PENDAHULUAN
Latar Belakang
Data deret waktu (time series) adalah pengamatan yang ditata menurut urutan waktu. Dalam banyak kasus data deret waktu dapat ditemukan pola-pola yang ada pada data. Pola-pola yang sama dapat saja terjadi berulang pada data deret waktu karena kondisi saat ini terkait dengan kondisi pada periode sebelumnya. Dengan memanfaatkan data historis, dapat dibangun model yang dapat merepresentasikan pola data tersebut dan menggunakannya untuk meramalkan nilai yang akan datang.
Pemodelan dan peramalan data deret waktu dapat dilakukan secara bersamaan (simultan) karena pergerakan data-data deret waktu dapat terjadi bersamaan atau mengikuti pergerakan data deret waktu lainnya. Dengan memasukkan peubah deret waktu yang lain dalam model untuk meramal pergerakan deret waktu tertentu dapat meningkatkan ketepatan peramalan.
Salah satu model peramalan untuk data deret waktu yang dapat digunakan adalah model Vector Autoregressive (VAR). Model ini digunakan untuk menyusun sistem peramalan dari data deret waktu yang saling terkait dan untuk menganalisis efek (impact) dinamis dari keberadaan faktor acak yang mengganggu sistem tersebut (Sartono dkk, 2006). Sims’s dalam Enders (1995) menjelaskan bahwa VARadalah suatu sistem persamaan yang memperlihatkan setiap peubah sebagai fungsi linear dari konstanta dan nilai beda kala (lag) peubah tersebut serta beda kala peubah lain dalam sistem, atau dengan kata lain peubah penjelas dalam VAR meliputi nilai beda kala semua peubah respon dalam model.
Hubungan dinamis antara pergerakan peubah-peubah ekonomi merupakan topik yang menarik untuk dipelajari. Novita & Nachrowi (2005) menganalisis hubungan dinamis antara Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) dengan nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika dengan menggunakan VAR. Pendekatan VAR juga digunakan oleh Natassyari (2006) dalam menganalisis hubungan antara pasar modal dengan nilai tukar, cadangan devisa, dan ekspor bersih. Kristiawardani (2002) menerapkan model VAR dalam menyusun model ekonomi kecil Indonesia. Sedangkan penelitian ini memodelkan dan meramalkan suku bunga SBI, IHSG, dan suku bunga
internasional secara simultan dengan menggunakan model VAR.
Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Memodelkan dan meramalkan suku bunga SBI, IHSG, dan suku bunga internasional dengan menggunakan model VAR dan ARIMA.
2. Menganalisis efek (impact) dinamis dari keberadaan faktor acak dalam model VAR.
3. Melakukan perbandingan hasil peramalan antara model VAR dan ARIMA.
TINJAUAN PUSTAKA
Model ARIMA
Model Autoregressive Integrated Moving
Average (ARIMA) merupakan campuran
antara model regresi diri(Autoregressive, AR) berordo p dengan model rataan bergerak (Moving Average, MA) berordo q yang mengalami pembedaan sebanyak d kali. Persamaan umum model ARIMA (p, d, q) adalah sebagai berikut (Wei, 1990):
t q t d p(B)(1−B) y =µ+θ (B)ε φ ...(1)
dimana µ merupakan konstanta, ) B ... B -(1 (B) p p 1 p = φ − −φ φ merupakan
polinomial karakteristik AR dan ) B θ ... B θ θq
(B)
=
(1
-
1 − − q q merupakan polinomial karakteristik MA.
Kestasioneran Data
Ide dasar kestasioneran adalah bahwa proses tersebut mengikuti kaidah kemungkinan yang tidak berubah karena waktu atau proses berada pada keseimbangan secara statistik (Cryer, 1986).
Kestasioneran data deret waktu dapat diperiksa dengan melihat plot deret waktu. Plot deret waktu yang berfluktuasi dengan ragam yang konstan disekitar rataan yang konstan menunjukkan bahwa data deret waktu tersebut stasioner. Sedangkan plot deret waktu yang tidak berfluktuasi disekitar rataan yang konstan atau tidak berfluktuasi dengan ragam yang konstan mengindikasikan bahwa data deret waktu tersebut tidak stasioner. Selain itu plot korelasi diri (ACF) juga dapat menunjukkan data deret waktu stasioner atau
tidak. Jika plot ACF dari data membentuk pola cuts off (memotong garis) atau tails off (turun secara eksponensial menuju nol) dengan cepat, maka data tersebut diperkirakan stasioner. Sedangkan jika plot ACF membentuk pola tails off secara lambat, maka data deret waktu tersebut diperkirakan tidak stasioner (Bowerman & O’Connell, 1993).
Uji Augmented Dickey Fuller
Kestasioneran data dapat diuji dengan uji AugmentedDickey Fuller melalui model pembedaan sebagai berikut (Eviews, 2002):
t p 1 i i t i 1 t t µ βy ∆y ε ∆y = + +∑δ + = − − …...…(2)
dimana µ adalah konstanta dan 1
-β=φ ,φadalah parameter AR(1). Hipotesis yang diuji adalah:
H0 : β=0 (data bersifat tidak stasioner) H1 : β<0 (data bersifat stasioner)
Nilai β diduga melalui metode kuadrat terkecil dan pengujian dilakukan dengan uji t. Statistik uji-nya yaitu:
βˆ
hit σβ ˆ
t = ...(3) dengan βˆ = nilai dugaan β
βˆ
σ
= simpangan baku dari
βˆ Jika nilai thit < nilai kritis MacKinnon (α), maka keputusan yang diambil adalah menolak H0 yang berarti data bersifat stasioner. (Eviews, 2002).Korelasi Diri (Autocorrelation) dan Korelasi Diri Parsial (Partial Autocorrelation)
Fungsi korelasi diri (Autocorrelation Function, ACF) dan fungsi korelasi diri parsial (Partial Autocorrelation Function, PACF) merupakan alat yang digunakan untuk menentukan spesifikasi atau identifikasi model. Tahap identifikasi didasarkan pada fungsi korelasi diri contoh (r ) dan fungsi h korelasi diri parsial contoh (φhh) yang diperoleh dari data yang ada. Fungsi korelasi diri contoh (r ) diperoleh melalui persamaan h sebagai berikut (Cryer, 1986):
∑ − ∑ − − = = − = + T 1 t 2 t h T 1 t t t h h ) y (y ) y )(y y (y r ...(4) dimana h
r = nilai korelasi diri pada beda kala ke-h t
y = nilai pengamatan pada waktu ke-t T = banyaknya pengamatan deret waktu h = beda kala yang diamati
t = 1, 2, 3, ..., T.
Sedangkan fungsi korelasi diri parsial contoh (φ hh) diperoleh melalui persamaan sebagai berikut: ∑φ − ∑φ − = φ − = − − = − − 1 h 1 j h 1,j j 1 h 1 j h 1,j h j h hh r 1 r r ...(5) dimana φhj =φh−1,j−φhhφh−1,h−j untuk j=1,2,...,h-1.
Identifikasi Model ARIMA
Proses identifikasi model didasarkan pada plot ACF dan PACF yang sangat berguna dalam memprediksi ordo p dan q dalam model. Ciri model AR(p) adalah adanya perilaku cuts off (memotong garis) pada plot PACF setelah beda kala ke-p dan perilaku tails off (turun secara eksponensial menuju nol) pada plot ACF. Sedangkan ciri model MA(q) adalah adanya perilaku cuts off pada plot ACF setelah beda kala ke-q dan perilaku tails off pada plot PACF. Jika pada kedua plot ACF dan PACF menunjukkan perilaku tails off, hal ini menunjukkan ciri model ARMA(p,q) (Bowerman & O’Connell, 1993).
Pendugaan Parameter Model ARIMA
Setelah identifikasi model, tahapan berikutnya adalah pendugaan parameter. Terdapat beberapa metode pendugaan parameter, antara lain: metode kuadrat terkecil, metode momen, metode maximum likelihood dan sebagainya.
Nilai dugaan parameter diuji dengan statistik uji-t untuk mengetahui signifikan atau tidaknya pengaruh parameter tersebut terhadap model (Bowerman & O’Connell, 1993). Nilai dugaan parameter signifikan apabila nilai peluang statistik t (nilai-p) lebih kecil dari taraf nyata α.
Uji Diagnostik Model ARIMA
Uji Portmanteau digunakan untuk menguji apakah model yang dimiliki sudah layak atau belum. Hipotesis yang diuji adalah sebagai
berikut:
H0 : r1 = r2 = ... = rh = 0 (tidak ada autokorelasi dalam sisaan sampai beda kala ke-h)
H1 : ∃ri ≠ 0 (ada autokorelasi dalam sisaan sampai beda kala ke-h)
Jika H0 ditolak maka model tidak layak. Statistik uji yang digunakan adalah statistik Q (Cryer, 1986): ∑ − + = = h 1 h 2 h h T rˆ 2) T(T Q ...(6) dimana T = banyaknya sisaan
h
rˆ = autokorelasi antar sisaan h = beda kala
Statistik Q mengikuti sebaran Chi-Square dengan derajat bebas h-p-q, dimana p adalah ordo Auto Regressive (AR) dan q adalah ordo Moving Average (MA).
Model Vector Autoregressive
Model Vector Autoregressive (VAR) merupakan suatu sistem persamaan dinamis dimana pendugaan suatu peubah pada periode tertentu tergantung pada pergerakan peubah tersebut dan peubah-peubah lain yang terlibat dalam sistem pada periode-periode sebelumnya (Enders, 1995).
Untuk suatu sistem sederhana dengan 2 peubah, model simultan yang dibentuk (Enders, 1995) adalah sebagai berikut:
t y 1 t 12 1 t 11 t 12 10 t b b z γ y γ z ε y = − + − + − + ….(7) t z 1 t 22 1 t 21 t 21 20 t b b y γ y γ z ε z = − + − + − + …(8)
dengan asumsi: (a) y dan t z stasioner; (b) t
t
y
ε dan εzt adalah galat dengan simpangan baku σy dan σz; dan (c)
t y ε dan t z ε tidak berkorelasi.
Persamaan (7) dan (8) memiliki struktur timbal balik (feedback) karena y dan t z t saling memberikan pengaruh satu sama lain. Persamaan ini merupakan persamaan VAR struktural. Dengan menggunakan aljabar matriks, persamaan (7) dan (8) dapat dituliskan sebagai berikut:
atau t 1 t 1 0 t Γ Γ Bx = + x− +ε ...(9) Perkalian (9) dengan B−1 akan diperoleh model VAR dalam bentuk standar:
t 1 t 1 0 t A Ax e x = + − + ...(10) dimana A0=B−1Γ0 1 1 1 B Γ A = −
1 t t B ε e = −
Secara umum model VAR dengan ordo-p (VAR(p)) sebagai berikut (Enders, 1995):
..(11) A ... A A A0 1 t1 2 t 2 p t p t t x x x e x = + − + − + + − + t = 1, ..., T
dimana xt adalah vektor peubah endogen berukuran nx1, A adalah vektor intersep 0 berukuran nx1, A adalah matriks parameter i berukuran nxn untuk setiap i=1, 2, ..., p dan
t
e adalah vektor sisaan yang berukuran nx1. Karena peubah-peubah endogen dalam persamaan (11) hanya terdiri dari beda kala semua peubah eksogen, kesimultanan bukan suatu persoalan dan pendugaan Ordinary Least Square (OLS) atau metode kuadrat terkecil menghasilkan dugaan yang konsisten. Pendugaan metode kuadrat terkecil menjadi efisien karena seluruh persamaan memiliki regresor yang identik (Eviews, 2002).
Peubah dalam vektor xt, misalkan peubah yk,t(k=1,2,...,n), memiliki persamaan parsial sebagai berikut:
t k,
y =
dimana akj(i) adalah unsur baris ke-k dan kolom ke-j dari matriks Ai, yang dapat diartikan sebagai koefisien parameter peubah ke-j (j=1, 2, ..., n) pada persamaan parsial peubah ke-k (k=1, 2, ..., n) untuk beda kala ke-i (i=1, 2, ..., p).
Hipotesis yang diuji dalam persamaan model VAR:
H0 : akj(i)=0 H1 : akj(i)≠0
Nilai akj(i) diduga melalui metode kuadrat terkecil dan pengujiannya dilakukan dengan uji t. Statistik uji-nya yaitu:
(i) aˆ kj hit kj σ (i) aˆ t = ...(13) Jika nilai |thit | > t(db=T−s,α/2), dimana T adalah banyaknya pengamatan dan s adalah banyaknya parameter yang diduga dalam satu persamaan yaitu sebanyak 1+np, maka keputusan yang diambil adalah menolak H0. + + = − − t t z y 1 t 1 t 22 21 12 11 20 10 t t 21 12 ε ε z y γ γ γ γ b b z y 1 b b 1 ) 12 ...( ... ... ... e (p)y a ... (p)y a (p)y a ... y (2) a ... (2)y a (2)y a y (1) a ... (1)y a (1)y a a t k, p t n, kn p t 2, k2 p t 1, k1 2 t n, kn 2 t 2, k2 2 t 1, k1 1 t n, kn 1 t 2, k2 1 t 1, k1 k0 + + + + + + + + + + + + + + − − − − − − − − −
Penentuan Ordo VAR
Penentuan ordo atau panjang beda kala yang optimal merupakan tahapan yang penting dalam pemodelan VAR (Novita & Nachrowi, 2005). Menurut Enders (1995), kriteria uji alternatif untuk menentukan panjang beda kala yang sesuai adalah dengan menggunakan statistik AIC (Akaike Information Criterion) atau SBC (Schwartz Bayesian Criterion). 2N | Σ | Tlog AIC= + ...(14) Nlog(T) | Σ | Tlog SBC= + ...(15) dimana
T = banyaknya pengamatan yang
digunakan
| Σ
| = determinan matriks ragam peragam dari sisaan
N = banyaknya parameter yang diduga dalam seluruh persamaan
Jika setiap persamaan dalam n peubah VAR mempunyai p beda kala dan sebuah intersep, maka N =n2p+n.
Model yang baik adalah model yang mampu memberikan tingkat residual (error) yang paling kecil. Model dengan nilai AIC atau SBC terkecil dipilih sebagai model terbaik dengan beda kala yang cukup efisien.
Uji Kointegrasi
Konsep kointegrasi diperkenalkan oleh Engle dan Granger (Enders, 1995). Untuk mengembangkan idenya lebih lanjut, Granger mendefinisikan konsep derajat integrasi dari sebuah peubah atau suatu deret waktu. Jika suatu deret waktu bisa dibuat mendekati bentuk pola deret waktu yang stasioner setelah mengalami pembedaan sebanyak d kali, maka deret waktu tersebut dikatakan terintegrasi dengan derajat d, atau I(d).
Peubah-peubah yang tidak stasioner yang terintegrasi pada tingkat yang sama dapat membentuk kombinasi linear yang bersifat stasioner (SAS Institute, 2002).
Engle dan Granger (1987) mendefinisikan kointegrasi sebagai berikut: komponen dari vektor xt dikatakan terkointegrasi pada ordo d, b, dinyatakan dengan xt ~ CI(d, b), jika (i) seluruh komponen dari xt terintegrasi
pada ordo d
(ii) terdapat vektor β=( β1, β2, ..., βn) sehingga kombinasi linier βxt terintegrasi pada ordo (d-b) dimana b > 0.
Vektor β dinamakan vektor kointegrasi.
Adapun metode yang digunakan untuk menguji adanya kointegrasi antara lain: Uji Engle-Granger dan Uji Johansen.
Engle dan Granger (1987) melakukan pengujian hipotesis nol bahwa tidak ada kointegrasi antara gugus peubah yang terintegrasi pada derajat 1 atau I(1). Engle dan Granger melakukan pendugaan koefisien hubungan antar peubah menggunakan metode kuadrat terkecil, dan menerapkan uji Augmented Dickey Fuller terhadap sisaan yang dihasilkan untuk melihat apakah deret tertentu merupakan proses yang stasioner atau tidak. Penolakan hipotesis nol tentang ketidakstasioneran dijadikan sebagai bukti terjadinya kointegrasi.
Uji Johansen memodelkan deret-deret yang ada dalam bentuk model VAR(p) kemudian mencari matriks yang dapat digunakan untuk menyusun kombinasi linear antar deret, dan memeriksa apakah ada kombinasi linear yang dapat membentuk deret baru yang mengikuti proses stasioner.
Model pada persamaan (11) dapat dituliskan sebagai: ∑ + + Π = − = − − 1 p 1 i i t i t 1 t t Γ∆ ...(16) ∆x x x e dimana ∑ − = Π = p 1 i Ai I,
=−=∑+ p 1 i j i i A Γ
Adapun hipotesis yang diuji dalam uji Johansen adalah:
H0 : rank(Π) ≤ r H1 : rank(Π) > r
Statistik uji yang digunakan adalah:
∑ − − = + = n 1 r i i trace(r) T ln(1 λˆ ) λ ...(17) dimana i
λˆ = akar ciri ke-i matriks Π
T = banyaknya pengamatan yang digunakan
Jika nilai λtrace(r)> nilai kritis dalam Tabel trace
λ
dimana keputusan yang diambil adalah
menolak H0, maka uji dilanjutkan untuk rank = r+1 hingga diperoleh λtrace(r)< nilai kritistrace
λ dengan keputusan menerima H0, yang artinya kointegrasi terjadi pada rank r.
Fungsi Respon Impuls
Bentuk model dinamik VAR yang semakin rumit akan menyebabkan sulitnya memberikan interpretasi terhadap setiap nilai koefisien. Kerumitan tersebut dapat diatasi dengan “impuls respon”. Dengan
menggunakan fungsi respon impuls, pengaruh dari adanya shock atau guncangan pada salah satu peubah terhadap peubah lain yang ada dalam VAR dapat diketahui.
Misalkan untuk model pada persamaan (10) dengan panjang beda ordo p=1 dan banyaknya peubah endogen n=2 (peubah y t dan z ), melalui proses iterasi dapat t dinyatakan dalam Vector Moving Average dan diperoleh persamaan sebagai berikut (Enders, 1995): ∑ + = ∞ =0 − i i t i t µ φε x ...(18) dimana
( )
( )
( )
( )
= i φ i φ i φ i φ φ 22 21 12 11 iKoefisien φi dapat digunakan untuk membangkitkan pengaruh dari shock atau guncangan peubah y dan t z (t εyt dan εzt) terhadap deret y dan t z . Sebagai contoh, t koefisien )φ12(0 adalah pengaruh langsung satu unit perubahan εzt terhadap y . Dengan t cara yang sama, elemen φ11(1) dan φ12(1) adalah respon dari perubahan unit εyt dan
t
z
ε pada yt+1. Pada periode ke-n, efek εzt
pada nilai yt+n adalah φ12(n). Kemudian, setelah n periode, jumlah kumulatif pengaruh
t z ε pada y adalaht ∑ = n 0 i φ12(i). Koefisien )φ11(i , )φ12(i , )φ21(i dan ) i (
φ22 disebut sebagai fungsi respon impuls yang menginformasikan pengaruh perubahan guncangan suatu peubah terhadap peramalan peubah lain (Enders, 1995). Pengaruh tersebut dapat dilihat secara visual dengan menggunakan plot antara koefisien
) i (
φjk dengan i.
Dekomposisi Ragam
Dekomposisi ragam memisahkan keragaman pada peubah endogen menjadi komponen-komponen yang ada dalam sistem VAR. Dekomposisi ragam ini dapat memberikan informasi mengenai kontribusi setiap sisaan (εi) dalam mempengaruhi besarnya nilai-nilai peubah dalam VAR (Enders, 1995).
Misalkan ragam peramalan sisaan n periode ke depan untuk y adalah t
=
(n)
σ2y σy2[φ112 (0)+φ112(1)+...+φ112 (n−1)]
...(19) Dekomposisi ragam sisaan n periode ke depan terhadap proporsi masing-masing guncangan dapat dilakukan. Proporsi σ2y(n) terhadap masing-masing guncangan εyt dan
t z ε adalah ) 20 ( ... ) n ( σ 1)] (n φ ... (1) φ (0) [φ σ 2 y 2 11 2 11 2 11 2 y + + + − dan ) 21 ( ... ) n ( σ 1)] (n φ ... (1) φ (0) [φ σ 2 y 2 12 2 12 2 12 2 z + + + −
Uji Diagnostik Model VAR
Salah satu diagnostik terhadap sisaan yang dapat dilakukan adalah memeriksa adanya korelasi serial antar sisaan pada beberapa beda kala (lag). Uji Portmanteau menghasilkan statistik yang dapat digunakan untuk hal tersebut, yaitu Statistik Q seperti pada persamaan (6). Statistik Q untuk model VAR mengikuti sebaran Chi-Square dengan derajat bebas n2(h-p),
dimana n = banyaknya peubah dalam VAR p = ordo VAR
h = beda kala (Eviews, 2002). Sedangkan hipotesis yang diuji adalah: H0 : tidak ada autokorelasi sisaan sampai beda
kala ke-h
H1 : terdapat autokorelasi sisaan sampai beda kala ke-h
Jika nilai-p > α maka terima H0 atau tidak ada komponen autokorelasi yang signifikan hingga beda kala ke-h.
Evaluasi Peramalan
Evaluasi ketepatan peramalan dihitung dengan menggunakan rataan persentase kesalahan absolut (Mean Absolute Percentage Error), disingkat MAPE dengan rumus:
...(22) dengan y adalah data aktual pada waktu ke-t t sedangkan yˆ adalah data hasil peramalan t pada waktu ke-t. Nilai MAPE yang semakin kecil menunjukkan data hasil peramalan mendekati nilai aktual (Makridakis et al, 1983). ∑ − = = n 1 i t t t yˆ yˆ y n 100 MAPE 1)] (n φ ... (1) φ (0) [φ σ2z 122 + 122 + + 122 − +
