TAXONOMY FOR ASSESSING CONCEPTUAL UNDERSTANDING IN
ALGEBRA USING MULTIPLE REPRESENTATIONS
Pengarang : Regina M. Panasuk
Proquest.com
TAKSONOMI UNTUK MENILAI PEMAHAMAN KONSEP DALAM ALJABAR MENGGUNAKAN PERNYATAAN GANDA
NAMA PENERJEMAH : NUR HANDIKA
NIM : B2AO15015
TAKSONOMI UNTUK MENILAI PEMAHAMAN KONSEP DALAM ALJABAR MENGGUNAKAN PERNYATAAN GANDA
Abstrak
Siswa aljabar mungkin sering menunjukkan tingkat kecakapan tertentu ketika memanipulasi ekspresi aljabar dan verbalisasi perilaku mereka. Apakah
kemampuan ini menyiratkan pemahaman konseptual? Apa indikator yang dapat diandalkan yang akan memberikan pendidik dengan ukuran yang relatif dapat dipercaya dan konsisten untuk mengidentifikasi apakah siswa mempelajari konsep-konsep aljabar luar prosedur? Artikel ini memperkenalkan taksonomi untuk menilai tingkat sekolah menengah siswa aljabar 'pemahaman persamaan linear dengan satu tidak diketahui. Taksonomi yang berakar pada ide-ide yang berkaitan dengan tingkat abstraksi dan mengurangi tingkat abstraksi, teori operasional dan struktur konsepsi, dan konsep representasi dalam pendidikan matematika. [PUBLIKASI ABSTRAK]
Pendahuluan
Siswa aljabar mungkin sering menunjukkan tingkat kecakapan tertentu ketika memanipulasi ekspresi aljabar dan verbalisasi perilaku mereka. Apakah
Pengantar
Konsep yang tidak diketahui dan operasi dengan tidak diketahui adalah pusat untuk mengajar dan belajar aljabar sekolah menengah. Siswa sering mengungkapkan tingkat tertentu kemahiran memanipulasi simbol aljabar, dan ketika didorong, dapat verbalisasi dan menjelaskan langkah-langkah yang mereka lakukan, sehingga menunjukkan kesadaran prosedur menurut aturan tetap. Hal ini didokumentasikan dengan baik namun yang demonstrasi yang benar dan tampaknya fasih prosedur tidak selalu menunjukkan pemahaman konseptual (Herscovics, 1996; Herscovics & Linchevski, 1994; Kieran, 1992; Kieran & Chalouh, 1993; Langrall & Swafford, 1997).
Menganalisa secara obyektif dan menilai pemikiran dan perilaku siswa, dan membuat keputusan tentang belajar konsep aljabar luar prosedur, pendidik perlu indikator yang dapat diandalkan untuk merujuk, dan sederhana, bahasa belum terstruktur untuk berkomunikasi. Makalah ini menjelaskan segmen dari studi longitudinal skala besar pada representasi dalam aljabar dan menunjukkan taksonomi untuk menilai pemahaman konseptual hubungan linear dengan satu tidak diketahui.
Tiga ide utama menjadi dasar dari penelitian ini: a) peran beberapa representasi dalam menyelidiki pemahaman pembelajaran matematika, dengan fokus khusus pada interpretasi, koneksi dan terjemahan antara representasi dari hubungan struktural yang sama, b) gagasan adaptasi terhadap abstraksi dan pengembangan pemahaman konseptual sebagai proses pertumbuhan dari tingkat abstraksi, dan c) gagasan mengurangi tingkat abstraksi sebagai proses mental menghadapi tingkat abstraksi dari konsep atau tugas yang diberikan. Ide-ide ini dipandu pengamatan peneliti, analisis, dan perumusan taksonomi.
Bagian ini secara singkat menguraikan posisi teoritis utama dan penelitian yang tergolong ke dan menjabat sebagai latar belakang untuk penelitian ini.
Penalaran aljabar dan pemahaman konseptual dalam aljabar
Penalaran aljabar telah digambarkan sebagai proses generalisasi pola dan pemodelan masalah dengan berbagai representasi (Driscoll, 1999; Herbert &
Brown, 1997). Langrall dan Swafford (1997) didefinisikan penalaran aljabar sebagai "kemampuan untuk beroperasi pada kuantitas yang tidak diketahui seakan
kuantitas dikenal" (hal. 2).
Memahami secara umum dan dalam matematika pada khususnya adalah kekuatan logis dimanifestasikan oleh pemikiran abstrak. Pemahaman konseptual dalam aljabar ditunjukkan oleh kemampuan untuk mengenali hubungan fungsional antara variabel dikenal dan tidak dikenal, independen dan dependen, dan untuk
membedakan antara dan menginterpretasikan representasi yang berbeda dari konsep-konsep aljabar. Hal ini dicontohkan oleh kompetensi dalam membaca, menulis, dan memanipulasi baik simbol nomor dan simbol aljabar yang digunakan dalam formula, ekspresi, persamaan, dan ketidaksetaraan. Kefasihan dalam bahasa aljabar ditunjukkan oleh penggunaan yakin kosakata dan makna serta operasi yang fleksibel pada aturan tata bahasa (yaitu sifat matematika dan konvensi) juga
menunjukkan pemahaman konseptual dalam aljabar Representasi
Sistem simbol dan representasi sangat penting untuk matematika sebagai suatu disiplin sejak matematika adalah "inheren representasional dalam niat dan metode" (Kaput, 1989, hal. 169). Goldin dan Shteingold (2001) menyarankan untuk
membedakan sistem internal dan eksternal dari representasi (p. 2).
Menurut Goldin dan Shteingold (2001), representasi eksternal "biasanya tanda atau konfigurasi atau tanda-tanda, karakter, atau benda" dan bahwa representasi
eksternal dapat melambangkan "sesuatu selain dirinya sendiri (hal. 3). Sebagian besar representasi eksternal dalam matematika (misalnya, tanda-tanda operasi, simbol, atau komposisi tanda dan simbol yang digunakan untuk mewakili hubungan tertentu) yang konvensional, mereka obyektif ditentukan, didefinisikan dan diterima (p 4.).
Banyak peneliti (misalnya, Boul ton-Lewis & Tait, 1993; Diezmann, 1999; Diezmann & Inggris, 2001; Outhred & Saradelich, 1997; Verschaffel, 1994; Swafford &
Langrall, 2000) setuju bahwa dalam pendidikan matematika representasi merujuk pada konstruksi, abstraksi dan demonstrasi pengetahuan matematika, serta ilustrasi situasi pemecahan masalah. Hubungan matematika, prinsip, dan ide-ide dapat dinyatakan dalam beberapa representasi struktural setara termasuk
representasi visual (yaitu, diagram), representasi verbal (bahasa lisan dan tertulis) dan representasi simbolik (angka, huruf). Kemampuan untuk mengenali,
menciptakan, menginterpretasikan, membuat koneksi dan menerjemahkan antara representasi adalah alat komunikasi yang kuat untuk berpikir matematis. Setiap sistem representasi kontribusi untuk komunikasi yang efektif dari ide-ide
matematika dengan menawarkan jenis tertentu bahasa untuk mengekspresikan ide-ide matematika dengan cara yang tepat dan koheren, sehingga memberikan
berbagai sumber dan jalan untuk mengembangkan pemahaman konseptual matematika. Dreyfus dan Eisenberg (1996) menyatakan bahwa penggunaan fasih dan fleksibel dari beberapa representasi dari "struktural yang sama" (hal. 268) konsep matematika kemungkinan akan terkait dengan pemahaman konseptual yang mendalam.
Penelitian difokuskan pada siswa yang dihasilkan representasi dan dampak selanjutnya dari representasi ini untuk belajar konsep-konsep matematika
menunjukkan bahwa ketika siswa menghasilkan representasi dari konsep atau saat memecahkan masalah (sebagai sarana komunikasi matematika) mereka alami cenderung mengurangi tingkat abstraksi (yang diberikan oleh konsep / masalah) ke tingkat yang kompatibel dengan struktur kognitif mereka (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005; Pape & Tochanov, 2001). Demikian pula, Wilensky (1991)
abstrak lebih konkret. Dia berargumen bahwa siswa mencoba untuk
'mengkonkretkan' konsep mereka belajar untuk "datang dengan konsep sedekat mungkin" (hal. 196). Proses 'concretizing' dapat dikaitkan dengan pembangunan sebuah representasi internal dan dapat melibatkan proses mengurangi tingkat abstraksi. Oleh karena itu, tampaknya logis untuk melihat representasi dan mengurangi abstraksi ide terkait erat.
Abstraksi
Abstraksi sebagai tindakan mental yang memisahkan properti atau karakteristik dari sebuah objek dari objek mana ia berasal atau terkait dengan dan membentuk citra kognitif atau konsep (abstraksi) dari objek. Dengan demikian, abstraksi dapat dipahami sebagai proses mental yang mempromosikan dasar pemikiran yang memungkinkan seseorang untuk alasan.
Konsep abstraksi di bidang penelitian pendidikan matematika telah diperiksa dari perspektif yang berbeda (Ferrari, 2003; Frorer et al, 1997;. Gray & Tinggi, 2007; Heibert & Lefevre, 1986; OhIsson & Lehtinen, 1997; Skemp, 1986 ; Tinggi, 1991). Hazzan dan Zazkis (2005) menyatakan bahwa beberapa jenis konsep yang lebih abstrak daripada yang lain, dan bahwa kemampuan untuk abstrak merupakan keterampilan penting untuk pembelajaran bermakna matematika. Siswa
matematika terus terlibat dalam proses abstraksi karena mereka terlibat dalam transformasi persepsi mereka menjadi citra mental dengan cara representasi yang berbeda. Penting untuk penelitian ini adalah gagasan dari tingkat abstraksi
(Cifarelli, 1988; Heibert & Lefevre, 1986; Skemp, 1986; Wilensky, 1991), gagasan adaptasi abstraksi (Piaget, 1970; Von Glaserfeld, 1991), dan gagasan mengurangi tingkat abstraksi (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005).
Cifarelli (1988) menunjukkan tingkat abstraksi reflektif yang mencakup pengakuan, representasi, abstraksi struktural, dan kesadaran struktural. Pada tingkat tertinggi (yaitu, kesadaran struktural) siswa mampu memahami struktur masalah dan untuk mewakili metode solusi tanpa menggunakan tingkat yang lebih rendah abstraksi. Jika tingkat abstraksi adalah faktor pemahaman konseptual, maka gagasan adaptasi abstraksi menjadi penting, dan proses membangun pemahaman konseptual
tinggi. Dengan demikian pertumbuhan pemahaman konseptual dimanifestasikan oleh peningkatan kemampuan untuk "mengatasi" (Hazzan, 1991; Hazzan & Zaskis, 2005) yang lebih tinggi dari abstraksi.
Contoh berikut menggunakan ide tingkat abstraksi sebagai metafora untuk menggambarkan proses pengembangan pemahaman konseptual dalam aljabar. Asumsikan bahwa operasi pada 'jumlah kata-kata' yang merupakan jumlah tertentu dari benda nyata adalah tingkat pertama abstraksi (abstraksi linguistik). Kemudian, operasi dengan 'jumlah simbol' dapat dianggap sebagai tingkat kedua abstraksi, dan beroperasi pada huruf yang berdiri untuk 'simbol nomor' dapat dilihat sebagai tingkat ketiga abstraksi (abstraksi aljabar). Dengan demikian, kita dapat
menyatakan bahwa abstraksi dalam matematika merupakan kegiatan
mengintegrasikan potongan informasi (fakta) pengetahuan matematika dibangun sebelumnya dan reorganisasi mereka ke dalam struktur matematika baru. Tabel 1 menunjukkan transisi dari beton (sistem nomor, bantu bergambar) untuk abstrak (aljabar simbol).
Hal ini penting untuk mengenali bahwa gambar segmen garis dari jumlah dan / atau tidak dikenal, karena setiap representasi eksternal, memberikan informasi yang terbatas, dan "menekankan beberapa aspek dan menyembunyikan orang lain" (Dreyfus & Eisenberg, 1996, p. 268). Namun, representasi ini mungkin cukup untuk melengkapi dan meningkatkan proses membangun konsep operasi dengan tidak diketahui.
Untuk menggambarkan perilaku peserta didik dalam hal mengatasi tingkat
abstraksi, Hazzan (1999) diperkenalkan dan Hazzan dan Zazkis (2005) memaparkan tentang kerangka teoritis mengurangi tingkat abstraksi. Kerangka kerja ini
diwujudkan dalam mengatasi tingkat abstraksi. Dengan kata lain, ketika siswa tidak dapat memanipulasi dengan tingkat abstraksi (kata, angka, simbol) disajikan dalam soal yang diberikan, mereka sadar atau tidak sadar mengurangi tingkat abstraksi dari konsep yang terlibat untuk membuat konsep-konsep ini dalam jangkauan mereka tahap mental yang sebenarnya pengembangan (Vygotsky, 1985, hlm 0,84-86).
Gambaran di atas ide-ide dan asumsi tentang representasi, abstraksi dan pemahaman konseptual memberikan dasar untuk mengembangkan studi yang ditawarkan perspektif lain pada proses menilai pemahaman konseptual aljabar siswa hubungan linear dengan satu tidak diketahui.
Metode
Sebuah multi-tahun penelitian metode campuran diluncurkan untuk mengeksplorasi tingkat pemahaman siswa sekolah menengah 'hubungan linear dengan satu tidak diketahui. Penyelidikan penelitian telah ditangani melalui analisis survei dan pengamatan proses berpikir siswa saat memecahkan masalah dan menjelaskan solusi mereka selama wawancara.
Instrumen
Survei, yang dirancang oleh peneliti (Panasuk, 2006), terdiri dari beberapa bagian yang saling terkait, empat di antaranya dijelaskan dalam makalah ini. Bagian I berisi 12 item dengan lima opsional Likert pilihan respon skala (selalu, sering, kadang-kadang, jarang, tidak pernah), yang berkerumun di sekitar mode pilihan siswa dari representasi (verbal, bergambar, simbolik). Bagian II pernyataan memiliki tiga pilihan dan meminta para siswa untuk memilih respon yang paling dekat
mencerminkan praktik pembelajaran mereka saat ini dan paling disukai / mode kurang disukai dari tJxinking (kata, diagram, angka / simbol) ketika memecahkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui.
kuantitas yang tidak diketahui disajikan sebagai segmen garis, dan sebagai persamaan aljabar (lihat Gambar 1).
Para siswa tidak diminta untuk memecahkan masalah, melainkan untuk mengamati dan menjelaskan secara tertulis jika mereka mengenali struktural hubungan yang sama (yaitu, jumlah 10 dan nomor tak dikenal adalah 28) disajikan dalam tiga mode yang berbeda.
Bagian IV memiliki tiga set masalah: Set W (kata), Set D (diagram) dan Set S (simbol). Setiap set terdiri dari tiga masalah yang terlibat hubungan linear dengan satu tidak diketahui untuk dipecahkan menggunakan satu-twostep penambahan / pengurangan dan perkalian / pembagian. Para siswa diminta untuk memecahkan setiap masalah. Set W memiliki tiga masalah kata yang bisa dimodelkan dengan cara persamaan linear dengan satu tidak diketahui. Set D berpose tiga hubungan linear yang disajikan dalam bentuk visual melalui diagram mirip dengan masalah (b) pada Gambar 1. Set S berisi tiga persamaan linear dengan satu tidak diketahui diwakili dalam simbol-simbol, mirip dengan masalah (c) pada Gambar 1. Masalah dalam setiap set memiliki rekan-rekan mereka di set lain disajikan dalam modalitas yang berbeda. Untuk setiap bagian dari survei dan untuk setiap Masalah Set (W, D, dan S) coding sistem diciptakan.
Proses
Selama periode empat tahun berturut-turut empat tingkatan data dikumpulkan dari 1 1 sekolah di empat pinggiran kota dan dua kabupaten kota berkinerja besar dengan populasi beragam siswa. Sekolah-sekolah tidak dipilih secara acak tetapi didekati oleh peneliti dengan permintaan untuk berpartisipasi dalam penelitian ini. Semua sekolah yang berpartisipasi digunakan kurikulum matematika sama, yang diklaim fasilitasi keterampilan penalaran dan penggunaan beberapa representasi. Sekolah diberikan survei untuk semua siswa aljabar 7 dan 8 (Motal = 753). Masing-masing empat tingkatan survei dianalisis dan dibandingkan untuk menggambarkan kemampuan siswa untuk mengenali struktural hubungan linier yang sama disajikan dalam modalitas representasional yang berbeda dan kemampuan untuk
hipotesis tentang indikator pemahaman konseptual siswa hubungan linear dengan satu tidak diketahui. Kategorisasi survei dipandu pemilihan siswa (N = 18) untuk wawancara, enam siswa dari masing-masing kelompok. Wawancara berpusat di sekitar 'kemampuan untuk' siswa mengatasi 'tingkat abstraksi yang disajikan oleh persamaan linear dengan satu tidak diketahui dan diakui hubungan yang sama disajikan dalam tiga mode representasional yang berbeda. Peneliti juga mengamati bagaimana siswa i) diekstraksi informasi dari situasi dan mampu mewakili informasi dalam berbagai modus, ii) representasi dimanipulasi, dan iv) ditafsirkan dan
menguji solusi dari persamaan linear dengan satu tidak diketahui. Hasil
Berdasarkan analisis kemampuan siswa untuk memecahkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui (Bagian rv, Soal Sets) dan kemampuan mereka untuk mengenali struktural hubungan yang sama disajikan dalam modalitas yang berbeda (Bagian III), taksonomi untuk menilai pemahaman konseptual dalam aljabar
menggunakan beberapa representasi dirumuskan.
Tahap 0 Semua siswa yang dibentuk kategori TMS dilaporkan pada Bagian I dan Bagian II dari survei bahwa mereka lebih suka menghafal aturan dan mengingat langkah-langkah, berpikir 'dalam jumlah', dan diperlukan untuk menggunakan 'trial and error' ketika memecahkan masalah. Mereka tidak mengakui drat tiga masalah yang berbeda (Bagian ??) mewakili struktural hubungan yang sama. Tujuh puluh tujuh persen dari siswa dalam kategori ini menemukan jumlah yang tidak diketahui dengan benar untuk masalah yang disajikan dalam kata-kata (Bagian IV, Soal Set W), hanya sekitar setengah (56%) dari siswa tersebut ditemukan panjang tidak diketahui segmen untuk masalah disajikan dalam diagram (Masalah Set D), dan 86% ditemukan benar jumlah yang tidak diketahui dalam persamaan aljabar (Soal Set S). Sejumlah besar kategori ini siswa digunakan metode trial and error untuk menemukan solusi.
Selama wawancara, para siswa ini diminta untuk membuat persamaan aljabar hubungan dinyatakan dalam kata-kata ('jumlah dari dua angka adalah 23, salah satu nomor adalah 9, menemukan nomor lain). Mereka baik menunjukkan
melampaui tingkat angka yang menggambarkan hubungan di mana surat singkatan nomor tak dikenal (misalnya? + 9 = 23). Siswa-siswa ini tampaknya mengalami kesulitan beroperasi dengan kalimat aljabar (persamaan) dan instantiations numerik disukai (Kieran, 1992, hal. 392).
Yang cukup menarik, para siswa dalam kategori ini baik yang mengalami kesulitan atau tidak dapat memecahkan persamaan yang mewakili hubungan yang sama dalam mode bergambar. Akibatnya, mereka kemampuan dan mungkin tidak sikap yang menguntungkan terhadap representasi bergambar kurang menciptakan penghalang untuk belajar bermakna mereka (Kieran, 1992) dan akibatnya pengembangan pemahaman konseptual. Lanjut menyelidik mengungkapkan kebingungan besar dengan diagram ketika mereka diminta untuk menafsirkan diagram diberikan atau untuk membuat mereka sendiri. Sebagai contoh, ketika diminta untuk menggambar diagram yang akan mewakili pengurangan 9 dari 23, beberapa menarik 23 objek (kotak atau lingkaran), kemudian menarik 9 lebih dari objek yang sama, dan kemudian mengatakan mereka akan mengambil 9.
Meringkas di atas, kebutuhan terus-menerus mencoba angka (metode trial and error) ketika menghadapi masalah yang melibatkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui menunjukkan bahwa siswa membuat upaya untuk mengurangi tingkat abstraksi aljabar (simbol huruf) ke abstraksi numerik (jumlah simbol).
Ketergantungan pada nomor adalah indikator bahwa siswa aljabar masih diperlukan instantiations untuk beroperasi pada tingkat kenyamanan yang nomor yang
diberikan kepada mereka. Satu mungkin berhipotesis bahwa bagi siswa ini proses adaptasi terhadap abstraksi numerik telah mencapai beberapa daya tahan, dan bahwa nomor telah menjadi representasi internal mereka dari benda-benda material. Namun, simbol aljabar (surat) yang berdiri untuk diketahui dalam
hubungan linear adalah belum representasi eksternal yang belum diinternalisasikan dan diintegrasikan ke dalam struktur mental yang sebelumnya siswa, dan dengan demikian itu ditolak demi tingkat yang lebih rendah dari representasi (nomor
simbol) yang telah menjadi alat komunikasi matematika mereka menguasai sampai saat ini (Javier, 1987; Lesh, et.al., 1987). Ada kemungkinan bahwa mereka
mengembangkan keterampilan komputasi dengan tingkat mampu mereproduksi dan / atau meniru prosedur. Namun, penalaran aljabar mereka (seperti yang
belum maju ke tingkat abstraksi yang diberikan oleh representasi simbolis dari konsep. Oleh karena itu, sangat tidak mungkin bahwa siswa tersebut dicapai pemahaman konseptual dari persamaan linear dengan satu tidak diketahui.
Tahap 1. Para siswa yang membentuk kategori ini melaporkan bahwa mereka tidak perlu mencoba angka ketika memecahkan persamaan, sehingga tidak perlu
mengurangi tingkat abstraksi yang diberikan oleh masalah. Delapan puluh enam persen dari siswa dalam kategori ini mengindikasikan bahwa mereka bisa 'berpikir dalam simbol' dan simbol agak lebih suka diagram dan masalah kata. Para siswa juga melaporkan bahwa mereka lebih suka menggunakan langkah-langkah ketika memecahkan persamaan (82%), dan mampu menghafal aturan (93%). Enam puluh delapan persen melaporkan bahwa tidak perlu atau ingin menggunakan diagram ketika memecahkan masalah, namun ketika disajikan dengan diagram yang ditampilkan hubungan linear dengan satu tidak diketahui mampu menemukan panjang segmen yang tidak diketahui. Delapan puluh sembilan persen dari siswa dalam kategori ini memecahkan semua sembilan masalah termasuk dalam survei Bagian IV Namun demikian, para siswa ini baik tidak mengenali (ditunjukkan 'tidak' dalam survei) bahwa tiga representasi yang berbeda di Bagian UI berpose struktural hubungan yang sama, atau kiri bagian ini kosong. Beberapa siswa dalam kelompok ini berusaha untuk menggambarkan pemikiran mereka, tetapi tidak menghasilkan penjelasan tertulis jelas dalam survei mereka, dan ketika diwawancarai tidak dapat secara verbal menjelaskan hubungan antara representasi. Ketika diberikan dengan diagram (lihat Gambar. 2), mereka bisa menemukan panjang segmen yang tidak diketahui. Namun ketika diminta untuk menulis sebuah pernyataan aljabar yang akan menggambarkan hubungan yang disajikan oleh diagram, mereka
menghasilkan jenis yang sama dari pernyataan numerik (misalnya, 23-9 = 14) sebagai kategori pertama siswa.
Siswa-siswa ini tahu bagaimana melakukan dan menjelaskan langkah-langkah sementara memecahkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui, yang konsisten dengan tanggapan survei mereka di Bagian I dan Bagian II. Mereka
Pertanyaan menyelidik mengungkapkan bahwa tindakan ini siswa yang agak
mekanik dari berakar pada logika. Pengamatan ini mendukung teori bahwa banyak siswa aljabar sekolah menengah (terutama mereka yang berada dalam masa transisi dari pra-aljabar aljabar) belajar keterampilan prosedural sebelum
mengembangkan konseptual pemahaman (Dubinsky, 1991; Dubinsky & McDonald, 1991; Kieran, 1992; Sfard, 1991 , 1992).
Singkatnya, siswa yang mampu memanipulasi simbol, diucapkan dan mengikuti langkah-langkah yang benar ketika memecahkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui, dan menunjukkan tingkat tertentu kemahiran tanpa mengurangi tingkat abstraksi, kemungkinan besar akan berada dalam proses mengembangkan pemahaman konseptual . Hal ini juga mungkin bahwa mereka berada di jalur pencampuran pengetahuan prosedural dan konseptual (Tinggi, 2008). Mereka menunjukkan keterampilan reproduksi relatif lancar (yaitu, keterampilan proses) yang prasyarat untuk pengembangan pemahaman konseptual. Namun, siswa tersebut hilang satu kemampuan penting. Mereka tidak mampu membuat
hubungan antara representasi yang berbeda (kata, diagram, simbol) yang diajukan struktural hubungan linier yang sama.
Hal ini penting untuk menekankan bahwa peneliti tidak mengklaim bahwa Tahap 0 dan Fase 1 yang berurutan dan mewakili hirarki. Para siswa yang berada di Tahap 1 belum tentu telah melalui Tahap 0.
dengan yang ditampilkan pada Gambar 2 menggunakan simbol-simbol aljabar, mereka menghasilkan persamaan aljabar (misalnya? + 9 = 23). Ketika diminta untuk menggambar diagram yang akan mewakili persamaan (misalnya, m + 13 = 38, 2n = 26, 3x + 2 + 4 = 27), mereka dihasilkan representasi yang benar. Menurut Cifarelli (1988), para mahasiswa ini dioperasikan pada tingkat lebih tinggi dari abstraksi reflektif, yaitu, kesadaran struktural.
Mengingat di atas, adalah masuk akal untuk menyatakan bahwa salah satu indikator yang paling signifikan dari pemahaman konseptual hubungan linear dengan satu tidak diketahui adalah kemampuan untuk mengenali struktural hubungan yang sama disajikan dalam modalitas representasional yang berbeda, memberikan penjelasan lisan eksplisit, dan fleksibel transit dari satu representasi yang lain.
Muncul dari penelitian ini, taksonomi (lihat Tabel 2) dari pemahaman konseptual dalam aljabar dikembangkan. Taksonomi ini sejalan dengan teori-teori yang
mendukung beberapa representasi dan tingkat membedakan abstraksi (misalnya, Boulton-Lewis & Tait, 1993; Cifarelli, 1988; Diezmann, & Inggris, 2001; Hazzan, 1999, Hazzan & Zaskis, 2005; Hiebert & Lefevre, 1986; Skemp, 1986).
Mengakui perbedaan antara tingkat abstraksi dalam proses pengembangan
pemahaman konseptual, tampaknya alat praktis yang berguna bagi para pendidik matematika. Indikator pemahaman konseptual akan ditunjukkan oleh tingkat "kesadaran struktural" (Cifarelli, 1998), kemampuan untuk beroperasi pada
"konsepsi objek" (Sfard, 1991; Dubinsky, 1999) tanpa keharusan untuk mengurangi tingkat abstraksi yang disajikan oleh masalah (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005).
Kesimpulan
mengembangkan pemahaman konseptual persamaan linear dengan satu tidak diketahui. Kenyataan bahwa seorang siswa mengakui bahwa konsep / hubungan dapat disajikan dalam mode yang berbeda bisa berfungsi sebagai indikator bahwa siswa maju dari keterampilan prosedural untuk keterampilan struktural atau
konsep. Dengan demikian, taksonomi membantu untuk memastikan apakah siswa membangun pemahaman konseptual bukannya efisien mengulangi proses. Hal ini juga mungkin memberikan saya guru dengan wawasan tingkat proses berpikir masing-masing siswa dan cara siswa beroperasi dengan abstraksi yang melekat dalam aljabar. Informasi tersebut sangat penting untuk instruksi perencanaan secara alami beragam populasi siswa dengan berbagai kemampuan, preferensi belajar dan sikap.
Tentu saja, proses kognitif abstraksi dan mengembangkan pemahaman konseptual yang jauh lebih kompleks daripada taksonomi. Setiap skematisasi memiliki
keterbatasan alam. Seperti Raymond Nickerson (1986) mencatat, "Taksonomi adalah, di terbaik, cara mudah mengatur ide-ide dan tidak boleh dilakukan dengan sangat serius. Dunia jarang cukup hanya sebagai dibagi ke dalam kompartemen rapi sebagai kecenderungan kita untuk partisi itu konseptual akan menyarankan" ( p. 358). Namun demikian, hal ini berguna untuk mengatur ide-ide dalam pedoman diklasifikasikan untuk tujuan komunikasi.
Referensi
Boulton-Lewis, G. M. & Tait, K. (1993). Representasi dan strategi untuk penambahan anak muda. Di G. Booker (Ed.), Konteks dalam pendidikan matematika. Brisbane: Merga.
Cifarelli, V. V. (1988). Peran abstraksi sebagai proses pembelajaran dalam pemecahan masalah matematika. Disertasi doktor, Purdue University, Indiana. Diezmann, C. M. (1999). Menilai kualitas diagram: Membuat perbedaan untuk
Diezmann, C. M. & Inggris, L. D. (2001). Mempromosikan penggunaan diagram sebagai alat untuk berpikir. Di AA Cuoco (Ed.), 2001 Dewan Nasional Guru
Matematika Yearbook: Peran representasi dalam matematika sekolah (pp.77-89). Reston, VA: NCTM.
Dreyfus, T. & Eisenberg. T. (1996). Pada aspek yang berbeda dari pemikiran
matematika. Dalam RJ. Sternberg & T. Ben-Zeev (Eds.), Sifat pemikiran matematika. Lawrence Erlbaum Associates, Penerbit.
Driscoll, M (1999). Membina berpikir aljabar. Panduan untuk guru kelas 6-10. Portsmouth, NH, Heinemann.
Dubinsky, E. (1991). Abstraksi reflektif dalam pemikiran matematika canggih. Dalam D. Tinggi (Ed.), Advanced Matematika Berpikir. Kluwer Academic Press, hlm. 95-123.
Dubinsky, E. & McDonald. M. (1991). APOS: Sebuah Teori Konstruktivis Belajar di Sarjana Pendidikan Matematika Penelitian. Baru ICMI Studi Series, Kluwer Academic Press, 275-282.
Goldin, G. & Shteingold, N. (2001). Sistem representasi matematika dan pengembangan konsep-konsep matematika. Dalam FR Curcio (Ed.), Peran
representasi dalam matematika sekolah: 20001 buku tahunan. Reston, VA: NCTM.
TAXONOMY FOR ASSESSING CONCEPTUAL
UNDERSTANDING IN ALGEBRA USING
MULTIPLE REPRESENTATIONS
Algebra students may often demonstrate a certain degree of proficiency when manipulating algebraic expressions and verbalizing their behaviors. Do these abilities imply conceptual
understanding? What is a reliable indicator that would provide educators with a relatively trustworthy and consistent measure to identify whether students learn algebraic concepts beyond procedures? The article introduces taxonomy for assessing middle school algebra students' levels of
understanding of linear equations with one unknown. The taxonomy is rooted in ideas related to the degree of abstraction and reducing level of abstraction, theory of operational and structural
conception, and the concept of representation in mathematics education. Algebra students may often demonstrate a certain degree of proficiency when manipulating algebraic expressions and verbalizing their behaviors. Do these abilities imply conceptual understanding? What is a reliable indicator that would provide educators with a relatively trustworthy and consistent measure to identify whether students learn algebraic concepts beyond procedures? The article introduces taxonomy for assessing middle school algebra students' levels of understanding of linear equations with one unknown. The taxonomy is rooted in ideas related to the degree of abstraction and
reducing level of abstraction, theory of operational and structural conception, and the concept of representation in mathematics education.
Introduction
The concept of unknown and operations with unknowns are central to teaching and learning middle school algebra. Students often reveal a certain degree of proficiency manipulating algebraic
symbols, and when encouraged, can verbalize and explain the steps they perform, thereby
demonstrating awareness of procedures according to fixed rules. It is well documented however that correct and seemingly fluent demonstration of a procedure does not necessarily indicate conceptual understanding (Herscovics, 1996; Herscovics & Linchevski, 1994; Kieran, 1992; Kieran & Chalouh, 1993; Langrall & Swafford, 1997).
To objectively analyze and assess students' thinking and behaviours, and make informed decisions about learning algebraic concepts beyond procedures, educators need reliable indicators to refer to, and simple, yet structured language to communicate. This paper describes a segment of a large scale longitudinal study on representations in algebra and suggests the taxonomy for assessing conceptual understanding of linear relationship with one unknown.
Three key ideas serve as the foundation of this research study: a) the role of multiple
representations in probing understanding of mathematics learning, with a particular focus on the interpretation, connection and translation among representations of the structurally same relationship, b) the idea of adaptation to abstraction and the development of conceptual
understanding as a process of growth of the degree of abstraction, and c) the idea of reducing the level of abstraction as a mental process of coping with abstraction level of a given concept or task . These ideas guided the researcher's observations, analysis, and formulation of the taxonomy. Foundation
This section briefly outlines major theoretical positions and research that pertained to and served as a background for this research study.
Algebraic reasoning has been described as a process of generalizing a pattern and modeling problems with various representations (Driscoll, 1999; Herbert & Brown, 1997). Langrall and Swafford (1997) defined algebraic reasoning as the "ability to operate on an unknown quantity as if the quantity is known" (p. 2).
Understanding in general and in mathematics in particular is a logical power manifested by abstract thought. Conceptual understanding in algebra is demonstrated by the ability to recognize functional relationships between known and unknown, independent and dependent variables, and to discern between and interpret different representations of the algebraic concepts. It is exemplified by
competency in reading, writing, and manipulating both number symbols and algebraic symbols used in formulas, expressions, equations, and inequalities. Fluency in the language
of algebra demonstrated by confident use of its vocabulary and meanings as well as flexible
operation upon its grammar rules (i.e. mathematical properties and conventions) are also indicative of conceptual understanding in algebra.
Representations
Symbol systems and representations are essential to mathematics as a discipline since mathematics is "inherently representational in its intentions and methods" (Kaput, 1989, p. 169). Goldin and Shteingold (2001) suggested to distinguishing internal and external systems of representation (p. 2). Internal representations are usually associated with mental images people create in their minds. Pape and Tchoshanov (2001) described mathematics representation as an internal abstraction of mathematical ideas or cognitive schemata, that according to Hiebert and Carpenter (1992) the learner constructs to establish internal mental network or representational system. Thus, internal representation and abstraction are closely related mental constructs.
According to Goldin and Shteingold (2001), an external representation "is typically a sign or a configuration or signs, characters, or objects" and that external representation can symbolize
"something other than itself (p. 3). Most of the external representations in mathematics (e.g., signs of operations, symbols, or composition of signs and symbols used to represent certain relationships) are conventional; they are objectively determined, defined and accepted (p. 4).
Many researchers (e.g., Boul ton-Lewis &Tait, 1993; Diezmann, 1999; Diezmann & English, 2001; Outhred & Saradelich, 1997; Verschaffel, 1994; Swafford & Langrall, 2000) agree that in
mathematics education the term representation refers to the construction, abstraction and demonstration of mathematical knowledge, as well as illustration of problem solving situations. Mathematical relationships, principles, and ideas can be expressed in multiple structurally equivalent representations including visual representations (i.e., diagrams), verbal representations (written and spoken language) and symbolic representations (numbers, letters). The abilities to recognize, create, interpret, make connections and translate among representations are powerful
communication tools for mathematical thinking. Each representational system contributes to effective communication of mathematical ideas by offering a certain type of language to express
mathematical ideas in a precise and coherent way, thus providing multiple sources and avenues to develop conceptual understanding of mathematics. Dreyfus and Eisenberg (1996) suggested that a fluent and flexible use of multiple representations of "structurally the same" (p. 268) mathematical concept is likely to be associated with deep conceptual understanding.
The research focused on students' generated representation and subsequent impact of these representations on learning mathematical concepts suggests that when students generate representations of a concept or while solving problems (as a means of mathematical
communication) they natural tend to reduce the level of abstraction (given by the concept/problem) to a level that is compatible with their cognitive structure (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005; Pape & Tochanov, 2001). Similarly, Wilensky (1991) asserted that it is expected that students would make the unfamiliar more familiar, and the abstract more concrete. He argued that students try to 'concretize' the concepts they learn to "come to the concept as close as possible" (p. 196). The process of 'concretizing' can be associated with the construction of an internal representation and can involve the process of reducing the level of abstraction. Therefore, it seems logical to view representations and reducing abstraction as closely related ideas.
Abstraction
Abstraction as a mental action separates a property or a characteristic of an object from the object to which it belongs or is linked to and forms a cognitive image or a concept (an abstraction) of the object. Thus, abstraction can be understood as a mental process that promotes the basis of thoughts that allow one to reason.
OhIsson & Lehtinen, 1997; Skemp, 1986; Tall, 1991). Hazzan and Zazkis (2005) assert that certain types of concepts are more abstract than others, and that the ability to abstract is an important skill for a meaningful learning of mathematics. Mathematics students are continuously involved in the process of abstraction because they are engaged in transformation of their perceptions into mental images by means of different representations . Essential to this research are the notion of the degree of abstraction (Cifarelli, 1988; Heibert & Lefevre, 1986; Skemp, 1986; Wilensky, 1991), the notion of adaptation to abstraction (Piaget, 1970; Von Glaserfeld, 1991), and the notion of reducing level of abstraction (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005).
Cifarelli (1988) suggests the levels of reflective abstraction that include recognition, representation, structural abstraction, and structural awareness. At the highest level (i.e., structural awareness) the student is able to grasp the structure of the problem and to represent solution methods without resorting to lower levels of abstraction.
If the degree of abstraction is a factor of conceptual understanding, then the idea of adaptation to abstraction becomes critical, and the process of building mathematics conceptual understanding can be viewed as a transition between the levels of abstraction from lower to higher. Thus the growth in conceptual understanding is manifested by the increased ability to "cope with" (Hazzan, 1991; Hazzan & Zaskis, 2005) a higher degree of abstraction.
The following example uses the idea of the levels of abstraction as a metaphor to describe the process of developing conceptual understanding in algebra. Assume that operating on 'number words' which represent certain quantities of real objects is a first level of abstraction (linguistic abstraction). Then, operating with 'number symbols' can be thought as the second level of
abstraction, and operating on letters that stand for 'number symbols' can be viewed as the third level of abstraction (algebraic abstraction). Thus, one can assert that abstraction in mathematics is an activity of integrating pieces of information (facts) of previously constructed mathematics knowledge and reorganizing them into a new mathematics structure. The Table 1 shows the transition from concrete (number system, pictorial aids) to abstract (algebraic symbols).
It is important to recognize that a line segment image of a number and/or unknown, as any external representation, provides limited information, and "stresses some aspects and hide others" (Dreyfus & Eisenberg, 1996, p. 268). Yet, this representation might be sufficient to supplement and enhance the process of building the concept of operations with unknowns.
To describe learners' behaviors in terms of coping with levels of abstraction, Hazzan (1999)
introduced and Hazzan and Zazkis (2005) elaborated on a theoretical framework of reducing level of abstraction. The framework addresses the situations in which students are unable to deal with the concepts at the level they are presented with and therefore, the students reduce the level of
abstraction to make these concepts mentally accessible (p. 102). It seems plausible to assume that every algebra student goes through the process of familiarization with and adaptation to different levels of abstraction at a different rate . Wilensky (1991) suggested that the higher the rate of adaptation to abstraction the less the need for reducing the level of abstraction. In this sense, the process of adaptation to abstraction involves certain behavior manifested in coping with level of abstraction. In other words, when students are unable to manipulate with the level of abstraction (words, numbers, symbols) presented in a given problem, they consciously or unconsciously reduce the level of abstraction of the concepts involved to make these concepts within the reach of their actual mental stage of development (Vygotsky, 1985, pp .84-86).
The above overview of the ideas and assumptions about representations, abstraction and conceptual understanding provided the basis for developing the study that offered another perspective on the process of assessing algebra students' conceptual understanding oflinear relationship with one unknown.
Method
A multi-year mixed method research study was launched to explore the levels of middle school students' understanding of linearrelationship with one unknown. The research inquiries have been addressed through analysis of the survey and observation of students' thinking process while solving problems and explaining their solutions during the interviews.
Instrument
The survey, designed by the researcher (Panasuk, 2006), consisted of several interrelated parts, four of which are described in this paper. Part I contained 12 items with five optional Likert scale response choices (always, often, sometimes, rarely, never), which were clustered around students' preferred mode of representation (verbal, pictorial, symbolic). Part II statements had three choices and asked the students to select the response that most closely reflects their current learning practices and most preferable/less preferable mode of tJxinking (words, diagram, numbers/symbols) when solving linear equations with one unknown.
The students were not asked to solve the problems, but rather to observe and explain in writing if they recognize structurally the same relationship (i.e., the sum of 10 and unknown number is 28) presented in three different modes.
Part IV had three sets of problems: Set W (words), Set D (diagrams) and Set S (symbols). Each set consisted of three problems that involved linear relationships with one unknown to be solved using one-twostep addition/subtraction and multiplication/division. The students were asked to solve each problem. Set W had three word problems that could be modeled by means of linear equations with one unknown. Set D posed three linear relationships presented in visual form via diagrams similar to problem (b) on the Figure 1. Set S contained three linear equations with one unknown represented in symbols, similar to the problem (c) on the Figure 1 . The problems in each set had their
counterparts in other sets presented in different modalities. For each part of the survey and for each Problem Set (W, D, and S) coding systems were created.
Process
During the period of four consecutive years four tiers of data were collected from 1 1 schools in four suburban and two large underperforming urban districts with diverse populations of students. The schools were not randomly selected but were approached by the researcher with a request for participation in the study. All the participating schools used the same mathematics curriculum, which claimed facilitation of reasoning skills and use of multiple representations. The schools administered the survey to all 7th and 8thalgebra students (Motal = 753). Each of the four tiers of surveys was analyzed and compared to describe students' ability to recognize structurally the
same linear relationship presented in different representational modalities and the ability to solve problems posed in words, diagrams and symbols. The analysis prompted the researcher to organize all surveys in three distinct groups to form three major categories, which in turn induced generation of a hypothesis about the indicator of student conceptual understanding of linearrelationship with one unknown. The categorization of the surveys guided the selection of the students (N=18) for the interviews, six students from each group. The interviews were centered around the students' abilities to 'cope with' the level of abstraction presented by the linear equations with one unknown and to recognized the same relationship presented in three different representational modes. The researcher was also observing how the students i) extracted information from situation and were able to represent the information in different modes, ii) manipulated representations, and iv) interpreted and tested the solutions of the linear equations with one unknown.
Results
Based on the analysis of the students' abilities to solve linear equations with one unknown (Part rv, Problem Sets) and their abilities to recognize structurally the same relationship presented in different modalities (Part III), the taxonomy for assessing conceptual understanding in algebra using multiple representations was formulated.
Phase 0. All the students who formed tMs category reported in Part I and Part II of the survey that they preferred memorizing the rules and remembering the steps, thinking 'in numbers', and needed to use 'trial and error' when solving problems. They did not recognize drat three different problems (Part ??) represented structurally the same relationship. Seventy-seven percent of the students in this category found the unknown number correctly for the problems presented in words (Part IV, Problem Set W), only about half (56%) of these students found the unknown length of the segment for the problems presented in a diagram (Problem Set D), and 86% found correctly the unknown number in the algebraic equation (Problem Set S). Overwhelming number of this category students used trial and error method to find the solutions.
During the interview, these students were asked to create an algebraic equation of the relationship stated in words ('the sum of two numbers is 23, one of the numbers is 9, find the other number). They either showed subtraction in a column format, or wrote the numerical equation 23 - 9=14. None of the students in this category produced a symbolic statement beyond the level of numbers that would describe the relationship where a letter stands for unknown number (e.g., ? + 9 = 23). These students apparently had difficulty operating with algebraic sentences (equations) and preferred numerical instantiations (Kieran, 1992, p. 392).
Interestingly enough, the students in this category either were having difficulty or were unable to solve the equations that represented the same relationship in a pictorial mode. As a result, their lacking ability and possibly not favorable attitude toward pictorial representation created a barrier for their meaningful learning (Kieran, 1992) and consequently development of conceptual
understanding. Further probing revealed great confusion with diagrams when they were asked to interpret a given diagram or to create their own. For example, when asked to draw a diagram that would represent subtraction of 9 from 23, some drew 23 objects (squares or circles), then drew 9 more of the same objects, and then said they would take away 9.
endurance, and that numbers have become their internal representation of the material objects. However, an algebraic symbol (letter) that stands for an unknown in a linear relationship was yet an external representation that had not been internalized and integrated into the students' prior mental structure, and thus it was rejected in favor of the lower level of representation (number symbol) which had been a tool of their mathematical communication mastered to date (Javier, 1987; Lesh, et.al., 1987). It is possible that they developed computational skills to the degree of being able to reproduce and/or mimic the procedure. However, their algebraic reasoning (as defined by Driscoll, 1999; Herbert & Brown, 1997; Langrall & Swafford, 1997) had not been advanced to the level of abstraction given by the symbolic representation of the concept. Therefore, it is highly unlikely that these students achieved conceptual understanding of the linear equation with one unknown. Phase 1. The students who formed this category reported that they didn't need to try the numbers when solving equations, thus didn't need to reduce the level of abstraction given by the problem. Eighty six percent of the students in this category indicated that they could 'think in symbols' and rather preferred symbols to diagrams and word problems. The students also reported that they preferred using the steps when solving equations (82%), and were able to memorize rules (93%). Sixty eight percent reported that didn't need or want to use diagrams when solving problems, however when presented with a diagram that displayed a linear relationship with one unknown were able to find the length of the unknown segment. Eighty nine percent of the students in this category solved all nine problems included in the survey Part IV Nevertheless, these students either did not recognize (indicated 'no' in the survey) that the three different representations in Part UI posed structurally the same relationship, or left this part blank. Some students in this group attempted to describe their thinking, but did not produce clear written explanation in their surveys, and when interviewed were not able to verbally explain the connections between the representations. When provided with the diagram (see Fig. 2), they could find the length of the unknown segment. However when asked to write an algebraic statement that would describe the relationship presented by the diagram, they produced the same type of numerical statement (e.g., 23 - 9 = 14) as the first category of students.
These students knew how to perform and explain the steps while solving linear equations with one unknown, which was consistent with their survey responses in Part I and Part II. They found the correct numerical value for unknowns, and even substituted the values to the equations to verify the solutions. Yet, their behavior could have been described as a well rehearsed acting upon fixed rules (e.g., isolate the unknown, undo or use inverse operation). Probing questions revealed that these students' actions were rather mechanical than rooted in logic. These observations support the theory that many middle school algebra students (particularly those who are in transition from
pre-algebra to pre-algebra) learn procedural skills before developing conceptual understanding (Dubinsky, 1991; Dubinsky & McDonald, 1991; Kieran, 1992; Sfard, 1991,1992).
In summary, the students who were able to manipulate symbols, verbalized and followed the correct steps when solving linearequations with one unknown, and showed certain degree of proficiency without reducing the level of abstraction, were likely to be in a process of developing conceptual understanding. It is also likely that they were in the path of blending the procedural and conceptual knowledge (Tall, 2008) . They showed relatively fluent reproductive skills (i.e., process skills) which are prerequisite for the development of conceptual understanding. However, these students were missing one essential capability. They were not able to make connections between different representations (words, diagrams, symbols) that posed structurally the same linear relationship. It is important to stress that the researcher does not claim that the Phase 0 and Phase 1 are sequential and represent a hierarchy. The students who were at the Phase 1 might not necessarily have gone through Phase 0.
Phase 2. All the students in the third category recognized (answered "yes"; survey Part III), and explained that the word problem, the diagram and the equation (see Fig. 1) represented structurally the same linear relationship. They solved all nine problems in Part IV correctly and revealed
understanding of meaning of solutions and the properties of the linear relationship. When probed with questions, they showed the ability to explain the full meaning of the concept of unknown, its relationship to the operations, and demonstrated the ability to discern, infer and interpret different representations of the linear relationship with one unknown. It was evident that these students were able to manipulate different representations and demonstrated flexible thinking of the properties of the linear equations with one unknown (e.g., reflection, symmetry, equivalence). When asked to describe the diagrams similar to those shown on the Figure 2 using algebraic symbols, they
produced algebraic equations (e.g., ? + 9 = 23). When asked to draw diagrams that would represent equations (e.g., m + 13 = 38, 2n = 26, 3x + 2 + 4 = 27), they generated correct representations. According to Cifarelli (1988), these students operated at the higher level of reflective abstraction, i.e., structural awareness.
Given the above, it is plausible to assert that one of the most significant indicators of conceptual understanding of linear relationship with one unknown is the ability to recognize structurally the same relationship presented in different representational modalities, provide an explicit verbal explanation, and flexibly transit from one representation to another.
Emerged from this research, the taxonomy (see Table 2) of the conceptual understanding in algebra was developed. This taxonomy is in line with the theories that advocate multiple
1988; Diezmann, & English, 2001; Hazzan, 1999, Hazzan &Zaskis, 2005; Hiebert & Lefevre, 1986; Skemp, 1986).
Acknowledging the distinction between the levels of abstraction in the process of development of conceptual understanding, seems useful practical tool for mathematics educators. The indicators of a conceptual understanding would be demonstrated by the level of "structural awareness" (Cifarelli, 1998), ability to operate upon "object conception" (Sfard, 1991; Dubinsky, 1999) without necessity to reduce the level of abstraction presented by the problem (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005). Conclusion
The taxonomy provides teachers, educators, curriculum specialists, and other interested parties with some organizational structure for them to be able to make a relatively reliable judgment as to whether the students are developing or have developed conceptual understanding
of linear equations with one unknown. The very fact that a student recognizes that the concept/ relationship can be presented in different modes might serve as an indicator that the student is advancing from procedural skills to structural or conceptual skills. Thus, the taxonomy helps to ascertain whether students are building conceptual understanding instead of efficiently repeating the process. It also might provide me teachers with insight into the level of each student's thinking process and the student's way of operating with abstractions inherent in algebra. Such information is essential to planning instruction for naturally diverse population of students with wide range of abilities , learning preferences and attitudes.
Of course, the cognitive processes of abstraction and developing conceptual understanding are much more complex than taxonomy. Any schematization has its natural limitations. As Raymond Nickerson (1986) noted, "Taxonomies are, at best, convenient ways of organizing ideas and should never be taken very seriously. The world seldom is quite as simply divisible into neat compartments as our penchant for partitioning it conceptually would suggest" (p. 358). Nevertheless, it is useful to organize ideas in classified guidelines for communication purposes.
References
Boulton-Lewis, G. M. & Tait, K. (1993). Young children's representations and strategies for addition. In G. Booker (Ed.), Contexts in mathematics education. Brisbane: MERGA.
Cifarelli, V. V. (1988). The role of abstraction as a learning process in mathematical problem solving. Doctoral dissertation, Purdue University, Indiana.
Diezmann, C. M. (1999). Assessing diagram quality: Making a difference to representation. In J. M. Truran & K. M. Truran (Eds.), Proceedings of the 22nd Annual Conference of Mathematics
Education Research Group of Australasia (pp. 185-191), Adelaide: Mathematics Education Research Group of Australasia.
Diezmann, C. M. & English, L. D. (2001). Promoting the use of diagrams as tools for thinking. In A. A. Cuoco (Ed.), 2001 National Council of Teachers of Mathematics Yearbook: The role of
representation in school mathematics (pp.77-89). Reston, VA: NCTM.
Dreyfus, T. & Eisenberg. T. (1996). On different facets of mathematical thinking. In RJ. Sternberg & T. Ben-Zeev (Eds.), The nature of mathematical thinking. Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. Driscoll, M (1999). Fostering algebraic thinking. A guide for teachers grade 6-10. Portsmouth, NH, Heinemann.
Dubinsky, E. (1991). Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. In D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking. Kluwer Academic Press, pp. 95-123.
Dubinsky, E. & McDonald. M. (1991). APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research. New ICMI Study Series, Kluwer Academic Press, 275-282. Ferrari. RL. (2003). Abstraction in mathematics. The Royal Society. http://www.ncbi.nlm.nih.gov/ pmc/articles/PM C1693213/pdf/12903658.pdf
Frorer, P., Hazzan, O. & Manes, M. (1997). Revealing the faces of abstraction. The International Journal of Computers for Mathematical Learning 2(3), 217-228.
Goldin, G. & Shteingold, N. (2001). System of mathematical representations and development of mathematical concepts. In F. R. Curcio (Ed.), The roles of representation in school mathematics: 20001 yearbook. Reston, VA: NCTM.
Hazzan, O. (1999). Reducing abstraction level when learning abstract algebra concepts. Educational Studies in Mathematics 40(1), 71-90.
Hazan, O. & Zaskis, R. (2005). Reducing abstraction: The case of school mathematics. Educational Studies in Mathematics 58: 101-119.
Herscovics, N. (1996). The construction of conceptual schemes in mathematics. In L. Steffe (Ed.), Theories of mathematical learning (pp. 351-380). Mahwah, NJ: Erlbaum.
Herscovics, N. & Linchevski, L. (1994). A Cognitive gap between arithmetic and algebra. Educational Studies in Mathematics, 27 (1), 59-78.
Herbert, K. & Brown, R. (1997). Patterns as tools for algebraic reasoning. Teaching Children Mathematics 3 (February): 340-344.
Hiebert, J. & Carpenter, T. (1992). Learning and teaching with understanding. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 65-97). New York: Macmillan. Hiebert, J., & LeFevre, P. (Eds.). (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert, (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 127). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
Hillside, NJ: Erlbaum.
Kaput, J. (1989). Linking representations in the symbol systems of algebra. In S. Wagner & C. Kieran (Eds.), Research issues in the teaching and learning of algebra (pp. 167-194). Reston, VA: NCTM.
Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 390-419). New York: Mac -MilIan Publishing Company.
Kieran, C. & Chalouh, L. (1993). Prealgebra: the transition from arithmetic to algebra. In D. T. Owens (Ed.), Research ideas for the Classroom: Middle Grades Mathematics edited by Reston, VA: NCTM. Langrall, C. W. & Swafford, J. O. (1997). Grade six students' use of equations to describe and represent problem situation. Paper presented at the American Educational Research Association, Chicago, IL.
Lesh, R., Post, T. & Behr, M. (1987). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (p. 33-40). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Nickerson, R. (1986). Reasoning. In D. Dilon and R. Sternberg (Eds.), Cognition and instruction, (pp. 343-370). Academic Press.
Ohlsson, S. & Lehtinen, E. (1997). Abstraction and the acquisition of complex ideas. International Journal of Educational Research, 27(1), 37-48.
Outhred.L. & Saradelich, S. (1997). Problem solving in kindergarten: the development of children's representations of numerical situations. In K. Carr (Ed.), People in Mathematics Education, Vol. 2, pp. 376-383. Rotorura: MERGA.
Panasuk, R. (2006). Multiple representations in algebra and reducing level of abstraction. Unpublished instrument. University of Massachusetts Lowell, MA
Pape, S. J. & Tchoshanov, M. A. (2001). The role of representation(s) in developing mathematical understanding. Theory into Practice, 40(2), 118-125.
Piaget, J. (1970). Genetic epistemology. New York: Columbia University Press.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics 22, 1-36.
Sfard, A. (1992). Operational origins of mathematical objects and the quandary of reification: The case of function. In E. Dubinsky and G. Harel (Eds.), The Concept of FunctionAspects of
Epistemology and Pedagogy, MAA Notes.
Skemp, R. (1986). The psychology of learning mathematics (2nd ed.). Harmondsworth, England: Penguin.
Swafford, J. O. & Langrall. C. W. (2000). Grade 6 students' pre-instructional use of equations to describe and represent problem situations. Journal for Research in Mathematics Education, 31(1), 89-112.
Tall, D. (1991). Advanced Mathematical Thinking. Kluwer Academic Press.
Tall, D. (2008). The transition to formal thinking in mathematics. Mathematics Education
Verschaffel, L. (1994). Using retelling data to study elementary school children's representations and solutions of compare problems. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 141-165. Von Glasersfeld, E. (1991). Abstraction, re-presentation, and reflection: An interpretation of
experiences and Piaget's approach. In L. Steffe (Ed.), Epistemologica! foundations of mathematical experience. New York: Springer Verlag.
Wilensky, U. (1991). Abstract meditations on the concrete and concrete implications for mathematical education. In I. Harel and S. Papert (Eds.), Constructionism, Ablex Publishing Corporation, Norwood, NJ, pp. 193-203.
AuthorAffiliation
REGINA M. PANASUK Mathematics Education
University of Massachusetts Lowell Word count: 5162
