BAB II TINJAUAN PUSTAKA

5 BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Terminologi Dasar Graf

Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) yang ditulis dengan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan yang tidak kosong yang disebut simpul (vertex), sedangkan 𝐸 adalah himpunan boleh kosong yang menghubungkan sepasang simpul dan disebut sisi (edge). Simpul pada graf dapat dilabeli dengan angka, huruf, atau dengan menggunakan huruf dan angka. Misalkan 𝑢 dan 𝑣 adalah simpul-simpul pada suatu graf, maka sisi yang menghubungkan simpul 𝑢 dan 𝑣 dinyatakan dengan pasangan (𝑢, 𝑣) atau dilambangkan dengan 𝑒. Banyak simpul pada graf 𝐺 disebut order dari 𝐺 dinotasikan |𝐺| sedangkan banyaknya sisi disebut size dari 𝐺 dinotasikan ‖𝐺‖. Graf dengan orde 1 disebut graf trivial [3]. Suatu graf dikatakan graf terhubung jika kita mempartisi simpul di G menjadi dua himpunan tak kosong A dan B maka akan selalu ada sisi yang memiliki ujung di A dan di B. Jika berlaku sebaliknya maka graf G dikatakan graf tak terhubung. Simpul 𝑢 ∈ 𝑉(𝐺) dikatakan bertetangga (adjacent) dengan simpul 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) jika terdapat sebuah sisi 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺) diantara 𝑢 ∈ 𝑉(𝐺) dan 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Kondisi bersisiannya 𝑢 ∈ 𝑉(𝐺) dan 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) dapat ditulis 𝑒 = 𝑢𝑣, atau dapat dinyatakan bahwa sisi 𝑒 menempel

(incident) dengan kedua simpul 𝑢 dan 𝑣. Banyaknya sisi yang bersisian pada simpul 𝑣 atau banyaknya simpul yang bertetangga dengan simpul 𝑣 sering disebut sebagai derajat (degree) dan dinotasikan dengan 𝑑(𝑣) [4].

6 2.2 Himpunan Tetangga

Misalkan 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), ℎ𝑖𝑚𝑝𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎 dari simpul v di G, dinotasikan sebagai 𝑁_𝐺(𝑣), merupakan himpunan beranggotakan semua titik yang bertetangga dengan v di G atau 𝑁𝐺(𝑣) = {𝑢|𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺)} [5].

Gambar 2. 1 Contoh graf

Sebagai contoh perhatikan simpul-simpul pada graf Gambar 2. 1, masing-masing simpul pada graf tersebut akan memiliki tetangga sebagai berikut,

𝑁𝐺(𝑣0) = {𝑣1, 𝑣2} 𝑁𝐺(𝑣1) = {𝑣0, 𝑣2} 𝑁𝐺(𝑣2) = {𝑣1, 𝑣0}

2.3 Jenis Graf

Graf Lingkaran adalah graf terhubung sederhana yang memiliki 𝑛 simpul dan 𝑛 sisi dengan setiap simpulnya berderajat dua. Graf Lingkaran dinotasikan dengan 𝐶𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3 [3]. Gambar 2.2 merupakan contoh graf Lingkaran dengan 8 simpul.

7

Gambar 2. 2 Graf Lingkaran 𝐶𝑛

Graf Roda (Wheel Graph) merupakan graf yang digunakan dalam penelitian ini. Graf Roda adalah graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu simpul pada graf lingkaran (𝐶𝑛) dan menghubungkan simpul baru tersebut dengan semua simpul pada graf lingkaran (𝐶_𝑛). Graf Roda dinotasikan dengan (𝑊_𝑛) dimana 𝑛 ≥ 3. Graf Roda memiliki 𝑛 + 1 simpul dan 2𝑛 sisi [6].

Gambar 2. 3 Graf Roda 𝑊8

2.4 Operasi Comb pada Graf

Misalkan 𝐺 dan 𝐻 adalah graf terhubung dan 𝑣 adalah simpul di 𝐻. Operasi comb dari graf 𝐺 dan graf 𝐻 dinotasikan dengan 𝐺 ⊳_∘ 𝐻 adalah graf yang diperoleh dengan mengambil satu kopian 𝐺 dan |𝐺| kopian dari 𝐻 dan melekatkan simpul 𝑢 dari masing-masing graf 𝐻 kopian ke-𝑖 pada simpul ke-𝑖 dari graf 𝐺 [7].

Misalkan 𝑆 = {1, … , |𝑉(𝐺 ⊳_∘𝐻)|}, definisikan himpunan 𝑋 = {𝑣_𝑖𝑜|𝑖 ∈ 𝑆}, kita sebut S sebagai representasi simpul G. didefinisikan juga

8

𝐻𝑖 = {𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2, … , 𝑣𝑖(ℎ−1), 𝑣𝑖𝑜}, kita sebut 𝐻𝑖 sebagai representasi ke-𝑖 dari 𝐻. Misalkan 𝐻_𝑖−= 𝐻_𝑖 ∖ 𝑣_𝑖𝑜 maka 𝐻₁−_{, 𝐻}

2−, … , 𝐻|𝐺|− dan 𝑋 akan membentuk partisi dari 𝑉(𝐺 ⊳∘𝐻).

Struktur dari graf (𝐺 ⊳_∘ 𝐻) akan bergantung pada pemilihan simpul 𝑣𝑜 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑙 ) atau dapat juga disebut simpul pusat pada graf H. Pemilihan simpul tempel yang berbeda dapat menghasilkan graf hasil operasi

comb yang berbeda pula. Sebagai contoh perhatikan graf H pada Gambar 2.4, graf H tersebut dilakukan pemilihan simpul tempel v. Saat dilakukan operasi comb

dengan graf G pada gambar c, didapatkan graf (𝐺 ⊳∘𝐻).

Gambar 2. 4 (a) graf G , (b) graf H, dan (c) graf hasil operasi 𝑮 ⊳°𝑯

2.5 Himpunan Dominasi

Penempatan komponen elektronika yang akan mempermudah setiap pengoperasian mobil tentu sangat penting. Dimana komponen eletronika tersebut berbentuk sensor dengan terpasang begitu rapih dan akan memberikan informasi kepada setiap penggunanya tentang kondisi mobil yang sedang mereka gunakan. Jika bagian penempatan sensor disebuah mobil dianggap simpul dan bagian-bagian yang terhubung oleh kabel dianggap sebagai dua simpul yang bertetangga, maka kita dapatkan sebuah graf yang merepresentasikan rangkaian sensor tersebut. Jika ingin menempatkan sejumlah sensor mobil, dimana setiap sensor

9

dapat mendeteksi ada tidaknya kerusakan pada mobil dimana ia ditempatkan dan bagian tetangganya. Dalam hal ini kita perlu memilih S sebagai himpunan bagian penempatan sensor, sehingga setiap bagian lain pada mobil tersebut bertetangga dengan bagian-bagian di S. Oleh karena, itu kita sebut S sebagai himpunan

dominasi.

Definisi 2. 1 [5] (Himpunan dominasi). Himpunan simpul 𝑆 ⊆ 𝑉(𝐺) dikatakan

himpunan dominasi dari G jika setiap titik di V (G) yang bukan merupakan anggota dari S memiliki tetangga di S, atau ∀𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) ∖ 𝑆, berlaku (𝑁(𝑣) ∩ 𝑆) ≠ ∅.

Agar dapat meminimumkan pemberian sensor, tentunya kita perlu memilih himpunan ruangan yang diberi sensor dengan anggota seminimum mungkin. Untuk itu diperkenalkan istilah bilangan dominasi.

Definisi 2. 2 [5] (Bilangan dominasi). Himpunan dominasi dari G dengan

kardinalitas minimum kita sebut 𝛾_𝐺− 𝑐𝑜𝑑𝑒. Kardinalitas dari 𝛾_𝐺− 𝑐𝑜𝑑𝑒 kita

sebut bilangan dominasi dari G, dinotasikan dengan 𝛾(𝐺).

Contoh 2.1 Misalkan 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), dengan

𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3,𝑣4, 𝑣5, 𝑣6, 𝑣7}, 𝐸(𝐺) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7, 𝑒8, 𝑒9}

Misalkan 𝑆𝑎 = {𝑣1, 𝑣3} dan 𝑆𝑏 = {𝑣1, 𝑣3, 𝑣5}, maka 𝑆𝑏 merupakan himpunan dominasi sedangkan 𝑆_𝑎 bukan merupakan himpunan dominasi karena simpul

10

Gambar 2. 5 Contoh himpunan dominasi

2.6 Bilangan Lokasi Dominasi

Dalam penerapan pemilihan bagian sensor disebuah mobil. Dapat dilihat bahwa dengan memilih himpunan dominasi kita baru bisa mendapatkan informasi jika terjadi kerusakan mobil tapi belum bisa menentukan lokasi kerusakan tersebut terjadi. Karena jika diambil himpunan 𝑆𝑏 pada contoh sebelumnya dan simpul 𝑣3 mendeteksi bahwa terdapat kerusakan pada bagian tetangganya, kita tidak bisa menentukan apakah itu simpul 𝑣2 ataukah 𝑣4 yang mengalami kerusakan.

Sehingga jika kita ingin menempatkan pendeteksi pada sejumlah bagian S agar dapat ditentukan bagian mana yang mengalami kerusakan, maka haruslah setiap simpul selain di S memiliki tetangga yang berbeda terhadap S. Dalam hal ini himpunan simpul tersebut akan disebut sebagai himpunan lokasi dominasi.

Himpunan lokasi dominasi (locating-dominating set) 𝑆 pada graf 𝐺 adalah subset dari 𝑉(𝐺) sedemikian setiap dua simpul 𝐺 yang bukan elemen 𝑆 terhubung, terhadap 𝑆 bertetangga (adjacent) yang berbeda. Kardinalitas minimum di antara himpunan lokasi dominasi pada graf 𝐺 disebut bilangan lokasi dominasi

(locating-dominating number) dari graf 𝐺 dan dinotasikan 𝜆(𝐺).

Definisi 2. 3 [5] (Himpunan lokasi dominasi). Himpunan 𝑆 ⊆ 𝑉 (𝐺) dikatakan

himpunan lokasi dominasi dari G jika untuk setiap dua simpul berbeda 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) ∖ 𝑆, 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 ∅ ≠ (𝑁(𝑢) ∩ 𝑆) ≠ (𝑁(𝑣) ∩ 𝑆) ≠ ∅.

11

Definisi 2. 4 [5] (Bilangan lokasi dominasi). Himpunan lokasi dominasi dari G

dengan kardinalitas minimum kita sebut 𝜆_𝐺 − 𝑐𝑜𝑑𝑒. Kardinalitas dari 𝜆_𝐺− 𝑐𝑜𝑑𝑒

kita sebut bilangan lokasi dominasi dari G, dinotasikan dengan 𝜆(𝐺).

Contoh 2.2 Misalkan 𝐺 = (𝑉 (𝐺), 𝐸(𝐺)), graf yang sama dengan graf pada

contoh sebelumnya, dan misalkan 𝑆_𝑐 = {𝑣₇, 𝑣₃}, dan 𝑆_𝑑 = {𝑣₁, 𝑣₃, 𝑣₅}, maka 𝑆_𝑑

merupakan himpunan lokasi dominasi sedangkan 𝑆𝑐 bukan himpunan lokasi dominasi karena simpul 𝑣₂, 𝑑𝑎𝑛 𝑣₄ memiliki tetangga yang sama di

𝑆_𝑐 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 {𝑣₇, 𝑣₃}.

Gambar 2. 6 Contoh himpunan lokasi dominasi

2.7 Hasil Terdahulu

Konsep bilangan dominasi pertama kali di definisikan oleh Claude Berge pada tahun 1958. Kemudian Slater memulai kajian bilangan-dominasi lokasi pada 1987. Hingga saat ini telah banyak hasil yang didapat dalam kajian dua bilangan tersebut. Untuk beberapa keluarga graf seperti graf lintasan (𝑃𝑛), graf siklus (𝐶𝑛) graf lengkap (𝐾𝑛), graf bipartit lengkap (𝐾𝑟,𝑛−𝑟), graf bintang (𝐾1,𝑛−1) dan graf roda (𝑊1,𝑛−1), nilai bilangan dominasi dan lokasi dominasi untuk graf tersebut sudah dapat ditentukan. Dapat dilihat pada tabel,

12

Tabel 2. 1 Tabel parameter lokasi dominasi beberapa keluarga graf bedasarkan Cáceres, dkk [8].

𝐺 𝛾 𝜆 𝑃𝑛, 𝑛 ≥ 3 ⌈ 𝑛 3⌉ ⌈ 2𝑛 5⌉ 𝐶𝑛, 𝑛 ≥ 6 ⌈ 𝑛 3⌉ ⌈ 2𝑛 5⌉ 𝐾𝑛, 𝑛 ≥ 1 1 𝑛 − 1 𝐾1,𝑛−1, 𝑛 ≥ 2 1 𝑛 − 2 𝐾𝑟,𝑛−𝑟, 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 − 𝑟 2 𝑛 − 2 𝑊1,𝑛−1, 𝑛 ≥ 7 1 ⌈(2𝑛 − 2) 5 ⌉

Secara umum meggunakan diameter dari graf, Cáceres, dkk. [8] memberikan batasan untuk nilai bilangan lokasi dominasi dari suatu graf melalui teorema berikut,

Teorema 2.1 [8] Misalkan G graf berorde n, 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) = 𝐷 ≥ 3 dan 𝜆(𝐺) = 𝜆,

maka 𝜆 + ⌈(3𝐷−1) 5 ⌉ ≤ 𝑛

Lema 2.1 [8] Misalkan G graf berorde n, 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) = 𝐷 dan 𝜆(𝐺) ≥ 𝑛 − 2,