ANALISIS GETARAN NON LINIEAR PADA STRUKTUR DENGAN PERPINDAHAN BESAR (131S)

ANALISIS GETARAN NON LINIEAR PADA STRUKTUR DENGAN PERPINDAHAN

BESAR

(131S)

Anwar Dolu

Jurusan Teknik Sipil, Universitas Tadulako, Palu Sulawesi Tengah Email: anwardolu@yahoo.com

ABSTRAK

Model struktur dengan perpindahan besar (large deformations) berkaitan dengan hubungan momen– kelengkungan non linier (moment-curvature nonlinearity), yang konsekwensinya interaksi serta tanggap (response) non linier sangat signifikan. Model non linier tersebut dalam bentuk persamaan diferensial parsial getaran non linier derajat empat (4), dengan menggunakan Metode Galerkin hingga diperoleh persamaan getaran non linier derajat dua (2) yang berbentuk kekakuan nonlinier pangkat 3 yang merupakan model Persamaan Duffing. Penyelesaian persamaan diferensial Duffing digunakan metode gangguan (perturbation method) dan metode Runge – Kutta. Amplitudo yang ditinjau yaitu model pegas yang dikeraskan (hard spring) dan pegas yang dilunakkan (soft spring), dimana semakin kecil gaya eksitasi (F) dan semakin besar nilai redaman () maka lebar daerah lompatan atau daerah tidak stabil semakin berkurang. Penyelesaian model getaran tersebut tergantung dari parameter sistem dan model eksitasi, pada kasus non linier dengan eksitasi harmonis maka akan menghasilkan tanggap harmonis (harmonic response) maupun tanggap chaos (chaotic response). Untuk fenomena tanggap chaos (chaotic response), dengan tinjauan sejarah waktu (time history) yang sangat sensitif terhadap syarat awal dimana perubahan yang kecil terhadap syarat awalnya maka akan terjadi perubahan besar pada sistem dengan bertambahnya waktu, untuk bidang fase (phase plane) menunjukan lintasan yang tidak beraturan dan non stasioner, hal ini terlihat juga dengan pada pemetaan Poincare (Poincare map) yang menunjukan pola tarikan yang asing/aneh (strange attractor).

Kata kunci: Getaran Non Linier, Momen-Kelengkungan Non Linier, Persamaan Duffing, Metode Galerkin, Metode Perturbasi, Metode Runge – Kutta, Tanggap Non Linier.

1. PENDAHULUAN

Berdasarkan Nayfeh dan Pai (2004), sumber-sumber dari nonlinieritas dapat berupa (a). Material atau konstitutif, (b). Geometri, (c). Inersia, (d). Gaya-gaya badan (body forces) dan (e). Gesekan (friction). Model non linier konstitutif terjadi ketika tegangan merupakan fungsi non linier dari regangan. Model non linier geometri berhubungan dengan deformasi besar (large deformations) pada kontinum solid, balok, pelat, frame, dan cangkang yang menghasilkan hubungan perpindahan-regangan non linier (nonlinear strain-displacement relations) yang terdiri dari peregangan bidang tengah (mid-plane stretching) , kelengkungan besar (large curvatures), dan rotasi besar (large rotations) dari elemen. Gaya-gaya badan non linier yang berhubungan gaya-gaya magnetik dan elektrik. Sedangkan gesekan non linier yang diakibatkan oleh gaya gesekan yang merupakan fungsi non linier perpindahan dan kecepatan.

Sesuai Worden dan Tomlinson (2001), Nayfeh dan Pai (2004), kasus yang sering dijumpai dalam analisis dari persamaan non linier untuk kekakuan non linier berbentuk :

 

 

S

mx

cx
f x f t _(1a)

Atau dalam kasus sistem mekanik dengan redaman linier dan kekakuan non linier berderajat tiga (3) yang berhubungan dengan non linier geometri disebut Persamaan Duffing sebagai berikut :

 

3 S 1 3 f x k x"k x (1b)

 

3 1 3 mx

cx
k x"k x f t _(1c) Jika k3> 0, bahwa eksitasi gaya pemulih (restoring force) akan lebih besar dari yang model yang linier. Model ini dikenal sebagai ’hardening stiffness’. Kasus sistem ini terjadi pada balok dan pelat jepit serta struktur kabel (string & cable). Jika k3< 0, kekakuan yang efektif berkurang ketika terjadi peningkatan eksitasi dan sistem disebut sebagai ’softening stiffness’. Sistem dengan model ini terjadi pada kasus tekuk (buckling).

 

3 S 3 f x kxk x

 

3 S 3 f x kxk x

Gambar 1. Hubungan gaya dan perpindahan

2. PERSAMAAN DIFERENSIAL GETARAN NON-LINIER

2.1.

MOMEN – KELENGKUNGAN NON-LINIER

Untuk struktur yang terdeformasi seperti gambar 2, berdasarkan Sathyamoorthy (1998), Kovacic dan Brennan (2011) maka hubungan momen – kurvatur nonlinear berbentuk :

2 2 3 2 ₂ w EI x M w 1 x (# 3 )_# 4 * 5   + _(# 3 6 , )_*# 4₅ 7 , 7 - 8 (2a)

Dalam kasus khusus



#w #x



, maka diperoleh hubungan momen – kelengkungan linier1 2 2

w

M

EI

x

#

 

#

(2b)

Gambar 2. Deformasi Elemen Balok Sendi – Rol

Untuk balok yang mengalami lendutan besar, maka hubungan Momen dan kelengkungan non linier pada pers. (2a) maka dapat didekati dengan deret binomial, dengan pendekatan sampai suku keempat, maka hubungan momen lentur dan kelengkungan dapat dinyatakan :

2 4 6 2 2 3 w 15 w 35 w w M EI 1 2 x 8 x 16 x x + (# 3 (# 3 (# 3 6 (# 3 % ,  )_# 4  )_# 4  )_# 4 7 )_# 4 * 5 * 5 * 5 , 7 * 5 - 8 (3)

Berdasarkan persamaan kesetimbangan dinamis dari elemen getaran balok berdasarkan Chopra (2011), Clough dan Penzien (2003) , Kovacic dan Brennan (2011) yang berbentuk :

M

Q 0

x

#

 

#

(4a)

 

2 2

w

w

Q

A

c

f x, t

t

t

x

#

#

#









#

#

#

(4b)

Dengan subtitusi persamaan (3) terhadap persamaan (4a, 4b), maka diperoleh persamaan diferensial parsial getaran balok non linier

 

2 4 6 2 4 2 4 w w w 3 w 15 w 35 w A c EI 1 f x, t t t x 2 x 8 x 16 x + 6 # # # (# 3 (# 3 (# 3  _#  _#  _# ,  )_# 4  )_# 4  )_# 4 7 * 5 * 5 * 5 , 7 - 8 (5)

Untuk suku pertama dan kedua dari persamaan tersebut adalah komponen linier dari teori balok Euler-Bernoulli, pada suku ketiga merupakan komponen non linier dari hubungan momen dan kelengkungan balok.

2.2.

MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NON-LINIER

Penyelesaian persamaan diferensial parsial sesuai persamaan (5) tersebut, dapat digunakan pendekatan

getaran dari mode balok. Untuk perpindahan dapat digunakan perkalian antara mode Ф(x) dan amplitudo modal q(t)

 

n

   

n

w x, t   x q t (6a)

Untuk jenis tumpuan sendi – rol, maka maka mode Ф(x) berbentuk

 

n n x x sin L    (6b)

Beban yang bekerja pada balok dituliskan dalam bentuk fungsi delta Dirac

 

L

 

f x, t F x cos t 2 ( 3  ₎  ₄  * 5 (7)

Dengan menggunakan metode Galerkin berdasarkan Zienkiewicz (1983, 1991), Ottosen dan Peterson (1992), Reddy (1993), Desai (1996), Rao (1999), Portela dan Charafi (2002)

   

L n 0 R x  x dx0 n1, 2, 3,...

2

(8)

Untuk kajian ini ditinjau pada mode pertama ( n = 1 ). Sedangkan R(x,t) adalah residu sesuai persamaan (5) dan (6a, 6b) yang berbentuk :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 1 1 1 2 2 4 6 4 2 4 6 1 4 1 1 1 1 1 1 1 d d A q t x c q t x dt dt d 3 d 15 d 35 d EI q t x 1 q t x q t x q t x F t dt 2 dt 8 dt 16 dt     + _{( 3 ( 3 ( 3} 6   ,  )  4  )  4  )  4 7 * 5 * 5 * 5 , 7 - 8 (9)

Dengan penerapan kondisi batas sesuai tumpuan sendi – rol :









x 0, L 0 '' x 0, L 0       (10)

Penyelesaian integrasi persamaan (8) maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua untuk pendekatan mode pertama sebagai berikut :

4 6 8 10 3 5 7 3 5 7 9

1

1

EI

3 EI

15 EI

175

EI

ALq(t)

cLq(t)

q(t)

q (t)

q (t)

q (t)

Fcos( t)

2

2

2L

16L

128L

2048L

























_(11a) Untuk 4 1 1 3 n 6 8 10 3 5 5 7 7 9 K 1 1 EI M AL ; C cL ; K ; 2 2 2L M 3 EI 15 EI 175 EI K ; K ; K 16L 128L 2048L                (11b)

Dengan menyederhanakan persamaan 3.7a-b

3 5 7

1 3 5 7

M q(t)

Cq(t)
K q(t)K q (t)K q (t)K q (t)F cos( t) ₍₁₂₎ Untuk kasus kekakuan derajat 3 dari persamaan 12 yang merupakan model persamaan Duffing :

3

1 3

3. PENYELESAIAN PERSAMAAN GETARAN NON-LINIER

3.1. Metode Perturbasi (Perturbation method)

Untuk penyelesaian persamaan diferensial non-linier digunakan metode perturbasi tipe ekspansi langsung (straightforward expansion) berdasarkan uraian dari Nayfeh (1993). Berdasarkan persamaan (13) dengan tinjauan khusus sampai orde tiga (3), dengan model persamaan non-dimensional yang berbentuk

 

3

q    2 q q q F cos t

₍₁₄₎

Bentuk ekspansi langsung dari persamaan (14)

 

0

 

1

 

q t; q t  q t ... (15)

Subtitusi persamaan (9.5) ke pers. (9.4)









3

 

0 1 0 1 0 1 0 1

q 2 q

        

q

q

... 2

q

  

q

...

     

q

q

...

q

  

q

...



Fcos



t

(16) Dalam bentuk sederhana

 



3



0 0 1 1 0 0

q q F cos   t q q   2 q q  ... 0

₍₁₇₎

Dengan menyelesaikan persamaan (17) dengan koefisien0dan adalah nol, maka

 

0 0 q q F cos t

₍₁₈₎ 3 1 1 0 0 q q    2 q q


₍₁₉₎

Persamaan (18) merupakan persamaan linier nonhomogen, yang diselesaikan dalam bentuk penjumlahan penyelesaian homogen dan partikular yang berbentuk :

 

 

0

q a cos t  2 cos t (20a)

Untuk



2



F 2 1     (20b)

Subtitusi persamaan (20) ke persamaan (19) dan dengan menyelesaikannya, maka akan diperoleh besaran q₁

 

 

 

 













 

3 3 2 1 2 3 3 2 2 2 4 1 3

q at cos t sin t a cos 3t a 3a t sin t

1 32 8 2 6 3a cos 3 t cos t ... 1 9 1  ( 3      ₎   ₄   * 5              (21)

Subtitusi persamaan (21) dan (20) ke persamaan (15) maka diperoleh penyelesaian q

 

 

 





 

 





 



 















 

3 2 2 ₂ 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F 2 F 1

q a cos t cos t at cos t sin t a cos 3t

1 ₁ 32 3 1 F F a a t sin t cos 3 t 4 2 _{1 4 1 1 9} 3F F a cos t ... ... 2 1 2 1 . _ 1      _/      _{10  } + 6 , 7     , _{ } 7 _{   } - 8 . + 6 9 1_{ ,  7  } 1_ / _{, 7} :     1 _{- 8} 1 0 ; (22)

3.2. Metode Runge – Kutta

Untuk metode Runge-Kutta, sesuai uraian Thompson (1982), persamaan diferensial orde dua mula-mula direduksi menjadi dua persamaan orde pertama. Sesuai persamaan Duffing (pers. 14) yang dapat ditulis sebagai berikut :

3

q+_-F cos( t)     2 q q q 6₈f (q, q, t)

₍₂₃₎

Dengan mengambil

q



y

, persamaan tersebut direduksi menjadi dua persamaan orde pertama :

q
y ; y
f (q, y, t) ₍₂₄₎

Untuk metode numerik Runge-Kutta diselesaikan dengan menggunakan software MAPLE (kode rkf45), yang berbentuk dsolve(odesys, numeric, method=rkf45, vars, options). Sesuai bentuk persamaan diferensial dituliskan dalam bentuk kode program :

eq:={diff(q(t),t)=y(t),diff(q(t),t)=-q(t)-2*epsilon*mu*y(t)-epsilon*(x(t))^3+F*cos(omega*t),q(0)=1,y(0)=0}

sol_eq:=dsolve(eq,type=numeric,method=rkf45,maxfun=0,output=procedurelist)

4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

4.1. Amplitudo dan Gejala Lompatan

Sesuai persamaan (14) untuk notasi    berdasarkan Kovacic dan Brennan (2011), yang dapat diselesaikan dalam hubungan antara frekwensi, amplitudo dan gaya yang berbentuk

2 2 2 2 2 2 2 F A 3 4 1 A 4  + _{( 3} 6       , )_* 4₅ 7 , 7 - 8  (25)

Berdasarkan penyelesaian persamaan (25) seperti gambar 3 dan 4, kurva respons frekuensi mempunyai kemiringan vertikal di titik U dan L : titik ini merupakan titik lompatan (jump points) . Bagian dari kurva respons frekuensi antara titik lompatan adalah tidak stabil. Jika frekuensi dari eksitasi adalah secara bertahap ditingkatkan dari suatu nilai rendah, kemudian di titik U (titik melompat ke bawah. Pada kasus dengan frekuensi awal yang tinggi, dengan frekuensi dari eksitasi adalah secara bertahap dikurangi, maka lompatan amplitudo ke resonansi di titik lompatan lebih rendah L (titik melompat keatas). Setelah satu lompatan terjadi, sistem membutuhkan lebih banyak waktu untuk menuju ke posisi tetap (steady state). Waktu penyelesaian tergantung pada tingkat eksitasi frekuensi dan besaran redaman (damping).

Gambar 3. Respons Frekwensi (hard spring) dan fenomena lempotan untuk F = 1.0,



= 0.15, 0.25, 0.35 

 
U L Tidak stabil

Gambar 4. Respons Frekwensi (soft spring) untuk F = 0.2,



= 0.20, 0.25, 0.35

4.2. Tanggap (response) Sistem Nonlinier

Dalam rangka untuk identifikasi gerakan nonperiodik maupun gerakan chaotic (chaotic motions) pada sistem nonlinier, berikut beberapa langkah antara lain :

(a) Sejarah waktu (time history) dari sistem berupa perpindahan dan kecepatan. (b) Sejarah bidang fase (phase plane history).

(c) Pemetaan Poincare (Poincare map). 4.2.1. Studi Kasus 1

Sesuai dengan persamaan (14) dengan parameter sebagai berikut :

 

 

0,10 ; 0.01 ; F 0,10 ; 1, 75

q 0 1 ; q 0 0

      




Berdasarkan gambar 5 untuk time-history, hasil yang diperoleh dengan metode Runge-Kutta dan metode perturbasi menunjukan hasil yang relatif sama untuk perpindahan terhadap waktu.

Gambar 5. Time history perpindahan (kasus 1)






Gambar 6. Pemetaan Poincare (kasus 1) 4.2.2. Studi Kasus 2

Sesuai dengan persamaan (14) dengan parameter sebagai berikut :

 

 

 

1 2 0, 025 ; 1 ; F 110 ; 1, 00 q 0 1.00 ; q 0 1.05 ; q 0 0         


Gambar 7. Time history perpindahan untuk q 0₁

 

1.00, q₂

 

0 1.05

Pada kasus non linier dengan respon chaotic terlihat pada gambar 7 untuk time history perpindahan dengan sedikit perubahan pada kondisi awal q1(0) = 1 menjadi q2(0) = 1.05, maka kedua sistem tersebut terjadi perbedaan yang besar dengan bertambahnya waktu.

Untuk Bidang Fase (phase plane) yaitu hubungan perpindahan dan kecepatan, juga dengan perubahan kecil pada kondisi awal tersebut , mempunyai lintasan yang tidak teratur dan tidak stasioner (gambar 8), dan terlihat juga akan mengakibatkan perbedaan yang besar pada respons sistem dengan bertambahnya waktu.

 

1 q 0 1.00 

 

1 q 0 1.05

Gambar 8. Bidang fase (phase-plane) untuk t = 90 sec – 100 sec

Gambar 9. Pemetaan Poincare (Poincare map)

Untuk identifikasi dengan pemetaan Poincare (Poincare map) yang menghubungkan kecepatan dan perpindahan dengan plot 10.000 titik yang memperlihatkan pola tarikan yang asing (strange attractor / attractor chaotic). Pola ini juga memperlihatkan pola fraktal (fractal) dimana suatu bagian lokal juga menggambarkan bagian globalnya (gambar 9).

5. KESIMPULAN

a. Penyelesaian persamaan diferensial non-linier lebih efisien menggunakan metode numerik Runge – Kutta. b. Amplitudo pada sistem non linier mengalami fenomena lompatan (jumps), dengan lebar daerah lompatan/tidak

stabil bergantung pada gaya eksitasi dan redaman, dimana lebar daerah lompatan/tidak stabil semakin berkurang dengan semakin mengecilnya gaya eksitasi (f) dan semakin membesar nilai redaman (



).

 

1 q 0 1.00 

 

1 q 0 1.05 

c. Response non-harmonik maupun chaotic, dapat diidentifikasi dengan cara riwayat waktu (time history), ruang fase fase (phase plane), serta Poincare map, dimana respons non-harmonik tidak mempunyai ketergantungan sensitif terhadap kondisi awal sistem, berbeda dengan perilaku chaotic yang mempunyai ketergantungan sensitif terhadap syarat awal, dimana perubahan kecil terhadap syarat awal akan berpengaruh besar terhadap sistem dengan bertambahnya waktu, hal ini terlihat pada riwayat waktu (time history) maupun ruang fase (phase plane), dan Pemetaan Poincare (Poincare map).

DAFTAR PUSTAKA

Awrejcewicz, J., Krysko, V.A. (2008). Chaos in Structural Mechanics, Berlin Heidelberg, Springer-Verlag

Clough, R.W., Penzien, J. (2003). Dynamics of Structure. Third Edition. Computers & Structures, Inc. University Berkeley. USA.

Chopra, A.K., (2001). Dynamics Structure ; Theory and Application to Earthquake Engineering, Second Edition, byPrentice Hall.

Desai, C.S. (1988). Dasar–dasar Metode Elemen Hingga. Penerbit Erlangga. Fertis, D.G. (1999). Nonlinear Mechanics, CRC Press. Florida. USA.

Fertis, D.G. (2006). Nonlinear Structural Engineering. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany. Inman, D.J. (2006). Vibration with Control. John Wiley & Sons, USA.

Inman, D.J. (2008). Engineering Vibration, 3rd.ed. Pearson Education,

Kovacic, I,. Brennan, MJ. (2011). The Duffing Equation – Nonlinear Oscillator and their Behaviour. London, John Wiley & Sons.

Kratzig, WB., Nieman, HJ. (1996). Dynamic of Civil Engineering Structures. Printed in the Netherlands Kwon, Y.W., Bang, H. (2000). The Finite Element Method using MATLAB, CRC. Press

Lynch, S. (2010). Dynamical Systems with Applications using Maple, second edition. Birkhauser Boston - Springer Science Bussines Media. USA.

Moon, F.C., (1987). Chaotic Vibration. John Wiley & Sons, New York.

Moon, F.C., (2004). Chaotic and Fractal Dynamics, An Introduction for Applied Scientist and Engineers.Wiley-VCH Verlag GmbH&Co.KgaA. Weinheim.

Nayfeh, A.H. (1981). Introduction to Perturbation Techniques. John Willey and Sons, New York. Nayfeh, A.H., Mook, D.T. (1995). Nonlinear Oscillations. John Wiley & Sons Inc.USA.

Nayfeh, A.H., Pai, P.F. (2004). Linear dan Nonlinear Structural Mechanics. John Wiley & Sons. USA. Paz, M. (1996). Dinamika Struktur ; Teori dan Perhitungan. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Pai, P.F. (2006). Highly Flexible Structures ; Modeling, Computation, and Experimentation. AIAA Inc, Reston, Virginia

Perkins, N.C. (2001). Nonlinear Systems, Overview. Copyright Academic Press.

Portela, A., Charafi, A. (2002). Finite Elements using MAPLE, A Symbolic Programming Approach. Springer-Verlag, Berlin. Germany

Rao, S.S. (1999). The Finite Element Method in Engineering. Third Edition. Butterworth – Heinemann Reddy, J.N. (1993). An Introduction to the Finite Element Analysis. McGraw-Hill.

Reddy, J.N. (2004). An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Oxford University Press. New York. Sathyamoorthy, Muthukrishnan (1998), Nonlinear Analysis of Structures, CRC Press LLC, USA.

Szemplinska, S.W. (2003). Chaos Bifurcations and Fractals around us, A Brief Introduction. World Scientific Publishing.

Thompson, J.M.T. and Stewart, H.B. (1986), Nonlinear Dynamics and Chaos Geometrical Methods for Engineers and Scientists. John Wiley & Sons.New York

Thompson, W.T. (1982). Theory of Vibration with Applications. Second Edition. Prentice – Hall of India.

Worden, K., Tomlinson, G.R. (2001). Nonlinearity in Structural Dynamics ; Detection, Identification and Modelling. IOP Publishing.

Zienkiewicz, O.C., Morgan, K. (1983). Finite Element and Approximation. John Wiley & Sons. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L. (1991). The Finite Element Method. Volume 1 & 2, Mc Graw Hill