Kaedah Penentuan Saiz p - Adic Fungsi Faktorial dan Aplikasi dalam Pembinaan Polihedron Newton

UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

KAEDAH PENENTUAN SAIZ p−ADIC FUNGSI FAKTORIAL DAN

APLIKASI DALAM PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

KAEDAH PENENTUAN SAIZ

p

−

ADIC FUNGSI

FAKTORIAL DAN APLIKASI DALAM

PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

MASTER SAINS

UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

KAEDAH PENENTUAN SAIZ p−ADIC FUNGSI FAKTORIAL DAN APLIKASI DALAM PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON

Oleh

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

Tesis Yang Dikemukakan ke Sekolah Pengajian Siswazah, Universiti Putra Malaysia Sebagai Memenuhi Keperluan Untuk Ijazah Master Sains

Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai memenuhi keperluan untuk ijazah Master Sains

KAEDAH PENENTUAN SAIZ p−ADIC FUNGSI FAKTORIAL DAN APLIKASI DALAM PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON

Oleh

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

Oktober 2010

Pengerusi: Profesor Dato’ Hj. Kamel Ariffin bin Mohd Atan, PhD

Institut: Institut Penyelidikan Matematik

Penyelidikan tentang saiz p−adic ini adalah berkaitan dengan penentuan anggaran

hasil tambah eksponen

(

)

( )

mod 2 ; _{x q}exp if x S f q q π ⎛ ⎞ = _⎜ ⎝ ⎠

∑

% % m set

⎟ yang telah ditunjukkan oleh penyelidik terdahulu bersandar kepada kekardinalan |V | iaitu bilangan unsur

dala

{

mod | 0

}

x

V = x q f ≡ modq dengan

x

f polinomial terbitan separa f

terhadap x=

(

x x₁, ₂,...,x_n

)

.

Bagi q= pα dengan p perdana dan α >0, telah ditunjukkan bahawa bagi polinomial dua pembolehubah berpekali integer f x y

( )

, , nilai | adalah bersandar pula kepada saiz

| V

p−adic punca-punca sepunya f_x dan f_y polinomial terbitan separa

( )

,

f x y terhadap x dan y. Saiz p−adic punca sepunya ini pula didapati bergantung kepada saiz p−adic pekali-pekali dalam f x y

( )

, .

Tumpuan penyelidikan yang dijalankan adalah untuk membangunkan suatu kaedah

itlak bagi menentukan saiz p−adic bagi fungsi faktorial dengan p perdana. Kajian ini dimulakan dengan menentukan saiz p−adic fungsi faktorial yang melibatkan nombor perdana p q, dan eksponennya. Berdasarkan keputusan yang diperolehi,

kami meneliti pula saiz p−adic bagi dengan diungkapkan sebagai penghuraian kuasa perdana yang berbentuk

! n 1 2 1 p2 n ... k k p n= pα α α dengan α_i >0 bagi i=1, 2,...,k.

Hasil kajian yang diperoleh adalah rumus saiz p−adic bagi pα!, !qα ,

(

p qα β

)

! dengan p≠q, ,α β >0 dan

(

1 2 3

)

1 2 3 ! pα pα pα dengan p₁≠ p₂, p₂ ≠ p₃ dan p₁≠ p₃ sedemikian hingga 3 3 2 1 2 p < p pα α dengan α α α₁, ₂, ₃ >0.

Kemudian dengan mengaplikasikan hasil terdahulu ini diperolehi pula rumus saiz

p−adic bagi n! dengan 1 2 3

1 2 3 k k n= p p pα α α _Kpα dan α_i >0 0 pn bagi yang

dibahagikan kepada 2 kes peringkat n iaitu iaitu or

1, 2,...,

i= k

d = dan . Rumus ini juga digunakan untuk memperincikan lagi hasil keputusan yang diberikan oleh

penyelidik terdahulu.

0

p ord n>

Hasil yang diperoleh ini kemudiannya digunakan untuk menentukan saiz p−adic hasil tambah dan hasil darab faktorial dengan berdasarkan

syarat-syarat tertentu. Seterusnya, rumus saiz !, !

n r n> >r 0

p−adic bagi ini juga digunakan untuk menentukan saiz

!

n

(

!

)

! r n P n r = − dan dengan n r C

(

!

)

! ! n r n C r n r = − n

bagi kes dengan

syarat-syarat yang telah ditetapkan.

Keputusan penentuan saiz

0

n> >r

p−adic bagi ini diap ikan untuk membina

gamb ron Ne

polinomial yang berbentuk

n r C

n

likas

wton yang disekutukan dengan suatu arajah Newton dan Polihed

( ) (

,

)

( )

,

f x y = ax+by +l x y dalam Ζ

[ ]

x y, dengan me

( )

x,y

l nandakan bahagian linear f x y

( )

, berpekali integer dalam ruang Euklidan berdimensi-tiga.

Abstract of thesis presented to the Senate of Universiti Putra Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science

A METHOD FOR DETERMINATION OF p−ADIC SIZES OF FACTORIAL FUNCTIONS AND ITS APPLICATION IN THE CONSTRUCTION OF A

NEWTON POLYHEDRON

By

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

October 2010

Chair: Professor Dato’ Hj. Kamel Ariffin bin Mohd Atan, PhD

Institute: Institute for Mathematical Research

The research on determination of p−adic sizes is in relation to the research on the

estimation of the exponential sum of the type S f q

(

;

)

_xmodqexp 2 if x

( )

q π ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑

% % . The

value of has been shown by earlier researchers to depend on the estimate of

the cardinality

(

;

S f q

)

V , the number of elements contained in the set

{

mo 0 mod

}

V x d | ≡ q x q f = where x

f is the partial derivative of f with respect to

(

1, 2,..., n

)

x= x x x .

For q= pα, where p is a prime and α >0 , it is shown that for any polynomial with two variables of integer coefficient, the value of |V| can be derived from the

derivatives of f x y

(

,

)

with respect to x and y. The p−adic sizes of the common zeros in turn depend on the p−adic sizes of the coefficients of f x y

( )

, .

p

In this study we propose a method on determining the −adic sizes of factorial functions where p is a prime. This research begins with investigating the p−adic sizes of prime numbers p q, and their factorials. Based on the results, we generalize

a method for determining the p−adic sizes of where can be written as prime power decomposition with n p

! n n 1 2 1 2 k p ...pk α α α = where α_i >0 for i=1, 2,...,k. p−

Based on the results, we present the formulae for determining the sizes of pα!,

! qα ,

(

!

(

3

)

3 ! p p pα

)

1 2 1 2 α α

p qα β for p≠q, ,α β >0 and where p1≠ p2, p2 ≠ p3 and

1 3 p ≠ p such that 3 3 2 1 2 p < p pα α and α α α₁, ₂, ₃ >0. p−

By using the previous results, we determine the adic sizes of n! where

1 2 1 2 ... n p p k k pα α α

= for ord n_p =0 and . These results are also used to further detail the results given by previous researchers.

0

p ord n>

p−

By using the formulae, we present the method to detemine the adic sizes of the

sum and the product of the factorial where n r based on some conditions.

Then we determine the

!,

n r! > >0

p−adic sizes of nP_r where

(

!

)

! n n r− n r P = and nC_r where

(

!

)

! r ! n r n C r n =

− for n> >r 0 by using the formulae of the p−adic sizes of

based on some conditions.

!

The formulae for determining the p−adic sizes of will be applied for constructing Newton diagram and Newton polyheron associated with a polynomial

n r C

( ) (

,

)

n

(

,

)

f x y = ax by+ +l x y where l

( )

x y, is the linear part of f x y

(

,

)

with integer coefficients in three-dimensional Euclidean space.

PENGHARGAAN

Dengan nama Allah Yang Maha Pengasih Lagi Maha Penyayang.

Sebagai pemula bicara, saya ingin memanjatkan rasa syukur yang tidak terhingga

dengan izin dan limpah kurniaNya saya berjaya menyempurnakan penulisan tesis ini.

Saya ingin merakamkan ucapan terima kasih yang tidak terhingga kepada Pengerusi

Jawatankuasa Penyeliaan iaitu Profesor Dato’ Dr Hj. Kamel Ariffin bin Mohd Atan

yang banyak membantu dengan penuh kesabaran dan tidak jemu memberi nasihat

dan bimbingan sepanjang pengajian dan sehingga tesis ini berjaya disiapkan.

Tidak dilupakan juga jutaan terima kasih kepada Dr. Siti Hasana binti Sapar diatas

segala nasihat, tunjukajar dan pandangan yang diberikan sepanjang pengajian

sehingga selesainya penulisan tesis ini.

Ucapan terima kasih ini juga didedikasikan khas buat emak, ayah dan adik-adik yang

banyak berkorban dan sentiasa memberi sokongan yang tidak berbelah bahagi

sehingga selesainya penulisan tesis ini. Buat teman-teman seperjuangan dan juga

mereka yang membantu saya sepanjang pengajian di Inspem, terima kasih atas segala

nasihat dan bantuan yang diberikan serta kesudian anda berkongsi pahit manis

Saya mengesahkan bahawa satu Jawatankuasa Peperiksaan Tesis telah berjumpa pada 21 Oktober 2010 untuk menjalankan peperiksaan akhir bagi Rafika binti Zulkapli bagi menilai tesis beliau yang bertajuk “Kaedah Penentuan Saiz p−Adic Fungsi Faktorial dan Aplikasi dalam Pembinaan Polihedron Newton” mengikut Akta Universiti dan Kolej Universiti 1971 dan Perlembagaan Universiti Putra Malaysia [P.U.(A) 106] 15 Mac 1998. Jawatankuasa tersebut telah memperakukan bahawa calon ini layak dianugerahi ijazah Master Sains.

Ahli Jawatankuasa Peperiksaan Tesis adalah seperti berikut:

Mohd. Rizam Abu Bakar, PhD

Profesor Madya Fakulti Sains

Universiti Putra Malaysia (Pengerusi)

Mohamad Rushdan Md. Said, PhD

Profesor Madya Fakulti Sains

Universiti Putra Malaysia (Pemeriksa Dalam)

Mat Rofa Ismail, PhD

Profesor Madya Fakulti Sains

Universiti Putra Malaysia (Pemeriksa Dalam)

Hailiza Kamarulhaili, PhD

Pensyarah

Universiti Sains Malaysia (Pemeriksa Luar)

___________________________

SHAMSUDDIN SULAIMAN, PhD

Profesor dan Timbalan Dekan Sekolah Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia

Tesis ini telah dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi syarat keperluan untuk ijazah Master Sains. Ahli Jawatankuasa Penyeliaan adalah sepeti berikut:

Kamel Ariffin bin Mohd Atan, PhD

Profesor

Insitut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Pengerusi)

Siti Hasana binti Sapar, PhD

Fakulti Sains

Universiti Putra Malaysia (Ahli)

_______________________________

HASANAH MOHD GHAZALI, PhD

Profesor dan Dekan

Sekolah Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia

PERAKUAN

Saya memperakui bahawa tesis ini adalah hasil kerja saya yang asli melainkan petikan dan sedutan yang tiap-tiap satunya telah dijelaskan sumbernya. Saya juga memperakui bahawa tesis ini tidak pernah dimajukan sebelum ini, dan tidak dimajukan serentak dengan ini, untuk ijazah lain sama ada di Universiti Putra Malaysia atau di institusi lain.

__________________________

RAFIKA BINTI ZULKAPLI

SENARAI KANDUNGAN Muka surat ABSTRAK ii ABSTRACT v PENGHARGAAN viii LEMBARAN PENGESAHAN ix PERAKUAN xi

SENARAI RAJAH xvi

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN xvii

BAB

1 PENGENALAN 1

1.1 Pendahuluan 1

1.2 Takrifan dan Rumus 1

1.3 Objektif dan Pernyataan Masalah 2

1.4 Sorotan Literatur 1.5 Penyusunan Tesis 4 7 2 SAIZ p−ADIC !qα 11 2.1 Pengenalan 11

2.2 Penentuan saiz p−adic !pα 11

2.2.1 Bilangan faktor dalam pα! dengan saiz p−adic 12 tertentu 2.2.2 Saiz p−adic !pα 14

2.3 Bilangan integer m dengan ordpm≠0 16

2.4 Penentuan saiz p−adic !qα dengan p≠q 17

2.4.1 Bilangan faktor dalam qα! dengan saiz p−adic 18 tertentu 2.4.2 Saiz p−adic !qα 20

2.5 Kesimpulan 22

3 SAIZ p−ADIC DAN q−ADIC

(

p qα β

)

! 23

3.1 Pengenalan 23

3.2 Penentuan saiz p−adic

(

p qα β

)

! 23

3.2.1 Saiz p−adic

( )

pq ! 24

3.2.2 Saiz p−adic

( )

p qα ! 26

3.2.3 Saiz p−adic

(

p qα β

)

! 29

3.3 Penentuan saiz q−adic

(

p qα β

)

! 32

3.3.1 Saiz q−adic

( )

pq ! 32

3.3.3 Saiz q−adic

(

p qα β

)

! 36 3.4 Kesimpulan 38 4 SAIZ p−ADIC

(

1 2 3 1 2 3 ! p p pα α α

)

39 4.1 Pengenalan 39

4.2 Penentuan saiz p₁−adic

(

2 3

)

2 3 ! p pα α dengan p₁ ≠ p₂ ≠ p₃ 39

4.2.1 Saiz p₁−adic

(

p p_{2 3}

)

! dengan p₁≠ p₂ ≠ p₃ 40

4.2.2 Saiz p₁−adic

(

2

)

2 3 ! pα p dengan p₁ ≠ p₂ ≠ p₃ 43 4.2.3 Saiz p₁−adic

(

2 3

)

2 3 ! pα pα dengan p₁≠ p₂ ≠ p₃ 46

4.3 Penentuan saiz p₁-adic

(

1 2 3

)

1 2 3 ! p p pα α α dengan p₁ ≠ p₂ ≠ p₃ 50

4.3.1 Saiz p1−adic

(

p p p1 2 3

)

! dengan p1 ≠ p2 ≠ p3 50

4.3.2 Saiz p₁−adic

(

1

)

1 2 3 ! pα p p dengan p₁≠ p₂ ≠ p₃ 52 4.3.3 Saiz p₁−adic

(

1 2

)

1 2 3 ! pα pα p dengan p₁ ≠ p₂ ≠ p₃ 55 4.3.4 Saiz p₁−adic

(

1 2 3

)

1 2 3 ! p p pα α α dengan p₁ ≠ p₂ ≠ p₃ 58 4.4 Kesimpulan 62 5 SAIZ p−ADIC n! 64 5.1 Pengenalan 64

5.2 Penentuan saiz p−adic n! dengan ord n_p =0 64

5.3 Penentuan saiz p−adic n! dengan ord n_p >0 68

5.4 Perbandingan dengan keputusan terdahulu 71

5.4.1 Rumus oleh Koblitz (1977) 72 5.4.2 Rumus oleh Yang Gao Chen dan Wei Liu (2007) 72

5.5 Kesimpulan 75

6 SAIZ p−ADIC HASIL TAMBAH DAN HASIL DARAB 76 FAKTORIAL 6.1 Pengenalan 76

6.2 Penentuan saiz p−adic hasil darab dan hasil tambah faktorial 76 6.3 Penentuan saiz p−adic n r! ! 79

6.3.1 Saiz p−adic n r! ! dengan ord n_p =0 dan ord r_p =0 79

6.3.2 Saiz p−adic n r! ! dengan ord np =ord rp =α 81

6.3.3 Saiz p−adic n r! ! dengan ord n_p =0 dan ord r_p >0 83

6.3.4 Saiz p−adic n r! ! dengan ord n_p >0 dan ord r_p =0 85

6.3.5 Saiz p−adic n r! ! dengan ord_pn≠ord r_p 86

7 SAIZ p−ADIC

(

n−r

)

! DENGAN n>r

7.1 Pengenalan 88

88 7.2 Saiz p−adic

(

n r−

)

! dengan ord n_p =0 dan ord r_p =0 88 7.3 Saiz p−adic

(

n r−

)

! dengan ord n_p =ord r_p =α 92 7.4 Saiz p−adic

(

n r−

)

! dengan ord n_p =0 dan ord r_p >0 95 7.5 Saiz p−adic

(

n r−

)

! dengan ord n_p >0 dan ord r_p =0 99 7.6 Saiz p−adic

(

n r−

)

! dengan 0<ord n_p <ord r_p 102 7.7 Saiz p−adic

(

n r−

)

! dengan ord n_p >ord r_p >0 106 7.8 Kesimpulan 109

8 SAIZ p−ADIC FUNGSI FAKTORIAL 111 8.1 Pengenalan 111 8.2 Penentuan saiz p−adic n

r

P 111

8.2.1 Saiz p−adic nP_r dengan ord n_p =0 dan ord r_p =0 112 8.2.2 Saiz p−adic nP_r dengan ord n_p =ord r_p =α 113 8.2.3 Saiz p−adic nP_r dengan ord n_p =0 dan ord r_p >0 115 8.2.4 Saiz p−adic nP_r dengan ord n_p >0 dan ord r_p =0 117 8.2.5 Saiz p−adic nP_r dengan 0<ord n_p <ord r_p 118 8.2.6 Saiz p−adic nP_r dengan ord n_p >ord r_p >0 120 8.3 Penentuan saiz p−adic nC_r 122 8.3.1 Saiz p−adic nC_r dengan ord n_p =0 dan ord r_p =0 123 8.3.2 Saiz p−adic n dengan r C ord n_p =ord r_p =α 125 8.3.3 Saiz p−adic n dengan r

C ord n_p =0 dan ord r_p >0 127 8.3.4 Saiz p−adic nC_r dengan ord n_p >0 dan ord r_p =0 129 8.3.5 Saiz p−adic n dengan 0 r C <ord n_p <ord r_p 131 8.3.6 Saiz p−adic n dengan r C ord n_p >ord r_p >0 133 8.4 Kesimpulan 135

9 PEMBINAAN POLIHEDRON NEWTON 136 9.1 Pengenalan 136 9.2 Gambarajah Newton 137 9.3 Polihedron Newton 140 9.4 Kesimpulan 144

10 HASIL KAJIAN, KESIMPULAN DAN CADANGAN 145 10.1 Hasil kajian 145 10.2 Kesimpulan 153 10.3 Cadangan 155 SENARAI RUJUKAN 156 BIODATA PELAJAR 158 SENARAI PENERBITAN 159