Bab 6 Sumber dan Perambatan Galat

Metode Penelitian Suryadi Siregar

Bab 6 Sumber dan Perambatan Galat

________________________________________________________________________

6.1 Sumber galat

1. Data masukan, misal hasil pengukuran (galat bawaan)

2. Selama komputasi (galat proses), galat yang timbul akibat komputasi

3. Galat pemotongan, galat yag timbul ketika suatu proses dipotong sebelum selesai 4. Penyederhanaan model matematika, misalnya linierisasi

5. Galat manusia (personal error) dan mesin, terjadi salah tulis, salah penafsiran. Media penyimpanan terkontaminasi, operator mesin yang tidak rinci, virus

Definisikan

nilai sebenarnya dan galat absolut dalam * nilai hampiran dan galat absolut dalam

x y x e x x e y − − − − Definisi Galat absolut : ex= −x x* Galat relative: * * * dalam prosen * 100% x x x x x x e x x x x x e x x − − = ≅ − = ×

Variable x tidak selalu berbentuk scalar tapi dapat juga berbentuk vector, sehingga operasinya juga haruslah operasi vector.

6.2 Galat menurut operator +,-,x atau /

Tulis * * x y x x e y y e = + = +

Metode Penelitian Suryadi Siregar

(

)

(

)

* * Sehingga; xy x y xy y x xy y x e xy x y xy x e y e e xe ye e e e xy y x = − = − − − = + = +

6.4 Pembagian

(

)

(

)

x y * e * Sehingga; x y y x y x y x y x e x x x y y y y e e e y e _e e x _{x y} y − = − = − − = = −

6.5 Penambahan/pengurangan

z= ±x y

(

) (

) (

) (

{

)

(

)

}

(

) (

)

(

)

* * z x y x y x y e x y x y x y x e y e x y x e y e e e = ± − ± = ± − − ± − = ± − −  − = ± x y z e e e z x y ± = ±

Metode Penelitian Suryadi Siregar

6.6 Ilustrasi Persamaan Kuadrat

Tinjau persamaan kuadrat

2

26 1 0

x − x+ =

Dapat diselesaikan dengan rumus a b c

2 2 2 12 4 26 26 4 1 1 0 akarnya 13 168 2 2 b b ac ax bx c x a − ± − ± − × × + + = → = = = ±

Untuk soal diatas diambil

12, 9614814 sebagai nilai sebenarnya 168

12, 961 sebagai nilai hampiran  =   * 1 1 * 2 2 = 13 168 25, 96148 13 12, 961 25, 961 13 168=0,038519 =13 – 12, 961 0, 039 x x x x + √ = → = + = = − √ → =

Dalam hal ini diambil akar x1

Jadi

1 2

* * * *

X 1 1 X 2 2

e = x –x ≤0, 005 , e = x – x ≤0, 005 Tetapi galat relatifnya

1 2 * * X 5 X 2 1 2 e _{0, 005} e _{0, 005} 1.9 10 , 1.9 10 25, 9615 0, 039 x x − − * ≤ ≅ × * ≤ ≅ ×

Kesimpulan x2* mempunyai galat relative 1000 kali lebih besar dari galat relatif x1

Hitung x2* dengan cara lain

(

) (

₍

_{) (}

)

₎

2 1 13+ 168 _{1 1} x 13 168 13- 168 13+ 168 13+ 168 x √ = − √ = √ = = √ √ Jadi 2 1 1 1 25, 961 x x * * = = Galat relatifnya 2 1 1 * X 1 ex ex 5 e e 0, 005 * * 1.9 10 −

Metode Penelitian Suryadi Siregar

Strategi yang harus diambil agar galat relatif akar persamaan kuadrat tersebut minimum adalah mencari akarnya dengan rumus abc, kemudian periksa tanda aljabar konstanta b

(

2

)

(

2

)

1 2 b b – 4ac -b- b – 4ac x , x 2a 2a − + √ √ = = Kasus b>0

dalam hal ini x1 memiliki galat relatif besar,untuk memperkecil ubah bentuk cara

menghitungnya

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

1 1 2 2

b b – 4ac b b – 4ac - b- b – 4ac ₂

x x 2 2 - b- b – 4ac - b- b – 4ac c a a   − + √ − + √ _ √ _ = → = _{ }= √ √    

Cara ini akan memberikan galat relatif minimum pada x1

Kasus b<0

disini x2 memiliki galat relatif yang besar, untuk memperkecil ubah bentuknya

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2 2 2 2

-b- b – 4ac -b- b – 4ac -b+ b – 4ac ₂

x x 2 2 -b+ b – 4ac -b+ b – 4ac c a a   √ √ _ √ _ = → = _{ }= √ √    

Cara ini memberikan galat relatif minimum pada x2

Contoh lain : perhitungan fungsi f(x) = 1 – cos x

Jika x ≈ 0 maka f(x) ≈ 0 Ubah bentuknya

( )

(

)

( ) (

)

1 cos x sin x 2 f x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x f x  +  = − → = − _{ }= + +  

Atau di uraikan dalam deret Taylor (Mc Laurin)

2 4 6 x x cos x 1 – . . . 2! 4! 6! x = + − +

( )

1 cos

( )

1 1 – 2 4 - 6 . . . 2 4 6 . . . 2! 4! 6! 2! 4! 6! x x x x x x f x = − x→ f x = − + + = − + −  

karena x << 1, dapat dianggap

( )

2

2!

x

f x =

Metode Penelitian Suryadi Siregar

V .

( )

( )

( )

( ) (

)

( ) (

)

( )

( ) (

)

2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . 1! 2! 3! ! k k k f x f x f x f x f x x x x x x f x x x k ∞ = ′ ′′ ′′′ = + + − + − + =

∑

− untuk 2 peubah

jika f (x,y) dapat diuraikan disekitar (x0 , y0) dan diferensiabel (n+1) kali kontinu maka:

(

0 0

)

(

0 0

)

(

0 0

)

1

( )

0 1 , , , , ! k n k f x y f x y f x y R x y k x y x η ∞ x η ₊ =  ∂ ∂  + + = + _ + _ + ∂ ∂  

∑

Rn+1 (x,y) – suku sisa

6.7

Grafik Proses

Suatu cara untuk memvisualisasikan galat dalam satu proses komputasi

Ilustrasi grafik proses operasi

(

)

v= +x y z

Simbol-simbol: titik simpul berbentuk lingkaran. Cabang ditandai dengan panah, setiap cabang diberi label tertentu.

Pembacaan dari bawah ke atas.

Aturannya adalah : galat relatif pada akhir

proses merupakan hasil kali galat relatif

dengan label dari cabang yang

bersangkutan ditambah satu suku berupa galat pembulatan yang muncul setiap suatu operasi selesai dilakukan (rounding error)

6.8 Cara memberi label (Labeling)

Operator tambah “+” z x+y + x y

Metode Penelitian Suryadi Siregar

r1 y x x+y x+y x y x+y _x y 1 e x cabang : galat relatif x kali label= ,

x x+y e _y cabang y:galat relatif y kali label=

x+y Galat akhir :

e x e e

r

x+y x+y x x+y

x y y y                      = + + Operator kurang “ – “ r2 y x x-y x-y x y x-y x y 2 e x cabang : galat relatif x kali label= ,

x x-y e y cabang y:galat relatif y kali label=

x-y Galat akhir :

e x e e

r x-y x-y x x-y

x y y y                      = + + Operator kali “ . “ r3 1 1

( )

( )

x x y y xy x y 3 e e

cabang : galat relatif kali label= 1

x x

e e

cabang y: galat relatif y kali label 1 Galat akhir : e e e r xy x x x y y y   ₌       =_{ } =   = + + x+y x y + x-y x y - xy x y .

Metode Penelitian Suryadi Siregar

V . Operator bagi “/” r4 1 -1

( )

( )

x x y y xy _x y 4 e e

cabang : galat relatif kali label= 1 ,

x x

e e

cabang y: galat relatif y kali label= 1 Galat akhir : e _e e r xy x x x y y y   ₌       − = −     = − + Contoh 1: v= +

(

x y z

)

( )

( )

2 y x 1 y x z 1 2 y x z 1 2 e e (1) (1) dengan e e

Jadi galat akhir : e e e e 1 1 r e e e r

Bila setiap galat dibatasi x y v z x y v e r v x y z e x y r x y x x y y x y x y r v x x y y x y z x y r x x y y x y z + + = + + +     = _{ }+ _{ }+ + _ + _{ } + _       =_{  }+ _{ }+ _ + + + +           = _{ }+ _{ }+ + + + +     ( ) ( ) 1 1 1 oleh maka; 2 e 1 3 2 n n v x y v x y x y b b − + − +      ≤_{  }+ _+ _ + +      

kasus khusus : x dan y bertanda sama

( 1)

1. Untuk contoh diatas ev 2 n

x y x y x y v b − + + = ≤ + + x/y x y / z x+y + x y

Metode Penelitian Suryadi Siregar

( )

( )

x y a-b 3 x y 1 2 e e e Disini 1 1 r dengan e e e r e e e r w y x a b a b w x y a b x x x y x x y y x y a b a b a a b b a b + + − = + − + + − = + + + + + = + + − − −

Dari ketiga persamaan ini diperoleh;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 1 1 1 e e e e e r r r 1

bila setiap galat dibatasi oleh maka 2 e 1 1 1 1 -1 2 2 2 1 3 2 y w x a b n n n n w n x x a b w x x y y x y a a b b a b x x b a w x y x y a b a b x x b a x y x y a b a b b b b b b − + − + − + − + − +     =_ + + _{ }− − + _+ + +  − −    ≤ + + + + + + + − −   <_ + + + + _ + + − −   Catatan : x+ ≤y x+ y

Soal latihan tentukan batas galat untuk : (buatkan dulu grafik prosesnya) (i) d = (a+b)+c dengan 0<a<b<c

(ii) f = (c+b)+a semua galat di batasi oleh 1 ( )1 2 n b− + Jawab :

( )

( )

( )

( ) 1 1 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 n d n f e a b c i d a b c e c b a ii f c b a b b − + − + + +   ≤  _{+ +}    + +   ≤ _{ + +} _ w b a y x - + a-b x+y /

Metode Penelitian Suryadi Siregar

secara numeric; (a+b)+c ≠ a+(b+c) !! menghitung penjumlahan dari bilangan kecil ke bilangan besar lebih teliti dari sebaliknya

Latihan :

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

bandingkan galatnya untuk semua soal berlaku; 0 < a < b < c < d ab 1 x dengan y a b / c ab 2 x dengan y a 3 x dengan y a / / 4 x = dengan y 3 c a b cd c d b c bc ab ab ab ab = =    = _{=   }    = = + + =

6.9 Angka signifikan (“benar”)

Misalkan x menyatakan nilai eksak suatu bilangan real dan

x* menyatakan nilai hampiran suatu bilangan real

Definisi : - angka ke k pada x* disebut signifikan jika

( 1) 1 * 2 n x−x ≤ b− +

Jumlah angka signifikan pada nilai x* adalah semua angka dari x* yang memenuhi syarat tersebut

Contoh : β = 10 x dan x* nilai sebenarnya dan nilai hampiran maka,

(i) x = 0.48723 ...

x* = 0.4872 mempunyai empat angka signifikan (angka benar)

(ii) x = 0.00256