erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3

Perkalian Silang, Garis & Bidang

dalam Dimensi 3

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :

 Dapat menghitung perkalian silang dari suatu

vektor dan mengetahui contoh aplikasinya

Perkalian silang (cross product)

vektor u dan vektor v di Ruang-3 dan mengapit sudut , u = (u

₁

, u

₂

, u

₃

) v = (v

₁

, v

₂

, v

₃

)

maka u  v = w di mana w ortogonal terhadap u dan v

u  v = u

₂

u

₃

, – u

₁

u

₃

, u

₁

u

₂

v

₂

v

₃

v

₁

v

₃

v

₁

v

₂

w

₁

w

₂

w

₃

v



u

w = u  v

Aturan tangan kanan:

Arah genggaman = arah u ke v

Arah ibu jari = arah w

Perkalian silang (cross product)

u  v = u

1

u

₂

u

₃

v

₁

v

₂

v

₃

Perkalian silang (cross product)

Teorema 3.4.1

Jika u, v dan w adalah vektor dalam dimensi 3:

u . (u  v) = 0 (skalar) v . (u  v) = 0 (skalar)

|| u  v ||²= || u ||² || v ||² – (u . v)² u  (v  w) = (u . w)v – (u . v)w

(u  v)  w = (u . w)v – (v . w)u

Perkalian silang (cross product)

Teorema 3.4.2

Jika u, v dan w adalah vektor dalam dimensi 3:

u  v = – (v  u)

u  (v + w) = (u  v) + (u  w) (u + v)  w = (u  w) + (v  w)

k (u  v) = (ku)  v = u  (kv) u  0 = 0  u = 0

u  u = 0

Vektor Satuan Standar (dalam ruang dimensi 3)

Vektor-vektor satuan di Ruang-3 : i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1)

i  i = j  j = k  k = 0 (vektor nol)

i  j = k j  k = i k  i = j j  i = – k k  j = – i i  k = – j

i

j

k i

j k

i

j

k

Dengan demikian jika u dan v dinyatakan dalam i, j, k, maka u  v = i j k

u

1

u

₂

u

₃

v

₁

v

₂

v

₃

Catatan:

u = (u

₁

, u

₂

, u

₃

) = (u

₁

, 0, 0) + (0, u

₂

, 0) + (0, 0, u

₃

)

= (u

₁

, 0, 0) + (0, u

₂

, 0) + (0, 0, u

₃

) = u

₁

i + u

₂

j + u

₃

k

Teorema 3.4.1 & 3.4.2: Teorema 3.4.3 & 3.4.4:

u . (u  v) = 0 (skalar) Jika u dan v merupakan vektor v . (u  v) = 0 (skalar) di Ruang-3 maka || u  v || adalah

|| u  v ||²= || u ||² || v ||² – (u . v)² luas jajaran genjang yang u  (v  w) = (u . w)v – (u . v)w dibentuk oleh u dan v.

(u  v)  w = (u . w)v – (v . w)u u = (u₁, u₂, u₃); v = (v₁, v₂, v₃);

w = (w₁, w₂, w₃)

u  v = – (v  u) u₁ u₂ u₃

u  (v + w) = (u  v) + (u  w) v₁ v₂ v₃ (u + v)  w = (u  w) + (v  w) w₁ w₂ w₃ k (u  v) = (ku)  v = u  (kv) adalah volume parallelepipedum

u  0 = 0  u = 0 yang dibentuk u, v, w (ambil harga mutlaknya) u  u = 0

1 2 3

1 2 3

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

= i :

u (1, 2, 2)

u 1 2 2 2 7 6

(3, 0,1)

3 0 1

i j k

u v u u u

v v v

u u u u u u

j k

v v v v v v

Contoh

i j k

v i j k

v

 

 

   

 

 

     

 

     

 

   

 

          

   

 

k j

i u

v

k j

i u v

v u

3 7

1 1

3 0 2

1 1 0 2

1 1 3

) 1 , 3 , 0 ( ),

2 , 1 , 1 (









 

 











Contoh (3) :

Carilah luas segitiga yang dibentuk titik P1(2,2,0), P2(-1,0,2), P3(0,4,3)

Penyelesaian :

P1P2 = (-3,-2,2), P1P3 = (-2,2,3)

2 225 15 2

100 1 25

2 100 A 1

segitiga Luas

10 5

2 10 1 3 2 2

2 2 2 3

A 1 segitiga Luas

) 3 1 2

1 2 (

A 1 segitiga Luas































k j

i k

j i

P P P

P

Teorema :

Jika u dan v adalah vektor berdimensi 3, maka ||u x v||

merupakan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v Contoh :

hitung luas jajaran genjang yang dibentuk oleh 3 titik dicontoh sebelumnya

Penyelesaian : Luas = 2 x luas segitiga

= 2 x 15/2 = 15

Teorema :

jika u,v, dan w merupakan vektor dimensi 3, maka u.(v × w ) disebut sebagai hasil skalar ganda tiga dari u,v, dan w

3 2

1

3 2

1

3 2

1

) (

w w

w

v v

v

u u

u w

v

u   

Contoh:

hitung u.(v × w ) dengan u = 3i – 2j – 5k, v = i +4j – 4k, w = 3j + 2k

Penyelesaian :

3 49 0

4 5 1

2 0

4 2 1

2 3

4 3 4

) (

2 3

0

4 4

1

5 2

3 )

(



 

 



















w v u

w

v

u

Garis dan Bidang di Ruang-3

Bidang Datar:

Persamaan normal-titik (point normal form):

Titik P

_o

(x

_o

,y

_o

,z

_o

) dan titik P(x, y, z) terletak di bidang datar  Vektor normal n = (a, b, c) ortogonal terhadap bidang 

 P

_o

P

n = (a, b, c) ^{Vektor P}

^o

^{P = (x – x}

^o

^{, y – y}

^o

^{, z –z}

^o

⁾

Karena n ortogonal terhadap , maka n juga ortogonal terhadap vektor P

_o

P, sehingga

n . P

_o

P = 0

Bidang Datar  dinyatakan dengan persamaan:

a(x – x

_o

) + b(y – y

_o

) + c(z –z

_o

) = 0

Bidang Datar:

a(x – x

_o

) + b(y – y

_o

) + c(z –z

_o

) = 0

Contoh :

Tentukan persamaan bidang yang melewati titik (3,-1,7) dan tegak lurus terhadap vektor n = (4,2,-5)

Penyelesaian :

4(x-3) + 2(y+1) – 5(z-7) = 0

Jadikan bentuk ax + by + cz + d = 0

Maka persamaan bidang adalah  4x + 2y – 5z + 25 = 0

Bidang Datar:

a(x – x

_o

) + b(y – y

_o

) + c(z –z

_o

) = 0

Contoh :

Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik-titik P₁(1,2,-1), P₂(2,3,1), dan P₃ (3,-1,2).

Penyelesaian :

Karena ketiga titik terletak pada satu bidang, maka tentukan P₁P₂ dan P₁P₃ Berdasarkan hal tersebut, maka P₁P₂ x P₁P₃ adalah normal terhadap bidang tersebut

P₁P₂ = (2-1, 3-2, 1+1) = (1,1,2) P₁P₃ = (3-1, -1-2, 2+1) = (2,-3,3)

P₁P₂ x P₁P₃ = (9,1,-5) Persamaan bidang

9(x-1) + (y-2) – 5(z+1) = 0 x₀, y₀, z₀ boleh dipilih dari salah satu titik P₁, P₂, atau P₃

Bentuk umum Persamaan Bidang Datar:

Dari Persamaan Normal-titik (point normal form):

 P

_o

P n = (a, b, c)

a(x – x

_o

) + b(y – y

_o

) + c(z –z

_o

) = 0 ax + by + cz + (– ax

_o

– by

_o

– cz

_o

) = 0 ax + by + cz + d = 0

ax + by + cz + d = 0

Bidang Datar  dinyatakan

dengan persamaan :

Bidang Datar:

Bentuk vektor Persamaan Bidang Datar:

Dalam Persamaan normal-titik P dan P

_o

dianggap sebagai titik.

Jika r = vektor OP dan r

_o

= vektor OP

_o

, maka vektor P

_o

P = r – r

_o

(di sini titik O adalah titik awal koordinat Cartesius)

P

_o

P

r

_o

r r – r

_o

O

Dari n . P

_o

P = 0 diperoleh

n . (r – r

_o

) = 0

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3:

Bentuk Parametrik Persamaan Garis Lurus:

Vektor P_oP sejajar dengan vektor v P_oP = (x – x_o, y – y_o, z – z_o)

P_oP = tv (t skalar)

(x – x_o, y – y_o, z – z_o) = t(a, b, c) (a, b, c)

v



P(x, y, z)



P_o(x_o, y_o, z_o)

x – x

_o

= ta y – y

_o

= tb z – z

_o

= tc

Persamaan Parametrik

x = x

_o

+ ta

y = y

_o

+ tb

z = z

_o

+ tc

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3:

Contoh

Garis yang melewati titik (1,2,-3) dan sejajar dengan vektor v= (4,5,-7) memiliki persamaan parametrik :

x = 1 + 4t y = 2 + 5t z = -3 - 7t Contoh

Tentukan persamaan parametrik untuk garis l yang melewati titik P1 (2,4,-1) dan P2 (5,0,7), dan dimanakah garis tersebut memotong bidang xy?

Penyelesaian :

a) Persamaan parametrik :

P₁P₂ = (5-2, 0-4, 7+1) = (3,-4,8) x = 2 + 3t, y = 4-4t, z = -1+8t

b) Memotong bidang xy, maka z = -1+8t = 0  t = 1/8  (x,y,z) = (19/8, 7/2, 0)

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3

Bentuk vektoris Persamaan Garis Lurus:

(a, b, c)

v





P(x, y, z) P_o(x_o, y_o, z_o)

r

_o

r r - r

_o

r – r

_o

sejajar v r – r

_o

= tv

r = r

_o

+ tv

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar

n = (a, b, c)

.

.

^{Po(xo, yo, zo)}

Q(x₁, y₁, z₁)

D

D = || proj

_n

QP

_o

||

= | QP

_o

. n | / || n ||

= | n . QP

_o

| / || n ||

n = (a, b)

QP

_o

= (x

_o

– x

₁

, y

_o

– y

₁

, z

_o

– z

₁

)

n . QP_o = a(x_o – x₁) + b(y_o – y₁) + c(z_o – z₁) = ax_o – ax₁ + by_o – by₁ + cz_o – cz₁

= ax_o + by_o + cz_o – ax₁ – by₁ – cz₁

Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar

P_o(x_o, y_o, z_o)

n = (a, b, c)

.

.

Q(x₁, y₁, z₁)

D

n . QP_o

= a(x_o – x₁) + b(y_o – y₁) + c(z_o – z₁) = ax_o – ax₁ + by_o – by₁ + cz_o – cz₁

= ax_o + by_o + cz_o – ax₁ – by₁ – cz₁

= ax_o + by_o + cz_o + d

|| n || =  a

²

+ b

²

D = | n . QP

_o

| / || n ||

= |a x

_o

+ by

_o

+ cz

_o

+ d | / a

²

+ b

²

+c

²

Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 Karena Q terletak di bidang ini, maka ax₁ + by₁ + cz₁ + d = 0

atau d = – ax₁ – by₁ – cz₁

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar

Tentukan jarak D antara titik (1,-4,-3) dengan bidang 2x -3y +6z = -1 Penyelesaian

Bidang : 2x – 3y + 6z + 1 = 0

𝐷 = 2 1 + −3 −4 + 6 −3 + 1 2² + (−3)²+6²

Jarak antara bidang-bidang sejajar

Bidang

x + 2y -2z =3 dan 2x + 4y -4z = 7

Adalah sejajar karena normalnya adalah (1,2,-2) dan (2,4,-4). Tentukan jarak antara kedua bidang tersebut.

Penyelesaian :

Pilih salah satu titik dari sebarang bidang  hitung jaraknya terhadap bidang lain Misal masukkan y = z = 0 ke x + 2y -2z =3 maka diperoleh titik P(3,0,0).

 Hitung jarak antara titik P(3,0,0) dengan bidang 2x + 4y -4z = 7

𝐷 = 2 3 + 4 0 + −4 0 − 7

2² + 4² + (4)² = 1 6

THANK YOU *(^_^)*

.. end of slide ..