51. Modul Matematika - Integral Permukaan

INTEGRAL PERMUKAAN INTEGRAL PERMUKAAN

Misal S suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan D Misal S suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan D merupakan proyeksi S pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor

merupakan proyeksi S pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor FF( x,y,z ) = f(( x,y,z ) = f( x,y,z )

x,y,z ) ii + g( x,y,z )+ g( x,y,z ) j j+ h ( x,y,z )+ h ( x,y,z ) kk dan vektordan vektor nn merupakan vektor normal dari S. Makamerupakan vektor normal dari S. Maka integral dari lapangan vektor

integral dari lapangan vektorFFatas permukaan S dinyatakan dengan :atas permukaan S dinyatakan dengan :

F F n

•

•

n

=

=

FF n

••

n

∫∫∫

∫

dAdA

∫∫∫  

∫  

S S DD dA dA

Untuk S permukaan tertutup, dinotasikan dengan :

Untuk S permukaan tertutup, dinotasikan dengan :

∫∫ 

∫∫ 

FF

••

nndAdA

S S

. . Bentuk Bentuk integral integral tersebuttersebut disebut

disebut Integral PermukaanIntegral Permukaan..

Vektor posisi ( posisi suatu titik, misal ( x,y,z ) yang terletak pada permukaan S Vektor posisi ( posisi suatu titik, misal ( x,y,z ) yang terletak pada permukaan S yang dinyatakan sebagai besaran vektor ) dari S, dinyatakan dengan :

yang dinyatakan sebagai besaran vektor ) dari S, dinyatakan dengan :

rr ( x,y ) = x( x,y ) = x ii+ y+ y j j+ z+ zkk = x= xii+ y+ y j j+ + f f ( x,y ( x,y ))kk

Normal

Normalnndari permukaan S diberikan,dari permukaan S diberikan,

n n rr rr ii jj kk ii jj kk

=

= ×

∂∂_∂∂

× =

∂∂_∂∂

=

=

=

− −

−

− ++

 x  x yy  f  f   f   f   f  f f f   x  x  y  y  x  x yy 1 1 00 0 0 11

yang mempunyai arah ke atas, sedangkan normal yang mempunyai arah ke bawah yang mempunyai arah ke atas, sedangkan normal yang mempunyai arah ke bawah diberikan, diberikan, n n rr rr ii jj kk ii jj kk

=

= ×

_∂∂∂∂

× =

_∂∂∂∂

=

=

= +

+ −−

 y  y xx 00 11 f f   f  f  x  x f f yy 1 1 00 f f  y y x x

Oleh karena itu, integral permukaan dengan vektor normal

Oleh karena itu, integral permukaan dengan vektor normal nn mempunyai arah ke atasmempunyai arah ke atas dapat dituliskan : dapat dituliskan :

(

( )

) (

( )

) (

( ))

( (

))

_{( (}

₎₎

( (

))

F F n

•

•

n

=

=

ii

+

+

jj

+

+

kk

•

•

−

−

ii

−

−

++

jj kk

=

= −

− −

− ++

∫∫∫

∫

∫∫∫  

∫  

∫∫ 

∫∫ 

dA dA S S  x  x yy  D  D  x  x yy  D  D f f x x y y z z g g x x y y z z h x h x y y z z f f f f ddAA f f f f g g f f h h ddAA ,, ,, ,, ,, ,, ,, Bentuk dA = dx dy atau dA = dy dx. Bentuk dA = dx dy atau dA = dy dx. Contoh 8 Contoh 8 Hitung Hitung

∫∫ 

∫∫ 

FF n

••

n dAdA S S bila

bila FF( x,y,z ) = 18z( x,y,z ) = 18z ii - - 1212 j j + + 3y3y kk dan S merupakan bagian daridan S merupakan bagian dari bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak di oktan pertama.

bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak di oktan pertama. Jawab :

Jawab :

Dari 2x + 3y +

Dari 2x + 3y + 6z = 12 6z = 12 didapatkan z = f ( didapatkan z = f ( x,y ) = 2 x,y ) = 2 - 1/3 - 1/3 x x - ½y - ½y dan vektor dan vektor posisi posisi daridari sembarang titik pada permukaan S,

sembarang titik pada permukaan S, rr ( x,y ) = x( x,y ) = x ii+ y+ y j j+ z+ z kk = x= x ii+ y+ y j j+ ( 2 - 1/3 x - ½+ ( 2 - 1/3 x - ½ y )

y )kk. Normal bidang,. Normal bidang, nn

= ×

=

∂∂rr

× =

rr

= +

ii

+ ++

jj kk

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x yy 1 1 2 2 1 1 3 3 ..

Proyeksi dari S pada bidang XOY, D

=





( )

x y

≤ ≤ ≤ ≤

x y

−

 x









, 0 6 0, 12 2 3 atau

( )

D

=





x y

≤ ≤

x

−

 y

≤ ≤

 y









, 0 12 3 , 2 0 4 Jadi ( ) ( ) ( ) F n

•

=

−

−

 

 



 

_ 

 − −

 

_ 



−

 

_  

+

 

 



 

_  

=

 

−

 

_ 



−

−

 

_ 

  −

_ 

 



 

_{  − −}

 

_ 

−

 

_  +

 



 

_ 

 

=

−

=

∫∫

∫ ∫  

∫

∫ 

∫

∫ 

−

−

−

dA S  x  x  x z y dy dx x y y dy dx x dy dx 0 6 0 12 2 3 0 6 0 12 2 3 0 6 0 12 2 3 18 1 3 12 1 2 3 18 2 1 3 1 2 1 3 12 1 2 3 6 2 24 ( ) ( ) ( )

Seringkali dijumpai bentuk permukaan S bermuka dua ( mempunyai dua muka /  sisi), secara fisis kita dapat menghitung besarnya garis gaya ( fluks ) dari gaya / lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j+ h ( x,y,z ) k yang menembus permukaan S menggunakan integral permukaan.

Misal S merupakan permukaan yang mempunyai dua sisi yang dinyatakan dengan z = f ( x,y ). Maka besar garis gaya ( fluks ) dari gaya F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j

+ h ( x,y,z )k menembus permukaan S dinyatakan oleh :

(

)

fluks f f g f h dA S  x y  D F

= •

∫∫

F n dA

= − − +

∫∫  

Contoh 9

Hitung besar garis gaya ( fluks ) dari F ( x,y,z ) = -y i + x j yang menembus permukaan S yang merupakan bagian dari bidang z = 8x - 4y - 5 yang terletak di atas segitiga dengan titik sudut ( 0,0,0 ), ( 0,1,0 ) dan ( 1,0,0 ).

Jawab:

Proyeksi S pada bidang XOY, D

=

{

( )

x , y 0

≤ ≤ ≤ ≤ − +

x 1 0, y x 1 .

}

(

)

(

( )

( ) ( )

)

fluks f f g f g dA y x dy dx S  x y  D  x F

= •

∫∫

F n

= − − +

∫∫

=

∫

∫  

−

− − −

=

− +

dA 0 1 0 1 8 4 2

Satu cara dikenalkan untuk menentukan besar garis gaya ( fluks ) dari gaya F

yang menembus permukaan S. Bila permukaan S bermuka dua yang tertutup dan menutupi volume V maka besar fluks dariFdicari menggunakan teorema divergensi.

permukaan S atau besarnya fluks dari F yang menembus permukaan S dapat diselesaikan menggunakan integral rangkap tiga, yaitu :

F

•

n

=

F

∫∫

dA

∫∫∫  

dV

S S

div

Vektor normal n diambil yang mengarah keluar. Teorema di atas lebih dikenal dengan

Teorema Divergensi Gauss ( Teorema Gauss ).

Contoh 9

Hitung

∫∫ 

F n

•

dA

S

bila

a. F( x,y,z ) = ( 2x - z) i + x2 y j- x z2 k dan S merupakan daerah yang dibatasi oleh x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 dan z = 1 Jawab : div F

= + + = + −

f g h _{x y z} 2 x 2 2xz , S x

=

{

(

, ,y z

)

0

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

x 1 0, y 1 0, z 1

}

(

)

F

•

n

=

F

=

+

−

=

∫∫

dA

∫∫∫

dV

∫ ∫ ∫  

S S div x xz dx dy dz 0 1 0 1 2 0 1 2 2 11 6 Contoh 10

Hitung besar fluks dari gaya F( x,y,z ) = 4x i - 2 y2 j + z2 k yang menembus permukaan S yang dibatasi oleh x2 + y2 = 4, z = 0 dan z = 3.

Jawab : div F

= + + = − +

f g h _{x y z} 4 4y z2 ,

(

)

{

}

S

=

x, ,y z

− ≤ ≤ − − ≤ ≤ −

2 x 2, 4 x2 y 4 x2,0

≤ ≤

z 3

(

)

(

)

F

•

n

=

F

=

−

+

=

−

+

=

−

∫∫

∫∫∫

∫ ∫ ∫  

∫ ∫ ∫ 

− − −

−

−

dA dV S S  _x  x  x div y z dy dx dz y z dy dx dz 0 3 2 2 4 4 0 3 0 2 0 4 4 4 4 4 4 4 4 120 128 2 2 2 π Teorema Stokes

Misal S permukaan terbuka bermuka dua dinyatakan oleh z = f(x,y) yang dibatasi oleh lengkungan / lintasan tutup sederhana C. Maka integral dari F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i +

g( x,y,z )  j + h ( x,y,z ) k atas lengkungan / lintasan C dalam arah positif $ dapat dinyatakan sebagai integral permukaan dari curlFatas S berikut.

F

•

r

=

F

•

n

∫

d

∫∫ 

dA

C S

curl

Normal n ditentukan dari normalisasi gradien dari permukaan S yang dinyatakan secara implisit, f ( x,y,z ) = 0, yaitu

(

)

(

)

n = f x, y, z f x, y,z

∇

∇

. Contoh 11

Diketahui lapangan vektor F( x,y,z ) = 3 y i - x z j + y z2 k dan S permukaan paraboloida 2 z = x2 + y2 dibatasi oleh z = 2 dengan lintasan C merupakan kelilingnya. Gunakan teorema Stokes untuk menghtiung curl

S

F

•

n

∫∫ 

dA

Jawab :

Lintasan C, x2 + y2= 4 , z = 2 atau x = 2 cos t, y = 2 sin t , z = 2 dengan 0

≤

t

≤

2

π

.

(

)

(

( )(

) (

)

( )

)

curl y dx xz dy yz dz t t t dt   S C C  F

•

n

=

F

•

r

=

−

+

=

−

−

= −

∫∫

dA

∫

d

∫

3

∫

3 2

 

2 2 2 12 2 0 2

sin sin cos

π

π

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 3 ) Selesaikan integral

∫∫ 

F n

•

dA

S

bila

1. F( x,y,z ) = i + x2  j+ x y z k dan permukaan S dinyatakan oleh daerah yang dibatasi z = xy, 0

≤

x

≤

y dan 0

≤

y

≤

1

2. F( x,y,z ) = cosh x i + sinh y k dan permukaan S dinyatakan oleh daerah yang dibatasi z = x + y2, 0

≤

y

≤

x dan 0

≤

x

≤

1.

3. F( x,y,z ) = x i - 2 x2  j + y z k dan permukaan S dinyatakan oleh daerah yang dibatasi z = x + y , 0

≤

x

≤

y dan 0

≤

y

≤

1.

( Nomor 4 sd 6 ) Hitung besar fluks dari gayaFyang menembus permukaan S bila

4. F( x,y,z ) = ( 9 - x2 ) j dan permukaan S merupakan bagian bidang 2x + 3y + 6z = 6 yang terletak di oktan pertama.

6. F( x,y,z ) = 2 i + 5  j+ 3 k dan permukaan S adalah bagian dari z x

=

(

2

+

y2 1 2

)

 /  yang terletak di dalam tabung x2 + y2 = 1.

( Nomor 7 sd 10 ) Gunakan teorema divergensi gauss untuk menghitung

∫∫ 

F n

•

dA

S

bila 7. F( x,y,z ) = z i+ x j+ yk dan permukaan S ditentukan oleh 0

≤ ≤ − −

z 9 x y2 2

8. F( x,y,z ) = x i + 2y  j+ 3z k dan permukaan S berupa kubus 0

≤

x

≤

1, 0

≤

y

≤

1, 0

≤

z

≤

1

9. F( x,y,z ) = 3x i- 2y j+ 4z k dan permukaan S dinyatakan oleh x2+ y2 + z2

≤

9

10.F( x,y,z ) = xyz k dan permukaan S merupakan tetrahedron yang dibatasi oleh bidang x = 0, y = 0, z = 0 dan x + y + z =1

( Nomor 11 sd 13 ) Gunakan teorema Stokes untuk menghitung curl

S

F

•

n

∫∫ 

dA

11.F( x,y,z ) = xy i + yz  j+ xz k dan S merupakan segitiga dengan titik sudut ( 0,0,0 ), ( 1,0,0 ) dan ( 0,2,1 )

12.F( x,y,z ) = yz i + 3xz  j + z2 k dan S merupakan bagian bola x2 + y2 + z2 = 16 yang terletak di bawah bidang z = 2.

13.F( x,y,z ) = ( z -y ) i + ( z + x ) j- ( x + y ) k dan S merupakan bagian paraboloida z = 1 - x2- y2 yang terletak di atas bidang XOY.