1
MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG NONLINEAR
Widiya Fitrina Sari1*, Leli Deswita2, Endang Lily2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2
Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru, 28293, Indonesia
*
widiya_unri@yahoo.com ABSTRACT
This article discusses the modification of Adomian decomposition method to solve a nonlinear wave equation. Some numerical examples are used to show the effectiveness of the method. The numerical result show that the solution obtained through the modification of Adomian decomposition method is better than the solutions obtained using Adomian decomposition method.
Keywords : Adomian decomposition method, modification Adomian decomposition method, nonlinear wave equation.
ABSTRAK
Artikel ini membahas modifikasi metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan gelombang nonlinear. Untuk melihat keefektifitasan metode digunakan beberapa contoh numerik. Hasil numerik menunjukkan solusi yang diperoleh melalui modifikasi metode dekomposisi Adomian lebih baik dari solusi yang diperoleh menggunakan metode dekomposisi Adomian.
Kata kunci : metode dekomposisi Adomian, modifikasi metode dekomposisi Adomian, persamaan gelombang nonlinear.
1. PENDAHULUAN
Perhatikan persamaan gelombang nonlinear orde satu
), , ( ) , , , , (x t u u u u u2 x t F x t t x (1)
dengan syarat awal
). ( ) 0 , (x f x u
2
Bentuk umum dari persamaan (1) adalah ut cux 0, dimana c adalah konstan atau c fungsi terhadap x dan t [5]. Metode numerik yang digunakan menyelesaikan persamaan (1) adalah metode dekomposisi Adomian. Metode dekomposisi Adomian menyajikan solusi dari persamaan diferensial dalam bentuk deret [3]. Penggunaan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan (1) masih belum terlihat sederhana, sehingga metode dekomposisi Adomian perlu dimodifikasi agar dapat diperoleh solusi yang lebih baik.
Pada artikel di bagian 2 dibahas metode dekomposisi Adomian yang merupakan review dari artikel D. Kaya [2], selanjutnya pada bagian 3 dibahas mengenai penerapan metode dekomposisi Adomian pada persamaan gelombang nonlinear, kemudian pada bagian 4 dibahas modifikasi metode dekomposisi Adomian [1,4], dan pada bagian terakhir diberikan beberapa contoh numerik untuk permasalahan ini.
2. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Misalkan persamaan ), (t g u F (2)
dimana operator diferensial F memuat bentuk linear dan nonlinear. Metode dekomposisi Adomian menguraikan bagian linear dari F menjadi LR dengan L adalah operator linear dan R adalah sisa operator linear, sedangkan bentuk nonlinear dari F dimisalkan N, sehingga persamaan (2) menjadi
. Nu Ru g
Lu (3)
Karena L adalah operator linear, maka L dapat ditentukan inversnya yaitu L1. Untuk dt d L dan L t (.)dt 0 1
. Kemudian, dengan menerapkan 1
L pada kedua ruas persamaan (3) sehingga diperoleh
. 1 1 1 1 Nu L Ru L g L Lu L (4)
Jadi ruas kiri persamaan (4) dapat dinyatakan dengan
t dt Lu Lu L 0 1 ). 0 ( ) (t u u (5) Kemudian substitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), diperoleh. ) 0 ( ) (t u L1g L1Ru L1Nu u (6) Persamaan (6) dapat ditulis dalam bentuk
. ) 0 ( L1g L1Ru L1Nu u u (7)
3
Jika pada persamaan (7) diasumsikan u0 u(0)L1g, maka diperoleh
. 1 1 0 L Ru L Nu u u (8)
Selanjutnya pada persamaan (8) diterapkan metode dekomposisi Adomian, yang mengasumsikan solusi u dalam bentuk deret sebagai berikut
0 n un u . (9)Bentuk nonlinear Nu dinyatakan dalam suatu polinomial khusus
0 n An Nu , (10) dengan An adalah polinomial Adomian nonlinear yang nilainya tergantung padan
u u
u0, ,, dan An dapat didefinisikan dengan
, 3 , 2 , 1 , 0 , ! 1 0 0
u n N d d n A i i i n n n (11)dengan adalah suatu parameter. Jadi dengan menggunakan persamaan (11) An dapat diuraikan sebagai berikut
0 , 0 N u A
0 , 0 1 1 N u du d u A
, ! 2 0 0 2 2 1 0 0 2 2 N u du d u u N du d u A
, ! 3 03 0 3 3 1 0 2 0 2 2 1 0 0 3 3 N u du d u u N du d u u u N du d u A Berdasarkan uraianAn , diperoleh A0 bergantung pada u0, A1 bergantung pada u0 dan ,
1
u A2 bergantung pada u0, u1 dan u2, dan seterusnya. Selanjutnya substitusikan persamaan (9) dan persamaan (10) ke persamaan (8), diperoleh solusi dari usebagai berikut . 0 1 0 1 0 0
n n n n n un u L R u L A (12) Berdasarkan persamaan (12) diperoleh relasi rekursif sebagai berikut:, 0 1 0 1 1 L Ru L A u , 1 1 1 1 2 L Ru L A u , 2 1 2 1 3 L Ru L A u . 1 1 1 n n n L Ru L A u
4
3. PENERAPAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN PADA PERSAMAAN
GELOMBANG NONLINEAR
Pandang persamaan (1). Karena yang akan dicari u(x,t), nyatakan operator
t Lt dan 2 x u Nu dengan Lt
t dt 0 1 (.) . ) , ( ) , (x t x t Nu u Lt (13)Selanjutnya jika operator 1 t
L diterapkan pada kedua ruas persamaan (13), maka diperoleh ), ( )) , ( ( ) , ( 1 1 1 Nu L t x L t x u L Lt t t t sehingga ), ( )) , ( ( ) 0 , ( ) , ( 1 1 Nu L t x L x u t x u t t (14) karena u(x,0) f(x) maka persamaan (14) menjadi
). ( )) , ( ( ) ( ) , (x t f x L1 x t L1 Nu u t t (15) Metode dekomposisi adomian menguraikan solusi u(x,t)kedalam bentuk deret
. ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 1 0
n n n x t u x t u t x u t x u t x u (16)Sedangkan suku nonlinear 2
) (ux
Nu dinyatakan dalam polinomial Adomian An yaitu
, 0
n An Nu (17)dengan An merupakan suku-suku polinomial Adomian danAn dapat diuraikan sebagai berikut, , ) ( 0 2 0 u x A , 2 0 1 1 u xux A , 2 0 2 2 1 2 ux u xu x A (18) A3 2u1xu2x 2u0xu3x,
Substitusikan persamaan (16) dan persamaan (17) ke persamaan(15) sehingga diperoleh
. ) , ( )) , ( ( ) ( ) , ( 0 1 1 0
n n t t n n x t f x L x t L A x t u (19)5
Berdasarkan persamaan (19), diperoleh relasi rekursif sebagai berikut:
. 0 )), , ( ( ) , ( )), , ( ( ) , ( )), , ( ( ) , ( )), , ( ( ) ( ) , ( 1 1 1 1 2 0 1 1 1 0 n t x A L t x u t x A L t x u t x A L t x u t x L x f t x u n t n t t t (20)
4. MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Metode dekomposisi Adomian dimodifikasi agar dapat mempercepat solusi konvergensi dan memperoleh solusi yang tepat. Modifikasi metode dekomposisi Adomian memperkenalkan sedikit variasi ke relasi rekursif (20) yang mengarahkan pada
penentuan komponen u(x,t) dengan cara lebih cepat dan lebih mudah. Pada metode dekomposisi Adomian diperoleh relasi rekursif (20)
. 0 )), , ( ( ) , ( )), , ( ( ) , ( )), , ( ( ) , ( )), , ( ( ) ( ) , ( 1 1 1 1 2 0 1 1 1 0 n t x A L t x u t x A L t x u t x A L t x u t x L x f t x u n t n t t t
Modifikasi metode dekomposisi Adomian dibentuk dengan mengasumsikanu0(x,t) pada persamaan (20) menjadi
)). , ( ( ) ( ) (x f x L 1 x t g t Misalkan ). ( ) ( ) (x g1 x g2 x g (21)
Persamaan (21) akan dilakukan perubahan pembentukan relasi rekursif pada persamaan (20). Untuk mengurangi perhitungan, identifikasi komponen u0 dari satu bagian g(x)
yaitu g1(x) atau g2(x). Bagian lain dari g(x) dapat ditambahkan ke komponen u1. dengan kata lain, identifikasi relasi rekursif dimodifikasi dengan
), ( ) , ( 1 0 x t g x u )),. , ( ( ) ( ) , ( 2 1 0 1 x t g x L A x t u t )), , ( ( ) , ( 1 1 2 x t L A x t u t (22) . 0 )), , ( ( ) , ( 1 1 x t L A x t k uk t k
6
Jika diasumsikan g1(x) f(x) dan g2(x) Lt1((x,t))
maka relasi rekursif dari persamaan (22) menjadi ), ( ) , ( 0 x t f x u )), , ( ( )) , ( ( ) , ( 1 1 0 1 x t L x t L A x t u t t )), , ( ( ) , ( 1 1 2 x t L A x t u t (23) . 0 )), , ( ( ) , ( 1 1 x t L A x t k uk t k 5. CONTOH NUMERIK
Contoh 1 Diberikan persamaan dalam bentuk
, ) 0 , ( , 4 1 2 2 2 x x u x u ut x (24)
dengan solusi eksak ( , ) 2 . t x t x u Penyelesaian :
Metode dekomposisi Adomian
Dari persamaan (24) diketahui f(x)x2 dan (x,t)14x2. Dengan menerapkan rumus polinomial Adomian (18) diperoleh relasi rekursif untuk un
)) , ( ( ) ( 1 0 f x L x t u t 2 4 2. t x t x ) ( 0 1 1 L A u t
u
dt t x
0 2 0 ) ( . 3 64 16 4x2t x2t2 x2t3 ) ( 1 1 2 L A u t
u u
dt t x x
0 1 0 2 . 15 2048 3 512 3 256 16x2t2 x2t3 x2t4 x2t5 dan seterusnya.Jadi, dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian diperoleh solusi untuk u(x,t) 1 2 ) , (x t u u u u o 5 2 4 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 15 2048 3 512 3 256 16 3 64 16 4 4 t x t x t x t x t x t x t x t x t x
7 Modifikasi metode dekomposisi Adomian
Relasi rekursif untuk un dilakukan dengan menggunakan relasi rekursif modifikasi metode dekomposisi adomian pada persamaan (23)
u0 f(x) . 2 x ) ( )) , ( ( 0 1 1 1 L x t L A u t t x t dt
u
dt t t x
0 2 0 0 2 ) ( ) 4 1 ( t. ) ( 1 1 2 L A u t
u u
dt t x x
0 2 1 0 ) 2 ( 0.Jadi, dengan menggunakan modifikasi metode dekomposisi Adomian diperoleh solusi untuk u(x,t) 2 1 ) , (x t u u u u o x2 t0 x2 t.
Contoh 2 Diberikan persamaan dalam bentuk
, sinh ) 0 , ( , cosh 1 2 2 x x u x u ut x (25)
dengan solusi eksak u(x,t)sinhxt.
Penyelesaian :
Metode dekomposisi Adomian
Dari persamaan (25) diketahui f(x)sinhx dan (x,t)1cosh2x , dengan menerapkan rumus polinomial Adomian (18) diperoleh relasi rekursif untuk un
. cosh sinh 2 0 x t t x u
. sinh cosh 3 4 sinh cosh 2 cosh ) ( ) ( 2 2 3 2 2 2 2 0 1 0 1 1 x x t x x t x t u L A L u x t t dan seterusnya.Jadi, dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian diperoleh solusi untuk u(x,t) 1 ) , (x t u u u o x x t x x t x t x t t x 2 2 3 2 2 2 2 sinh cosh 3 4 sinh cosh 2 cosh cosh sinh
8 Modifikasi metode dekomposisi Adomian
Relasi rekursif untuk un dilakukan dengan menggunakan relasi rekursif modifikasi metode dekomposisi adomian pada persamaan (23) sebagai berikut
. sinh 0 x u
( ( , )
( )
. ) ( )) , ( ( 0 2 0 0 0 1 1 1 L x t L A x t u t u t t t t x
) ( 1 1 2 L A u t
t dt u u x x 0 1 0 2 0.Jadi, dengan menggunakan modifikasi metode dekomposisi Adomian diperoleh solusi untuk u(x,t) 2 1 0 ) , (x t u u u u 0 sinh x t . sinhxt DAFTAR PUSTAKA
[1] Wazwaz, A. M. 2009. Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory. Springer. New York.
[2] Kaya, D. 1998. A New Approach to Solve a Nonlinear Wave Equation. bull. Malaysian. Math. Soc. (Second Series): 95-100.
[3] Adomian, G. 1994. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method. Kluwer, Boston.
[4] Almazmumy, M., Hendi, F. A., Bakodah, H. O. and H. Alzumi. 2012. Recent Modifications of Adomian Decomposition Method for Initial Value Problem in Ordinary Differential Equations. American Journal of Computational Mathematics, Vol 2 : 228-234.
[5] Sachdev, P. L. 2000. Self Similarity and Beyond Exact Solutions of Nonlinear Problems. Chapman and Hall. New York.
