III PEMBAHASAN. merupakan cash flow pada periode i, dan C. berturut-turut menyatakan nilai rata-rata dari V. dan

penyelesaian masalah opsi real menggunakan pohon keputusan binomial.

Dalam menentukan penilaian proyek, dapat digunakan beberapa metode di antaranya discounted cash flow (DCF). DCF merupakan metode yang digunakan pada penilaian proyek dalam membuat keputusan mengenai investasi pada aset real. Namun, DCF memiliki keterbatasan dalam memperhitungkan nilai dari fleksibitas manajerial yang berkaitan dengan beberapa jenis proyek. Opsi yang diperoleh dengan mempertimbangkan fleksibilitas disebut sebagai opsi real yang lebih condong kepada aset real daripada kepada aset keuangan. Opsi real dapat dihitung dengan cara yang berbeda, yaitu menggunakan simulasi path-dependent, model bentuk tertutup (closed-form model), persamaan diferensial parsial, dan pendekatan binomial dan multinomial. Pada tulisan ini, opsi real akan diselesaikan menggunakan pendekatan binomial, yaitu dengan pohon keputusan binomial.

3.1 Penyelesaian Masalah Opsi Real Menggunakan Pohon Keputusan Binomial

Nau dan McCardle (1991) dan Smith dan Nau (1995) mengusulkan pendekatan dalam penilaian opsi real menggunakan teknik analisis keputusan yang berbeda. Penilaian ini menggunakan pemisahan cash flow proyek yang dibagi menjadi dua komponen, yaitu untuk komponen risiko pasar dan komponen risiko pribadi.

Risiko pasar hanya bergantung pada keadaan pasar dan dapat dibatasi dengan menciptakan suatu replikasi portofolio dari sekuritas yang diperdagangkan dan dinilai menggunakan informasi pasar. Selama risiko pasar dapat dibatasi dengan komoditas dan sekuritas yang diperdagangkan, tidak perlu menduga tingkat diskon risk-adjusted untuk komponen risiko proyek.

Risiko proyek merupakan ketidakpastian dari suatu kejadian yang muncul yang akan berpengaruh positif atau negatif pada siklus hidup proyek. Risiko pribadi merupakan risiko yang terjadi pada perseorangan, misalnya kondisi kesehatan yang buruk. Risiko pribadi tidak dapat dibatasi dengan perdagangan sekuritas dan dinilai menggunakan penilaian dan pilihan yang

ketidakpastian memiliki dugaan risiko pribadi dan risiko pasar.

Untuk membangun suatu pohon yang besar dengan beberapa ketidakpastian dalam tiap periode waktu adalah dengan menggunakan pohon keputusan binomial seperti yang diusulkan oleh Copeland dan Antikarov (2001)/CA (2001). Misalkan

V

_i merupakan nilai ketidakpastian proyek dan

C

_i merupakan cash flow pada periode

i

,

V

_i dan

i

C

berturut-turut menyatakan nilai rata-rata dari

V

_i dan

C

_i. Nilai-nilai yang berhubungan dengan perkiraan diskret pada variabel ini dinotasikan dengan

V

ij dan

C

ij, dengan

j

menyatakan suatu keadaan (state).

Asumsikan nilai proyek akan meningkat mengikuti proses Geometric Brownian Motion (GBM) dan bergerak acak untuk proyek yang melibatkan beberapa ketidakpastian. Suatu proyek akan berlangsung selama

n

periode yang memerlukan investasi awal sebesar

I

dan menghasilkan nilai harapan cash flow sebesar

C

_i,

i

=

1, 2,...,

n

dalam tiap periode. Diasumsikan juga cash flow dibayarkan pada akhir periode.

Permasalahan penentuan nilai proyek dilakukan dalam tiga tahap. Pertama, menghitung nilai sekarang (present value) yang diharapkan dari proyek pada waktu 0. Selanjutnya digunakan simulasi Monte Carlo untuk menggabungkan beberapa sumber ketidakpastian ke dalam suatu ketidakpastian tunggal yang representatif, yaitu volatilitas, yang mendefinisikan proses stokastik untuk nilai proyek. Langkah terakhir adalah membangun pohon binomial untuk memodelkan dinamika dari nilai proyek yang menggunakan parameter dari proses stokastik dan menambah simpul keputusan untuk memodelkan opsi real proyek.

Tahapan-tahapan tersebut akan dijelaskan secara detail pada bagian berikut.

Tahap 1

Tentukan nilai sekarang dari nilai harapan cash flow pada waktu 0, yaitu sebesar

V

₀ dengan menggunakan metode DCF tanpa mempertimbangkan fleksibilitas manajerial apapun. Ini memerlukan perkiraan tingkat

diskon risk-adjusted pada proyek tanpa opsi. Cash flow ini kemudian didiskon pada perkiraan tingkat diskon risk-adjusted

µ

agar mendapatkan present value yang diharapkan dari proyek pada tiap periode.

(1

)

n i t i t i t

C

V

µ

− =

=

+

. (24)

Jika

t

meningkat dan cash flow semuanya bernilai positif, maka present value yang diharapkan pada proyek akan menurun pada tiap periode. Jadi, proyek yang keberlangsungannya terbatas, nilai akhir proyeknya akan menjadi 0.

Tahap 2

Volatilitas proyek diperkirakan menggunakan simulasi Monte Carlo pada hasil proyek. Pada proses ini, ketidakpastian proyek dimasukkan simulasi variabel input pada lembar kerja pro forma cash flow proyek sehingga tiap iterasi dari simulasi lembar kerja memberikan bagian baru dari cash flow mendatang

c

_i,

1,...,

i

=

n

, dari nilai proyek baru pada akhir periode pertama yang dihitung dari persamaan (1). Kemudian sampel dari variabel acak

z

ditentukan menggunakan hubungan 1 0

ln

V

z

V

=

(25) dengan

z

=

E z

( )

merupakan nilai rata-rata dari distribusi hasil proyek di antara waktu 0 dan 1. Perkiraan simpangan baku dari

z

yang diperoleh dari hasil simulasi dinotasikan dengan

s

. Volatilitas proyek

σ

didefinisikan sebagai persentase standar deviasi tahunan dari hasil dan diperkirakan dari hubungan

/

s

∆

t

, dengan

∆

t

adalah panjang periode dalam tahun yang digunakan pada lembar kerja pro forma cash flow. Jika periode waktu di antara

V

₁ dan

V

₀ adalah satu tahun maka

s

σ

=

.

Tahap 3

Dengan volatilitas proyek yang telah ditentukan pada tahap sebelumnya dan nilai awal proyek dari nilai harapan cash flow sebesar

V

₀ yang telah diberikan, suatu pola binomial dapat dibangun untuk model proses stokastik pada nilai proyek. Volatilitas proyek untuk tiap periode waktu dalam pola binomial adalah sebesar

σ

/ t

∆

, dengan

∆

t

adalah periode waktu, seperti yang diusulkan oleh CA (2001).

Pada tulisan ini digunakan pohon binomial dan menyatakan nilai proyek yang berkaitan dengan cash flow proyek. Ini menggunakan tingkat hasil cash flow,

δ

_i

=

C V

_i

/

_i dalam menghitung cash flow yang dikeluarkan pada tiap akhir periode waktu sebagai fungsi dari nilai proyek.

Asumsikan bahwa cash flow berbeda tiap waktu yang mencerminkan ketidakpastian nilai proyek. Cash flow

(

C

i j_,

)

ini akan

menjadi suatu fungsi dari nilai proyek dan proses stokastik yang mengarah pada model binomial. Keuntungan utama dari pendekatan ini adalah menyediakan fleksibilitas yang lebih besar pada model dari opsi real proyek. Untuk memperoleh cash flow, dimulai dengan membangun pohon dari nilai payout cash flow sebelumnya. Nilai-nilai ini dihitung menggunakan persamaan berikut, dengan

u

menyatakan peningkatan dan

d

menyatakan penurunan. 1 1 1

(

)

u i i i i

V

=

V

−

−

V

−

δ

−

u

₍₂₆₎

(

1 1 1

) .

d i i i i

V

=

V

−

−

V

−

δ

−

d

₍₂₇₎ 1 i

V

₋ menyatakan nilai proyek pada state sebelumnya dan

C

_i−1

=

V

_i−1

δ

_i−1 menyatakan cash flow yang dikeluarkan pada akhir periode yang mengurangi nilai proyek pada state berikutnya.

Pada periode awal

(

i

=

0)

, proyek belum dimulai sehingga nilai cash flow tidak ada, jadi

δ

₀

=

0

. Untuk

i

=

1

,

V

₁u

=

uV

₀ dan

1 0

d

V

=

dV

. Pada semua periode berikutnya, tingkat payout cash flow diasumsikan konstan melintasi state pada tiap periode, jadi cash flow pada tiap periode merupakan proporsi tetap dari nilai proyek dalam periode dan state tersebut, yaitu , , i j i i i i j

C

C

V

V

δ

=

=

∀

.j

₍₂₈₎ Oleh karena itu, discounted cash flow pada tiap periode/state diberikan oleh

, ,

.

(1

)

i j i i j i

V

C

r

δ

=

+

₍₂₉₎

Dengan demikian, persamaan (6) memberikan nilai-nilai cabang pada tiap chance node dari pohon binomial. Karena peluang risiko netral digunakan, cash flow ini didiskon pada tingkat

K

t 2 t 3 t 4 t bebas risiko agar mencapai nilai proyek pada

waktu

i

=

0

.

Penggunaan cash flow proyek dalam pendekatan ini memberikan tingkat kedetailan yang lebih besar pada model operasi proyek. Penggunaan cash flow ini daripada nilai proyek, memperhitungkan kemudahan menggunakan pohon keputusan.

3.2 Ilustrasi

Salah satu industri yang pertama kali dalam menerapkan opsi real adalah industri perminyakan di mana dengan tingkat ketidakpastian bisnis yang tinggi serta investasi uang yang tidak sedikit, dan keputusan dalam investasi di perminyakan yang menjadi sangat penting. Dalam menilai cadangan minyak, ada beberapa parameter yang diperhitungkan dalam penghitungan opsi harga, yaitu:

1. Nilai sekarang untuk mengembangkan cadangan yang dapat diambil dari discounted net cash flow proyek.

2. Biaya investasi untuk mengembangkan cadangan tersebut.

3. Tingkat suku bunga bebas risiko (risk-free interest rate).

4. Volatilitas untuk mengembangkan cadangan sampai kurun waktu saat ini. 5. Lamanya waktu dari hak investasi.

Misalkan nilai aset sebesar $1dengan biaya pengembangannya sebesar $1. Waktu untuk hak investasi selama satu tahun dan dalam satu tahun digunakan 4 langkah pola. Misalkan pula kontrak yang digunakan adalah opsi call dengan tingkat suku bunga bebas risiko 22% dan volatilitas dari aset 22 %. Dari ilustrasi di atas, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut:

J 2 2 \] 44] ^ 2

S

_{_} (_{_}

8 V`aSW _VJ aJ b _{2 22cd}

6

_:( _{( ((eC}(

fghf

()*SW>; :>;

()J J_ J b >J ijbi_{( ((eC>J ijbi}

h2kg

2 2 h2kg \f42

Karena dalam satu tahun dibagi menjadi empat langkah pola maka untuk langkah pola pertama, kedua, ketiga, dan keempat dinotasikan dengan S 4S dS dan \S Nilai aset pada waktu _{S 4S dS dan \S} ditunjukkan pada Gambar 2.

1.5528 1.3910 1.2461 1.2461 1.1163 1.1163 1.0000 1.0000 1.0000 0.8025 0.8025 0.8958 0.7188 0.6439 D G B E H F I J L M N O A 0.8958 C

Gambar 2. Nilai Aset

Pada gambar di atas, nilai aset A merupakan nilai aset pada waktu 0 (S0), yaitu

sebesar $1. Nilai aset B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, dan O dapat diperoleh dari B = S0u = 1.1163 C = S0d = 0.8958 D = S0u2 = 1.2461 E = S0ud = S0 = 1 F = S0d2 = 0.8025 G = S0u3 = 1.3910 H = S0u2d = S0u = 1.1163 I = S0ud2 = S0d = 0.8958 J = S0d3 = 0.7188 K = S0u4 = 1.5528 L = S0u3d = S0u2 = 1.2461 M = S0u2d2 = S0 = 1 N = S0ud3 = S0d2 = 0.8025 O = S0d4 = 0.6439

Dari nilai aset yang telah diperoleh pada Gambar 2, maka nilai opsi dapat dikalkulasi. Untuk langkah keempat pada pola, yaitu pada waktu 4 t, nilai opsi dapat diperoleh dari . Sedangkan pada waktu t, 2 t, dan 3 t, nilai opsi diperoleh dari

( , dengan (

dan 1 R + 2 l3m n oSp , x

dan y merupakan nilai aset saat naik dan turun. Nilai opsi ditunjukkan pada Gambar 3.

Nilai opsi yang pertama dikalkulasi adalah nilai opsi pada waktu akhir, yaitu 4 t. Dari nilai opsi pada waktu 4 t yang telah diperoleh, nilai opsi pada waktu 3 t, 2 t dapat pula diperoleh, sehingga pada akhirnya akan menghasilkan nilai opsi pada waktu 0.

Nilai opsi A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, dan O dapat dilihat pada Gambar 3. Misalkan akan dikalkulasi nilai opsi K.

2 hh4f 2 hh4f

Dengan cara yang sama, nilai opsi L, M, N, dan O dapat diperoleh.

Nilai opsi G: q( r 2 dg2 2 s dg2 q 1 + 2 t3m n S 1 h2kg hh4f + \f42 4\c2 3m n \ 4h \ g q q( q \ g .

Dengan cara yang sama pula, dapat diperoleh nilai opsi A, B, C, D, E, F, H, I, dan J.

Berdasarkan Gambar 3, nilai aset pada waktu 0 sebesar $1 memiliki nilai opsi sebesar 0.1016.