dy
y dy
0
0 0 0 0
1 2
0
3
3
3
1
1
(
2
)
(1 2) 0
3
y
y
3
03
3
1
f(x,y) adalah fungsi peluang.
b
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
2
2
1
(
0 5
0 5)
(
2 )
(
4
)
P X
Y
x
y dxdy
x
yx
dy
b.
0
0 0 0
1/ 2 1/ 2
2
(
0.5,
0.5)
(
2 )
(
4
)
3
3
1 1
1 1
1 1 1
1
1
2
P X
Y
x
y dxdy
x
yx
dy
y dy
y
y
00
3 4
3 4
3 4 2
4
8
y
y
y
y
Fungsi Marjinal
Misalkan peubah acak
X
dan
Y
memiliki fungsi peluang gabungan
f
(
x
,
y
).
Untuk
X
dan
Y
diskrit
Notasikan fungsi peluang marjinal untuk
X
adalah
g
(
x
) dan fungsi peluang
marjinal untuk
Y
adalah
h
(
y
).
Untuk
X
dan
Y
diskrit.
( )
( , )
(
,
)
y y
g x
f x y
P X
x Y
y
y y
( )
( , )
(
,
)
x x
h y
f x y
P X
x Y
y
Untuk
X
dan
Y
kontinu.
( )
( , )
g x
f x y dy
dan
h y
( )
f x y dx
( , )
Contoh 3
Contoh 3
Perhatikan Contoh 1.
Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari distribusi
peluang
f
(
x
,
y
) masing-masing adalah distribusi peluang
marjinal dari
X
dan
Y
marjinal dari
X
dan
Y
.
Jawab :
2
3
5
1
(0)
(0, 0)
(0,1)
(0, 2)
0
g
(0)
f
(0, 0)
f
(0, )
f
(0, )
0
70
70
70
14
g
f
f
f
3
18
9
30
3
(1)
(1, 0)
(1,1)
(1, 2)
70
70
70
70
7
g
( )
f
(
)
f
(
)
f
(
)
70
70
70
70
7
g
f
f
f
9
18
3
30
3
(2)
(2, 0)
(2,1)
(2, 2)
70
70
70
70
7
g
f
f
f
3
2
5
1
(3)
(3, 0)
(3,1)
(3, 2)
0
70
70
70
14
Solusi 3
Solusi 3
Distribusi peluang peubah acak
p
g p
X
adalah :
x 0 1 2 3
g(x) = P(X=x) 1/14 6/14 6/14 1/14
Dengan cara yang sama diperoleh distribusi peluang
b h k
Y
d l h
peubah acak
Y
adalah :
y 0 1 2
C
h 4
Contoh 4
Perhatikan Contoh 2. Tentukan,
a.
fungsi peluang marjinal untuk
X
b.
fungsi peluang marjinal untuk
Y
c.
peluang bahwa fasilitas
drive in
membutuhkan waktu kurang dari
satu setengah satuan waktu pelayanan.
J
b
Jawab :
a. Misalkan fungsi peluang marjinal
X
adalah
g
(
x
)
1 1
2
2
2
2 10 0
2
2
2
( )
( , )
(
2 )
(
)
(
1) 0
3
3
3
2
g x
f x y dy
x
y dy
xy
y
x
2
(
1), 0
1
3
x
x
Solusi 4
Solusi 4
b. Misalkan fungsi peluang marjinal
Y
adalah
h
(
y
)
1 1
2
0 0
2
2 1
2 1
( )
( , )
(
2 )
2
2
0
3
3 2
3 2
h y
f x y dx
x
y dx
x
yx
y
c Misalkan peluang bahwa fasilitas
drive in
1
4
, 0
1
3
3
y
y
c. Misalkan peluang bahwa fasilitas
drive in
membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan
waktu pelayanan adalah
P
(
X
<1,5)
.
waktu pelayanan adalah
P
(
X
1,5)
.
1.5 1 1
2
0 0
2
1
2
1
(
1.5)
( )
(
1)
(1 2) 0
3
3
3
3
P X
g x dx
x
dx
x
x
0
1
Peluang Bersyarat
g
y
Misalkan
X
dan
Y
adalah peubah acak, diskrit atau
Misalkan
X
dan
Y
adalah peubah acak, diskrit atau
kontinu.
Peluang bersyarat dari peubah acak
Y
jika
Peluang bersyarat dari peubah acak
Y
jika
diberikan
X=x
adalah:
(
)
f x y
Peluang bersyarat dari peubah acak
X
jika
( , )
( | )
,
( )
0
( )
f x y
f y x
g x
g x
Peluang bersyarat dari peubah acak
X
jika
diberikan
Y=y
adalah:
(
)
f x y
( , )
( | )
,
( )
0
( )
f x y
f x y
h y
h y
Bebas Statistik
Misalkan peubah acak
X
dan
Y
mempunyai fungsi
Misalkan peubah acak
X
dan
Y
mempunyai fungsi
kepadatan peluang gabungan
f
(
x,y
) dengan fungsi
peluang marjinal masing-masingnya adalah
g
(
x
)
p
g
j
g
g y
g
( )
dan
h
(
y
). Peubah acak
X
dan
Y
dikatakan saling
bebas jika dan hanya jika,
( , )
( ) ( )
f x y
g x h y
C
h 5
Contoh 5
Perhatikan Contoh 1.
Tentukan distribusi peluang bersyarat dari
X
jika diberikan
Y =
1.
Hitung P(
X=
0
|Y=
1)
b
Jawab :
( , )
( ,1)
( | )
,
( )
0
yaitu ( |1)
( )
8 14
f x y
f x
f x y
h y
f x
h y
(0,1)
2 70
1
(1,1)
18 70
9
(0 |1)
,
(1|1)
8 14
8 14
20
8 14
8 14
20
(2,1)
18 70
9
(3,1)
2 70
1
(2 |1)
(3 |1)
f
f
f
f
f
f
f
f
( , )
( , )
(2 |1)
,
(3 |1)
8 14
8 14
20
8 14
8 14
20
f
f
f
f
Distribusi peluang bersyarat :
x 0 1 2 3
Contoh 6
Perhatikan Contoh 2.
Perhatikan Contoh 2.
Apakah peubah acak
X
dan
Y
saling bebas?
Karena
Karena,
2
1
2
2
1
2
( ) ( )
(
1)
(1 4 )
(4
4
1)
3
3
9
2
(
2 )
(
)
g x h y
x
y
xy
y
x
f
Maka
X
dan
Y
tidak saling bebas secara statistik.
(
2 )
( , )
3
x
y
f x y
Referensi
18
Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H.,
Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H.,
Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan
Ilmuwan
, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
g
Walpole, Ronald E., et.al, 2007,
Statistitic for
Scientist and Engineering
g
g
, 8th Ed., New Jersey:
y
Prentice Hall.
Pasaribu, U.S., 2007,
Catatan Kuliah Biostatistika
.
