Random Variables = Chance Variables = Stochastic Variables = Variate. MULTIVARIATE X : Ω R { X (ω) : ω Ω} Range dari X = R X

VARIABEL RANDOM

VARIABEL RANDOM

Random Variables = Chance Variables = Stochastic Variables = Variate

VARIATE

UNIVARIATE BIVARIATE

MULTIVARIATE

YANG MENENTUKAN MACAM/CORAK DARI VRD ATAU VRK

X : Ω → R

VARIABEL RANDOM

VARIABEL RANDOM

EKSPEKTASI pmf VRD FINITE Nilai-nilai yang mungkin dari VARIABLE RANDOM

COUNTABLE INFINITE UNCOUNTABLE VRK pdf MIX RV CDF Grafik Sifat Peluang

KONSEP VARIABEL RANDOM

KONSEP VARIABEL RANDOM

Salah satu gagasan yang mendasar dalam probabilitas dan statistika adalah variabel random. Variabel random adalah fungsi dari outcome suatu random eksperimen, dalam bahasa matematis :

Variabel random X adalah fungsi yang domainnya sample space Ω, sedangkan range spacenya R_x subset dari gugus bilangan real.

Secara matematis ditulis :

X :

Ω → R

Visualisasinya sebagai berikut :

RE SAMPLE SPACE

Ω

_{RANGE SPACE} R_X R X(ω₂) ω₁ ω2 . . ωn X

VARIABEL RANDOM DISKRET

VARIABEL RANDOM DISKRET

RE : MENGUNCALKAN SMUL, TIGA KALI

Ω = { TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH }

Variabel Random X yang mencacah banyaknya “ heads (h)” dalam RE seperti kondisi diatas :

X (TTT) = 0 X (THT) = 1 X (HHT) = 2 X (THH) = 2 X (TTH) = 1 X (HTT) = 1 X (HTH) = 2 X (HHH) = 3

Definisi :Variabel Random X adalah fungsi berharga real yang didefinisikan pada sample space Ω

Nilai fungsi disetiap sample point dinyatakan dengan lambang X(ω)

Himpunan nilai-nilai { X(ω) : ω ∈ Ω} disebut range/range space, diberi lambang R_X pada contoh diatas R_X = { 0, 1, 2, 3 }

Ini menunjukan salah satu dari contoh VRD. Dinamakan VRD, karenan RS mengambil harga-harga bilangan bulat.

FUNGSI DISTRIBUSI

FUNGSI DISTRIBUSI

VR X DIDEFKAN PADA PS (Ω,

S, P

)

X : Ω → R

E = { ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x } ∈ S

Probabilitas dari event E disebut fungsi distribusi kumulatif dari X

(cumulative distribution function), atau fungsi distribusi dari X (distribution function), atau fungsi kumulatif dari X (cumulative function),

yang dinyatakan dengan lambang F(x). Dengan demikian : F(x) = P (X ≤ x), atau F(x) = P [X(ω) ≤ x] Sifat-sifat F(x) :

≤

≤

∀ ∈

1. 0

F x

( ) 1

x R

3.

F x fungsi tidakturun

( )

4.

F x kontinu kawan

( )

→∞

=

→−∞

=

2. lim ( ) 1

lim ( ) 0

x

F x

dan

x

F x

KLASIFIKASI VARIABLE RANDOM

KLASIFIKASI VARIABLE RANDOM

VR

X

DISKRET

(discrete)

MIX R V

KONTINU

(continuous)

JIKA RANGE/RS

FINITE ATAU

COUNTABLE

JIKA RANGE/RS

UNCOUNTABLE

FUNGSI PROBABILITAS DARI VRD

FUNGSI PROBABILITAS DARI VRD

VR sering dipakai untuk mendiskripsikan EVENTS EVENT AND ONLY EVENT

HAVE A PROBABILITY

EVENT { X = x } → probabilitasnya dinyatakan P ( X = x )

DEFINISI : Jika X adalah VRD, selanjutnya dikaitkan dengan bilangan

P ( X = x_i ) untuk setiap outcome x_i ∈ R_X, i = 1, 2, . . . n, dimana p_X (x_i) memenuhi_: 1

1.

p x ≥

_X

( ) 0

∀

_i 1 1

2.

_X

( ) 1

i

p x

∞ =

=

∑

p x

X

( )

1

=

F x

X

( )

1

−

F x

X

(

1

−

1)

≤

=

≤

=

∑

1 1

( )

(

)

( )

i X X i X x x

F x

P X

x

p x

PROBABILITY MASS FUNCTION

PROBABILITY MASS FUNCTION

FUNGSI p_X DISEBUT FUNGSI PROBABILITAS (probability function) atau

FUNGSI PROBABILITAS MASSA/pmf (probability mass function) atau HUKUM PROBABILITAS DARI VR

(probability law)

KOLEKSI DARI PASANGAN [ (x_i, p_X (x_i)), i= 1,2, . . . ] DISEBUT DISTRIBUSI PROBABILITAS DARI X

(probability distribution)

FUNGSI p_X BIASANYA DINYATAKAN DALAM BENTUK : TABULASI, GRAFIK ATAU MODEL MATEMATIS

MIX RV

MIX RV

Dengan menggunakan bentuk sederhana dari : Lebesque Decomposition Theorem, F_X(x) dapat ditulis sebagai jumlah dari dua fungsi sbb:

F

_X

(x) = G

_X

(x) + H

_X

(x)

f. kontinu f. tangga H_X (-∞) = 0

Jika G

_X

(x) = 0

_x

, maka X disebut VRD

Jika H

_X

(x) = 0 , maka X disebut VRK

PROBABILITY DENSITY FUNCTION

PROBABILITY DENSITY FUNCTION

Bagi VRK, fungsi yang menyatakan peranan sama dengan Probability Mass Function disebut pdf (fungsi padat peluang)

Definisi : Variabel random X dikatakan VRK, jika fungsi distribusinya adalah fungsi kontinu sbb :

Dimana ;

Fungsi

f

_X (x) disebut probability density fungsi (pdf) dari VRX. Ingat teorema dasar kalkulus

( ) −∞

=

∫

( )

=

( )

x X x x

d

_F

d

_{f t dt f x}

dx

d

( )

( )

x X X

F x

f

t dt

−∞

=

∫

2.

f

_X

( )

t dt

1

∞ −∞

=

∫

1.

f

_X

( )

t

≥

0

PROBABILITY DENSITY FUNCTION

PROBABILITY DENSITY FUNCTION

UNTUK SUATU INTERVAL (a, b)

Untuk VR X maka berlaku hubungan berikut ini :

(

)

( )

( )

b a X X

P a

X

b

f

t d t

f

t d t

− ∞ − ∞

<

<

=

∫

−

∫

( )

( )

( )

b b X X X a a

f

t dt

f

t dt

f

t dt

−∞ − ∞

=

∫

+

∫

=

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

P a X b

<

<

=

P a X b

<

≤

=

P a X b

≤

<

=

P a X b

≤

≤

( )

b X a

f t dt

=

∫

KAITAN ANTARA PELUANG SUATU EVENT

KAITAN ANTARA PELUANG SUATU EVENT

DENGAN FDC

DENGAN FDC

p

p

_XX

(a

(a

) = P { X = a } =

) = P { X = a } =

tinggi

tinggi

loncatan

loncatan

dari

dari

F(x)

F(x)

di

di

x = a

x = a

F(b F(b) ) -- F(a) + P{ X F(a) + P{ X -- a } a } -- P{ X = b }P{ X = b } { a { a ≤≤ X X << b }b } F(b F(b) ) -- F(a) + P{ X = a }F(a) + P{ X = a } { a { a ≤≤ X X ≤≤ b }b } F(b F(b) ) -- F(a) F(a) -- P{ X = b }P{ X = b } { a < X { a < X << b }b } F(b F(b) ) -- F(a)F(a) { a < X { a < X ≤≤ b }b } F(b F(b) ) -- P{ X = b }P{ X = b } { X { X << b }b } F(b) F(b) { X { X ≤≤ b }b } 1 1 –– F(aF(a) + P{ X = a }) + P{ X = a } { a { a ≤≤ X }X } 1 1 –– F(a)F(a) { a < X } { a < X } Tinggi

Tinggi loncatanloncatan daridari grafikgrafik F(x) F(x) didi x = ax = a { X = a } { X = a } PROBABILITAS EVENT PROBABILITAS EVENT EVENT EVENT

VR

VRD

VRK

( )

(

)

X

p x

P X

=

x

(

)

0

(

)

1

x

S i f a t p m f

p

x

p

x

≥

=

∑

(

)

( )

b a

P a

≤

X

≤

b

=

∫

f x dx

pdf

p m f

( )

:

( )

( )

0

dF x

S ifat pd f

f x

dx

f x

=

≥

( )

1,

f x dx

∞ −∞

=

∫

P X

(

=

a

)

=

0

( )

(

)

F x

P X

≤

x

( )

( )

t x

F x

p t

≤

=

∑

Grafiknya : Step Function

( )

( )

x

F x

f t dt

−∞

=

∫

Grafiknya : Fungsi kontinu VR CAMPURAN

Contoh

Contoh

Soal

Soal

:

:

1.

1.

Pada

Pada

RE

RE

menguncalkan

menguncalkan

SMUL

SMUL

tiga

tiga

kali,

kali,

diperoleh

diperoleh

Ω

Ω

= { TTT, . . . HHH} yang

= { TTT, . . . HHH} yang

terdiri

terdiri

8 sample point yang

8 sample point yang

bersifat

bersifat

Equally likely.

Equally likely.

Jika

Jika

X VR yang

X VR yang

menyatakan

menyatakan

banyaknya

banyaknya

“

“

HEADS

HEADS

”

”

,

,

maka

maka

;

;

dapat

dapat

dicari

dicari

:

:

a. P (X = 2),

a. P (X = 2),

b . P (X < 2)

b . P (X < 2)

Jika

Jika

A event yang

A event yang

menyatakan

menyatakan

X = 2,

X = 2,

maka

maka

jelas

jelas

bahwa

bahwa

A

A

⊆

⊆

Ω

Ω

,

,

kenapa

kenapa

?

?

a). A =( X = 2 ) = {

a). A =( X = 2 ) = {

ω

ω

: X (

: X (

ω

ω

) = 2} = { HHT, THH, HTH}

) = 2} = { HHT, THH, HTH}

P (X=2) = P (A) = 3/8

P (X=2) = P (A) = 3/8

b).

b).

Jika

Jika

B event yang

B event yang

didefinisikan

didefinisikan

oleh

oleh

(X<2),

(X<2),

maka

maka

:

:

B = (X<2) = {

B = (X<2) = {

ω

ω

: X (

: X (

ω

ω

) < 2} = { HTT, THT, TTH, TTT}

) < 2} = { HTT, THT, TTH, TTT}

P (X < 2 )= P (B) = 1/2

2.

2.

Diberikan

Diberikan

fungsi

fungsi

distribusi

distribusi

:

:

Contoh

Contoh

Soal

Soal

:

:

1 1 2 ₂ 1 2

0

;

0

( )

; 0

1

;

x

F x

x

x

x

<

⎧

⎪

= +

_⎨

≤ <

⎪

_≥

⎩

Pertanyaan

Pertanyaan

:

:

a.

a.

Skets

Skets

grafik

grafik

F(x

F(x

),

),

periksa

periksa

apakah

apakah

F(x

F(x

)

)

memenuhi

memenuhi

sifat

sifat

dari

dari

fungsi

fungsi

distribusi

distribusi

b.

b.

Tentukan

Tentukan

nilai

nilai

dari

dari

c.

c.

Macam/corak

Macam/corak

dari

dari

VR ?

VR ?

1 1 1

4 4 4

(

);

(0

);

(

0)

(0

)

Solusi

Solusi

:

:

a.

a.

Dari

Dari

grafik

grafik

F(x

F(x

),

),

terlihat

terlihat

bahwa

bahwa

0

0

≤

≤

F(x

F(x

)

)

≤

≤

1

1

¾

¾

F(x

F(x

)

)

juga

juga

merupakan

merupakan

fungsi

fungsi

yang

yang

tidak

tidak

turun

turun

¾

¾

F (

F (

-

-

∞

∞

) = 0

) = 0

dan

dan

F (

F (

∞

∞

) = 1

) = 1

¾

¾

F(x

F(x

)

)

kontinu

kontinu

kanan

kanan

Dengan

Dengan

demikian

demikian

F(x

F(x

)

)

memenuhi

memenuhi

sifat

sifat

dari

dari

fungsi

fungsi

distribusi

distribusi

0 1/2 1

1/2 1 x

b.

b.

( )

( )

3 1 1 1 1 4 4 4 2 4 3 1 1 1 1 4 4 4 2 4 1 1 2 2 1 1 4 4

(

)

( )

(0

)

( )

(0)

(

0)

(

0)

(

0)

(0)

(0 )

0

(0

)

0

(

0)

1

1

3

4

2

4

P X

F

P

X

F

F

P X

P X

P X

F

F

P

X

F

F

P X

−

≤

=

= + =

<

≤

=

−

= − =

=

=

≤

−

<

=

−

= − =

≤

≤

=

−

+

=

= + =

c. VR X

Contoh

Contoh

Soal

Soal

:

:

3.

3.

Variabel

Variabel

Random X

Random X

mempunyai

mempunyai

fungsi

fungsi

distribusi

distribusi

:

:

1 2

0

;

0

( )

; 0

1

;

1

x

F x

x

x

k

x

<

⎧

⎪

=

_⎨

≤ <

⎪

_≥

⎩

Pertanyaan

Pertanyaan

:

:

a.

a.

Tentukan

Tentukan

nilai

nilai

k

k

b.

b.

Macam

Macam

/

/

corak

corak

dari

dari

VR X

VR X

c.

c.

Tentukan

Tentukan

nilai

nilai

dari

dari

:

:

1 1

2 2

(

1);

(

1)

(

2)

Solusi

Solusi

:

:

.

0

( )

1,

1

a Mengingat

≤

F x

≤

maka k

=

1 2

0

;

0

.

( )

; 0

1

1

;

1

x

b

F x

x

x

x

<

⎧

⎪

=

_⎨

≤ <

⎪

_≥

⎩

Coba

Coba

buat

buat

sketsanya

sketsanya

akan

akan

terlihat

terlihat

bahwa

bahwa

VR X

VR X

adalah

adalah

VR

VR

-

-

Campuran

Campuran

3 1 1 1 2 2 4 4

.

(

1)

(1)

( )

1

c

P

<

X

≤ =

F

−

F

= − =

3 3 1 1 1 1 2 2 4 4 2 4

(

1)

(

1)

(

1)

(1 )

P

< < =

X

P

< ≤ −

X

P X

= = −

F

−

= − =

(

2)

1

(

2)

P X

>

= −

P X

≤

1

F

( 2 )

1

1

0

= −

= − =

Soal

Soal

-

-

Soal

Soal

:

:

1.

1.

Suatu

Suatu

fungsi

fungsi

didefinisikan

didefinisikan

sebagai

sebagai

berikut

berikut

:

:

( )

3

1

4

4

;

0

( )

0

;

x

x

p x

x lainnya

⎧

_<

⎪

= ⎨

⎪⎩

Pertanyaan

Pertanyaan

:

:

a.

a.

Apakah

Apakah

p(x

p(x

)

)

merupakan

merupakan

pmf

pmf

dari

dari

VR X ?

VR X ?

b.

Soal

Soal

-

-

Soal

Soal

:

:

2.

2.

Diketahui

Diketahui

VR X

VR X

dengan

dengan

pdf

pdf

sebagai

sebagai

berikut

berikut

:

:

0

;

( )

; 0

1( konstanta)

X

untuk x lainnya

f x

k x

x

k

⎧

= ⎨

_{< <}

⎩

Pertanyaan

Pertanyaan

:

:

a.

a.

Tentukan

Tentukan

nilai

nilai

dari

dari

k

k

b.

b.

Tentukan

Tentukan

F(x

F(x

)

)

berikut

berikut

gambarnya

gambarnya

c.

Soal

Soal

-

-

Soal

Soal

:

:

3.

3.

Suatu

Suatu

RE,

RE,

menguncalkan

menguncalkan

sebuah

sebuah

dadu

dadu

.

.

Andaikan

Andaikan

X VR

X VR

yang

yang

menyatakan

menyatakan

: 1

: 1

bila

bila

angka

angka

yang

yang

muncul

muncul

pada

pada

dadu

dadu

adalah

adalah

genap

genap

,

,

dan

dan

0

0

bila

bila

angka

angka

yang

yang

muncul

muncul

pada

pada

dadu

dadu

ganjil

ganjil

.

.

Pertanyaan

Pertanyaan

:

:

a. Range

a. Range

dari

dari

X

X

b.

b.

Tentukan

Tentukan

P (X = 1)

P (X = 1)

dan

dan

P (X=0)

P (X=0)

4.

4.

Suatu

Suatu

RE

RE

menguncalkan

menguncalkan

smul

smul

tiga

tiga

kali.

kali.

Tentukan

Tentukan

fungsi

fungsi

distribusinya

Soal

Soal

-

-

Soal

Soal

:

:

5.

5.

Periksa

Periksa

fungsi

fungsi

dibawah

dibawah

ini

ini

manakah

manakah

yang

yang

pmf

pmf

3 1 9

(

2) ;

0,1, 2,3, 4,5

.

( )

0

;

x

x

a

q x

x lainnya

⎧

₋

₌

⎪

= ⎨

⎪⎩

2 1 9

(

2) ;

0,1, 2,3, 4,5

.

( )

0

;

x

x

b

r x

x lainnya

⎧

₋

₌

⎪

= ⎨

⎪⎩

2 1 19

(

2) ;

0,1, 2,3, 4,5

.

( )

0

;

x

x

c

p x

x lainnya

⎧

−

=

⎪

= ⎨

⎪⎩

Soal

Soal

-

-

Soal

Soal

:

:

6.

6.

Periksa

Periksa

fungsi

fungsi

dibawah

dibawah

ini

ini

mana

mana

yang

yang

merupakan

merupakan

pdf

pdf

1 2 1

(2

1)

0

2

( )

0

x

untuk

x

f x

x lainnya

−

≤ <

⎧

= ⎨

⎩

2

0

2

( )

0

x untuk

x

f x

untuk x lainnya

≤ <

⎧

= ⎨

⎩

2 3

0

2

( )

0

x

_untuk

_x

f x

untuk x lainnya

≤ <

⎧

= ⎨

⎩