Perkembangan Metamatematik:
Teori Bukti dan Formalisme Hilbert
Farhan Nasir
farhanjelah@gmail.com
Abstrak
Formalisme Hilbert yang lahirnya daripada program beliau pada awal kurun ke-20 telah memberi pengdefinisian baru terhadap formalisme, dan kemudiannya melahirkan pandangan dan disiplin baru terhadap matematik. Walaupun ianya menemui kekeruhan selepas teorem ketaklengkapan Go-del, namun selepas itu, teori bukti dan formalisme secara dasarnya dilihat mampu beralih mencapai kematangan, terutama sekali, dalam menjawab persoalan-persoalan asasi matematik, sekaligus membantu sebagai alat da-lam perkembangan falsafah matematik dan juga falsafah logik. Makalah ini secara umumnya mengulas sejarah perkembangan formalisme dari era alja-bar abstrak hinggalah beberapa perkembangan pasca-Hilbert, terutamanya teori bukti oleh Gentzen.
Kata kunci: Metamatematik, Teori Bukti, Ketekalan, Formalisme, David Hilbert.
Abstract
Hilbert’s formalism that had been conceived from his programme in the early 20th century have given the new definition towards formalism, and has later gave birth of new perception and discipline toward mathematics. Although it meets adversity after the Godel’s incompleteness theorem, however soon after, proof theory and formalism are inherently seen capable of reaching its maturity, especially, in enquiring the concerns regarding the foundations of mathematics, and hence serve as a tool to promote the development of philosophy of logic and mathematics. This article, generally, reviews the historical development of formalism from the era of abstract algebra until several post-Hilbertian developments, especially Gentzen’s proof theory.
Pengenalan
Semenjak awal kurun ke-20, perkembangan falsafah matematik seringnya dilihat mengiringi perkembangan logik bermatematik. Hujah dan pandangan yang dilon-tarkan oleh ahli falsafah matematik terhadap sifat-sifat matematik akan diraikan sekiranya ia dapat dibuktikan melalui logik formal (logik bermatematik) ataupun melalui matematik itu sendiri (metamatematik), namun sebaliknya akan tengge-lam jika ianya tidak mampu dibuktikan menggunakan kaedah-kaedah tersebut. Ini menyebabkan dikotomi yang jelas terhadap ontologi falsafah matematik dengan falsafah-falsafah sains yang lain–kerana jelasnya, hujah-hujah yang kedua itu tidak dapat dibuktikan menggunakan sains itu sendiri. Sebagai contoh pandangan positivisme di dalam pandangan sains tidak boleh dihujah mahupun disangkal menggunakan kaedah metodologi saintifik dan mereka perlu keluar dari disiplin sains itu sendiri untuk membincangkan perihal-perihal sains, falsafah logik atau matematik sebaliknya (eg: positivisme berlogik, formalisme, intuisisme, logikisme), mampu dihujahkan dengan kaedah matematik ataupun logik1
. Justeru, penelitian terhadap logik bermatematik ini amat penting dalam memahami perihal sifat-sifat ilmu matematik yang dilontarkan sekitar akhir kurun ke-19 hinggalah sekarang. Makalah ini, secara umumnya, akan mengulas tiga aspek utama bagi sejarah perkembangan teori bukti yang pada awalnya dikonotasikan sebagai metamatema-tik. Pertama, sejarah ringkas formalisme sebelum Hilbert, khususnya semasa kurun ke-18 semasa aljabar abstrak mula berbuah dan digunakan secara meluas untuk menjawab perihal aritmetik. Kemudian datangnya Hilbert mengubah pandangan baru formalisme yang bersifat terhingga dan percubaan beliau mengitlakkan aritmetik sebagai suatu sistem simbol atau formal, juga dakwaan beliau terhadap sifat dalam hujahan matematik ini (formalisme Hilbert). Kedua, membincangkan bagaimana dua teorem ketaklengkapan Godel mengeruhkan formalisme sekaligus menyangkal teori bukti yang dibina oleh Hilbert. Akhir sekali membincangkan perkembangan dan impak teori bukti yang pertamanya dibina oleh Hilbert ini terhadap falsafah matematik dan juga falsafah logik. Terutama sekali, peneliti-an terhadap (i) teori bukti ypeneliti-ang dikembpeneliti-angkpeneliti-an oleh Gentzen selepas kegagalpeneliti-an program Hilbert, yang mana pembinaan sistem pembuktian Gentzen ini–deduksi sejadi dan kalkulus turutan–dibuktikan mampu melepasi teorem ketaklengkapan Godel. Ditambah pula dengan kejayaannya membuktikan aritmetik sebagai satu sistem yang konsisten, sekaligus mencapai formalisme, sekurang kurangnya di dalam sistem aritmetik. (ii) Pandangan Dummett terhadap falsafah analitik yang menggunakan teori bukti sebagai perkakas untuk memahami dan menyusun ilmu atau hujah di dalam wacana metafizik.
1
Sebagai pengenalan, kami ingin menyatakan beberapa istilah-istilah yang kami rasa penting untuk ditekankan sebelum memulakan apa-apa. Istilah logik bermatematik misalnya telah digunakan untuk memberi beberapa maksud se-perti pengkajian logik menggunakan matematik dan juga pengkajian matematik menggunakan logik. Di makalah ini kami akan merujuk kepada makna yang pertama dan bukannya kedua–melainkan diberitahu. Istilah metamatematik pula, pada awalnya Hilbert, menggunakan istilah ini di program beliau untuk memberi makna sebagai metabahasa yang mana ianya adalah sebagai hujah mengenai ma-tematik yang bukan secara dasarnya bersifat mama-tematik2
. Meta-matematik3
yang bermaksud luar daripada matematik, akan tetapi, selepas konsep keterhinggan beliau gagal disebabkan teorem Godel, formalisme tidak lagi dianggap berdamping dengan ideologi Hilbert, dan konsep ketakterhingaan telah pun diterima, justeru metamatematik yang pada awalnya dianggap luar daripada disiplin matematik, sekarang, diterima sebagai matematik4
. Justeru, di makalah ini, kami akan menggunakan istilah metamatematik sebagai satu ilmu pengkajian matematik menggunakan matematik, dan teori bukti sebagai salah satu alat atau perkakas matematik yang Hilbert–Gentzen bina untuk mengkaji matematik5
. Akhir sekali, formalisme secara umumnya adalah berbeza mengikut zaman lebih lebih lagi perbezaannya dengan formalisme oleh Hilbert yang akan di jelaskan dengan lebih lanjut kemudian. Jadi dua istilah ini haruslah dikenal pasti mempunyai dua makna yang berbeza.
Kami juga ingin menyatakan beberapa batasan yang kami hadapi semasa mengarang makalah ini. (i) Kami masih tidak cukup mendalami teori set, ter-utama sekali dalam perbalahan mengenai aksiom pemilihan, di mana aksiom ini menjadi salah satu tunjang dalam teori bukti Hilbert. (ii) Kami juga ti-dak mendalami perkembangan teori nombor, terutamanya dalam perkembangan nombor bertingkat yang menjadi tunjang teori bukti Gentzen, di mana nombor bertingkat berkembang demi pemahaman mengenai ketakterhinggan dan juga
transfinite. (iii) Pembacaam kami cumalah bertumpu dari kaca mata formalisme, tidak lah kami mendalami lagi perkembangan logik pada kurun ke-20 secara keseluruhan, terutamanya sekali terhadap intuisisme Brower–Heyting dan juga logikisme Russell-Whitehead. Jadi pembacaan kami cuma melihat apa kritikan luar terhadap formalisme, seperti kritikan Brower, Frege, dan Poincare terhadap formalisme. (iv) Akhir sekali, tidaklah kami belajar lagi bahasa jerman untuk memahami penulisan asal kebanyakkan rujukan-rujukan ini. Jadi tajuknya ak-an ditulis di dalam bahasa inggeris dengak-an tarikh terbitak-an pertama, walaupun
2
Seperti dalam istilah beliau yang bermaksud hujah yang bersifatinhaltliche, atau dalam inggerisnyacontentual
3
Meta yang di dalam bahasa yunani yang bermaksud ‘luar’, ‘menjangkaui’.
4
Kleene 1971contohnya bertukar ganti istilah teori bukti dan metamatematik
5
terjemahannya tidak semestinya diterbitkan pada tahun tersebut.
Formalisme Hilbert dan Formalisme (Belum Edit)
Hilbert Finitism bukanlah Kantian intuitionism. Hilbert mendakwa bahawa beliau telah menjumpai knowledge yang baru pengantaraan, apriori dan a posteriori 6
Detlefsen 2005(m. 275) menerangkan perbalahan pandangan sifat matema-tik itu berasaskan aksiom kebolehselesaian dan prinsip keabadian, yang mana pandangan dangan yang pertama itu menengahkan sesuatu matematik untuk menyelesaikan sesuatu permasalahan dengan baik dan cantik. Seperti contoh Teo-rem Asas Aljabar di mana ianya mengganggap nombor komplex sebagai satu asas untuk mencapai kebolehselesaian sesuatu polinomial, walhal nombor-nombor kom-pleks itu adalah dibuat-buat dan tidak menepati prinsip keabadian. Ignorabimus (ibid).
Jelaskan mengenai pandangan Berkeley dan Peacock dalam formalisme. Bible-Hilbert-All is sign,Hilbert 1922
Matematik walaupun PRA dapat buktikan finitisme tapi pembuktian ini tak menggunakan kaedah finitisme kerana nak mengitlakkan, maka perlu bebas dari finitisme
Berkenaan Metodologi beraksiomHilbert 1900amembandingkan metodologi genetik di dalam aritmetik dan metodologi aksomatik di dalam geometri. Kemudi-an beliau berpendapat bahawa metodologi aksiomatik ini perlulah diKemudi-anggap lebih tinggi berbanding metodologi genetik (m.1093), oleh itu kemudiannya beliau cuba mengaplikasikan metodologi aksiomatik ini dalam pengkajian aritmetik. Beliau membina sistem aksiom untuk aritmetik dan menggunakan sistem aljabar sebagai aksiom utama.
Euclid elements memberi postulat (i)-(iii) yang bersifat genetic, (iv) yang aksiomatik, dan (v) yang adalah theorem:
i A straight line segment can be drawn joining any two points. ii Any straight line segment can be extended indefinitely in a straight
line.
iii Given any straight line segment, a circle can be drawn having the segment as radius and one endpoint as center.
iv All right angles are congruent.
v If two lines are drawn which intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough. This postulate is equivalent to what is known as the parallel postulate
6
Formalisme tatkala kurun ke-19 tidak lah mengabaikan intuisisme sepenuhnya kerana dua pendapat ini setuju, secara amnya, dengan pandangan matematik adalah binaan intuisi manusia, namun formalisme ini tidak bersependapat dengan pengabaian aksiom pengecualian tengah.
Percanggahan dalam formalism mungkin telah dibincangkan sejak zaman algebraist pada kurun ke-18 yang boleh dirumuskan* 1778 (Detlefsen 2005, m.266).
Formalism-–Terangkan mengenai semantik dan aksiomatik, geometry vs alja-bar, screete out*?
Berkeley-–menganggap bahasa tidak semestinya exclusif kepada semantik usage (Detlefsen 2005, m.268).
Berkeley boleh dianggap formalist yang ***
Boole menyimpulkan pemikiran kurun ke-19 (Detlefsen 2005, m.272).
Program Hilbert (Belum Edit)
Program Hilbert boleh dikatakan bermula tatkala selepas beliau menerbitkan
Foundation of Geometry pada tahun 1899 yang memberi penekanan sistem aksiom yang baru terhadap geometri. Daripada penerbitan ini, dapat dilihat bahawa beliau sudah pon memberikan penekanan terhadap perolehan hujah geometri yang baru dengan berasaskan metodologi beraksiom7
. Penerbitan ini memberi pengdefinisian semula terhadap metod pengaksioman, dan secara tak langsung, memberi nafas yang baru terhadap disiplin yang sekarangnya dikenali sebagai teori model.
Program hilbert 1920an. Konsep ketekalan yang sama, ketekalan sistem aksiom boleh menatijahkan ketekalan matematik (aritmetik).
(1900 on concept of...) first axiomatic study dan first, pure syntactic calculus untuk deduksi, boleh dikatakan gave birthto both proof and model theory (wa-laupun belum mencapai kematangan hitherto) “axiomatic method is supposed to furnish a tol for investigating not only the foundations of mathematics, but also the foundations of the physical science” (1900) a remark for who called him formalist (ini dari claryfying)
Model theory first axiomatic study in his geometry (1899) Hilbert stop kat 1904 lepas dia pening dengan macam mana nak construct syntax sampaiPoincarekritik yang argumen dia circular (ada penjelasan lagi kat bawah). Buktikan induction untuk buktikan induction. Sampailah 1920s (1922) teori bukti beliau mencapai kematangan (lebih lebih lagi selepas terbitan beliau bersama anckerman).
Hilbert program to prove consistency of the system Peano Arithmetics but failed
7
Hilbert fikir samaada matematik itu sendiri ada ke aksiom? geometri ade aksion dia sendiri, adakah matematik deduksi itu ada? Hilbert Finitism.
Perbezaan dan persamaan,jelas dari perspektif intuitionistic (Brower 1927) Formalisme Hilbert 1922. gunapakai intuitionism, tapi tak pakai betul-betul dan tak diambil serius.
brower kritik kerana memandang intuitionism sebagai satu pandangan yang langsung taknak diterimanya, sampai si Hilbert bersuara macam “biar sampai malaikat bersuara pon takkan kami akur untuk membuang prinsip excluded middle” (1922)
letak contoh aksiom ketakterhinggan sekali. Logicism and Formalism, consis-tency and completeness. Kalau nak dibandingkan Gentzen bukan lah berfalsafah seperti mana brower berfalsafah mengenai intuisionisme beliau, tapi beliau (dan lebih kurang semua lah logician) pada masa itu cakna dengan falsafah matematik ini seperti persoalan keterhinggaan, ketakterhinggan matematik. Penulisan pe-nulisan (lihat buku collection) beliau hampir kesemuanya adalah bersifat logik bermatematik, dan bukannya falsafah matematik atau logik. Namun adalah beberapa nukilan beliau diselit selitkan pada penulisan beliau, seperti pendapat realism beliau tentang matematik perlu keluar dalam sphera intuisi matematik dan menerima ketakterhinggaan tapi ketakterhinggan yang boleh disebut dengan hujah hujah yang terhingga. Satu lagi, nukilan beliau mengenai pandangan wittgenstein mengenai makna.
pertamanya cuba buktikan consistency berdasarkan aksiom, kemudia sukar, dan krmudian pada 1904 membina kalkulus sintaks beliau yang, dan buktikan consistency daripada situ, dimana akan tiada contradiction dalam sistem tersebut. tapi berenti selepas trrima banyak kritikan seperti poincare. dan berhenti selama dua dekad, dan sambung semula dengan satu sistem simbol beliau yang lebih jelas dan mampu menjawap banyak oritikan.yang sebelum ni tak dapat nak dijawap Hilbert 1900 beliau bandinkan genetic metod dan axiomatik metod, dan membuat dakwaan bahawa axiomatik perlu diberi rank yang pertama. Jadi membuatkan beliau untuk mencari axiomatik metod untuk aritmetik Hilbert 1900b pandangan dia terhadap matematik sains pada awalnya, tapi pure reason. finitely pure reason 1918 hilbert, i am persuaded, make the concept of specifically mathatical proof itself into an object of investigation, just as astronomer considers the movement of his position, the physicist studies the theory of his apparatus, and the philosopher critisizes reason itself. diulang lagi pada 1922a
me-nyebabkan banyak ahli falsafah persoalkan, tapi kemudiannya Hilbert beralah dan menukar number-sign kepada numeral. Macam mana dalam pandangan constructivist, sign itu boleh wujud tanpa makna? Jadi simbol simbol ini1dan+, untuk menjadikan aksiomatik sistem pembuktian dalam elementary (contentual atau pembuktian) teori nombor, tapi tak cukup untuk dalam sistem pembuktian matematik secara keseluruhan. Jadi simbol simbol lain dibentangkan seperti m. 1124.
Pada 1922a dia memperkenalkan istilahProof Theory ataupun Teori Bukti (m. 1127) sebagai ilmu pengkajian pembuktian itu sendiri, dengan lebih spesifik ilmu pengkajian sintaks kalkulus untuk pembuktian, dan memamatematik sebagai formal (simbolik) matematik yang dilahirkan daripada proof theory ini. Yang dikatakan bebas daripada percanggahan (sistem yang tekal), ataupun beliau katakan, “apply contentual inferens kepada proof consistency ni” (m. 1132, 1116) Contentual reflection (domain of thinkable) follows the proof themselves (m. 1127, 1123) just as physicist investigates his apparatus Kritik seperti poincare, hilbert menjawap, perbezaan weak induction (contentual metalanguage) dengan strong induction dalam bahasa formal ataupun matematik yang sebenar.
Contrapositive bagi aksiom, menunjukkan 06= 0 atau1 = 0 adalah cukup untuk membuktikan consistency. Memandangkan B di dalam (A∧ ¬A → B) adalah rawak, maka ianya boleh menjadi (A∧ ¬A→ 1 = 0), maka, lihat dari kontrapositif untuk membuktikan ketekalan, cukuplah untuk buktikan bahawa
1 = 0itu tidak boleh di buktikan (ie: ϕ6|= (1 = 0)ataupunϕ6|= (06= 0)). Exist (∃), dan All (∀), boleh ditakrifkan menggunakan aksiom pemilihan. Jadi aksiom pemilihan ni dibantah oleh beberapa ahli matematik, lebih lebih lagi brower dan ahli-ahli intuisisi yang lain. Bagi contoh salah satu kenapa aksiom ni ditolak, salah satu contoh adalah teorem membina volume kedua.
Hilbert start bagi axiomatik metod tapi deduktif sistem dia masih tidak jelas. Kemudian berhenti sebab menerima kritikan yang dia tak boleh nak jawap, seperti kritikan Frege tentang formalism (Simons 2009), dan juga poincare yang menyatakan bahawa pembuktian induktif dia melalui induktif tu circular, lepastu 10 tahun berlalu, Russel walaupun ianya logicism blabla menbentangkan axiomatik metod dia (Principia Mathematica), dan beberapa teknik deduktif di didalamnya, yang Hilbert secara tak langsung menyumbnag serba sedikit yang membuat Hilbert menyambung programnya semula.
Kemudian Hilbert bentangkan deduktif kalkulus beliau. Dan bersama bernay buktikan propositional logic itu complete (Bernay, tengok dalam godel punye reference). Tapi masih tak dapat nak buktikan first order (satu sistem formal yang lebih besar di mana ianya meletakkan predikat∃dan∀). Tapi kemudiannya first order ini dibuktikan oleh tesis PhD si Godel.
menjawap soalan Poincare mengenai circular reasoning dengan memjelaskan strong induction dalam matematik, dan weak induction (contentual reasoning) dalam metamatematik. Perbezaan, strong formalism yang percaya matematik tu hanyalah simbol, dan weak formalism, matematik dan konsistensy boleh diasingkan.
Kasalah kontinum contohnya di dalam nombor nyata. Hilbert 1900b berpenda-pat satu kenyataan dalam sesebuah sistem matematik (aritmetik contohnya) tidak akan wujud selagi ianya tidak dapat dibuktikan dengan hujah yang terhingga. Jadi kesimpulannya dari sini jika sistem aksiom dalam sistem matematik tu dapat dibuktikan ketekalannya, maka semua sistem matematik itu secara langsungnya boleh dibuktikan (termasuklah konsep continuum). Jadi di sini ambil contoh satu line 3-4, pi dan euler number ada di situ. mungkin ada nombor irrational yang lain yang berada di tengah tengah tu tapi mengikut constructivism, kemunggkinan tu tidak akan wujud selagi ianya dapat dibuktikan.
Arbitrari,A∧ ¬A→1 = 0ataupunA∧ ¬A→06= 0
Hilbert 1926bentangkan kontinum yang kantor postulatkan tapi tak dapat jawap dengan secara langsung, tetapi, beliau selesaikan masalah tu menggunakan teori bukti. Hilbert 1930, m. 1152, memberi definisi metamatematik sebagai matematik yang mengkaji matematik, dan ditambah dengan contentual inference (weak induction), tapi cuma digunakan untuk membuktikan consistency. Hilbert 1930kritik ahli falsafah sebagai ignorabimus, lebih cenderung kepada sains, dan bukan realism. Kritik ilmu a priori, yang dikatakan ahli falsafah banyak igno-rabimus. Sebab contoh banyak ilmu yang a priori boleh dibuktikan salah juka ianya tak menepati empirik, ataupun pemikiran. Sebab tu dia tak puas hati dengan pengabaian hukum pengecualian tengah, sebab dia beri contoh hukum ini dibuktikan sangat berguna terhadap ilmu yang empirik sekarang. Hilbert 1930
ringkaskan tesis dia (completeness first order). Soundness sahaja tidak mencukupi, akan tetapi memerlukan pembuktian daripada ketekalan juga.
Teorem Ketaklengkapan Godel
Godel antara salah seorang yang mengikuti perkembangan teori bukti dan forma-lisme Hilbert. Pada 19308
, beliau menyiapkan tesis PhD beliau yang membuktikan kelengkapan bagi sistem logik peringkat pertama9
. Kemudiannya beliau cuba untuk membuktikan ketekalan analisis berasaskan aksiom aritmetik yang dibina
8Godel 1930b 9
oleh Hilbert, namun sebaliknya menyedari bahawa wujudnya formula10
ϕyang benar yang boleh diperolehi dari sistem formal (Γϕ) akan tetapi formulaϕini tidak dapat dibuktikan melalui sistem itu sendiri (Γ0ϕ). Justeru menjadikan teori formal aritmetik yang Hilbert bina itu tidak lengkap. Pembuktian ini juga dikenali sebagai teorem ketaklengkapan Godel yang pertama, dan teorem ini secara tidak langsung menyangkal kebolehpakaian sistem formal atau teori bukti yang Hilbert bina.
Ditambah lagi, pada tahun yang sama, Godel membuktikan–yang dikenali sebagai teorem ketaklengkapan kedua–bahawa, walaupun bagi sesebuah sistem formal11
itu dapat dibuktikan tekal, akan wujudnya satu formulaϕ–yang tekal juga–tetapi tidak dapat dibuktikan oleh sistem formal tersebut.
Teorem ini secara dasarnya menunjukkan bahawa ketekalan sesebuah sistem formal12
tidak dapat mengimplikasikan ketekalan sistem matematik. Ini secara langsung menghancurkan impian formalisme Hilbert serta merta, kerana dari awal lagi program ini bermula, Hilbert beranggapan bahawa, hanyalah cukup untuk membuktikan ketekalan sistem aksiom untuk menyimpulkan bahawa sistem matematik itu juga tekal–atau dengan kata lainnya, sistem matematik itu bebas dari percanggahan.
Perkembangan Teori Bukti
Walaupun formalisme Hilbert secara dasarnya tumbang tatkala teorem ketakleng-kapan Godel dibentangkan, namun teorem ini cuma menyangkal mana-mana sistem aksio yang lemah, jika sistem formal yang baru itu cukup mampu mengata-si kelemahan yang diformulamengata-sikan di dalam mengata-sistem Godel, seperti yang dibina oleh Gentzen, maka sistem formal itu mungkin boleh digunakan untuk mengitlakkan ketekalan matematik. Dan atas kerana Godel lah, sudah menjadi kebiasaan di dalam wacana logik, selepas beliau, untuk membuktikan setiap sistem logik itu samaada ianya lengkap ataupun tidak sebelum meneruskan apa apa lanjutan.
Teori bukti selepas Hilbert dapat berkembang, terutamanya, selepas Gentzen memperkenalkan sistem formal yang baru beliau yang mempunyai sintaks kalkulus yang dilihat lebih mudah, intuitif, dan berguna. Gentzen pada awalnya membina sistem formalnya dengan mencipta satu sistem yang bernama deduksi sejadi, yang, seperti namanya diberi, lebih bersifat semula jadi, akan tetapi beliau tidak berjaya untuk membuktikan ketekalan aritmetik menggunakan sistem ini. Kemudiannya beliau membina satu lagi sistem baru13
yang dinamakan kalkulus turutan, dan
10
Formula di sini adalah istilah teori bukti yang memberi maksud rantaian simbol seperti
∃x∀y(x+y=y+x) 11
Seperti aksiom Hilbert ataupun aksiom di dalamPrincipia MathematicaRussell–Whitehead
12
Termasuklah aritmetik Peano, logik peringkat kedua, logik predikat, dll
13
akhirnya berjaya membuktikan ketekalan aritmetik yang diidamkan oleh ahli-ahli formalisme dari awalnya lagi14
Akhir sekali, sebagai penutup, kami ingin memberi pengenalan terhadap disiplin baru yang dikenali sebagai semantik berteori bukti. Deduksi sejadi yang Gentzen tinggalkan juga meraih banyak perhatian daripada ahli falsafah dan ahli matematik, terutamanya, atas kerana ianya dilihat lebih semula jadi dan intuitif berbanding kalkulus turutan. Prawitz dengan tesis PhD beliau pada 1965 membuktikan ketekalan deduksi sejadi yang telah gagal dibuktikan pada awalnya oleh Gentzen. Dummett, seorang ahli falsafah yang dipengaruhi oleh Wittgenstein dan Frege, pula melihat perkakas yang dibina oleh formalisme (deduksi sejadi) ini boleh digunapakai sebagai alat yang lebih sesuai untuk memahami falsafah bahasa dan juga metafizik secara umum.
Berbeza dengan kalkulus turutan, deduksi sejadi mampu merealisasikan pan-dangan beliau (dan juga Wittgenstein) terhadap simbol dan makna. Berbeza juga dengan teori bukti yang biasa, semantik berteori bukti bukanlah dianggap sebagai satu permainan simbol yang tidak memberi makna apa apa, malah setiap simbol dan kaedah inferensnya mempunyai atau akan diberikan makna. Semantik berteori bukti ini mungkin mampi menjadi alternatif sistem bahasa sejadi yang sekarang sering dilihat dan dibina cuma berasaskan teori type (eg: tatabahasa Montague, tatabahasa generatif Chomsky, dll) yang secara tak langsung masih berdamping dengan formalisme yang klasik: simbol tanpa makna.
Rujukan
Avigad, Jeremy and Erich H. Reck (2001),Clarifying the nature of the infinite: The development of metamathematics and proof theory.
Brower, L. E. J. (1912), “Intuitionism and formalism”, inPhilosophy of Mathe-matics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam. — (1927), “Intuitionistic reflection on formalism”, in From Frege to Godel: A
source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort. Curry, Haskell B. (1951), Outlines of a formalist philosophy of mathematics,
North-Holland Publishing Company.
— (1954), “Remarks on the definition and nature of mathematics”, inPhilosophy of Mathematics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam. Detlefsen, Michael (2005), “Formalism”, inThe Oxford Handbook of Philosophy of
Mathematics and Logic, ed. by Steward Shapiro.
14
Dummett, Michael (1975), “The philosophical basis of intuitionistic logic”, in
Philosophy of Mathematics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam.
— (1991),The logical basis of metaphysics, Harvard University Press, Cambridge. Gabbay, Michael (2010), “A Formalist Philosophy of Mathematics Part I:
Arith-metic”,Studia Logica, 96, 2, pp. 219-238.
Gentzen, Gerhard (1933), “On the relation between intuitionistic and classical arithmetic”, inThe Collected Papers of Gerhard Gentzen, ed. by Manfred Egon Szabo.
— (1935), “Investigations into logical deduction”, in The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ed. by Manfred Egon Szabo.
— (1938), “The present state of research into the foundations of mathematics”, inThe Collected Papers of Gerhard Gentzen, ed. by Manfred Egon Szabo. Godel, Kurt (1930a), “Some metamathematical results on completeness and
consistency”, inFrom Frege to Godel: A source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1930b), “The completeness of the axioms of functional calculus of logic”, in
From Frege to Godel: A source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1931a), “On completeness and consistency”, inFrom Frege to Godel: A source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1931b), “On formally undecidable propositions of Principia mathematica and related systems I”, inFrom Frege to Godel: A source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1933), “On intuitionistic arithmetic and number theory”, in Kurt Godel collected works Vol I (1929-1936), ed. by Solomon Feferman.
— (1961), “The modern development of the foundations of mathematics in light of philosophy”, inKurt Godel collected works Vol III unpublished essays and lectures, ed. by Solomon Feferman.
Hilbert, David (1900a), “From mathematical problems”, in From Kant to Hilbert: A source book in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald. — (1900b), “On the concept of number”, inFrom Kant to Hilbert: A source book
in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald.
— (1904), “On the foundation of logic and arithmetic”, inFrom Frege to Godel: A source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort. — (1918), “Axiomatic thought”, inFrom Kant to Hilbert: A source book in the
foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald.
Hilbert, David (1923), “The logical foundations of mathematics”, inFrom Kant to Hilbert: A source book in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald.
— (1926), “On the infinite”, in Philosophy of Mathematics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam.
— (1927), “The foundations of mathematics”, in From Frege to Godel: A source book in mathematical logic, 1879-1931, ed. by Jean van Heijenoort.
— (1928),Principles of mathematical logic, Julius Springer.
— (1930), “Logic and the knowledge of nature”, inFrom Kant to Hilbert: A source book in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald. — (1931), “The grounding of elementary number theory”, inFrom Kant to Hilbert:
A source book in the foundations of mathematics. Vol II, ed. by William Ewald. Horsten, Leon (2012), “Philosophy of Mathematics”, Stanford Encyclopedia of
Philosophy.
Kleene, Stephen Cole (1971),Introduction to metamathematics, North-Holland Publishing Company.
Kreisel, Georg (1958), “Hilbert’s programme”, in Philosophy of Mathematics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam.
Negri, Sara and Jan von Plato (2015), “Meaning in Use”, inDag Prawitz on Proofs and Meaning, ed. by Heinrich Wansing, Springer, vol. 7, chap. 10, pp. 239-257. Prawitz, Dag (1965), “Natural Deduction: A proof-theoretical study”,Almquist
and Wiksell.
— (1974), “On the idea of a general proof theory”,Synthese, 27, 1/2, pp. 63-77. — (1975), “Ideas and results in proof theory”, in Proceedings of the second
Scandinavian logic symposium, pp. 235-307.
— (2005), “Logical Consequence From a Constructivist Point of View”, inThe Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, ed. by Steward
Shapiro.
Robinson, Abraham (1969), “From a formalist’s point of view”, Dialectica, 23, 1, pp. 45-49.
Shapiro, Steward (2005), “Logical Consequence, Proof Theory, and Model Theory”, in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, ed. by Steward Shapiro.
Sieg, Wilfried (1988), “Hilbert’s program sixty years later”,The Journal of Symbolic Logic, 53, 2, pp. 338-348.
— (1990), “Reflection’s on Hilbert’s Program”, in Acting and Reflecting, ed. by Wilfried Sieg.
— (2009), “Hilbert’s proof theory”, inHandbook of the History of Logic: Volume 5, ed. by Dov M. Gabbay and John Woods.
Simons, Peter (2009), “Formalism”, inPhilosophy of Mathematics, ed. by Andrew Irvine.
Von Neuman, Johann (1931), “The formalist foundations of mathematics”, in
Philosophy of Mathematics: Selected readings, ed. by Paul Benacerraf and Hilary Putnam.
Von Plato, Jan (2009), “Proof Theory of Classical and Intuitionistic Logic”, in
The development of modern logic, ed. by Leila Haaparanta.
— (2014a), “Generality and Existence: Quantificational Logic in Historical Per-spective”,The Bulletin of Symbolic Logic, 20, 4, pp. 417-448.
— (2014b), “The Development of Proof Theory”, Stanford Encyclopedia of Phi-losophy.
Wansing, Heinrich (2015), “Prawitz, Proofs, and Meaning”, in Dag Prawitz on Proofs and Meaning, ed. by Heinrich Wansing, Springer, chap. 1, pp. 1-32. Weir, Alan (2015), “Formalism in the philosophy of mathematics”, Stanford
Encyclopedia of Philosophy.
Zach, Richard (2015), “Hilbert’s Program”,Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Istilah
Aksiom Axiom.
Deduksi sejadi Natural deduction.
Falsafah logik Philosophy of logic.
Falsafah matematik Philosophy of mathematics.
Hukum kepercamaan Law of identity.
Hukum ketakpercanggahan Law of non-contradiction.
Hukum pengecualian tengah Law of excluded middle.
Hukum-hukum pemikiran Laws of thought.
Kalkulus turutan Sequent calculus.
Ketakterhinggaan Infinity.
Ketekalan Consistency.
Kontinum Continuum.
Logik berfalsafah Philosophical logic.
Logik bermatematik Mathematical logic.
Logik peringkat peratama First order logic.
Logik usulan Propositional logic.
Metamatematik Metamathematics.
Nombor bertingkat Ordinal number.
Semantik berteori bukti Proof theoretic semantics.
Teorem kelengkapan Completeness theorem.
Teorem ketekalan Consistency theorem.
Teori bukti Proof theory.
Teori model Model theory.
