The Forced Oscillator

(1)

The Forced Oscillator

Behaviour, Displacement, Velocity and Frequency

Apriadi S. Adam M.Sc

Jurusan Fisika

Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta

Update 5 November 2013

A.S. Adam (UIN SUKA) The Forced Oscillator Update 5 November 2013 1 / 41

Overview

1 Vector form of Ohm’s Law

2 The Impedance of a Mechanical Circuit

3 Behaviour of a Forced Oscillator

4 Behaviour of Velocity in Magnitude and Phase versus Driving Force

5 Behaviour of Displacement versus Driving Force

6 Power Supplied to Oscillator by the Driving Force

7 Variation of P_av with ω. Absorption Resonance Curve

8 The Q-Value in Terms of the Resonance Absorption Bandwidth

(2)

Vector form of Ohm’s Law

The Forced Oscillator in Circuit

Hukum Ohm menyatakan hubungan antara V = IR, dimana V adalah tegangan yang melewati hambatan (resistor) R dan I adalah arus yang mengalir. Relasi tersebut membentuk kondisi dimana tegangan dan arus selalu dalam fase. Keduanya akan mengikuti bentuk kurva sin(ωt + φ) atau cos(ωt + φ) dan nilai φ akan selalu sama untuk arus dan tegangan. Namun, keberadaan salah satu atau keduanya dari dua komponen listrik yang lain, induktansi L dan kapasistansi C, akan memasukkan sebuah fase berbeda antara tegangan dan arus, dan Hukum Ohm dalam bentuk vektor dapat dituliskan

V = IZ_e

dimana Z_e disebut impedansi, menggantikan resistor, dan merupakan

vektor jumlahan dari resistansi efektif dari R, L dan C dalam rangkaian.

Ketika tegangan bolak balik Va dengan frekuensi ω melewati sebuah

resistor, induktor, dan kondensor, maka kesetimbangan tegangan dapat dituliskan sebagai berikut

V_a = LdI

dt + RI +

q

C (1)

dan arus yang melalui rangkaian adalah I = I0eiωt.

Tegangan yang melalui induktansi V_L = LdI

dt = L

d(I0eiωt)

(3)

Tapi ωL, berdimensi Ohm, maka nilai efektif resistansi digambarkan oleh sebuah induktansi L terhadap sebuah arus berfrekuensi ω, sehingga hasil ωLI berdimensi tegangan (volt).

Informasi yang didapatkan adalah bahwa fase tegangan yang melewati

induktansi adalah 90◦ didepan arus yang melewati rangkaian.

Dengan cara yang sama, tegangan yang melewati kondensor (kapasitor) adalah VC = q C = 1 C Z Idt = 1 CI0 Z eiωtdt = − iI ωC (3)

1/ωC diukur dalam Ohm, yaitu nilai efektif resistansi yang digambarkan oleh kondensor terhadapa arus yang berfrekuensi ω.

Tegangan I/ωC melewati kondensor didahului oleh −i dan oleh karena itu terlambat dari arus dengan fase sebesar 90◦.

Sedangkan arus dan tegangan yang melewati resistor se-fase atau ωL = 1/ωC.

Kuantitas ωL dan 1/ωC disebut reaktansi dan tanda kurung

(ωL − 1/ωC) sering dituliskan Xe.

Hukum Ohm dapat dituliskan V = IZ_e = I[R + i(ωL − 1/ωC)] dengan

Z_e = R + i(ωL − 1/ωC) dan besarnya impedansi

Z_e = " R2 + ωL − 1 ωC 2#1/2 (4)

(4)

Vektor Ze boleh dinyatakan dalam besar dan fasenya yaitu

Ze = Zeeiφ = Ze(cos φ + i sin φ)

sehingga cos φ = R Z_e, sin φ = X_e Z_e dan tan φ = Xe R

dimana φ adalah beda fase antara total tegangan yang melintasi rangkaian dan arus yang yang melewati rangkaian.

Nilai dari φ bisa positif atau negatif, bergantung pada nilai relatif ωL dan 1/ωC: Ketika ωL > 1/ωC, φ positif, tapi frekuensinya bergantung dari komponen-komponennya, yang menunjukkan bahwa φ dapat berubah tanda dan ukuran.

Besar Ze juga bergantung frekuensi dan mempunyai nilai minimum

Z_e = R ketika ωL = 1/ωC.

Dalam bentuk vektor Hukum Ohm, jika V = V0eiωt dan Ze = Z0eiφ,

maka kita punya

I = V0e iωt Z₀eiωt = V₀ Z₀e i(ωt−φ) (5)

dengan amplitudo arus V0/Z0 yang lebih lambat dari tegangan dengan

(5)

The Impedance of a Mechanical Circuit

Impedansi mekanis didefinisikan sebagai gaya yang diperlukan untuk

menghasilkan kecepatan dalam osilator, yaitu Zm = F/v atau F = vZm.

Impedansi mekanis dituliskan sebagai

Zm = b + i ωm − k ω = b + iXm (6)

dimana Zm = Zmeiφ dan tan φ = Xm/b. φ merupakan beda fase antara

kecepatan dan gaya.

Besar Zm = [b2 + (ωm − k/ω)2]1/2.

Massa berkelakuan seperti induktansi, menghasilkan positif reaktansi mekanis sedangkan konstanta pegas berkelakuan seperti kapasistansi.

Behaviour of a Forced Oscillator

Tinjau osilator mekanis (sistem pegas massa) bermassa m, konstanta

pegas k dan koefisien redaman b yang digerakkan oleh gaya F0cos ωt,

dengan F0 amplitudo gaya. Ini analog dengan rangkaian RLC ketika

diterapkan tagangan bolak-balik V0 dalam rangkaian.

Persamaan gerak mekanis yaitu kesetimbangan gaya, sebagai berikut

m¨x + b˙x + kx = F0cos ωt (7)

dan persamaan tegangan dalam kasus listrik L¨q+ R ˙q + q

(6)

Solusinya terdiri atas dua bentuk yaitu

(1) Transient, bentuk yang lenyap seiring bertambahnya waktu, seperti yang didiskusikan pada bab sebelumnya, persamaan m¨x+ b˙x + kx = 0

memiliki solusi

x = Ce−bt/2mei(k/m−b2/4m2)t (9)

(2) Steady state, menggambarkan kelakuan dari osilator setelah bentuk transient lenyap.

Kedua bentuk tersebut berkontribusi terhadap solusi awal, tapi untuk sekarang kita fokuskan pada steady state. Untuk memulainya, kita

tuliskan kembali persamaan gaya dalam bentuk vektor dan bentuk cos ωt digantikan dengan eωt,

m¨x + b˙x + kx = F0eωt (10)

Solusi vektor x akan memberikan besar dan fase berkenaan dengan gaya

penggerak F0eωt. Awalnya kita coba solusi x = Aeωt, dimana A bisa

kompleks, sehingga aoluai tersebut bisa jadi memiliki

komponen-komponen didalam dan diluar fase karena gaya penggerak. Kecepatan dan percepatannya adalah

˙x = iωx , ¨x = −ω2x (11)

Persamaan (10) menjadi

−Aω2m+ iωAb + Ak eωt = F0eωt (12)

yang mana benar untuk semua t ketika

A = F0 iωb + (k − ω2_m) atau A = −iF0 ωZ_m (13) Sementara x = −iF0e i(ωt−φ) ωZm (14) dimana Zm = [b2 + (ωm − k/ω)2]1/2.

(7)

Bentuk vektor perilaku steady state ini, memberikan tiga informasi dan secara lengkap mendefinisikan besar posisi x dan fasenya, yang sesuai dengan gaya penggerak setelah bentuk transient lenyap. Informasi itu adalah

1 Bahwa perbedaan fase φ ada, antara x dan gaya, oleh karena bagian reaktif

(ωm − k/ω) impedansi mekanis.

2 Bahwa sebuah tambahan perbedaan yang diperkenalkan oleh faktor −i

dan bahkan jika φ nol, posisi x akan ketinggalan dari F0cos ωt dengan

sudut 90◦.

3 _{Bahwa maksimum amplitudo dari posisi x adalah F}₀/ωZ_m_{. Bisa dicek}

bahwa secara dimensi, ini benar, karena kecepatan x/t mempunyai dimensi F0/Zm.

Digunakan F0eiωt untuk menyatakan bagian riil F0cos ωt sehingga bisa

diperoleh nilai sebenarnya dari x. x = −iF0e i(ωt−φ) ωZm = − iF0 ωZm [cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ)] = − iF0 ωZm cos(ωt − φ) | {z } F₀sin ωt + F0 ωZm sin(ωt − φ) | {z } F0cos ωt (15)

Kedua solusi ini memenuhi syarat bahwa beda fase total antara posisi dan gaya adalah φ ditambah suku −π/2yang diperkenalkan oleh faktor −i. Ketika φ = 0, posisi x = (F0/ωZm) sin ωt tertinggal dari gaya F0cos ωt

dengan sudut persis 90◦.

Kecepatan ayunan paksa dalam steady state dapat dituliskan

v = ˙x = F0

Z_me

i(ωt−φ) ₍₁₆₎

Dari sini kita dapat mengetahui dua hal yaitu

1 Karena didepan tidak mengandung i, maka kecepatan dan gaya berbeda

fasenya hanya oleh φ, dan ketika φ = 0 kecepatan dan gaya sefase.

2 Amplitudo kecepatan adalah F₀/Z_m, yang mana kita harapakan dari

definisi diawal tentang impedansi mekanis yaitu Zm = F/v.

Bagian riil dari vektor kecepatan adalah

v = F0

(8)

Jadi kecepatan selalu eksak 90◦ didepan dari posisi dalam fase dan

berbeda dari gaya hanya oleh sudut fase φ, dimana

tan φ = ωm − k/ω

b =

X_m b

sehingga gaya F0cos ωt memberikan posisi dan kecepatan

x = F0

ωZm

sin (ωt − φ) , v = F0

Z_m cos(ωt − φ)

Behaviour of Velocity in Magnitude and Phase versus Driving Force

Velocity in Magnitude and Phase versus Driving Force

Amplitudo kecepatan yaitu F₀

Z_m =

F₀

[b2 + (ωm − k/ω)2]1/2

sehingga besarnya kecepatan akan bervariasi dengan frekeunsinya ω

(9)

Behaviour of Velocity in Magnitude and Phase versus Driving Force

Pada frekuensi rendah, suku −k/ω adalah suku paling besar dalam Zm

dan impeddansi dikatakan stiffness controlled. Pada frekuensi yang tinggi, ωm merupakan suku yang dominan dan impedansi dikatakan mass controlled.

Pada frekuensi ω0 dimana ω0m = kω0, impednasi memiliki nilai

minimumnya Z_m = b dan merupakan besaran riil dengan reaktansi nol.

Kecepatan F0/Zm kemudian meiliki nilai maksimum v = F0/b, dan ω0

dikatakan sebagai frekuensi kecepatan resonansi. Catatan bahwa

tan φ = 0 pada ω0, kecepatan dan gaya sefase.

Ketika ωm > k/ω, φ positif, kecepatan v akan tertinggal dari gaya karena −φ tampak dalam bentuk kosinus. Ketika gaya penggerak

berfrekuensi ω sangat tinggi dan ω → ∞, maka φ → 90◦ dan kecepatan

tertinggal dari gaya karena jumlah.

Ketika ωm < k/ω, φ negatif, kecepatan v didepan dari gaya dalam fasenya, dan pada frekuensi penggerak yang rendah seperti ω → ∞

maka suku k/ω → ∞ dan φ → -90◦.

Pada frekuensi ω0, ω0m = kω0 dan φ = 0, sehingga kecepatan dan gaya

sefase.

(10)

Behaviour of Displacement versus Driving Force

Behaviour of Displacement versus Driving Force Frequency

ω

Fase posisi

x = F0

ωZ_m sin (ωt − φ)

pada waktu kapanpun, eksak 90◦ dibelakang dari kecepatan. Sementara

grafik φ versus ω tetap sama, beda fase total antara posisi dan gaya, yaitu

menyangkut perlambatan tambahan 90◦ yang diperkenalkan oleh

operator −i.

Pada frekuensi rendah, dimana φ = −π/2 radian dan kecepatan didepan dari gaya, posisi dan gaya sefase, seperti apa yang diharapkan.

Pada frekuensi tinggi, posisi tertinggal dari gaya oleh π radian dan secara eksak keluar dari fase, sehingga gambar kurva menunjukkan sudut fase antara posisi dan gaya ekuivalen dengan kurva φ versus ω, digeser sebesar π/2 radian.

Amplitudo dari posisi x = F0/ωZm, dan pada frekuensi rendah

Zm = [b2 + (ωm − k/ω)]1/2, sehingga x ≈ F0/k. Pada frekuensi tinggi

Z_m → ωm, sehingga x ≈ F0/ω2m, yang mana cenderung menuju nol

seperti ω yang menjadi sangat besar. Pada frekuensi tinggi, kemudian, amplitudo posisi hampir nol oleh karena massa terkontrol atau efek dari inersial.

Kecepatan resonnasi terjadi ketika ω₀2 = k/m, dimana Z_m dari kecepatan

amplitudo minimum, tetapi posisi resonansi akan terjadi, saat

x = (F0/ωZm) sin(ωt − φ), ketika pembagi ωZm minimum. Ini terjadi

ketika d dω(ωZm) = d dωω[b 2 _{+ (ωm − k/ω)]}1/2 _{= 0} 2ωb2 + 2m(ω2m− k) = 0 Solusinya ω = 0 atau ω2 = ω₀2 − b 2 2m2

(11)

Posisi resonansi terjadi ketika frekuensi sedikit lebih kecil dari ω0,

frekuensi kecepatan resonansi. Untuk b yang kecil atau massa m besar, terdapat dua resonansi, terjadi ketika frekuensinya ω0.

Frekuensi posisi resonansi diberikan oleh

ωr = k m − b2 2m2 1/2

dan posisi maksimum adalah

x_max = F0

ω_rZ_m

Nilai ωrZm (dengan mudah dapat ditunjukkan) sama dengan ω0b dimana

ω02 = k m − b2 4m2 = ω 2 0 − b2 4m2

Sehingga nilai dari posisi resonansi x adalah

x_max = F0 ω0b dimana ω0 = ω2₀ − b 2 4m2 1/2

(12)

Power Supplied to Oscillator by the Driving Force

Berkaitan dengan sistem osilasi untuk kasus steady state dengan, gaya penggerak harus digantikan dengan energi yang hilang dalam setiap kali vibrasi karena adanya faktor redaman.

Dalam kasus steady state, amplitudo dan fase osilator penggerak teratur sesuai dengan amplitudo dan fase mereka, sehingga rerata daya yang disediakan oleh gaya penggerak sama dengan yang terdisipasi oleh gaya hambat/gesek.

Daya yang tersediaadalah hasil kali gaya penggerak dengan kecepatan

pada saat/waktu itu, yakni

P = F

2 0

Z_m cos ωt cos(ωt − φ) (17)

Rerata daya

P_av = Usaha total per getaran

(13)

Power Supplied to Oscillator by the Driving Force Bukti: Pav = Z T 0 Pdt T = F 2 0 Z_mT Z T 0

cos ωt cos(ωt − φ) cos ωt cos(ωt − φ)

= F

2 0

2Zm

cos φ (19)

Daya yang disediakan oleh gaya penggerak tidak tersimpan dalam

sistem, akan tetapi terdisipasi sebagai usaha dalam sistem yang bergerak, yaitu gaya hambat/gesek b˙x.

Laju kerja yang dilakukan oleh gaya hambat adalah

b˙x ˙x = b˙x2 = bF

2 0

Z_m2 cos

2_{(ωt − φ)}

Power Supplied to Oscillator by the Driving Force

Rerata nilai ini dalam jangka waktu satu periode osilasi 1 2 bF₀2 Z2 m = F 2 0 2Zm cos φ untuk b Z_m = cos φ

Ini membuktikan bahwa pernyataan diawal bahwa daya yang tersedia sama dengan daya yang terdisipasi!

Dalam rangkaian listrik, daya diberikan oleh VI cos φ, dimana V dan I adalah nilai akar perata kuadrat instan dari tegangan dan cos φ sebagai faktor daya. VIcos φ = V 2 Z_e cos φ = V₀2 2Ze cos φ karena V = √V0 2

(14)

Variation of Pavwith ω. Absorption Resonance Curve

Variation of P

_av

with ω

Rerata daya yang tersedia Pav maksimum ketika cos φ = 1, yaitu, ketika

φ = 0 dan ωm − k/ω = 0 atau ω₀2 = k/m.

Gaya dan kecepatan sefase dan Zm memiliki nilai minimumnya b, maka

P_av(max) = F₀2/2b.

Variation of Pavwith ω. Absorption Resonance Curve

Seperti halnya kurva posisi versus ω, kurva ini juga mengukur respon dari osilator; ketajaman dari puncaknya pada resonansi adalah juga ditentukan oleh nilai dari konstanta redaman b, yang mana merupakan

satu-satunya bentuk yang tetap dalam Zm pada frekuensi resonansi ω0.

Puncak maksimum terjadi pada frekuensi kecepatan resonansi ketika daya yang diserap oleh sistem dari gaya penggerak maksimum; yang diketahui sebagai kurva penyerapan osilator.

(15)

The Q-Value in Terms of the Resonance Absorption Bandwidth

The Q-Value in Terms of the Resonance Absorption

Bandwidth

Ketajaman resonansi didefinisikan dengan rasio

Q = ω0

ω₂ − ω₁ =

ω0

∆ω

dimana ω1 dan ω2 adalah frekuensi yang dipilih ketika daya yang tersedia

P_av = 1

2Pav(maksimum)

Perbedaan frekuensi ∆ω = ω2 − ω1 disebut sebagai lebar-pita

(bandwidth) resonansi. Sekarang Pav = bF₀2/2Z_m2 = 1 2Pav(maksimum) = 1 2F 2 0/2b

ketika Z_m2 = 2b2, yakni ketika

b2 + X_m2 = 2b2 atau X_m = ωm − k/ω = ±b

The Q-Value in Terms of the Resonance Absorption Bandwidth

Jika ω2 > ω1, maka

ω2m− k/ω2 = +b

ω1m− k/ω1 = −b

Dengan mengeliminasi k antara kedua persamaan diatas memberikan

ω₂ − ω₁ = b/m sehingga Q = ω₀m/b

dan ω1 = ω0 − b/2m danω2 = ω0 + b/2m.

Faktor kualitas sebuah rangkaian listrik diberikan oleh

Q = ω0L

R dimana ω

2

0 = (LC)−1

Untuk nilai Q yang tinggi, dimana konstanta redaman b kecil, frekuensi

ω0 dalam definisi Q = ω0m/b bergerak sangat dekat terhadap frekuensi

(16)

The Q-Value as an Amplification Factor

Kembali pada posisi pada resonansi

A_maks = F0 ω0b dimana ω 02 ₌ k m − b2 4m2

Pada frekuensi rendah (ω → 0) posisi memiliki nilai A0 = F0/k,

sehingga Amaks A₀ 2 = Q 2 [1 − 1/4Q2_]

Untuk Q yang besar

A_maks

A₀ ≈ Q