MEDAN KLEIN-GORDON DAN MEDAN DIRAC PADA
RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF
Timothy Siahaan
99/126784/PA/07593
Departemen Pendidikan Nasional Universitas Gadjah Mada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
YogyakartaRUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF
Timothy Siahaan
99/126784/PA/07593
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh
derajat Sarjana S1 Program Studi Fisika pada Jurusan Fisika
Departemen Pendidikan Nasional Universitas Gadjah Mada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
YogyakartaMEDAN KLEIN-GORDON DAN MEDAN DIRAC PADA
RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF
Timothy Siahaan
99/126784/PA/07593
Dinyatakan lulus ujian skripsi oleh tim penguji
pada tanggal 8 Juli 2004
Tim Penguji
Dr.rer.nat. M. Farchani Rosyid Dr. Kamsul Abraha
Pembimbing I Penguji I
Juliasih Partini, M.Si.
Pembimbing II Penguji II
Untuk Papa, Mama, dan Adikku Andres tercinta
Untuk Ria tersayang
(Yosua 1:9)
Apabila aku ingat kepada-Mu di tempat tidurku, merenungkan Engkau sepa-njang kawal
malam,-sungguh Engkau telah menjadi pertolonganku, dan dalam naungan sayap-Mu aku bersorak-sorai
(Mazmur 63:7,8)
Takut akan Tuhan adalah permulaan pengetahuan, tetapi orang bodoh menghi-na hikmat dan didikan
(Amsal 1:7)
tiaNya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Sesung-guhnya Tuhanlah Pencipta alam semesta, dan segala usaha kita untuk mengungkap
rahasia ciptaanNya akan sia-sia tanpa campur tangan Sang Pencipta yang Agung.
Segala kata tidak akan dapat melukiskan puji syukur penulis kepadaNya atas semua
campur tangan pertolonganNya dalam proses penulisan skripsi ini.
Dalam penulisan skripsi ini penulis menyadari bahwa apa yang penulis
da-patkan di bangku perkuliahan belumlah apa-apa dibandingkan dengan ilmu fisika.
Penulis juga menjadi terbuka wawasannya dan menyadari bahwa ilmu fisika,
khusus-nya fisika teori, terus berkembang selama manusia masih dapat berpikir. Kesadaran
penulis akan hal itu menyebabkan penulis dipenuhi semangat untuk berkreasi
mengem-bangkan teori yang telah ada. Sekarang setelah penulis merampungkan skripsi ini,
penulis menyadari bahwa dibutuhkan dua hal agar manusia dapat melakukan sesuatu,
yakni izin Tuhan serta optimisme manusia tersebut bahwa dia mampu melakukannya.
Dalam penulisan skripsi dan masa perkuliahan banyak pihak yang telah
ber-jasa kepada penulis, kepada mereka penulis mengucapkan terima kasih. Adapun
uca-pan terima kasih penulis tujukan kepada:
1. Tuhan Yesus Kristus, yang begitu baik bagi penulis, membuka cakrawala dan
memberi gagasan-gagasan kreatif dalam pikiran penulis.
2. Papa dan Mama tercinta, yang tidak henti-hentinya memberi dukungan moral,
semangat, dan cinta kasih yang tak pernah menuntut balas.
3. Dr.rer.nat. M. Farchani Rosyid, selaku pembimbing penulisan skripsi ini, yang
telah memberi banyak masukan berupa tema skripsi yang menarik, bahan
perku-liahan dan berbagai pemahaman mengenai berbagai teori, dan yang terpenting
adalah teladan dan semangat untuk memberi kontribusi kepada ilmu
penge-tahuan. Penulis saat ini hanya dapat membalas semua yang bapak berikan
den-gan ucapan terima kasih, dan di kemudian hari sekiranya Tuhan mengizinkan,
penulis ingin membalas semua kebaikan yang telah bapak berikan kepada penulis
dan juga berkolaborasi dalam usaha memberi kontribusi bagi fisika.
4. Dr. Mirza Satriawan, yang telah banyak memberikan waktu dan tenaga untuk
membimbing penulis, berdiskusi, dan memberikan wawasan mengenai fisika.
Kalau Tuhan mengizinkan, penulis ingin sekali berkolaborasi dengan bapak
dalam berbagai riset yang menantang.
5. Prof.Dr. Muslim, yang banyak memberi teladan untuk tidak takut kepada
keru-mitan perhitungan. Walaupun penulis mendapat perkuliahan dari bapak hanya
pada tahun pertama, tetapi torehan selama tahun pertama itu membekas sampai
saat ini sehingga penulis memutuskan untuk terjun dalam fisika teori.
6. Staf pengajar program studi fisika yang telah membimbing selama masa
perku-liahan, yang telah mau diganggu oleh pertanyaan-pertanyaan penulis selama di
kelas.
7. Ria Endriana Utami, yang terus memberikan dukungan moril dan kasih sayang
yang tidak henti-hentinya kepada penulis. Terima kasih untuk semua yang
ka-mu berikan kepada penulis. Kejarlah terus cita-citaka-mu dan sukses untuk kita
berdua.
8. Teman-teman kelompok "underground" Mathematical and Theoritical Physics,
yang telah menjadi teman diskusi yang menyenangkan. Penulis memimpikan
suatu saat nanti kita menorehkan nama kita di jurnal-jurnal fisika internasional
bahkan persamaan-persamaan dengan nama kita tertulis di berbagai buku teks
9. Pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu demi satu, yang telah banyak
memberi bantuan, baik dalam penulisan skripsi ini maupun dalam perkuliahan.
Akhirnya penulis berharap agar skripsi ini dapat memberikan gagasan-gagasan
baru bagi yang membacanya sehingga skripsi ini memberi suatu kontribusi bagi
fisi-ka serta dapat menjadi batu loncatan menuju penelitian-penelitian lainnya. Penulis
menyadari bahwa skripsi ini tidak lepas dari berbagai kesalahan, untuk itu penulis
mo-hon maaf. Terakhir penulis mengutip peribahasa lama: Bila ada jarum yang patah, jangan disimpan di dalam peti. Bila ada sikap dan perilaku saya selama ini yang salah, mohon jangan disimpan di dalam hati.
Yogyakarta, 21 Juni 2004
Halaman Judul i
Halaman Pengesahan ii
Halaman Persembahan iii
Halaman Motto iv
PRAKATA v
INTISARI xii
I PENDAHULUAN 1
1. Latar Belakang Masalah . . . 1
2. Perumusan Masalah . . . 3
3. Tujuan Penelitian . . . 4
4. Tinjauan Pustaka . . . 5
5. Ruang Lingkup Kajian . . . 6
6. Sistematika Penulisan . . . 7
7. Metode Penelitian . . . 8
II RUANG TAK KOMUTATIF 10 1. Beberapa Contoh Ruang Tidak Komutatif . . . 12
a. Ruang fase klasik(p, x)dalam bahasan mekanika kuantum . . 12
b. Elektron pada medan magnet yang sangat kuat . . . 13
2. Bidang Tak Komutatif . . . 14
3. Ruang Minkowski Tak Komutatif . . . 18
4. Sifat-Sifat Perkalian Bintang . . . 21
III FORMULASI LAGRANGAN YANG DIPERUMUM DAN
KESETANGKU-PAN 24
1. Persamaan Euler-Lagrange Yang Diperumum . . . 24
2. Kesetangkupan dan Kaidah Noether Untuk Teori Lagrangan Suatu
Medan Yang Diperumum . . . 29
3. Homogenitas Ruang-Waktu . . . 33
4. Isotropi Ruang . . . 36
IV MEDAN KLEIN-GORDON PADA RUANG MINKOWSKI TAK
KO-MUTATIF 42
1. Medan Klein-Gordon Riil . . . 43
2. Medan Klein-Gordon Kompleks . . . 50
V MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF 54
VI KESIMPULAN DAN SARAN 65
1. Kesimpulan Yang Diperoleh Dari Perluasan Teori Lagrangan Untuk
Suatu Medan . . . 65
2. Kesimpulan Yang Diperoleh Dari Kajian Mengenai Medan
Klein-Gordon Pada Ruang Minkowski Tak Komutatif . . . 66
3. Kesimpulan Yang Diperoleh Dari Kajian Mengenai Medan Dirac
Pa-da Ruang Minkowski Tak Komutatif . . . 69
4. Saran . . . 70
R Himpunan bilangan riil.
C Himpunan bilangan kompleks.
Rn Produk kartesisnbuah himpunan bilangan riilR.
a∈A aadalah anggota himpunanA.
∀ Untuk setiap.
B ⊂A HimpunanB adalah subhimpunan dari himpunanA.
C∞(Rn,C) Himpunan fungsi-fungsi licin (smooth functions) bernilai kompleks
padaRn.
A→B Pemetaan dari himpunanAke himpunanB.
ζ[D] Bayangan himpunanDoleh pemetaanζ.
ξ|B Pemetaanξterbatas pada himpunanB.
⋆ Perkalian-bintang (star-product).
[f, g]⋆ Sama denganf ⋆ g−g ⋆ f.
e Muatan listrik elementer, dalam satuan SI sebesar1,602×10−19C.
δ(n) Fungsi delta Dirac.
:= Definisi
∞ Tak terhingga.
dnx Sama dengandx1dx2· · ·dxnataudx0dx1· · ·dxn−1.
R∞
−∞ Integral meliputi seluruh domainintegrand.
δ Variasi
ǫµνα Epsilon Kronecker.
δµ
ν Delta Kronecker.
gµν Tensor metrik. Dalam skripsi ini yang dipakai adalah tensor metrik
Minkowski yaknigµν = diag(+1 −1 −1 −1) = g µν.
∇ Operator nabla pada ruang koordinat.
∇~k Operator nabla pada ruang momentum.
∇2 Operator Laplasan (Laplacian).
P
r Penjumlahan meliputi semua nilair.
|·i Vektor ket.
h·| Vektor bra.
h·|·i Hasil kali skalar antara vektor ket dan vektor bra.
Tαν Tensor energi-momentum kontravarian.
Pν Vektor momentum-4 kontravarian.
Jjk =ǫjklJl Komponen momentum sudut total ke arah sumbuxl.
Mjk =ǫjklMl Komponen momentum sudut orbital ke arah sumbuxl.
Sjk =ǫjklSl Komponen momentum sudut intrinsik ke arah sumbuxl.
h Tetapan Planck. Dalam satuan SI besarnya adalah
6,626×10−34J.s.
~ Tetapan Planck tereduksi, sama dengan h
2π.
e Muatan listrik elementer. Dalam satuan SI besarnya adalah
1,602×10−19C.
c Laju rambat cahaya pada ruang hampa, dalam satuan SI besarnya
adalah2,998×108m/s.
kν Komponen suatu vektor 4 kontravarian (kecuali ada keterangan
tambahan).
MEDAN KLEIN-GORDON DAN MEDAN DIRAC PADA
RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF
Oleh :
Timothy Siahaan
99/126784/PA/07593
Telah dilakukan kajian mengenai medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif dengan menggunakan teori Lagrangan untuk medan yang telah diperumum. Perumuman teori Lagrangan untuk medan menghasilkan perumuman definisi Hamiltonan, momentum, dan momentum sudut suatu medan. Definisi-definisi tersebut digunakan dalam kajian mengenai medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif.
1. Latar Belakang Masalah
Gagasan mengenai ketidakkomutatifan ruang dan waktu merupakan gagasan
lama yang telah dipikirkan oleh para fisikawan. Hal ini pertama kali dipublikasikan
oleh Snyder pada tahun 1947. Snyder mengemukakan bahwa invariansi Lorentz tidak mensyaratkan ruang-waktu sebagai suatu kontinuum. Dalam artikelnya
[Sny-der , 1947]Snydermengemukakan gagasannya mengenai ruang-waktu yang diskret. Ruang-waktu yang diskret dapat mengakibatkan ruang-waktu tidak lagi komutatif.
Bahkan Snyder melangkah lebih jauh dengan melakukan telaah mengenai medan elektromagnet pada waktu yang diskret. Namun gagasan mengenai
ruang-waktu yang tidak komutatif seakan tenggelam karena kurang mendapat tanggapan
para fisikawan. Hal ini dikarenakan kemunculan gagasan tersebut berdekatan
wak-tunya dengan "booming" renormalisasi kala itu.
Perkembangan penelitian teoritis di bidang fisika energi tinggi dan karya
be-sar Connes mengenai geometri tak komutatif [Connes , 1994] mengingatkan kem-bali gagasan mengenai ruang-waktu tak komutatif yang telah lama dilupakan orang.
Perkembangan kajian teoritis menyatakan bahwa pada skala Planck1struktur
ruang-waktu berubah menjadi tidak komutatif. Namun karena data eksperimen mengenai
struktur ruang-waktu pada skala yang sangat kecil (dengan kata lain pada energi
yang sangat tinggi) sangat terbatas, maka para fisikawan berusaha menyusun
berba-gai model yang diperkirakan dapat menggambarkan tidak komutatifnya ruang-waktu
tersebut. Model yang dipakai dalam skripsi ini adalah model yang paling sederhana,
1Skala Planck secara numerik diberikan oleh panjang Planck l
P ≈ 10−33cm dan selang waktu
PlancktP ≈10−44s.
yakni model yang berdasarkan kaitan komutasi
[ˆxµ,xˆν] = iθµν, (I.1)
denganθµνsuatu tensor yang bernilai riil dan antismetris terhadap pertukaran indeks. Kaitan komutasi (I.1) berimbas pada terbentuknya suatu aljabar fungsi-fungsi licin
(smooth functions) yang terdefinisikan pada ruang Minkowski (dapat dilihat misalnya pada [Siahaandkk, 2004]).
Berbagai kajian teoritis mengenai teori medan (kuantum) pada ruang-waktu
tak komutatif telah dilakukan dan artikel-artikel mengenai teori medan pada
ruang-waktu tak komutatif telah dipublikasikan, namun belum ada artikel yang secara khusus
membahas medan Klein-Gordon dan medan Dirac2. Dalam berbagai artikel
dise-butkan bahwa pembahasan mengenai medan bebas tidak akan memberikan hal yang
baru (lihat misalnya [Girotti , 2003], [Sochichiu , 2002], [Szabo , 2003]) karena sifat
dari perkalian tak komutatif (disebut sebagai perkalian-bintang ataustar-product(⋆) – akan dibahas pada bab kedua dalam skripsi ini) antara dua fungsi licin yang
ter-integralkan secara kuadratis akan tereduksi menjadi perkalian biasa jika dilakukan
integrasi ke seluruh ruang-waktu
Z ∞
−∞
f ⋆ gd4x=
Z ∞
−∞
f gd4x. (I.2)
Sifat di atas berlaku jika terdapat fungsi licinf˜(k)(dan juga˜g(k)) pada ruang momentum-4 sedemikian sehingga
f(x) =
Z ∞ −∞
˜
f(k)eikµxµd4x. (I.3)
Hal ini akan dibahas pada bab II. Dalam berbagai artikel tersebut dikemukakan
bah-2Sebenarnya artikel yang membahas medan Klein-Gordon dan medan Dirac sudah ada, namun
yang artikel tersebut merupakan karya penulis dan merupakan bentuk ringkas dari skripsi ini [Siahaan
wa sifat (II.1) menyebabkan aksi untuk suatu medan bebas pada ruang-waktu tak
komutatif tidak berbeda dengan aksi medan bebas pada ruang-waktu yang
komu-tatif. Namun demikian suatu aksi merupakan integral suatu rapat Lagrangan meliputi
sembarang daerah integrasi pada ruang-waktu berdimensi 4 (lihat misalnya [Ryder
, 1996]p.82-87, [Mandl dan Shaw , 1984]p.30). Selain itu, sifat (I.2) tidak berlaku
untuk medan Klein-Gordon dan medan Dirac, karena ekspansi Fourier medan-medan
tersebut di ruang momentum-4 dibatasi oleh persyaratan-persyaratan fisis, yakni
keti-daknegatifan energi dan kaitan energi-momentum Einstein, sehingga wakilannya di
ruang momentum-4 bukan fungsi licin yang berakibat medan-medan tersebut tidak
dapat diekspansikan seperti pada persamaan (I.3). Dengan demikian pernyataan
bah-wa pembahasan mengenai medan bebas tidak akan memberikan hal yang baru
kare-na berlakunya persamaan (I.2) tidak dapat diterima. Karekare-na itu pembahasan medan
Klein-Gordon dan medan Dirac, yang merupakan medan-medan bebas, pada
ruang-waktu yang tidak komutatif (lebih tepat disebutkan sebagai ruang Minkowski yang
tidak komutatif) masih harus dilakukan.
2. Perumusan Masalah
Dari uraian di atas jelas bahwa kajian mengenai medan Klein-Gordon dan
medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif masih harus dilakukan. Hal ini
dikarenakan belum terdapatnya teori yang menjelaskan medan-medan tersebut pada
ruang Minkowski tak komutatif. Selain itu medan Klein-Gordon dan medan Dirac
merupakan dua medan yang paling sederhana kajiannya namun berkaitan dengan
zarah-zarah elementer yang terdapat di alam.
Pembahasan mengenai suatu medan biasanya berangkat dari suatu rapat
La-grangan yang menggambarkan medan tersebut. Demikian pula dalam pembahasan
ra-pat Lagrangan medan-medan tersebut. Namun dalam teori medan yang lazim dikaji
rapat Lagrangan hanya gayut pada suatu medan dan turunan pertamanya sedangkan
pada kajian kali ini rapat Lagrangan gayut bukan saja pada suatu medan dan turunan
pertamanya tetapi juga pada turunan-turunan parsial berderajat tinggi sebagai akibat
deformasi (penggantian) perkalian biasa (perkalian per titik ataupointwise multipli-cation) antara medan-medan menjadi perkalian-bintang. Untuk itu perlu diadakan perumuman teori Lagrangan untuk suatu medan (Lagrangian field theory) dengan rapat Lagrangan yang gayut pada suatu medan dan turunan-turunan parsial hingga
sembarang orde. Perumuman tersebut menyebabkan perlunya pendefinisian ulang
be-berapa kuantitas yang berkaitan dengan suatu medan, yakni Hamiltonan, momentum,
serta momentum sudut, yang merupakan perumuman kuantitas-kuantitas tersebut
pa-da teori Lagrangan untuk suatu mepa-dan yang biasa. Selanjutnya teori Lagrangan untuk
suatu medan yang diperumum (Generalized Lagrangian field theory) tersebut digu-nakan dalam menelaah medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski
tak komutatif.
3. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Melakukan perumuman teori Lagrangan untuk suatu medan dan merumuskan
persamaan Euler-Lagrange yang diperumum, Hamiltonan, momentum, serta
momentum sudut suatu medan.
2. Merumuskan bentuk rapat Lagrangan untuk medan Klein-Gordon dan medan
Dirac baik yang bernilai riil maupun kompleks pada ruang Minkowski tak
ko-mutatif.
Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif dengan
menggunakan teori Lagrangan untuk suatu medan yang diperumum.
4. Tinjauan Pustaka
Kajian mengenai teori medan (kuantum) tak komutatif3 meliputi tiga aspek,
yakni ruang yang tidak komutatif, deformasi aljabar yang terdefinisikan pada ruang
tersebut, serta teori medan (kuantum) pada ruang yang tidak komutatif.
Connes (1994) mengemukakan gagasan mengenai geometri yang tidak
ko-mutatif (noncommutative geometry). Torrielli (2002) mengemukakan bahwa gagasan ruang-waktu yang tidak komutatif cocok dengan dugaan bahwa struktur ruang-waktu
berubah pada skala penyatuan teori gravitasi dengan teori kuantum [Torrielli , 2002].
Sochichiu (2002) mengemukakan konsep ruang tak komutatif dan kaitannya
den-gan fisika disertai denden-gan beberapa model dan contoh ruang yang tidak komutatif
[Sochichiu , 2002]. Kajian Calmet (2004) mengenai ruang-waktu yang tidak
ko-mutatif memberikan hasil bahwa batas-batas ketidakkoko-mutatifan ruang-waktu gayut
pada model yang ditinjau [Calmet , 2004].
Konsep ruang tak komutatif memiliki akar pada konsep penguantuman Mo-yal [Moyal , 1949]. Dalam artikel tersebut Moyal memperkenalkan suatu prosedur penguantuman melalui deformasi aljabar pada ruang fase klasik sebagai akibat
keti-dakkomutatifan ruang fase pada bahasan mekanika kuantum. Penguantuman
terse-but kemudian dikenal sebagai penguantuman Moyal. Bayen dkk (1978) memba-has teoripenguantuman deformasi [Bayen dkk , 1978] yang menjadi landasan bagi penguantuman Moyal. Girotti (2003) menurunkan bentuk perkalian-bintang ( star-product) sebagai manifestasi asumsi bahwa ruang-waktu yang ditinjau tidak lagi ko-mutatif. Penurunan bentuk perkalian-bintang tersebut analog dengan penguantuman
3
Moyal. Pembahasan secara kompak mengenai perkalian-bintang dengan parameter
ketidakkomutatifan yang berupa konstanta telah dilakukan oleh Meyer (2003).
Kajian mengenai teori medan (kuantum) pada ruang tak komutatif telah banyak
dilakukan. Torrielli (2002) menunjukkan kaitan antara teori medan (kuantum)
pa-da ruang-waktu tak komutatif dengan teori string (string theory). Kaitan tersebut adalah bahwa teori medan (kuantum) pada ruang-waktu tak komutatif dapat
ditu-runkan sebagai penggambaran efektif teori string pada energi rendah dengan latar belakang yang antisimetris (effective description of string theory in antisymmetric background). Selanjutnya Torrielli membahas teori gangguan medan kuantum tidak komutatif [Torrielli , 2002]. Sochichiu (2002) membahas invariansi tera dan medan
tera pada ruang tak komutatif, pembahasan ini juga disertai pembahasan mengenai
lintasan Wilson dan simpal Wilson pada ruang tak komutatif. Girotti (2003)
mem-bahas berbagai suku interaksi pada Lagrangan medan yang tidak komutatif. Meyer
(2003) membahas model-model medan tera pada ruang tak komutatif. Selain yang
telah disebutkan masih banyak artikel yang membahas teori medan (kuantum) pada
ruang tak komutatif. Namun demikian belum ada yang melakukan kajian mengenai
medan bebas pada ruang Minkowski tak komutatif, sehingga kajian dalam skripsi ini
merupakan hal yang baru.
5. Ruang Lingkup Kajian
Kajian mengenai medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang-waktu
yang tidak komutatif dibatasi hanya untuk medan bebas, yakni medan yang tidak
berinteraksi dengan medan lain. Selain itu medan yang ditelaah adalah medan klasik,
yakni belum diadakan penguantuman terhadap medan Klein-Gordon dan Dirac.
Mo-del ruang-waktu tak komutatif yang digunakan adalah moMo-del yang memenuhi kaitan
Minkows-ki.
6. Sistematika Penulisan
Skripsi ini ditulis dalam enam bab, dengan penjelasan bab demi bab adalah
sebagai berikut:
• Pada bab I mengemukakan latar belakang penelitian yang dilakukan, tujuan
penelitian, tinjauan pustaka, sistematika penulisan, serta penjelasan mengenai
metode pelaksanaan penelitian.
• Bab II berisi penjelasan mengenai konsep ruang tak komutatif serta beberapa
contoh ruang yang tidak komutatif. Pada bab ini dilakukan penurunan bentuk
perkalian tak komutatif (perkalian-bintang) yang merupakan akibat dari
keti-dakkomutatifan suatu ruang yang ditinjau.
• Bab III membahas perumuman teori Lagrangan untuk suatu medan. Pada bab
ini dirumuskan persamaan Euler-Lagrange yang diperumum, serta
kuantitas-kuantitas yang berkaitan dengan suatu medan yakni Hamiltonan, momentum,
serta momentum sudut.
• Pada bab IV dibahas medan Klein-Gordon pada ruang Minkowsi tak komutatif.
Pembahasan tersebut dilakukan dengan menggunakan teori Lagrangan untuk
suatu medan yang telah diperumum pada bab III. Pada bab ini dirumuskan
rapat Lagrangan medan Klein-Gordon pada ruang Minkowski yang tidak
ko-mutatif baik yang bernilai riil maupun kompleks, serta dilakukan juga
peru-musan Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut medan Klein-Gordon.
Pada akhirnya bentuk eksplisit Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut
medan Klein-Gordon pada ruang Minkowski tak komutatif (baik medan yang
• Bab V membahas medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif dengan
menggunakan teori Lagrangan untuk suatu medan yang telah diperumum.
Seper-ti halnya pada bab IV, pada bab ini juga dirumuskan rapat Lagrangan medan
Dirac pada ruang Minkowski yang tidak komutatif serta Hamiltonan,
momen-tum, dan momentum sudut medan Dirac. Hasil-hasil tersebut digunakan untuk
merumuskan bentuk eksplisit kuantitas-kuantitas tersebut.
• Bab VI berisi kesimpulan mengenai hasil penelitian yang telah dilakukan
ser-ta saran-saran untuk penelitian mendaser-tang mengenai topik-topik yang telah
berkaitan dengan topik yang dikemukakan dalam skripsi ini.
7. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian teoritis terhadap
teori Lagrangan untuk suatu medan pada ruang Minkowski tak komutatif. Untuk
melakukan kajian mengenai medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang
Min-kowski tak komutatif, mula-mula diperkenalkan konsep ruang tak komutatif.
Kon-sep yang diperkenalkan bukanlah konKon-sep yang mendetail secara matematis namun
merupakan konsep yang memberikan gambaran kasar mengenai ruang tak komutatif.
Dalam pembahasan mengenai konsep ruang tak komutatif juga dibahas perkalian
tak komutatif yang disebut sebagai perkalian-bintang (star-product) yang digunakan dalam menelaah rapat Lagrangan medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang
Minkowski tak komutatif. Selanjutnya dilakukan perluasan teori Lagrangan untuk
suatu medan. Hal ini dilakukan karena teori Lagrangan yang lazim dibahas tidak
memadai dalam pembahasan yang akan dilakukan selanjutnya. Dalam perluasan
teori Lagrangan untuk suatu medan ini dilakukan pendefinisian ulang Hamiltonan,
momentum, serta momentum sudut suatu medan. Hasil-hasil yang diperoleh dari
medan Klein-Gordon dan medan Dirac, yakni untuk merumuskan rapat Lagrangan,
RUANG TAK KOMUTATIF
Andaikan(C∞(Rn,C),+,·)aljabar asosiatif di atas lapangan kompleks (
com-plex field) yang beranggotakan fungsi-fungsi licin pada ruang Rn. Aljabar asosi-atif (C∞(Rn,C),+,·) merupakan suatu aljabar yang dibangkitkan oleh koordinat-koordinat xµ, µ = 1,2, . . . , n. Andaikan pula On himpunan yang beranggotakan operator-operator linier pada ruang Hilbert H yang diperoleh dari anggota-anggota
C∞(Rn,C)melalui pemetaanPn:C∞(Rn,C)→ Onsebagai berikut:
f(x1, x2, . . . , xn)7→f(ˆˆx1,xˆ2, . . . ,xˆn), ∀f ∈C∞(Rn,C).
(II.1)
PemetaanPn mengimbas terbentuknya aljabar(On,+,·)di atas lapangan kompleks yang dibangkitkan oleh operator-operator xˆµ, µ = 1,2, . . . , n. Kajian mengenai kekomutatifan ruangRnterkait erat dengan kedua aljabar di atas. Ruang Minkowski
tak komutatif yang akan menjadi ruang konfigurasi dalam pembahasan medan
Klein-Gordon dan medan Dirac dalam skripsi ini merupakan kasus khusus untuk n = 4
dengan disertakannya metrik Minkowski padaR4.
Menurut definisi (II.1) setiap anggota On dapat diperoleh dari setiap fungsi
f ∈C∞(Rn,C)dengan penggantian tiap-tiap peubahxµdengan operatorxˆµ. Pemetaan Pn yang menjembatani himpunan C∞(Rn,C) dan On merupakan suatu pemetaan
yang bijektif. Bijektivitas Pn mengakibatkan struktur aljabar padaC∞(Rn,C)dan pada On saling berkaitan, yakni deformasi (pengubahan) struktur aljabar di
him-punanOnakan menyebabkan deformasi struktur aljabar pada himpunanC∞(Rn,C), demikian pula sebaliknya. Karenaxµmembangkitkan suatu sruktur aljabar pada him-punanC∞(Rn,C)danxˆµmembangkitkan suatu struktur aljabar padaOn, maka
tan komutasi antaraxˆµ, yang menentukan bentuk perkalian antara operator-operator anggota himpunan On akan mempengaruhi bentuk perkalian antara fungsi-fungsi
anggota himpunanC∞(Rn,C). Jikaxˆµsaling komut, yakni
[ˆxµ,xˆν] = 0, (II.2)
maka
[xµ, xν] = 0, (II.3)
dan bentuk perkalian baik pada On maupun pada C∞(Rn,C) bersifat komutatif. Salah satu bentuk perkalian yang komutatif antara fungsi-fungsi f, g ∈ C∞(Rn,C) adalah bentuk perkalian biasa antara fungsi-fungsi yang telah dikenal. Suatu
ru-ang Rn yang menjadi ruang basis (base space) bagi aljabar asosiatif dan komutatif
(C∞(Rn,C),+,·)di atas lapangan kompleks disebut sebagairuangRnkomutatif. Jika kaitan komutasi pada persamaan (II.2) didideformasi sedemikian
sehing-ga
[ˆxµ,xˆν] = iθµν (II.4)
dengan θµν merupakan unsur-unsur suatu matriks θ berukuran n × n yang anti-simetris, maka perkalian pada On berubah menjadi perkalian yang tidak komutatif.
Unsur-unsur θµν disebut parameter ketakkomutatifan. Hal ini akan mengimbas terbentuknya suatu perkalian tak komutatif antara fungsi-fungsi licin pada himpunan
C∞(Rn,C)yang diparameterkan oleh θµν. Bentuk perkalian tersebut harus kembali
ke bentuk perkalian komutatif untuk limit θµν → 0. RuangRn yang menjadi ruang basis bagi aljabar asosiatif tak komutatif(C∞(Rn,C),+, ⋆
θ), dengan(⋆θ)merupakan perkalian tak komutatif yang disebut diatas, disebut sebagairuangRntak komutatif.
Menurut persamaan (II.4), ruang Rn tak komutatif sangat bergantung padaθµν,
Seperti yang telah disebutkan pada bab sebelumnya, pembahasan dalam
skrip-si ini dibataskrip-si hanya pada model ruang tak komutatif yang ditentukan oleh parameter
θµν yang merupakan suatu konstanta bernilai riil, antisimetris terhadap pertukaran
indeks, sehingga membentuk suatu matriks konstan berorden ×n. Matriksθ yang dibentuk oleh θµν haruslah merupakan matriks yang swanilainya tidak merosot, se-hingga mensyaratkan dimensinbernilai genap. Hal ini disebabkan karenatrθharus bernilai nol, sedangkan trθ berkaitan dengan jumlah swanilai matriks θ. Untuk n
yang bernilai genap dan swanilainya merosot, selalu dapat dilakukan transformasi
koordinat sedemikian sehingga terdapat pasangan-pasangan koordinat yang saling
komut. Artinya ruang yang tidak komutatif adalah Rn−2m ⊂ Rn,2m < n.
Trans-formasi yang demikian mengakibatkanθ′ =N θN−1dapat tereduksi, yang berartiRn dapat terbagi mendaji R2m yang komutatif dan Rn−2m yang tidak komutatif. Jikan bernilai ganjil,detθ= 0. Hal ini berarti dapat diadakan transformasi koordinat yang menyebabkan transformasiθ→θ′ denganθ′ diagonal. Karena determinan suatu
ma-triks tidak akan berubah karena transformasi pendiagonalan, maka detθ′ = 0, yang
berarti terdapat swanilai matriksθyang lenyap. Dengan kata lain jikanbernilai gan-jil, maka selalu dapat diadakan transformasi koordinat yang akan mengubah matriks
θsedemikian sehingga ruangRntersebut atau subruang dariRnkomutatif.
1. Beberapa Contoh Ruang Tidak Komutatif
a. Ruang fase klasik (p, x) dalam bahasan mekanika kuantum Ruang fase
(p, x)merupakan ruangR2 yang tidak komutatif. Melalui penguantuman kanonik
p→p;ˆ x→x;ˆ (II.5)
maka terbentuk aljabar operator yang dibangkitkan oleh operator-operator pˆdan xˆ
yang tidak lagi komutatif. Kaitan komutasi (II.6) mengimbas terbentuknya aljabar
fungsi-fungsi licin(C∞(R2,C),+, ⋆
M), dengan⋆M adalahperkalianMoyal(
Moyal-product) [Moyal , 1949] yang tidak lagi bersifat komutatif dan mempertahankan struktur (II.6) diC∞(R2,C)yakni
[x, p]⋆M :=x ⋆M p−p ⋆M x= i~. (II.7)
b. Elektron pada medan magnet yang sangat kuat Ditinjau elektron yang be-rada pada suatu bidang(x1, x2)dengan suatu vektor potensialA
i =−12Bǫijxj, i, j=
1,2. Bentuk Lagrangan bagi sistem tersebut adalah
L= 1
2mex˙jx˙
j− e
2Bǫijx
ix˙j, (II.8)
denganmeadalah massa elektron. Lagrangan (II.8) merupakan penggambaran suatu sistem yang terdiri dari sebuah elektron yang berada dalam suatu medan magnet
ser-agam (uniform) yang tegak lurus bidang (x1, x2). Jika tenaga kinetik elektron jauh lebih kecil dibandingkan dengan tenaga yang ditimbulkan akibat interaksi elektron
tersebut dengan medan magnet, maka Lagrangan (II.8) tereduksi menjadi
L≈ −e
2Bǫijx
i
˙
xj. (II.9)
Komponen-komponen momentum konjugat yang diperoleh dari Lagrangan (II.9) adalah
πj =
dL dx˙j =−
e 2Bǫijx
i
sehingga dengan penguantuman kanonis, diperoleh
[ˆπj,xˆl] =−~δlj =−
e 2Bǫij[ˆx
i
,xˆl], (II.11)
atau
[ˆxi,xˆl] = i2~
eBǫ
il. (II.12)
Jika dibandingkan dengan persamaan (II.4), maka
θil = 2~ eBǫ
il
, i, l = 1,2. (II.13)
Hal ini berkaitan dengan aras-aras Landau.
2. Bidang Tak Komutatif
Ditinjau kasus ruang tak-komutatif yang paling sederhana yakni bidang yang
tidak komutatif dan himpunanC∞(R2,C). Selanjutnya hendak dibentuk aljabar tak
komutatif(C∞(R2,C),+, ⋆
2), yakni dengan membentuk perkalian tak komutatif
an-tara fungsi-fungsi anggota himpunan C∞(R2,C) melalui pemetaan P−1
2 : O2 →
C∞(R2,C). Pada kasus bidang tak komutatif, koordinat-koordinatx1, x2merupakan
observabel, sehingga wakilan operator liniernya xˆ1,xˆ2 bersifat Hermitan. Untuk
itu ditinjau himpunan SR2 ⊂ C∞(R2,C) yang beranggotakan fungsi-fungsi licin yang semua turunannya (orde berapapun) meluruh lebih cepat daripada1/|~r|N, N =
1,2, . . ., ketika|~r| → ∞. Setiap fungsiφ ∈ SR2 disebut sebagai fungsi yang meluruh
dengan cepat (rapidly decreasing function)[Dunford dan Schwartz , 1971]1. Untuk setiap φ = φ(~r) = φ(x1, x2) ∈ S
R2, terdapat padanannya di ruang
1S
R2 disertai operasi penjumlahan membentuk suatu ruang vector yang dikenal sebagai ruang
fungsi Schwartzyang terdefinisikan padaR2
. Secara umum ruang fungsi Schwartz dapat didefinisikan pada ruangRD, D = 1,2, . . ., dan selanjutnya dilambangkan denganS
RD, D= 1,2, . . .denganD
momentum-2 [Dunford dan Schwartz , 1971]
˜
φ(~p) = ˜φ(p1, p2) =h−1
Z ∞
−∞
φ(~r)e−~i~p·~rd2x, (II.14)
dan sebaliknyaφ(~r)dapat dinyatakan sebagai transformasi Fourier balik
φ(~r) =h−1
Z ∞
−∞
˜
φ(~p)e~i~p·~rd2p. (II.15)
PemetaanWˆ := P2|SR2 memetakan tiap anggotaSR2 keWˆ[SR2] ⊂ O2, de-ngan perkalian padaO2 digantikan menjadi perkalian tak komutatif menurut kaitan
[ˆxj,xˆk] = iθjk, j, k= 1,2. (II.16)
BayanganφdiWˆ[SR2]adalah
ˆ
W[φ] = ˆφ =h−1
Z ∞
−∞
˜
φ(~p)e~ipjxˆ
j
d2p. (II.17)
Jika didefinisikan operatorTˆ(~p)
ˆ
T(~p) := e~ipjˆx
j
, (II.18)
maka persamaan (II.17) dapat dituliskan sebagai
ˆ φ=h−1
Z ∞
−∞
˜
φ(~p) ˆT(~p)d2p. (II.19)
operatorTˆ(~p), yakni
ˆ
T†(~p) = Tˆ(−~p); (II.20)
ˆ
T(~p) ˆT(p~′) = Tˆ(~p+~p′)e−2~2i pip′jθij; (II.21)
trTˆ(~p) = h2δ(2)(~p). (II.22)
Persamaan (II.21) diperoleh dengan menggunakan rumusBaker-Campbell-Hausdorff, sedangkan persamaan (II.22) dibuktikan pada lampiran A. Jikaφˆdikalikan dari kanan denganTˆ†(p~′)dan dilanjutkan dengan mengambiltraceoperatorφˆT˜†(p~′), diperoleh
tr[ ˆφTˆ†(p~′)] = h
Z ∞
−∞
˜
φ(~p)e2~2i pjp′kθjkδ(2)(~p−p~′)d2p
= hφ(˜ ~p′), (II.23)
atau
˜
φ(~p) =h−1tr[ ˆφTˆ†(~p)], (II.24)
sehingga dengan menggunakan persamaan (II.15), diperoleh
φ(~r) = h−2
Z ∞ −∞
e~i~p·~rtr[ ˆφTˆ†(~p)]d2p. (II.25)
PemetaanWˆ merupakan pemetaan bijektif dariSR2menujuWˆ[SR2]. Andaikan
ˆ
W[SR2] subaljabar dari (O2,+,·) dengan perkalian pada O2 merupakan perkalian
yang tidak komutatif menurut kaitan (II.16)2. Perkalian antara operator-operator
ˆ
φ1,φˆ2, . . . ,φˆn∈Wˆ[SR2]adalah
ˆ
φ1φˆ2· · ·φˆn = h−n
Z ∞
−∞
· · ·
Z ∞
−∞
˜
φ1(~p1) ˜φ2(~p2)· · ·φ˜n(~pn)
2Asumsi ini benar jika(S
R2,+, ⋆2), dengan⋆2perkalian tak komutatif yang hendak diturunkan
= e−2~i2θlm
Jika kedua ruas persamaan (II.26) dikalikan dari kanan dengan Tˆ†(~p) dan diambil
nilaitrace-nya, maka diperoleh
tr[ ˆφ1φˆ2· · ·φˆnTˆ†(~p)] = h2−n
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan (II.27) denganhe~i~p·~rdan dilanjutkan den-gan pengintegralan ke seluruh nilaip1, p2, diperoleh
ˆ
yang merupakan definisi perkalian tak komutatif antara anggota-anggotaSR2, untuk
yang merupakan anggota SR2. Dengan demikian(⋆2) merupakan operasi biner pa-da SR2. Karena menurut persamaan (II.28) perkalian (⋆2) bersifat asosiatif, maka
(SR2,+, ⋆2) merupakan aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks.
Hal ini juga membuktikan kebenaran asumsi bahwa Wˆ[SR2] merupakan subaljabar dari (O2,+,·). Karena Wˆ = P2|SR2 dan P2 bersifat bijektif, maka perkalian (⋆2) merupakan perkalian tak komutatif pada C∞(R2,C) sehingga terbentuklah aljabar
(C∞(R2,C),+, ⋆
2) yang asosiatif dan tidak komutatif di atas lapangan kompleks.
Perkalian(⋆2)disebut sebagaiperkalian-bintang(star-product) yang terdefinisikan
pada bidangR2tak komutatif.
3. Ruang Minkowski Tak Komutatif
Penurunan bentuk perkalian-bintang yang terdefinisikan pada bidang R2
di-lakukan berdasarkan kenyataan bahwa dalam mekanika kuantum koordinat-koordinat
xj merupakan observabel yang berarti memiliki wakilan operator linier yang
Hermi-tan di ruang HilbertH. Penjabaran konsep ruang-waktuR4 tak komutatif yang
diiku-ti dengan pendefinisian perkalian-bintang pada ruang-waktu R4 analog dengan
pen-jabaran konsep bidang tak komutatif. Tetapi hal ini terkendala oleh kenyataan bahwa
dalam bahasan mekanika kuantum waktu bukanlah observabel melainkan suatu
pa-rameter, sehingga tidak terdapat operator linier yang Hermitan bagi waktu3. Dalam
pembahasan teori medan, waktu dan ruang bukan lagi suatu observabel melainkan
su-atu parameter, sehingga dapat dilakukan pembentukan ruang-waktu yang tidak
komu-tatif dengan memperkenalkan operator-operator linier yang Hermitan di ruang Hilbert
3Kedudukan waktu dalam mekanika kuantum masih menjadi perdebatan hingga kini. Beberapa
fisikawan (salah satunya adalahGoswami. Hal ini dapat diacu pada [Goswami , 1997]) menyatakan tidak terdapat operator waktu. Namun andaikan waktu merupakan suatu observabel keberadaan op-erator linier yang hermitan bagiobservabelwaktu tidak dimungkinkan secara matematis [Dwandaru
Hbagiparameterruang-waktuxµyang mematuhi kaitan komutasi
[ˆxµ,xˆν] = iθµν, µ, ν = 0,1,2,3. (II.30)
Kuantitas θµν merupakan komponen suatu tensor kontravarian antisimetris dengan rank 2 yang[L]2 ([L]adalah dimensi observabel/besaran panjang).
Kaitan komutasi pada persamaan (II.30) menyebabkan aljabar (O4,+,·) di
atas lapangan kompleks tidak lagi komutatif, dan melalui pemetaan P4−1
ketidakko-mutatifan aljabar(O4,+,·)mengimbas terbentuknya aljabar(C∞(R4,C),+, ⋆)yang
tidak komutatif di atas lapangan kompleks, dengan perkalian(⋆)adalah perkalian tak komutatif yang hendak dicari bentuk eksplisitnya. Untuk mencari bentuk eksplisit
perkalian (⋆) dilakukan penurunan yang analog dengan penurunan bentuk eksplisit perkalian-bintang pada bidangR2tak komutatif.
Ditinjau SR4 ⊂ C∞(R4,C), di mana setiap ψ = ψ(x) = ψ(~r, t) ∈ SR4 mempunyai padanan di ruang k berdimensi 4 yang diperoleh melalui transformasi Fourier
˜
ψ(k) = (2π)−2
Z ∞
−∞
ψ(x)e−ikµxµd4x, (II.31)
danψ(x)dapat dinyatakan sebagai transformasi Fourier balik dariψ(k)˜
ψ(x) = (2π)−2
Z ∞ −∞
˜
ψ(k)eikµxµd4k. (II.32)
Dengan adanya pemetaan Wˆ4 := P4|SR4, maka bayangan ψ(x) di
ˆ
W4[SR4] ⊂ O4
adalah
ˆ
ψ = ˆW4[ψ] = (2π)−2
Z ∞
−∞
˜
dan bayangan baliknya diSR4 adalah
ˆ
W4−1[ ˆψ] =ψ(x) = (2π)−4
Z ∞
−∞
eikµxµtr[ ˆψTˆ†(k)]d4k, (II.34)
dengan operatorTˆ(k)didefinisikan sebagai
ˆ
T(k) := eikµxˆµ (II.35)
yang memiliki sifat-sifat yang mirip denganTˆ(~p) = ˆT(p1, p2)pada persamaan (II.20),
(II.21), dan (II.22), yakni
ˆ
T†(k) = Tˆ(−k); (II.36)
ˆ
T(k) ˆT(k′) = Tˆ(k+k′)e−2iθµνk
µk′ν; (II.37)
tr[ ˆT(k)] = (2π)4δ(4)(k). (II.38)
Persamaan (II.38) merupakan analogi sifat pada persamaan (II.22) [Sochichiu , 2004].
Perkalian tak komutatif(⋆)padaSR4 didefinisikan sebagai
ˆ W−1
4 [ ˆψ1ψˆ2· · ·ψˆn] := ψ1 ⋆ ψ2⋆· · ·⋆ ψn
= (2π)4
Z ∞
−∞
eikµxµtr[ ˆψ
1ψˆ2· · ·ψˆnTˆ†(k)]d4k
= e
i 2θµν
Pn j<k
∂ ∂xjµ
∂ ∂xkνψ
1(x1)ψ2(x2)· · ·ψn(xn)
x
1=...=xn=x
,
(II.39)
sehingga untukn= 2, diperoleh hasil yang serupa dengan (II.29)
(ψ1⋆ ψ2)(x) = e i 2θ
µν ∂ ∂xµ
∂ ∂yνψ
1(x)ψ2(y)
= (ψ1ψ2)(x) + ∞
X
n=1
i 2
n
1 n!θ
µ1ν1θµ2ν2· · ·θµnνn
× ∂
nψ
1
∂xµ1· · ·∂xµn(x)
∂nψ
2
∂xν1· · ·∂xνn(x). (II.40)
Persamaan (II.40) menyatakan bahwa ψ1 ⋆ ψ2 ∈ SR4, dan dari persamaan (II.39) jelas bahwa (SR4,+, ⋆) merupakan aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks. Dengan memberlakukan perkalian (⋆) pada C∞(R4,C) ⊃ S
R4,
diper-oleh aljabar asosiatif tak komutatif(C∞(R4,C),+, ⋆)dengan(S
R4,+, ⋆)subaljabar dari(C∞(R4,C),+, ⋆). Perkalian(⋆)disebut sebagai perkalian-bintang yang
didefin-isikan pada ruang-waktuR4. Suatu ruang yang menjadi basis bagi aljabar asosiatif
yang tak komutatif itu disertai dengan metrik Minkowski disebutruang Minkowski tak komutatif.
4. Sifat-Sifat Perkalian Bintang
Menurut persamaan (II.40) jelas bahwa untuk setiapf, g∈C∞(R4,C)berlaku
(f ⋆ g)∗(x) = (g∗⋆ f∗)(x). (II.41)
Selanjutnya dengan melakukan pengintegralan persamaan (II.39) diperoleh
Z ∞
−∞
ψ1⋆ ψ2⋆· · ·⋆ ψnd4x=tr[ ˆψ1ψˆ2· · ·ψˆn]. (II.42)
Karena nilaitracedari perkalian operator-operator invarian terhadap permutasi siklis
maka
dengan menerapkan hukum Gauss pada ruang berdimensi 4 dan menggunakan sifat
θµν yang antisimetris terhadap pertukaran indeks.
Untuk fungsi-fungsi licin yang terdefinisikan pada ruang berdimensi 4 dan
terintegralkan secara mutlak, serta padanannya di ruang k yang berdimensi 4 juga merupakan fungsi licin, maka
karena faktor e−2iθµνPn j<kk
j
µkkν hanyalah suatu faktor fase belaka. Jika fˆ
j = P4[fj], maka
tr[ ˆf1fˆ2· · ·fˆn] =
Z ∞
−∞
f1⋆ f2⋆· · ·⋆ fnd4x (II.48)
ada, sehingga persamaan (II.44) juga berlaku untuk fungsi-fungsi licin anggota
him-punan (C∞(R4,C) yang terintegralkan secara mutlak dan padanannya di ruang k
berdimensi 4 juga merupakan fungsi-fungsi licin. Selain itu, untukn= 2
Z ∞ −∞
f1⋆ f2d4x =
Z ∞ −∞
Z ∞ −∞
e−2iθµνkµ1kν2f˜
1(k1) ˜f2(k2)
×(2π)4d4k 1d4k2
=
Z ∞
−∞
˜
f1(k1) ˜f2(−k1)d4k1
=
Z ∞
−∞
f1f2d4x. (II.49)
Jikaϕ ∈C∞(R4,C)terintegralkan secara mutlak tetapi wakilannya di ruang
kberdimensi 4 tidak licin, sifat persamaan (II.48) dan (II.49) tidak berlaku. Hal inilah
yang telah dikemukakan pada bab I.
Bentuk yang akan banyak dipakai dalam pembahasan mengenai medan
Klein-Gordon dan medan Dirac adalah komutator-bintang[·,·]⋆ dan antikomutator-bintang {·,·}⋆. Komutator-bintang dan antikomutator-bintang antaraf, g ∈C∞(R4,C)adalah
[f, g]⋆(x) = 2i sin
1 2θ
µν ∂
∂xµ
∂ ∂yν
f(x)g(y)
x=y, (II.50)
dan
{f, g}⋆(x) = 2 cos
1 2θ
µν ∂
∂xµ
∂ ∂yν
f(x)g(y)
FORMULASI LAGRANGAN YANG DIPERUMUM DAN
KESETANGKUPAN
Pada bab sebelumnya telah diturunkan bentuk perkalian tak komutatif
se-bagai manifestasi dari asumsi bahwa ruang Minkowski yang terlibat tidak lagi
ko-mutatif. Perkalian yang tidak komutatif tersebut akan digunakan dalam telaah teori
medan yang akan dilakukan pada bab-bab selanjutnya, yakni dengan menggantikan
perkalian biasa pada rapat Lagrangan suatu medan tertentu dengan perkalian-bintang
(star-product) yang tidak komutatif. Pada persamaan (II.39) dan (II.40) tampak bah-wa perkalian tak komutatif tersebut akan mengandung turunan suatu fungsi sampai
orde tak terhingga, sehingga rapat Lagrangan suatu medan tidak lagi hanya gayut
pa-da suatu mepa-dan pa-dan turunan orde pertamanya. Untuk itu perlu dilakukan perluasan
terhadap teori Lagrangan suatu medan untuk dapat mewadahi pembahasan mengenai
teori medan pada ruang Minkowski yang tak komutatif. Hal ini pada akhirnya akan
membawa perubahan definisi beberapa kuantitas atau observabel yang dimiliki suatu
medan. Dalam bab ini akan dilakukan perumuman teori Lagrangan suatu medan
ser-ta perumuman definisi beberapa kuantiser-tas aser-tau observabel yang biasa dibahas dalam
teori Lagrangan medan yang biasa.
1. Persamaan Euler-Lagrange Yang Diperumum
Suatu aksiI didefinisikan sebagai berikut:
I =
Z t2 t1
Ldt, t2 > t1, (III.1)
dengan L = L(qi,q˙i, t) adalah Lagrangan yang mengambarkan suatu sistem fisis tertentu. Dalam LagranganLtersebut,qiadalah koordinat umum dantadalah waktu, yang menjadi parameter Lagrangan tersebut. Dalam Mekanika Klasik suatu sistem
yang digambarkan oleh Lagrangan L berevolusi dari saat t1 sampai t2 sedemikian
sehinggaI mencapai nilai ekstrim. Prinsip ini dikenal sebagaiprinsip aksi terkecil
(the principle of least action). Penerapan prinsip ini menghasilkanpersamaan Euler-Lagrange
∂L ∂qi
− d
dt ∂L ∂q˙i
= 0. (III.2)
Dalam teori medan, peranan koordinat umumqi dan turunan pertamanya ter-hadap waktu, q˙i, digantikan oleh medanψ dan ∂x∂ψµ = (1c
∂ψ
∂t,∇ψ), di manaψ gayut padax= (ct, ~r). Dengan demikianxdipandang sebagai parameter pada Lagrangan. Penggantian peran ini dapat digambarkan sebagai berikut:
qi(t) → ψ(x);
˙
qi(t) → ∂x∂ψµ(x);
t → xµ.
Lagrangan suatu sistem merupakan suatu integral dari suatu rapat Lagrangan
Lmeliputi suatu daerahΩpada ruang konfigurasiR3[Goldstein , 1980]
L=
Z
Ω
Ld3x, (III.3)
denganL = L(ψ,∂x∂ψµ, x
µ). Substitusi persamaan (III.3) ke dalam persamaan (III.1)
menghasilkan
I =
Z
R
Ld4x, (III.4)
oleh ∂R. Dengan menerapkan prinsip aksi terkecil, maka diperoleh persamaan Euler-Lagrangeuntuk suatu medanψ diberikan oleh
∂L
∂ψ − ∂ ∂xµ
(
∂L
∂(∂x∂ψµ)
)
= 0. (III.5)
Berbagai persamaan fisika (yang merupakan persamaan-persamaan medan) dapat
di-turunkan dari persamaan (III.5) dengan membentuk suatu rapat LagranganLtertentu.
Rapat Lagrangan yang gayut pada suatu medan dan turunan orde pertamanya
sudah cukup untuk membahas berbagai persamaan medan yang telah dikenal
sela-ma ini. Namun demikian secara umum suatu rapat Lagrangan tidak terbatas hanya
pada yang tergantung terhadap suatu medan dan turunan orde pertamanya. Rapat
LagranganL dapat merupakan suatu fungsi dari medan ψ serta turunan-turunannya hingga orde ke-n,L=L(ψ,∂x∂ψµ1,
∂2ψ
∂xµ1∂xµ2, . . . ,
∂nψ
∂xµ1∂xµ2···∂xµn, x
ν). Dengan demikian
aksiI dapat dituliskan sebagai
I =
Z
R
L(ψ, ∂ψ ∂xµ1,
∂2ψ
∂xµ1∂xµ2, . . . ,
∂nψ
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµn, x
ν
)d4x. (III.6)
Ketika aksiImencapai ekstrim makaI tidak berubah jika diadakan variasi infinites-imal
xµ → x′ν =xν +δxν
(III.7)
ψ(x) → ψ′(x) = ψ(x) +δψ
yang kemudian mengimbas variasi infinitesimal turunan-turunanψ
∂jψ
∂jψ′
0di∂R, maka variasi aksi adalah
δI =
maka ([Ryder , 1996] p.83-84)
J
Dengan demikian persamaan (III.9) menjadi
n
Integral terakhir pada persamaan (III.14) lenyap dengan menggunakan teorema Gauss
pada ruang berdimensi empat, sehingga suku yang tersisa adalah
δI =
yang harus lenyap untuk sembarang δψdanR. Agar hal tersebut tercapai, maka in-tegrandpersamaan (III.15) harus bernilai nol, sehingga diperolehpersamaan Euler-Lagrange yang diperumumyakni
∂L
ν), persamaan (III.16) akan kembali ke
2. Kesetangkupan dan Kaidah Noether Untuk Teori Lagrangan Suatu Medan Yang Diperumum
Pada bagian sebelumnya telah dibahasprinsip aksi terkecilyang diterapkan dalam penurunan persamaan Lagrange yang diperumum. Persamaan
Euler-Lagrange yang diperumum pada akhirnya akan menghasilkan persamaan-persamaan
medan yang menggambarkan dinamika suatu medan. Dengan demikian persamaan
Euler-Lagrange yang diperumum ekivalen dengan persamaan-persamaan medan
terse-but, dengan kata lain persamaan Euler-Lagrange yang diperumum menggambarkan
dinamika suatu medan. Prinsip aksi terkecilselain menghasilkan (III.16) juga dapat memberikan gambaran yang jelas mengenai kesetangkupan danteorema Noether.
Suatu sistem fisis digambarkan oleh rapat LagranganLdan aksiIyang saling terkait oleh persamaan (III.6). Suatu sistem fisis dikatakan setangkup terhadap
su-atu transformasi jika transformasi tersebut tidak menyebabkan perubahan pada
per-samaan yang menggambarkan dinamika medan. Hal ini dapat terpenuhi jika aksi I
invarian terhadap transformasi yang berkaitan.Teorema Noethermengatakan bahwa
kesetangkupan suatu sistem fisis terhadap suatu transformasi berkaitan dengan keberadaan suatu kuantitas yang lestari. Dalam telaah berikut akan ditunjukkan bahwateorema Noethermerupakan konsekuensi dariprinsip aksi terkecil.
Ditinjau persamaan (III.6) denganR sembarang daerah integrasi pada ruang berdimensi empat. Selain itu persyaratan δxν = δψ = δ ∂jψ
∂xµ1∂xµ2···∂xµj = 0 di ∂R tidak lagi diberlakukan. Dengan demikian persamaan (III.14) menjadi
δI =
Z
R
"
∂L
∂ψ +
n
X
j=1
(−1)j ∂
j
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµj
(
∂L
∂(∂xµ1∂x∂µjψ2···∂xµj)
)#
δψd4x
+
n
X
j=1
j
X
k=1
(−1)k−1Z
∂R
∂k−1
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµk−1
(
∂L
∂(∂xµ1∂x∂µjψ2···∂xµj)
× ∂
Karena untuk setiap nilaik integrasi kedua meliputi daerah ∂Ryang sama dan juga karena µk merupakan indeks boneka (dummy indices), maka dapat di-set dσµ1 =
dσµ2 = · · · = dσµk = dσα dengan mengadakan pertukaran indeks µk dengan α,
sehingga persamaan di atas menjadi
δI =
Jika suatu sistem fisis setangkup terhadap transformasi (III.7) dan (III.8), maka
per-samaan (III.16) tetap berlaku sehingga
Z
Medanψ dan turunan-turunannya ∂xµ1∂x∂µjψ2···∂xµj selain mengalami transformasi
ψ → ψ+δψ
juga akan tertransformasi karena transformasi ruang-waktuxν →xν +δxν. Akibat-nya terdapat variasi total untukψ dan ∂xµ1∂x∂µjψ2···∂xµj sebagai berikut
∆ψ = ψ′(x′)−ψ(x) = δψ+ ∂ψ ∂xνδx
∆ ∂
Dengan mensubstitusikan persamaan (III.18) ke dalam persamaan (III.17) dan
meng-gunakan persamaan (III.19), maka persamaan (III.17) menjadi
δI =
Kesetangkupan suatu sistem fisis mensyaratkan bahwa I tidak berubah oleh transformasi (III.7) dan (III.8), yang berarti I tetap memenuhi prinsip aksi terkecil, akibatnya
δI = 0. (III.23)
Dengan menggunakan teorema Gauss serta persamaan (III.23) dan (III.22) diperoleh
Z
Karena R sembarang, maka integrand persamaan (III.24) harus lenyap, sehingga diperoleh persamaan kontinuitas berikut:
∂
Pengintegralan terhadap kedua ruas pada persamaan (III.25) meliputi seluruh ruang
Pada langkah terakhir suku berikutnya lenyap dengan menggunakan teorema Gauss
pada ruang berdimensi tiga dan diasumsikanintegrandsuku tersebut lenyap di|~r| → ∞. Karenax0 =ct, akhirnya diperoleh
d dt
Z ∞
−∞
n X
j=1
j
X
k=1
(−1)k−1 ∂
k−1
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµk−1
(
∂L
∂(∂t∂xµ1···∂xµk∂−j1ψ∂xµk+1···∂xµj)
)
×∆ ∂
j−kψ
∂xµk+1· · ·∂xµj −
1 cT
0
νδx ν
d3x= 0. (III.27)
Persamaan (III.27) menunjukkan terdapatnya suatu besaran yang lestari akibat
ke-setangkupan terhadap transformasi yang digambarkan oleh persamaan (III.7) dan
(III.8). Dengan demikian tampak bahwa teorema Noether merupakan konsekuensi
dari prinsip aksi terkecil.
3. Homogenitas Ruang-Waktu
Jika transformasi (III.7) merupakan suatu translasi,
xν →xν +aν;
δxν =aν, (III.28)
maka medanψmengalami transformasi
ψ →ψ′
dengan
ψ′(x) =ψ(x)−aν ∂ψ ∂xν,
yang berarti
δψ =−aν ∂ψ
Turunan-turunan medanψjuga mengalami transformasi serupa
∂jψ
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµj →
∂jψ
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµj −a
ν ∂
∂xν
∂jψ
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµj,
yang berarti
δ ∂
jψ
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµj =−a
ν ∂
∂xν
∂jψ
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµj. (III.30)
Jika persamaan (III.29) dan (III.30) disubstitusikan ke dalam persamaan (III.19),
diperoleh
∆ψ = 0 = ∆ ∂
jψ
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµj. (III.31)
Karena hukum fisika harus berlaku sama di mana-mana menandakan
bah-wa ruang-bah-waktu bersifat homogen, dengan demikian translasi (III.28) tidak
menye-babkan perubahan rapat Lagrangan L dan aksi I, yang berarti persamaan (III.27) berlaku. Dengan mensubstitusi persamaan (III.28) dan (III.31) ke dalam persamaan
(III.27) diperoleh
d dt
1 c
Z ∞
−∞
T0νd3x= 0, (III.32)
dengan kuantitas yang lestari adalah
Pν =
1 c
Z ∞
−∞
T0νd3x. (III.33)
Kompo-nenν = 0dariPν adalah
dengan didefinisikannya tenaga total atau Hamiltonan medanψ sebagai
H =
Z ∞
−∞
T00d3x. (III.35)
Integrand persamaan (III.35) merupakan rapat Hamiltonan medan ψ. Sedangkan komponenν =idariPν adalah
yang merupakan momentum-3 kovarian medanψ. Kuantitas 1cT0
i didefinisikan
seba-gai rapat momentum medan ψ. Dengan demikian kesetangkupan terhadap translasi ruang-waktu membawa konsekuensi berlakunya hukum kelestarian momentum-4.
Kelestarian momentum dan tenaga medanψdisebabkan karena medanψtidak berinteraksi dengan lingkungan luar, dengan kata lain sistem yang ditinjau adalah
suatu sistem yang tertutup. Setiap rapat Lagrangan yang tidak gayut padaxν secara eksplisit tidak akan berubah terhadap translasi (III.28), sehingga aksi yang berkaitan
dengan rapat Lagrangan tersebut juga tidak berubah terhadap translasi (III.28). Hal
4. Isotropi Ruang
Ditinjau suatu sistem yang mengalami rotasi sehingga suatu titik A dengan vektor posisi ~r berubah posisinya menjadi ~r′. Jika rotasi tersebut infinitesimal dan
dilakukan mengitari suatu sumbu yang sejajar dengan vektor satuan~ndengan sudut rotasi sebesarδφ, maka rotasi infinitesimal tersebut dapat dituliskan sebagai
~
r′ =~r+δφ~n×~r, (III.37)
yang berarti
δ~r=δφ~n×~r. (III.38)
Komponen-komponenδ~radalah
δxk =δφǫijknixj. (III.39)
Karena rotasi merupakan subgrup dari grup Lorentz, persamaan (III.39) dapat
dit-uliskan secara umum sebagai
δxν =δφǫναβnαxβ. (III.40)
Pada persamaan (III.40)δφmerupakan parameter suatu transformasi Lorentz infinites-imal. Untuk suatu rotasi, makaδφmerupakan sudut rotasi infinitesimal. Transformasi (III.37) menyebabkan medanψmengalami transformasi menjadiψ′yang dinyatakan
sebagai
ψ′(x) =ψ(x)−δφǫναβnαxβ
∂ψ ∂xν +
1 2δφǫ
ναβ
nαRνβψ(x).
ψ adalah
yang mengimbas transformasi bagi turunan-turunan medanψ sebesar
δ ∂
Dari persamaan (III.41), (III.42), dan (III.19) diperoleh
∆ψ = 1
Ruang yang isotrop menyebabkanI tidak berubah terhadap transformasi (III.40), se-hingga menghasilkan kuantitas yang lestari, yakni
×ǫναβnα(−
maka bentuk (III.45) dapat dituliskan sebagai dapat dituliskan sebagai
Z ∞
Dengan mensubstitusi (III.48) ke dalam persamaan (III.47) diperoleh
×(−1)k−1
Agar persamaan (III.49) berlaku untuk sembarangnα =gακnκ, maka
d
dtJρβ = 0. (III.51)
SelanjutnyaJρβdapat diuraikan menjadi
yang masing-masing antisimetris terhadap pertukaran indeks ρdan β, sehinggaJρβ juga antisimetris terhadap pertukaran indeks.
Kuantitas Mρβ berkaitan dengan momentum sudut orbital medan ψ, sedan-gkan Sρβ yang gayut pada sifat medan ψ terhadap transformasi Lorentz berkaitan dengan momentum sudut intrinsik medanψ. Dari persamaan (III.53) tampak bahwa
Mρβ masih dapat diuraikan menjadi komponen yang gayut pada koordinat ruang dan
waktu
Mρβ =
Z ∞
−∞
1 c(xρT
0
β−xβT0ρ)d3x, (III.55)
serta komponen yang tidak gayut pada koordinat ruang dan waktu
Kρβ =
Z ∞ −∞
n
X
j=1
j
X
k=1
(−1)k−1 ∂k−1
∂xµ1∂xµ2· · ·∂xµk−1
(
∂L
∂(∂t∂xµ1···∂xµk∂−j1ψ∂xµk+1···∂xµj)
)
× j
X
l=k+1
(gρµlδ
ν
β −gβµlδ
ν ρ)
∂j−kψ
∂xν∂xµk+1· · ·∂xµl−1∂xµl+1· · ·∂xµnd
3x. (III.56)
Dengan demikianJρβ dapat dituliskan sebagai
Jρβ =Kρβ+Mρβ+Sρβ. (III.57)
Bentuk penulisan terakhir akan mempermudah pembahasan dalam bab-bab
selanjut-nya.
Komponen-komponenJρβ berkaitan dengan transformasi Lorentz, yakniJρβ merupakan kuantitas yang lestari terhadap transformasi Lorentz. Komponen ruang
Jjk, j, k= 1,2,3berkaitan dengan transformasi yang berupa suatu rotasi, dan
koor-dinat ruang merupakan akibat perumuman rapat Lagrangan L yang dituliskan pada
persamaan (III.6) dan akan lenyap bila rapat Lagrangan hanya gayut padaψ dan tu-runan orde pertamanya. Dengan demikianJjk yang merupakan kuantitas yang lestari jika terdapat kesetangkupan terhadap suatu rotasi didefinisikan sebagai momentum
sudut total medan, atau dapat dikatakan bahwa kuantitas lestari yang menyertai kesetangkupan terhadap suatu rotasi adalah momentum sudut total.
Kajian mengenai kesetangkupan terhadap suatu transformasi ruang dan waktu
cukup dengan hanya membahas mengenai transformasi yang berupa translasi
ruang-waktu maupun rotasi (atau secara umum transformasi Lorentz), karena berbagai
MEDAN KLEIN-GORDON PADA RUANG MINKOWSKI TAK
KOMUTATIF
Suatu zarah yang bermassa m1, tenaga dan momentum yang dimiliki zarah
tersebut terkait menurut kaitan tenaga-momentum relativistik2
E2 =~p2+m2. (IV.1)
Persamaan (IV.1) merupakan titik tolak bagi Oskar Klein, Walter Gordon, serta Paul
Adrien Maurice Dirac dalam perumusan persamaan-persamaan mekanika kuantum
relativistik. Jika diadakan penguantuman terhadap persamaan (IV.1) dengan
penguan-tuman yang biasa dilakukan dalam pembahasan mekanika kuantum tak relativistik
E → i∂ ∂t;
~p → −i∇,
diperoleh
(∂
2
∂t2 − ∇
2+m2)φ(x) = 0. (IV.2)
Persamaan (IV.2) dikenal sebagai persamaan Klein-Gordon. Penafsiran persamaan
Klein-Gordon sebagai persamaan gelombang bagi zarah tunggal menimbulkan
per-masalahan yang berkaitan dengan rapat kebolehjadian menemukan zarah pada posisi
~rdi saattyang tidak lagi mutlak positif dan keberadaan penyelesaiannya bagi suatu
1Dalam pembahasan ini dan selanjutnya istilahmassamengacu pada pengertianmassa rehat.
Isti-lahmassa relativistikzarah tidak digunakan, sesuai dengan kesepakatan terakhir mengenai observabel
massa.[Muslim , 1997]
2
Untuk mempermudah penulisan, dalam bab ini dan bab-bab selanjutnya digunakan sistem satuan dengan~=c= 1.
zarah bebas dengan swanilai tenaga yang bernilai negatif. Dengan demikian
interpre-tasiφ(x)sebagai fungsi gelombang bagi zarah tunggal tidak dapat lagi dipertahankan. Namun demikian permasalahan-permasalahan tersebut dapat diatasi dengan
meman-dangφ(x)bukan lagi sebagai fungsi gelombang bagi suatu zarah tunggal, melainkan sebagai suatu medan, dalam hal ini sebagai suatu medan skalar. Dalam
pemba-hasan bab ini dan bab berikutnya diasumsikan medan-medan yang terlibat merupakan
fungsi licin pada ruang Minkowski.
1. Medan Klein-Gordon Riil
Jika dibentuk suatu rapat LagranganLuntuk suatu medanφ(x)yang bernilai riil sebagai berikut
L = 1
Dengan mensubstitusi rapat Lagrangan di atas ke dalam persamaan (III.16), diperoleh
Suku-suku yang mengandung parameterθµνakan lenyap karena
sehingga persamaan (IV.4)menjadi
(∂
2
∂t2 − ∇
2+m2)φ(x) = 0
yang tidak lain adalah persamaan Klein-Gordon, dengan demikian rapat Lagrangan
(IV.3) merupakan rapat Lagrangan bagi medan Klein-Gordon riil pada ruang
Minkows-ki tak komutatif. Setelah memperoleh rapat Lagrangan untuk medan Klein-Gordon
yang bernilai riil, maka dapat diperoleh tenaga total, momentum, serta momentum
sudut yang dimiliki oleh medanφ(x).
Tensor energi-momentum medanφ(x)dapat diperoleh dengan mensubstitusi rapat LagranganLpada persamaan (IV.3) ke dalam persamaan (III.21). Substitusi ini
×(θαν1· · ·θµnνn−1 +θν1α· · ·θνn−1µn)
−δα
νL. (IV.6)
Karena berlakunya persamaan Klein-Gordon, maka
(θαν1· · ·θµnνn−1 +θν1α· · ·θνn−1µn)
sehingga jika persamaan (IV.7) disubstitusikan ke dalam persamaan (IV.6) diperoleh
Tαν =
Bentuk kontravarian dari tensor energi momentum pada persamaan di atas adalah
Tαν = 1
yang bersifat simetris terhadap pertukaran indeks. Rapat Hamiltonan serta rapat
mo-mentum medanφ(x)diperoleh dari persamaan (IV.9)
T00 = ∂φ ∂t ⋆
