A. Strategi Pemecahan Masalah Menebak dengan Cerdas dan Mengujinya (Intelligent Guessing and Testing)

A. Strategi Pemecahan Masalah Menebak dengan Cerdas dan Mengujinya (Intelligent Guessing and Testing)

Berikut ini disajikan beberapa masalah dan penyelesaiannya menggunakan metode menebak dengan cerdas dan mengujinya. Beberapa masalah dapat pula diselesaikan dengan strategi lain, misalnya aljabar. Akan tetapi akan kita lihat bahwa beberapa masalah jauh lebih mudah jika diiseelesaikan dengan metode menebak dengan cerdas dan mengujinya.

1. Sandi pergi ke peternakan kakeknya. Kakek Sandi beternak ayam dan kambing. Suatu pagi, Sandi berjalan-jalan mengitari kandang ternak dan dia mengetahui bahwa jumlah kepala hewan ternak adalah 26 dan jumlah kaki hewan ternak adalah 68. Ada berapa ekor ayam dan berapa ekor kambing yang dimiliki oleh kakek Sandi?

Penyelesaian:

Untuk mempermudah kita dalam mendaftar tebakan, kita buat tabel sebagai berikut: No Banyak Kambing Banyak Ayam Jumlah kepala ternak Jumlah kaki ternak

Selanjunya dibuat tebakan banyaknya ayam dan kambing sedemikian rupa sehingga jumlah kepala ternak adalah 26 dan julah kaki ternak adalah 68.

Dengan menggunakan “menebak dengan cerdas dan mengujinya”, kita tidak asal dalam menebak. Kita perhatikan kondisi dari permasalahan.

Yang pertama, diandaikan banyak ayam sama dengan banyak kambing, sehingga diperoleh: No Banyak Kambing Banyak Ayam Jumlah kepala ternak Jumlah kaki ternak 1. 13 13 26 (13x4)+(13x2) = 78 Terlalu banyak

Dengan tebakan pertama, ternyata jumlah kaki ternak terlalu banyak. Berdasarkan informasi itu, kita turunkan banyak hewan yang memiliki kaki lebih banyak, yaitu kambing, misalnya banyak kambing= 10 ekor dan ayam=16 ekor.

No Banyak Kambing Banyak Ayam Jumlah kepala ternak Jumlah kaki ternak 1. 13 13 26 (13x4)+(13x2) = 78 Terlalu banyak 2. 10 16 26 (10x4)+(16x2) = 72 Terlalu banyak

Sepertinya sudah semakin mendekati. Kita turunkan lagi banyaknya kambing.

No Banyak Kambing Banyak Ayam Jumlah kepala ternak Jumlah kaki ternak 1. 13 13 26 (13x4)+(13x2) = 78 Terlalu banyak 2. 10 16 26 (10x4)+(16x2) = 72 Terlalu banyak 3. 8 18 26 (8x4)+(18x2) = 68 Tepat.

Ternyata banyaknya kambing adalah 8 ekor dan banyaknya ayam adalah 18 ekor sehingga diperolah jumlah kepala ternak= 26 dan kaki ternak= 68.

Salah satu kunci dalam menyelesaikan permasalahan matematika menggunakan strategi “menebak cerdas dan mengujinya” adalah kita memodifikasi tebakan selanjutnya berdasarkan hasil tebakan sebelumnya.

Pada kasus ini, jika tebakan menghasilkan jawaban yang lebih tinggi dari kondisi yang diharapkan, maka kita turunkan banyak hewan yang memiliki kaki lebih banyak. Dan jika tebakan menghasilkan jawaban yang kurang dari kondisi yang diharapkan, maka kita naikkan banyak hewan yang memiliki kaki lebih banyak.

2. Sepotong kawat berukuran 52 cm dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dibentuk menjadi sebuah persegi. Total luas dari kedua persegi tersebut adalah 97 cm2. Berapa selisih sisi persegi besar dengan persegi kecil?

Penyelesaian: a. Aljabar

Sebagian besar siswa, teritama yang telah akrab dengan aljabar akan menyelesaikan permasalahan ini secara aljabar, sebagai berikut:

Misal:

x : sisi persegi besar

Sehingga diperoleh bentuk aljabar:

𝑥2+ 𝑦2 = 97 ………. persamaan 1

4𝑥 + 4𝑦 = 52 ………. persamaan 2 Dari persamaan 2, diperoleh

𝑦 = 13 − 𝑥 ………. persamaan 3

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam pers. 1, diperoleh

𝑥2_{+ (13 − 𝑥)}2 _{= 97} 𝑥2_{+ 169 − 26𝑥 + 𝑥}2 _{= 97} 𝑥2_{+ 13𝑥 + 36 = 0} (𝑥 − 9)(𝑥 − 4) = 0 𝑥 = 9 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 4 𝑦 = 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = 9

Menggunakan cara aljabar diperoleh bahwa panjang sisi persegi yang besar = 9 cm dan panjang sisi persegi yang kecil = 4 cm dengan selisih 5 cm.

Bagaimana jika diselesaikan dengan strategi “menebak dengan cerdas dan mengujinya”? Berikut langkah penyelesaiannya.

b. Dengan strategi “menebak dengan cerdas dan mengujinya” Untuk mempermudah mendaftar tebakan, kita gunakan tabel.

No Luas persegi kecil Luas persegi besar Total luas kedua persegi 1.

Kita awali tebakan dengan meminimalkan luas persegi kecil, yaitu jika luas persegi kecil adalah 1 cm2. No Luas persegi kecil Luas persegi besar Total luas kedua persegi 1. 1 96 (bukan kuadrat sempurna) 97 2. 4 93 (bukan kuadrat sempurna) 97 3. 9 88 (bukan kuadrat sempurna) 97 4. 16 81 (kuadrat sempurna) 97

Diperoleh luas persegi kecil = 16 cm2 dan luas persegi besar = 81 cm2, sehingga sisi kedua persegi, secara berurutan, 9 cm dan 4 cm, selisih 5.

3. Selesaikan system persamaan berikut untuk w, x, y dan z bilangan bulat!

𝑤 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10 𝑤2+ 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 30 𝑤3+ 𝑥3+ 𝑦3+ 𝑧3 = 100 𝑤𝑥𝑦𝑧 = 24

Penyelesaian:

Siswa yang familiar dengan bentuk aljabar, akan memulai menyelesaikan dengan mennyubstitusikan persamaan ke dalam persamaan yan lain. Hal ini membutuhkan penguasaan aljabar yang baik, ketelitian dan memakan waktu.

Bagaimana jika diselesaikan menggunakan strategi “menebak dengan cerdas dan mengujinya”?

Berikut ini langkah penyelesaiannya.

Kita mulai dari 𝑤𝑥𝑦𝑧 = 24.

Hasil kali 𝑤𝑥𝑦𝑧 adalah 24. Dengan demikian, perhatikan faktor dari 24. Pilih dari factor dari 24 (boleh berulang). Berikut tebakannya:

 1,1,4 dan 6, hasil kali 24 tetapi jumlahnya 12.

 1,2,2,6; hasil kali 24, jumlah 11

 1,2,3,4; hasil kali 24, jumlah 10 (benar).

Selanjutnya kita cobakan 1,2,3,4 ke dalam dua persamaan yang lain.

12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ 4}2 _{= 30 (benar)}

13+ 23+ 33+ 43 = 100 (benar) Jadi solusinya adalah 1,2,3,4.

4. Jumlah dari lima suku berurutan pada barisan aritmatika adalah 30 dan jumlah dari kuadrat masing-masing suku tersebut adalah 220. Temukan suku terbesar!

Penyelesaian: a. Aljabar

Pada umumnya, siswa yang telah familiar dengan aljabar akan menyelesaikannya sebagai berikut:

Misal suku pertama adalah x dan selisih antar suku adalah d, maka

𝑥 + 𝑥 + 𝑑 + 𝑥 + 2𝑑 + 𝑥 + 3𝑑 + 𝑥 + 4𝑑 = 10; dan

𝑥2_{+ (𝑥 + 𝑑)}2_{+ (𝑥 + 2𝑑)}2_{+ (𝑥 + 3𝑑)}2_{+ (𝑥 + 4𝑑)}2_{= 220}

Selanjutnya kita menyelesaikan persamaan linier satu variable. Dengan cara substitusi, akan kita peroleh nilai untuk siku pertama dan akan mengarahkan kita pada nilai suku terbesar. Akan tetapi hali iini membutuhkan kemampuan yang bagus di bidang aljabar, ketelitian dan memakan waktu. Akan tetapi, anda bisa mencobanya.

b. Menebak dengan cerdas dan mengujinya

Untuk menebak, perhatikan terlebih dahulu jumlah kelima suku yang berurutan tersebut, yaitu 30.

Kita anggap, andaikan masing-masing suku nilainya sama, maka masing-masing suku adalah 𝟑𝟎

𝟓 = 𝟔. Suku yang bernilai 6 adalah suku tengah. Karena, jika 6 merupakan nilai

untuk suku pertama, kedua, keempat atau kelima, maka jumalah kelima suku tersebut akan kurang atau lebih dari 30.

Misal kelima suku tersebut adalah:

 Suku-suku dengan selisih 1, yaitu 4,5,6,7,8; maka

4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30; dan

42 + 52 + 62 + 72 + 82 ≠ 220 (tidak memenuhi)

 Suku-suku dengan selisih 2, yaitu 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 220 (benar) Jadi, suku terbesarnya yaitu 10.

5. Suatu tes terdiri dari 80 pertanyaan. Untuk setiap jawaban benar bernilai 4 dan unutk setap jawaban salah benilai (-2). Teguh menjawab semua pertanyaan dan memperoleh skor total 152. Berapa pertanyaan yang Teguh jawab dengan benar?

Penyelesaian:

Untuk tebakan pertama, diasumsikan bahwa banyaknya soal yang Teguh jawab dengan benar sama dengan banyaknya soal yang ia jawab dengan salah,sehingga:

No Soal yang dijawab dengan benar Soal yang dijawab dengan salah Total skor 1. 40 40 (40x4)+(40x(-2)) = 72 (terlalu sedikit)

Karena total skor yang diperoleh kurang dari 152, maka kita harus membuat tebakan dengan meningkatkan banyaknya soal yang dijawab dengan benar (skor 4) dan mengurangi banyak soal yang dijawab dengan salah (skor (-2)). Dengan kata lain: − −𝟐 + 𝟒

Dapat kita tuliskan sebagai berikut:

− −𝟐 + 𝟒 = 𝟔 ……….. (i)

Dari hasil tebakan pertama, skor total 72, dan dengan memperhatikan (i), kita peroleh

𝟕𝟐

𝟔 = 𝟏𝟐 ….. (ii)

Berdasarkan hasil yang diperoleh pada (ii), kita menambah banyak soal yang dijawab dengan benar dan mengurangi banyak soal yang dijawab dengan salah sebanyak 12.

No Soal yang dijawab dengan benar Soal yang dijawab dengan salah Total skor 1. 40 40 (40x4)+(40x(-2)) = 72 (terlalu sedikit) 2. 40+12=52 40-12=28 (52x4)+(28x(-2)) = 152 (benar)

Daftar Rujukan: Anonymous. Guess and Check.

www.teachervision.fen.com\math\problemsolving\48896.html?guess and check, (online) (diakses pada 15 Desember 2012).

Anonymous. Problem Solving Strategies. www.nzmaths.co.nz_problem-solving strategies_parent_node=, (online) (diakses pada 15 Desember 2012).

Posamentier, Alfred S dan Stephen Krulik. 1998. Problem Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions a Resource for the Mathematics Teacher. California:Corwin Press, Inc.

Smart Guess and Check. www.myviplearning.com. (online) (diakses pada 15 Desember 2012).