Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Serta Pembahasannya
PERMUTASI
1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?
Jawaban :
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720
2). Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?
Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen? Jawaban :
Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:
3). Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?
Jawaban :
Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :
(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
4). Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong. Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
5). Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk denganurutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
KOMBINASI
1). Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari lima warna bunga yang terdapat di tamannya. Berapa macam rangkaian bunga yang dapat dibuat pemuda tersebut?
Jawaban :
Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga {Kuning, Merah} ? Kasus tersebut dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :
Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis yang merupakan dua kejadian berikut :
Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia dengan tidak memperhatikan urutan terdapat cara
Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK, KM}, {MB, BM}, {MH, HM}, {MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB}, {BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau 2! cara
Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur atau P(5, 2) =
Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n, diberi notasi adalah
Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur adalah :
4 × 3 × 2 = 24.
Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dapat ditulis :
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapat dipelajari melalui Tabel 1.
Tempat ke- 1 2 3 ... r ... Banyak Cara n n(n – 1) n(n – 1) (n – 2) ... n(n – 1) (n – 2)...(n – (r – 1)) ...
Dari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalah :
P(n, r) = n (n – 1) (n – 2) … (n – (r – 1))
Untuk r = 1, maka :
P(n, 1) = n
Untuk r = 2, maka P(n, 2) :
Ingatlah :
Notasi P(n, k) dapat juga ditulis dengan .
Untuk r = 3 maka P(n, 3) :
Untuk r = k, diperoleh P(n, k) :
Untuk r = n, diperoleh :
P(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(n – r)…(3)(2)(1) = n!
Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur adalah :
Contoh Soal 2 :
Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.
Jawab:
P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak wiraniaga terpilih).
Jadi, terdapat 6 cara.
Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Serta Pembahasannya
PERMUTASI1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar kar is bioskop ! ang mereka miliki. "erapa ban!ak ara untuk duduk !ang diperole# dengan urutan berbeda $ika %Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi& Putra dan putri masing'masing mengelompok se#ingga #an!a sepasang putra dan putri !ang dapat duduk berdampingan&(a aban % Terdapat 8 orang !ang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan #asil !ang berbeda. Ini adala# masala# permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P*8+ 8) diberikan ole# % P*8+ 8) , 8- , 8 / 0 2 3 1 , 45.235 orang putra duduk pada kursi tertentu dan pertukaran duduk #an!a bole# pada ke kursi tersebut+ se#ingga ban!akn!a ara duduk putra adala# P* + ). 6emikian $uga 2 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka #an!a bole# pada ke 2 kursi ini+ se#ingga ban!akn!a
ara untuk duduk putri adala# P*2+ 2). 6engan demikian+ ban!ak ara duduk putra dan 2 putri !ang
sala# seorang dari padan!a selalu duduk dikursi tertentu. (a ab% (ika sala# seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal / orang dengan 2 kursi kosong.Maka ban!akn!a ara duduk ada %/P2 , /-<*/'2)- , /-<4- , /.0. , 315 ara
). Ada berapa ara / orang !ang duduk mengelilingi me$a dapat menempati ketu$u# tempat duduk denganurutan !
ang berlainan& (a ab% "an!akn!a ara duduk ada */ ' 1) - , 0 - = 0 . . 4. 2 . 3 . 1 , /35 ara.>:M"I?ASI1). Seorang pemuda akan mempersemba#kan serangkaian bunga dua arnadari lima arna bunga !ang terdapat di tamann!a. "erapa ma am rangkaian bunga !ang dapat dibuat pemuda tersebut&(a aban % Apaka# sama antara rangkaian bunga @Mera#+ >uning dengan rangkaian bunga @>uning+ Mera# & >asus tersebut dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur !ang tersedia dan dilambangkan dengan %Permutasi 3 unsur dari unsur ditulis !ang
merupakan dua ke$adian berikut %Membuat rangkaian bunga !ang memiliki 3 unsur dari unsur !ang tersedia dengan tidakmemper#atikan urutan terdapat araMen!usun elemen'elemen #impunan bagian dalam urutan !ang berbeda !aitu @M>+ >M + @M"+ "M + @MB+ BM + @MP+ PM + @>"+ "> + @>B+ B> + @>P+ P> +@"B+ B" + @"P+ P" + dan @BP+ PB terdapat dua ara pen!usunan atau 3- ara >e$adian gabungan 1 diikuti ole# 3 adala# permutasi 3 unsur dari unsur atau P* + 3) , Se#ingga ban!akn!a kombinasi r elemen dari n elemen dengan 5 C r C n+ diberi notasi
adala#3). Tentukan nilai dari%a) 13D4b) 15D2(a abana) 13D4 13- 13- 13 . 11 . 15 . ; . 8- 13.11.15.;13D4 , ,
, ,
, 4; *13 F 4)- 4- 8- 4- 8 - 4 . 2.3.1 4.2.3.1 b) 15D2 15- 15- 15 . ; . 8 . /- 15.;.815D2 , , , , , 135 *15 F 2)- 2- /- 2- / - 2- 2.3.12). 8 anak pada suatu a ara saling ber$abat tangan satu sama lain. Tentukan ban!akn!a $abat tangan !ang
(a aban %>ombinasi dengan n , 8 dan r , 3 8- 8- 8 . / . 0 - 8 D 2 , , , , 38 $abat tangan *8 F 3)- 3- 0- 3- 0- 3.1 4). Untuk mengikuti suatu perlombaan sekola# akan memili# 2 orang sis a dari 13 anak bersedia untuk ikut dalam perlombaan. Tentukan ban!akn!a kombinasi anak !ang diperole# sekola# dari ke 13 anak tersebut-(a aban %>ombinasi 2 dari 13 13- 13 - 13.11.15. ; - 13.11.1513D2 , , ,
,
, 335 *13 F 2)- 2- ;- 2- ; - 2- 2.3.1 ). 0 orang sis a terpili# untuk mengikuti perlombaan tenis me$a ganda. Tentukan ban!akn!a ara pen!usunan pasangan pemain dari keenam sis a tersebut-(a aban %>ombinasi 3 dari 0 % 0- 0- 0. .4 -0D3 , , , , 1 ara pemasangan *0 '3)- 3- 4- 3- 4- 3.1
Permutasi dan Kombinasi Matematika
- Pelajaran matematika mengenai permutasidan kombinasi diajarkan pada siswa-siswi yang duduk di kelas XI SMA. Materi inim a s i h b e r k a i t a n d e n g a n P e l u a n g . L a l u a p a b e d a n y a p e l u a n g , p e r m u t a s i d a n kombinasi !enang, jangan terburu-buru. Pada artikel ini
Rumus Matematika Dasar
akan menjabarkan satu-persatu kepada kalian mengenai permutasi dan kombinasidalam
matematika. Sedangkan untuk materi peluang dapat kalian akses pada artikel yang membahas tentang Pengertian dan Rumus Peluang Matematika.
Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75 siswa memilih untuk masuk SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja?
Pembahasan:
Siswa yang memilih masuk SMA dan SMK adalah:
n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})
n{AΛB} = (75 + 63) – (150 – 32)
n{AΛB} = 138 – 118
n{AΛB} = 20 siswa
Siswa yang memilih masuk SMA saja = 75 – 20 = 55 orang
Siswa yang mmeilih masuk SMK saja = 63 – 20 = 43 orang
Contoh Soal 4:
Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur?
Pembahasan:
9 = (18 + 25) - (40 - n{X})
9 = 43 - 40 + n{X}
9 = - 3 + n{X}
9 + 3 = n{X} =
n{X} = 12
Contoh Soal 5:
Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.
Pembahasan:
Jumlah keseluruhan dari atlet tersebt adalah:
Atlet ang menyukai sepakbola saja : 17-12 = 5 orang
Atlet yang menyukai renang saja = 13 – 12 = 1 orang
Diagram venn-nya adalah:
Jadi, jumlah keseluruhan atlet tersebut adalah 18 orang
Cara Mudah Menyelesaikan Soal Himpunan
Himpunan merupakan materi pelajaran matematika untuk anak SMP dan tak jarang juga ketika di SMA masih memakai himpunan. Nah untuk membantu dalam menyelesaikan soal-soal himpunan, berikut akan saya berikan cara penyelesaian mudahnya.
Contoh 1 :
Dalam sebuah kelas terdapat 48 anak. 23 orang suka matematika, 35 orang suka fsika dan 14 orang suka kedua-duanya. Berapakah jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya?
diagram ven
Mari kita lihat gambar di atas. Soal diatas bisa dibuat menjadi diagram ven.
M = anak yang suka matematika
F = anak yang suka fsika
X = anak yang tidak suka kedua-duanya. Kalau tidak suka harus ditempatkan diluar lingkaran.
Dalam soal ada anak yang suka kedua-duanya, berarti kedua lingkaran M dan F saling berpotongan dan ditengahnya diisi dengan angka 14, yaitu jumlah anak yang suka kedua-duanya (angka berwarna biru).
Kemudian dicari jumlah anak yang suka matematika saja, yaitu dengan mengurangkan jumlah anak yang suka matematika dengan jumlah anak yang suka kedua-duanya, yaitu 23-14.
Sekarang dicari jumlah anak yang suka fsika saja, yaitu anak yang suka fsika dikurangi dengan anak yang suka kedua-duanya, yaitu 35-14.
Langkah terakhir adalah menjumlakan semuanya :
Jumlah anak = jumlah anak yang hanya suka matematika + jumlah anak yang suka fsika + jumlah anak yang suka kedua-duanya + jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya
.
48 = (23-14) + (35-14) + 14 + x
48 = 9 + 21 + 14 + x
48 = 44 + x
48 - 44 = x
4 = x
