BAB III TEORI PERRON-FROBENIUS

(1)

BAB III : TEORI PERRON-FROBENIUS 34

BAB III

TEORI PERRON-FROBENIUS

Pada Bab III ini akan dibahas mengenai Teori Perron-Frobenius, yaitu teori hasil kontribusi dari seorang matematikawan asal German, Oskar Perron dan Ferdinand Georg Frobenius. Perron menerbitkan tulisannya tentang sifat-sifat yang dimiliki oleh matriks positif pada tahun 1907. Kemudian pada tahun 1912, Frobenius memberikan kontribusi yang cukup besar dalam memperluas hasil yang telah diperoleh Perron dalam menyelidiki sifat-sifat dari matriks nonnegatif. Jadi, teori ini pada dasarnya membahas mengenai sifat-sifat dari matriks postif dan matriks nonnegatif berdasarkan sifat spektralnya.

Sebelum kita memasuki pada pembahasan mengenai Teori Peron-Frobenius, berikut ini akan dikenalkan notasi yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Misalkan matriks dengan elemen-elemennya berupa bilangan real, yaitu

untuk setiap mxn

∈

A

ij a ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦

A i=1, 2,....,m; j=1, 2,...,n. Matriks disebut matriks nonnegatif (notasi : ) jika untuk setiap elemen dari matriks bernilai nonnegatif ( ). Secara umum, berarti untuk setiap . Matriks disebut matriks positif (notasi : ) jika untuk setiap elemen dari matriks bernilai postif ( a ). Secara umum, berarti untuk setiap . Selain itu,

A 0 ≥ A A a_ij ≥ 0 0 ≥ A B aij ≥bij A 0 > A A ij > A>B aij >bij

(2)

BAB III : TEORI PERRON-FROBENIUS

notasi ∗ , kita mengenalnya untuk menyatakan nilai determinan dari suatu matriks. Namun, dalam bab ini, notasi ∗ pada suatu matriks, misalkan matriks , yaitu A A

menyatakan matriks dengan elemennya adalah a_ij .

Berikut ini adalah teorema yang mendukung beberapa teorema lainnya dalam bab ini seperti pada Teorema 3.2 dan Teorema 3.6.

Teorema 3.1 Misalkan matriks A∈ n n× dan vektor u v, ∈ n×1, maka pernyataan berikut ini benar.

(a). A>0 dan u≥0, u≠0 ⇒ Au>0.

(b). A≥0, A≠0, dan u> >v 0 ⇒ Au>Av.

Bukti (a). Misal A=⎡ ⎤_{⎣ ⎦}a_ij >0, untuk setiap i j, =1, 2,...,n dan misalkan pula , , maka terdapat

0

u>

0

u≠ k∈

{

1, 2,...,n sehingga

}

u_k = . Tanpa mengurangi keumuman 0 misalkan u₁ =0 maka

[ ]

1 1 2 , untuk setiap 1, 2,..., , karena 0 maka 0 i n ij j j n ij j j u u i a u u a u = = = = = = = >

∑

A A n v

Bukti (b). Vektor u menyatakan bahwa setiap elemen pada vektor lebih besar daripada elemen yang bersesuaian pada vektor . Jika setiap elemen pada matriks nonnegatif ( ) maka u akan mengakibatkan , karena selisih elemen

ke-i adalah . v > u v A 0 ≥ A >v Au>A

(

)

1 0 n ij j j j a u v = − >

∑

(3)

3.1 Matriks Positif

Pada awal bab ini akan diuraikan sifat-sifat yang dimiliki oleh matriks positif, khususnya untuk matriks persegi, yaitu dengan elemen-elemen matriks yang bernilai positif. Tujuannya adalah untuk menyelidiki ke arah mana perluasan dari sifat matriks positif ini yang diturunkan berdasarkan nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari matriks .

0 nxn > A A Perhatikan bahwa, A> ⇒0 ρ( )A >0. (3.1) Karena jika σ( )A ={0} maka bentuk Jordan untuk adalah sendiri yang bersifat nilpoten dan tidak mungkin untuk setiap . Hal ini berarti dalam pembahasan selanjutnya akan dikhususkan untuk matriks positif yang mempunyai spectral radius 1, karena akan selalu bisa dinormalkan oleh

spectral radius. Sebagai contoh,

A A 0 ij a ≥ A 0 ( ) ρ > ⇔ A > A A 0 dan ( ) r ( / )r 1 ρ A = ⇔ρ A = .

Berikut ini adalah beberapa teorema yang merupakan sifat-sifat yang dimiliki oleh matriks positif berdasarkan vektor karakteristik dan nilai karakteristiknya.

Teorema 3.2 Jika A_nxn >0 maka pernyataan di bawah ini benar.

(a). ρ( )A ∈σ( )A .

(b). jika Ax=ρ( )xA maka A x =ρ( )A x dan x > . 0

Dengan kata lain, A mempunyai pasangan karakteristik dengan bentuk

( ( ), )ρ A v dimana v>0.

Bukti. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan ρ( )A =1. Jika ( , x)λ adalah pasangan karakteristik untuk A dimana λ = maka 1

(4)

x = λ x = λx = Ax ≤ A x =A x ⇒ x ≤ A x (3.2)

Misalkan z= A dan x y= −z x , maka persamaan (3.2) akan mengakibatkan . Andaikan , artinya terdapat dan berdasarkan persamaan Teorema 3.1(a) maka dan , serta terdapat

0 y≥ y≠0 y_i >0 0 y> A z>0 ε > sehingga 0 Ay>εz atau 1+ε z>z A . Tulis Bz>z, dimana 1 ε = + A

B . Dengan mengalikan kedua ruas dengan dan berdasarkan persamaan Teorema 3.1(b) maka

B

2 3 2

, ,... k

z> z>z z> z>z ⇒ z>z

B B B B B untuk setiap k=1, 2,....

Tetapi, lim_k_→∞Bk =0 karena

(

1

)

( ) 1 1 1 ρ ρ ε ε ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟= + + ⎝ ⎠ A B < berdasarkan

Teorema 2.25, maka diperoleh 0> (kontradiksi). Akibatnya, z

0= =y A x − x , dimana x adalah vektor karakteristik untuk yang bersesuaian dengan nilai karakteristik 1

A ( ) ρ = A . Karena x ≥0, x ≠ , dan 0 , maka 0 >

A x =A x >0 berdasarkan Teorema 3.1(a).

Pada teorema sebelumnya telah ditunjukkan bahwa ρ( )A >0 adalah nilai karakteristik untuk . Langkah selanjutnya adalah menyelidiki indeks dari nilai karakteristik tersebut yang akan diuraikan pada teorema berikut ini.

0 >

A

Teorema 3.3 Jika A_nxn >0 maka pernyataan di bawah ini benar.

(a). ρ( )A adalah satu-satunya nilai karakteristik pada lingkaran

spektral .

A

(b). Indeks( ( ))ρ A =1. Dengan kata lain, ρ( )A adalah nilai karakteristik

(5)

Bukti.. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan ρ( )A =1. Jika ( , )λ x adalah pasangan karakteristik untuk A dimana λ = maka 0 x1 < = A berdasarkan x Teoerma 3.2(b). Jadi,

(

)

1 0 x x n k _k k j a x = < = A =

∑

_j _j atau

( )

1 x x n k k _k _k kj j j x λ x λ a = = = = A =

∑

x , sehingga 1 1 1 n n n kj j kj j kj j j j j a x a x a x = = = = =

∑

.

Berdasarkan Teorema 2.12, maka untuk suatu α_j > , berlaku 0 a x_kj _j =α_j(a x_k_{1 1})

atau x_j =π_jx₁, dengan _j j k1 0

kj a a α

π = > . Dengan kata lain, jika λ = , maka 1

1

x=x p, dimana p=

(

1 π₂ .... πn

)

T >0, maka

x x p p p p p

λ =A ⇒λ =A = A = λ = λ ⇒ =λ 1

dan λ= ini merupakan satu-satunya nilai karakteristik pada lingkaran 1 spektralnya. Misalkan, indeks(λ= = >1) m 1, maka k

∞ → ∞

A jika k

karena terdapat blok Jordan

→ ∞ m m× , yaitu dengan bentuk Jordan

yang serupa, maka

* J J=P AP−1 * _∞ → ∞ J sehingga k ∞ → ∞ J , akibatnya 1 1 k − k − k ∞ = ∞ ≤ ∞ ∞ J P A P P A P _∞, maka 1 k k ∞ − ∞ ∞ ∞ ≥ J → A P P ∞ ⎤⎦ .

Misalkan Ak = ⎣⎡a_ij( )k dan misalkan pula menyatakan baris ke- dimana i_k i_k

( ) k ij ja ∞ =

∑

A k p

. Kita mengetahui bahwa terdapat vektor sehingga , maka untuk suatu vektor karakteristik,

0 p> p= A

(

)

(

)

( ) ( ) min min k k k ik ij j ij i i i i j j p _∞ p a p a p p ∞ ⎛ ⎞ ≥ = ≥_⎜ _⎟ = → ∞ ⎝ ⎠

∑

A .

(6)

Namun, hal ini tidak mungkin karena adalah vektor konstan, maka pemisalan salah. Jadi haruslah

p

indeks(1)>1 indeks(1)=1.

Teorema 3.4 Jika A_{n n}_× >0 maka ma

(

ρ( )A

)

=1. Dengan kata lain, spectral

radius dari A disebut nilai karakteristik simple dari A. Jadi,

(

)

(

−ρ( )

)

=

(

ρ( )

)

=

(

( )

)

dim N A A I mg A ma ρ A .

Bukti. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan ρ( )A =1 dan misalkan pula

(

)

ma λ= = > . Kita mengetahui bahwa 1 m 1 λ= adalah nilai karakteristik 1

semisimple, yaitu ma 1

( )

=mg 1

( )

, maka terdapat buah vektor karakteristik

yang bebas linier yang berkorespondensi dengan m

1

λ= . Jika dan adalah pasangan vektor karakteristik yang saling bebas linier yang berkorespondensi dengan

x y

1

λ= , maka x≠αy untuk setiap α∈ . Pilih elemen tak nol dari vektor y, misal y_i ≠ dan tulis 0 z= −x ( /x_i y_i)y. Karena zA =z maka

0

z = z >

A . Tetapi, hal ini kontradiksi karena zi = −xi ( /xi y yi) i =0

)

. Jadi, haruslah m=1.

Karena adalah ruang vektor berdimensi satu yang bisa dispan dengan suatu , maka terdapat vektor karakteristik tunggal

(

−ρ( )

N A A I

0

v>

(

( )

)

p∈N A−ρ A I , sehingga p>0 dan

∑

_jp_j =1 (diperoleh dari normalisasi

1

/

p=v v ). Vektor karakteristik ini disebut dengan vektor Perron dari matriks dengan nilai karakterstik yang berkorespondensi

p

A r =ρ( )A disebut

akar Perron untuk A.

Teorema 3.5 Jika A>0 maka terdapat vektor p>0 tunggal sehingga

( )

p=ρ p

(7)

Bukti. Misalkan p₁ dan p₂ merupakan vektor-vektor yang memenuhi

( )

p=ρ p

A A , p>0, dan p₁ = . Karena 1 dim

(

A−ρ

( )

A I

)

=1, maka

1

p =αp₂ untuk suatu α > . 0 p1 ₁ = p2 ₁ = , maka 1

1 1 2 1 1

p =α p ⇒ α = . Jadi, p₁= p₂.

Karena dan , jelas bahwa jika maka

untuk pasangan karakteristik Perron

0 T 0

> ⇔ >

A A ρ( )A =ρ(AT) A>0

( )

r p untuk , terdapat pasangan

karakteristik Perron yang berkorespondensi

A

( )

r q untuk , . Karena

. Vektor disebut vektor Perron kiri untuk . T

A

T

q A=rqT qT >0 A

Teorema 3.6Tidak ada vektor karakteristik nonnegatif lainnya dari

selain vektor Perron dan kelipatan positifnya.

0 n n× >

A

p

Bukti. Jika ( , y)λ adalah pasangan karakteristrik dari , dimana , dan adalah vektor Perron dari matriks , maka (Teorema 3.1(a)), sehingga A y≥0 x>0 T A x yT >0 ( )xT xT ( )xTy xT y x yT ( ) ρ A = A ⇒ ρ A = A =λ ⇒ ρ A =λ.

Berikut ini adalah teorema yang menyatakan cara lain dalam mencari akar Perron. Formula ini ditemukan oleh matematikawan kebangsaan German yang bernama Lothar Collatz. Formula ini selanjutnya digunakan oleh Helmut Wielandt untuk membangun Teori Perron-Frobenius. Oleh karena itu, Teorema 3.7 ini dikenal pula dengan Teorema Collatz-Wielandt.

Teorema 3.7 Akar Perron dari A_{n n}× >0 diberikan oleh

x max (x) N r f ∈ = , dimana

[ ]

0 1 i x (x) min xi i i n f x ≠ ≤ ≤ = A dan N =

{

x/x≥0,x ≠0

}

.

(8)

Bukti. Misal ξ = f(x), maka 0≤ξx≤ Ax untuk setiap . Misalkan pula dan berturut-turut adalah vektor Perron kanan dan vektor Perron kiri dari yang berkorespondensi dengan (akar Perron). Berdasarkan Teorema 3.1(a), kita peroleh , maka

x∈N p qT A r T q x>0 T T T x x q x q x rq x r f(x) ξ ≤A ⇒ ξ ≤ A = ⇒ ξ ≤ ⇒ ≤r ,

untuk setiap x∈N. Karena f p( )=r dan p∈N, akibatnya .

x max (x) N r f ∈ =

Berdasarkan beberapa teorema yang telah diuraikan sebelumnya mengenai sifat-sifat dari matriks positif, berikut ini merupakan rangkuman sifat-sifat tersebut yang dikenal dengan Teorema Perron, yaitu misalkan dengan

, maka pernyataan berikut benar.

0 nxn > A

( )

r=ρ A (a). r>0.

(b). r∈σ

( )

A ( disebut akar Perron dari r A). (c). ma( )r =1.

(d). Terdapat vektor karakteristik x>0 sehingga Ax=rx.

(e). Vektor Perron adalah vektor tunggal yang didefinisikan oleh Ap=rp, dimana p>0 dan p₁ =1. Kecuali untuk vektor kelipatan dari , tidak ada vektor karakteristik nonegatif lainnya dari .

p

A

(f). Akar Perron merupakan satu-satunya nilai karakteristik dalam lingkaran spektralnya.

(g). Akar Peron dari A diberikan oleh

x max (x) N r f ∈ = , dimana

[ ]

0 1 i x (x) min xi i i n f x ≠ ≤ ≤ = A dan N =

{

x/x≥0,x≠0

}

.

(9)

3.2 Matriks Nonnegatif

Pada subbab sebelumnya telah diuraikan mengenai sifat-sifat yang dimiliki oleh matriks positif berdasarkan nilai karakteristik dan vektor karakteristiknya. Dalam subbab ini, kita akan melihat bagaimana jika dalam matriks tersebut terdapat elemen bernilai nol. Dengan kata lain, matriks yang kita hadapi adalah matriks nonnegatif.

Teorema 3.8 Misalkan Jika A_nxn ≥0 dengan r=ρ

( )

A , maka pernyataan

berikut benar.

(a). r∈σ

( )

A , berlaku pula untuk r= . 0

(b). Az=rz untuk suatu z∈ =N

{

x/x≥0, x≠0

}

. (c). dengan x max (x) N r f ∈ =

[ ]

0 1 i x (x) min xi i i n f x ≠ ≤ ≤ = A dan N =

{

x/x≥0,x≠0

}

.

Bukti (a)&(b). Perhatikan barisan matriks positif _k

( )

1 0 k = +

A A E> dimana adalah matriks dengan elemennya adalah satu. Misal dan berturut-turut adalah akar Perron dan vektor Perron dari matriks . Kita mengetahui bahwa adalah himpunan terbatas karena himpunan tersebut termuat dalam unit 1-sphere (Definsi 2.13) di

E r_k p_k k A

{ }

pk k 1 ∞ = n

ℜ . Berdasarkan Teorema Bolzano Weirstrass, kita peroleh bahwa

{ }

p_k _k∞₌₁ mempunyai subbarisan yang konvergen.

Misalkan * dimana (karena dan

lim i k i→∞ p = p * * 0, 0 p ≥ p ≠ 0 i k p > 1 1 i k p = ). Dari Teorema 2.20, kita peroleh bahwa jika maka

. Jadi,

{ }

1 > 2 > 3 >....>

A A A A

1 2 3 ....

r > > >r r >r r_k ∞_k₌₁ adalah barisan monotonik positif dengan batas bawahnya adalah , artinya r *

lim _k

k→∞r =r ada dan . Secara khusus, . * r ≥ r r * lim i k k→∞r =r ≥

(10)

Bukti (c). Misal adalah vektor Perron kiri dari . Untuk setiap dan , maka dan k T q A_k x∈N 0 k > k 0 T q >

(

*

)

0 (x)x x x (x) x x x (x) (x) karena T T T k k k k k k k f f q q f r k r q f r r r ≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≤ → = A A A r

karena f z( )= r dan z∈ , akibatnya N

x max (x) N r f ∈ = .

Hanya sampai sejauh ini Teorema Perron bisa digeneralisasikan pada matriks nonnegatif tanpa perlu adanya tambahan hipotesis. Sebagai contoh,

menunjukkan bahwa Teorema Perron (a), (c), dan (d) tidak berlaku secara umum untuk matriks nonnegatif dan

0 1 0 0 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 0 1 1 0 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

A menunjukkan bahwa pada Teorema Perron (f) juga tidak berlaku.

Berdasarkan hal tersebut, Frobenius melihat bahwa masalah ini bukan hanya terletak pada ada atau tidaknya nilai nol sebagai elemen dalam matriks nonnegatif tetapi posisi dari elemen nol ini. Sebagai contoh, Teorema Perron (c) dan (d) tidak berlaku untuk

1 0 1 1

, tetapi teorema tersebut berlaku untuk

1 1 1 0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_⎢ _⎥ =_⎢ _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 2 A A . (3.3)

Kejeniusan Frobenius adalah melihat perbedaan antara matriks dan dalam istilah dan menghubungkan hal ini dengan sifat spketral pada matriks nonnegatif. Berikut ini merupakan definisi dari tereduksi dan graf yang akan dikaitkan dengan sifat pada matriks nonnegatif tersebut.

1

(11)

Definisi 3.9 Matriks disebut matriks tereduksi jika terdapat matriks

permutasi sehingga nxn A P = T ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ X Y B P AP

0 Z , dimana dan adalah matriks

persegi. Jika matriks tidak tereduksi maka disebut matriks tak tereduksi.

Matriks disebut matriks permutasi simetri dari . Efeknya adalah menukar

baris dan kolom yang bersesuaian.

X Z

A A

B A

Akibat 3.10 G

( )

B =G

( )

A untuk setiap P matriks permutasi.

Bukti. Jika baris (dan kolom) pada matriks adalah vektor unit yang muncul berdasarkan permutasi P 1 2 1 2 n n π π π π ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, maka

(

)

1 1 n i j n T T T ij _ij T ij e a e e e e π i j e b π π π π π ⎡⎛ ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎡ ⎤ =_⎣ _⎦ =⎢⎜ ⎟ ⎥ = = ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ PBP B B _{π π} .

Akibatnya, a_ij ≠0 jika dan hanya jika 0

i j

b_{π π} ≠ maka graf sama dengan graf

( )

G B

( )

G A kecuali titik N_k pada G A adalah titik

( )

k N_π pada untuk setiap .

( )

G B 1, 2,..., k = n

Definisi 3.11 Graf G A dari

( )

A adalah graf berarah untuk buah titik n

{

N N N1, 2, 3,...,Nn

}

dimana terdapat lintasan yang menghubungkan dari titik

ke

i

N N jika dan hanya jika _j a_ij ≠ . 0 terhubung kuat jika untuk setiap

pasangan titik

(

terdapat lintasan yang menghubungkan dari titik ke

. ( ) G A

)

, i k N N N_i k N

(12)

Teorema 3.12 Matriks tak tereduksi jika dan hanya jika terhubung kuat.

A G A( )

Bukti. Akan dibuktikan dengan kontrapositif, yaitu tereduksi jika dan hanya jika tidak terhubung kuat.

A

( ) G A

( )

⇒ Jika tereduksi maka terdapat matriks permutasi sehingga . Misalkan matriks berukuran , maka untuk i m

graf A P T ⎡ ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ X Y P AP 0 Z⎥ X m mx >

(

T

)

G P AP tidak mempunyai lintasan dari titik N_i ke N untuk j_j ≤ . m

Akibatnya graf G

(

P APT

)

=G

( )

A tidak terhubung kuat.

( )

⇐ Jika G A tidak terhubung kuat maka terdapat dua titik di

( )

G A

( )

sehingga tidak terdapat lintasan dari titik yang satu ke titik yang lain. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan kedua titik tersebut adalah dan dimana tidak tidak dapat diakses dari . Misalkan pula terdapat tambahan titik yang tidak dapat diakses dari (kecuali sendiri). Sebut titik tersebut , ,…, , sehingga himpunan titik-titik yang tidak dapat diakses dari

(kecuali sendiri) adalah

1 N N_n 1 N N_n n N N_n 1 N N₂ N_r n

N N_n P=

{

N N2, 3,....,Nr

}

. Sebut sisa dari titik tersebut adalah titik yang dapat diakses dari N_n dalam himpunan

{

r 1, r 1, n 1

}

Q= N ₊ N ₊ N ₋ . Akibatnya tidak ada titik pada yang dapat diakses dari titik pada Q. Jika tidak maka titik pada

P

P dapat diakses dari titik melalui

titik pada Q. Dengan kata lain, jika

n

N

r k

N + ∈ dan Q maka

(tidak mungkin). Artinya, jika

r k i N + →N ∈ P i Nn →Nr k+ →N 1 2 1 2 n n π π π π ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ adalah

permutasi yang dibangun dari maka 0

i j

a_{π π} = untuk setiap

dan

1, 2,...., 1

i= +r r+ n− j=1, 2,....,r. Akibatnya, jika = T dimana P B P AP

(13)

adalah matriks permutasi yang berkorespondensi dengan permutasi π maka

dimana berukuran T ⎡ = _{= ⎢} ⎣ ⎦ X Y B P AP 0 Z ⎤ ⎥ X r r× dan berukuran n r sehingga tereduksi. Z − × −n r A

Sebagai contoh, matriks A₁ pada (3.3) tereduksi karena

1 1 0 1 untuk 0 1 1 0 ⎡ ⎤ ⎡ =_⎢ _⎥ =_⎢ ⎤_⎥ ⎣ ⎦ ⎣ T 1 P A P P ⎦.

Seperti yang terlihat pada Gambar 1 berikut, G

( )

A₁ tidak terhubung kuat karena tidak terdapat lintasan yang menghubungkan dari titik 1 ke titk 2. Namun, matriksA₂ tak tereduksi dan G

( )

terhubung kuat seperti yang terlihat pada Gambar 1.

2

A

1 2 1 2

G(A1) G(A2)

Gambar 1. Contoh Graf dari Matriks Tereduksi dan Matriks Tak Tereduksi

Sampai dengan tahap ini, kita bisa perhatikan bahwa beberapa sifat pada Teorema Perron dapat diperluas untuk matriks nonnegatif. Hal ini berlaku dengan catatan bahwa elemen nol pada matriks berada pada posisi yang tepat untuk memastikan sifat tak tereduksi dari suatu matriks. Untuk membuktikan bahwa hal tersebut berlaku, maka teorema berikut ini akan diperlukan.

Teorema 3.13 Misal matriksA_nxn ≥0 serta N_i dan N adalah titik dalam graf _j . Terdapat lintasan dengan panjang dalam

( )

(14)

jika dan hanya jika ⎡_⎣ k⎤ ≠_⎦ 0

ij

A .

Bukti. Dengan menggunakan induksi, untuk m= , trivial. Selanjutnya, untuk 1

, , untuk setiap 2 m= 2

[ ] [ ]

1 1 = = ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦

∑

n n ik kj ik kj ij k k a a A A A i j, ∈

{

1, 2,...,n

}

,

sehingga jika dan hanya jika paling sedikit satu indeks , yaitu nilai dan tak nol. Hal ini sama saja artinya dengan jika dan hanya jika terdapat lintasan dengan panjang dua dalam

2 0 ⎡ ⎤ ≠ ⎣A ⎦ij k ik a akj

( )

G A dari N_i ke N . _j

Secara umum, misalkan m= benar, akan ditunjukkan untuk q m= +q 1 benar,

[ ]

1 1 1 0 + = = ⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∑

⎣ ⎦

∑

⎣ ⎦ n n q q q kj kj ij ik ik k k a

A A A A ≠ jika dan hanya jika paling sedikit

satu indeks , yaitu nilai k ⎡_⎣ q⎤_⎦ ik

A dan tak nol. Hal ini ekivalen dengan menyatakan bahwa terdapat lintasan dengan panjang dari ke dan terdapat lintasan dengan panjang satu dari ke

kj

a

k N_i N_k

k

N N . Dengan kata lain, j

terdapat lintasan dengan panjang q+1 dari N_i dan N . j

Teorema selanjutnya merupakan teorema yang menunjukkan bagaimana mengubah matriks nonnegatif tak tereduksi menjadi matriks positif.

Teorema 3.14. Jika A_nxn≥0 matriks tak tereduksi maka

(

A+I

)

n−1>0.

Bukti. Karena tak tereduksi maka terhubung kuat, sehingga untuk setiap pasangan titik

A G A( )

(

N N_i, _j

)

terdapat lintasan dengan panjang (dengan ) dari ke

k

k<n N_i N . Berdasarkan Teorema 3.13, kita mempunyai j

( )

0 ij

k a > dan hal ini menjamin bahwa

(15)

(

)

1 1 1 ( ) 0 0 1 1 0 − − − = = ⎡ ⎛ − ⎞ ⎤ ⎛ − ⎞ ⎡ ₊ ⎤ ₌_⎢ _⎜ _⎟ _⎥ ₌ _⎜ _⎟ ⎣ ⎦ _⎣

∑

_⎝ _⎠ _⎦

∑

_⎝ _⎠ ij n n n k k ij _k _k ij n n a k k I A A > .

Pada Teorema 3.15 dan Teorema 3.16 berikut ini merupakan teorema pendukung untuk mencari sifat nilai karakteristik dan vektor karakteristik matriks nonnegatif tak tereduksi pada Teorema 3.17.

Teorema 3.15 Misal A_nxn dan λ λ₁> ₂ >....>λ_n adalah nilai-nilai

karaketristik untuk A, maka λ1+1,λ2+1,....,λn+ adalah nilai karakteristik 1

untuk I A+ dan ρ

(

I+A

)

≤ +1 ρ

( )

A . Jika A≥0 maka ρ

(

I+A

)

= +1 ρ

( )

A .

Bukti. Jika λ σ∈

( )

A dengan multipilsitas aljabarnya adalah , maka k λ

adalah akar dari persamaan karaketeristik p_A

( )

t =det

(

tI−A

)

=0 dengan multiplisitasnya k. Tetapi λ+ adalah akar dari persamaan 1

( )

det

(

)

0

+ = − +

p_{A I} s sI A I

)

= dengan multiplisitasnya karena k

(

)

(

) (

)

det tI−A =det t+1 I− A I+ , maka λ₁+1,λ₂+1,....,λ_n+ adalah nilai 1

karakteristik untuk I A . Akibatnya +

(

)

( )

1 1 max 1 max 1 1 ρ λ λ ρ ≤ ≤ ≤ ≤ + = _i+ ≤ _i + = + i n i n I A A . Selanjutnya, adalah

nilai karakteristik bagi

( )

1+ρ A + I A karena A≥0 sehingga

( )

(

)

(

( )

)

x=ρ x ⇒ + x= ρ + A A A I A 1 x . Jadi, ρ

(

I+A

)

= +1 ρ

( )

A .

Teorema 3.16 Jika A_nxn ≥0 dan Ak >0 untuk suatu k≥1, maka ρ

( )

A

(16)

Bukti. Jika λ λ₁> ₂ >....>λ_n k

adalah nilai-nilai karaketristik untuk A, maka

1 2 ....

k k

n

λ >λ > >λ adalah nilai karakteristik untuk Ak. Selanjutnya, ρ

( )

A

adalah nilai karakteristik untuk A dari Teorema 3.8(a), sehingga jika ρ

( )

A

adalah nilai karakteristik multiple untuk , maka adalah nilai karakteristik multiple untuk . Tetapi, hal ini tidak mungkin karena

A ρ

( )

k =ρ

(

k A A

)

k

A ρ

( )

Ak

adalah nilai karakteristik simple untuk berdasarkan Teorema Perron (c). Jadi, haruslah nilai karakteristik simple untuk .

k A

( )

ρ A A

Teorema 3.17 Misalkan A_nxn ≥0 tak tereduksi, maka

(a). r=ρ

( )

A adalah nilai karakteristik simple untuk A.

(b). Terdapat vektor karakteristik x>0 sehingga Ax= rx.

(c). terdapat vektor p>0 tunggal sehingga Ap=ρ

( )

A p dan p₁= . 1

Bukti (a). Jika ρ

( )

A adalah nilai karakteristik multiple untuk ,

maka (berdasarkan Teorema 3.15) adalah nilai

karakteristik multiple untuk

A

( )

(

)

1+ρ A =ρ I+A

+

I A. Tetapi, I+ ≥A 0 dan

(

)

dari Teorema 3.14, sehingga 1 0 − + n > I A

( )

1+ρ A adalah nilai karakteristik simple untuk I+A berdasarkan Teorema 3.16. Jadi, ρ

( )

A juga merupakan nilai karakteristik

simple untuk A.

Bukti (b). Dari Teorema 3.8, kita peroleh bahwa terdapat sehingga . Selanjutnya,

x≥0 x= r

A x

(

I+A

)

n−1x= +

(

1 ρ

( )

A

)

n−1x dan karena matriks berdasarkan Teorema 3.14, maka

.

(

)

1 0 − + n > I A

( )

(

)

1

(

)

1 x= +1 ρ A −n I+A n− x>0

(17)

Selanjutnya, untuk pembuktian Teorema 3.17 (c) ini dapat dilihat pada pembukitan Teorema 3.5.

Berdasarkan beberapa teorema yang telah diuraikan sebelumnya mengenai sifat-sifat dari matriks nonnegatif, dapat kita peroleh Teorema Perron Frobenius. Pada dasarnya, sifat-sifat dari Teorema Perron-Frobenius ini masih sama dengan beberapa sifat pada Teorema Perron, yaitu jika tak tereduksi maka berlaku sifat (a), (b), (c), (d), (e), dan (g) pada Teorema Perron pada halaman 41.

0 ≥ nxn

A

Satu-satunya sifat pada Teorema Perron yang tidak dapat dipertahankan adalah sifat (f) di halaman 41 yang menyatakan bahwa adalah satu-satunya nilai karakteristik pada lingkaran spektral. Sebagai contoh, nonnegatif tak tereduksi, tetapi memiliki dua buah nilai karakteristik pada lingkaran spektral yaitu . Berdasarkan keberadaan nilai karakteristik pada lingkaran spektral yang terdiri dari satu buah nilai karakterstik atau lebih, kita bisa membagi matriks nonnegatif tak tereduksi menjadi dua bagian.

r 0 1 1 0 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ A _⎥ A 1 ±

Definisi 3.18 Matriks nonnegatif tak tereduksi yang mempunyai satu nilai

karakteristik pada lingkaran spektralnya disebut matriks primitf.

Matriks nonnegatif tak tereduksi yang mempunyai buah nilai

karakteristik pada lingkaran spektralnya disebut matriks imprimitf.

A

( )

ρ = r A A h>1

Jika kita memiliki matriks primitif maka matriks tersebut akan konvergen ke dalam bentuk tertentu yang diberikan pada Teorema 3.19. Sebaliknya, jika kita memiliki matriks imprimitif maka matriks tersebut tidak akan konvergen. Namun, matriks imprimitif memiliki limit Cesaro yang diberikan pada Teorema

(18)

3.23. Karena matriks primitif konvergen maka matriks primitif juga akan memiliki limit Cesaro.

Teorema 3.19 Matriks nonnegatif tak tereduksi dengan primitif

jika dan hanya jika ada, dengan

A r=ρ

( )

A

(

lim / →∞ k k A r

)

lim→∞⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ >0 k _T T k pq r q p A G , dimana

dan q adalah vektor Perron untuk dan

p A A . T adalah proyektor pada

sepanjang

G

(

−

N A rI

)

R

(

A−rI .

)

Bukti. Berdasarkan Teorema Perron-Frobenius kita tahu bahwa 1=ρ

( )

r A

adalah nilai karakteristik simple untuk

r

A . Jelas bahwa primitif jika dan

hanya jika

A

r

A primitif. Dengan kata lain, primitif jika dan hanya jika A

(

1=ρ r

A

)

_{adalah satu-satunya nilai karakteristik pada lingkaran spektral.} Berdasarkan Teorema 2.26, ρ

( )

=1

r

A _{jika dan hanya jika} _ada. Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa adalah proyektor pada

sepanjang

(

lim / →∞ k k A r

)

G

(

− N A rI R

(

A−rI . Karena

)

_{q p}T >0 dan

( )

( )( )

2 0 = = T T _T T T T p q p q _pq q p q p q p

G > , maka adalah proyektor. Hasil peta untuk

setiap z adalah G α = z G p dengan T T q z q p α = , maka

( )

⊆

{ }

=

(

−

)

R G span p N A rI dan dim

(

R

( )

G

)

= =1 dim

(

N

(

A−rI

)

, maka

( )

=

(

−

)

R G N A rI G . Misal, N

( )

G =R

(

I−

)

dan qT

(

A−rI

)

= ⇒0 qT

(

I G−

)

=0. Jadi, R

(

A−rI

)

⊥ ⊆R

(

I G−

)

⊥ =N

( )

G ⊥⇒N

( )

G ⊆R

(

A−rI

)

.

(19)

Selanjutnya perhatikan dimensi dari N G , yaitu

( )

(

)

(

( )

)

(

)

(

)

dim N G = −n dim R G = − = −n 1 n dim N A−rI =dim R A−rI , maka N

( )

G =R

(

A−rI .

)

Teorema 3.20 berikut ini merupakan teorema pendukung dalam pembuktian Teorema 3.21.

Teorema 3.20 Misal A_nxn ≥0 dengan r=ρ

( )

A . Jika untuk maka

≤

rz Az z≥0

=

rz A dan z z>0.

Bukti. Andaikan , maka dengan menggunakan vektor Perron untuk , maka kita peroleh

<

rz Az q>0

T

A

(

A−rI

)

z> ⇒0 qT

(

A−rI

)

z>0 . Kontradiksi, karena qT

(

A−rI

)

=0. Jadi, haruslah rz=A dan karena z harus merupakan z

kelipatan dari vektor Perron untuk A, maka kita peroleh z>0.

Berikut ini merupakan dua teorema penting yang ditemukan oleh Helmut Wielandt pada tahun 1950 yang membuktikan bahwa nilai karakteristik pada lingkaran spektral dari matriks imprimitif adalah akar ke- dari spectral

radius-nya.

h

Teorema 3.21 Jika B ≤A_nxn, dimana adalah matriks tak tereduksi maka . Selanjutnya,

A

( )

ρ B ≤ρ A ρ

( )

B =ρ

( )

A (yaitu, μ ρ=

( )

A eiφ∈ρ

(

B untuk

)

suatu φ ) jika dan hanya jika B=eiφDAD−1, untuk suatu

1 2 θ θ θ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_⎢ _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ n⎦ i i i e e e D .

(20)

Bukti. Berdasarkan Teorema 2.20 sebelumnya, telah ditunjukkan bahwa

.

( )

ρ B ≤ρ A

(

⇒

)

Jika ρ

( )

B = =r ρ

( )

A , dan jika

(

μ, x

)

adalah pasangan karakteristik

untuk B dimana μ = , maka r

x = μ x = μx = x ≤ x ≤ x ⇒ x =

r B B A B r x . Berdasarkan

Teorema 3.20, A x = r x dan x > . Akibatnya 0

(

A−B

)

x =0, tetapi

(

A− B

)

≥0 dan x > , maka 0 B =A_nxn. Karena x_k / x berada pada _k

lingkaran satuan dan / ik

k k

x x =eθ untuk suatu θ_k. Tulis

dan 1 2 θ θ θ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ n⎦ i i i e e e

D x= D . Karena x μ = maka terdapat φr ∈ℜ

sehingga μ=reiφ.

Akibatnya, BDx =Bx=μx=reiφx=reiφD x ⇒e−iφD BD−1 x =rx=A x D

. Misalkan, C=e−iφD B−1 maka C = B =A sehingga 0=

(

C −C

)

x . Perhatikan bagian real dari persamaan tersebut, yaitu 0=

(

C−Re

( )

C

)

x . Tetapi, C ≥Re

( )

C dan x > , maka 0 Re

( )

C = C dan

( )

2

( )

2

( )

Re c_ij = c_ij = Re c_ij +Im c_ij ⇒ Im c_ij =0 ⇒ Im C =0. Akibatnya, C=Re( )C = C = A sehingga _B₌eiφ_DAD−1

.

(

⇐

)

Misal _B₌eiφ_DA−1D maka ,

x ₌_eiφ x _⇒ x₌_eiφ _r x _⇒ _μx₌_reiφx _⇒ _μ _rei

BD DA B D ₌ φ

(21)

Teorema 3.22 Misal tak tereduksi dan memiliki buah nilai karakteristik pada lingkaran spektral, maka pernyataan berikut benar.

0 ≥ nxn

A A h

(a). ma

( )

λ_k =1, untuk k=0,1,...,h−1.

(b).

{

λ λ1, 2,...,λh

}

adalah akar ke- dari h r =ρ

( )

A diberikan oleh

{

2

}

, , ..., h

r rω ωr rω −1 , dimana ω =e2πi h/ .

Bukti. Misal _S=

{

_{r re}_, iθ1_,...,_reiθh−1

}

_{menyatakan himpunan nilai karakteristik}

pada lingkaran spektral . Dengan menggunakan Teorema 3.21, dimana dan

A

=

B A μ=_reiθk _{, maka terdapat matriks diagonal} _sehingga

. Hal ini menunjukkan bahwa serupa dengan . Karena adalah nilai karakteristik simple untuk (Teorema Perron Frobenius), maka k D 1 θ − = = ik k k e A B D AD _{e A}iθk _A r A k i

reθ adalah nilai karakteristik simple untuk . Karena matriks serupa memiliki nilai karakteristik yang sama maka

θk i e A k i reθ juga merupakan nilai karakteristik bagi A.

Misalkan, = iθs −1

s s

e

A D AD untuk suatu D , maka _s

(

₁

)

₁ (_{θ θ} )

₍

₎

1 ϕ θ − − + − = k s = k s s k i i i k s k s k s e e e A D D AD D D D A D D . Akibatnya, i( k s)

re θ θ+ juga merupakan nilai karakteristik pada lingkaran spektral . Dengan kata lain,

A _S =

{

_{r re}_, iθ1_,...,_reiθh−1

}

_{tertutup terhadap operasi perkalian,}

artinya _R=

{

_1,_eiθ1_,...,_eiθh−1

}

_{tertutup terhadap operasi perkalian, sehingga}

adalah group komutatif berhingga dengan orde h . Dalam aljabar, pangkat ke- h setiap elemen dalam group berhingga dengan orde adalah identitas yang merupakan elemen dalam group. Akibatnya,

R h

( )

k 1 h i eθ = untuk setiap

. Jadi adalah himpunan akar semesta ke- ,

0≤ ≤ −1k h S h e2πki h/

(22)

Kita telah mengetahui pada Definisi 3.18 bahwa jika matriks primitif dan jika adalah proyektor yang berkorespondensi dengan , maka

. Hal ini berlaku juga untuk matriks imprimitif. Dengan kata lain, jika adalah proyektor yang berkorespondensi dengan

A G r=ρ

( )

A 0 > G G

( )

ρ = r A untuk sebarang

matriks nonnegatif tak tereduksi, maka G>0.

Teorema 3.23 Misalkan A adalah matriks imprimitif, maka

(

)

(

)

1 lim − →∞ + + + = … k k r r k I A A G ,

dimana G adalah proyektor spektral pada N

(

A−rI sepanjang

)

R

(

A−rI .

)

Bukti. Dengan menggunakan Teorema 2.33 mengenai Cesaro Summable untuk

r A maka

(

)

(

)

1 lim − →∞ + + + = … k k r r k I A A G

dimana G adalah proyektor spektral pada N

(

A r

)

− =I

)

N

(

A−rI sepanjang

)

(

)

(

− =

)

(

−

)

R A r I R A rI . Karena adalah nilai karakteistik simple, maka dengan cara yang sama seperti pada Teorema 3.17, kita peroleh bahwa

r

0 = pq_TT >

q p

G

dengan p dan adalah vektor Perron untuk q A dan T.