Space-time Models. MA5282 Topik dalam Statistika II 21 April 2015 Utriweni Mukhaiyar

Space-time Models

MA5282 Topik dalam Statistika II

21 April 2015

Analisis Statistik

Stochastic Processes Multivariate Analysis Data Analysis Non-parametric Analysis Time Series Analysis Spatial Analysis Compound Poisson Hidden Markov Space-Time Analysis + = Postulate General Class of Models Parameter Estimation Forecasting Diagnostic Checking Identify Model Yes No Krigging

Variogram Estimation & Interpolation Maximum Likelihood Least Squares Resampling ACF, PACF, diff Stationarity

Modelling Adopted from Time Series Analysis Box&Jenkins Procedure/Iteration Box&Jenkins Iteration Weight matrix, STACF, STPACF, diff

Kovariansi dan Korelasi pada

deret-waktu

Suatu proses stokastik dengan

• Fungsi Mean: • Fungsi Autokovariansi: • Fungsi Autokorelasi: untuk





( )

t

E Z t

( )







Z(t),t T



T





0

,

1

,

2

,...





t₁,t₂



Cov



Z

   

t₁ ,Z t₂



E





Z

   

t₁  t₁

    



Z t₂  t₂





    







   





   



 







 













 







1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , , , , t t t t t t t Z Var t Z Var t Z t Z Cov t Z t Z Corr t t       



0

,

1

,

2

,...



,

₂ 1

t



t

Kovariansi dan Korelasi pada

deret-waktu

Kovariansi

Korelasi

1 2 3



t

₁

,

t

₁





Var



Z

 

t

₁





 

_,

₁

1 1

t



t





t

₁

,

t

₂

 



t

₂

,

t

₁











t

₁

,

t

₂

 





t

₂

,

t

₁





t₁,t₂







t₁,t₁

 



t₂,t₂











t

₁

,

t

₂





1

Mean dan Kovariansi pada Analisis

Spasial

Untuk suatu proses stokastik dengan



Fungsi Mean:



Kovariansi spasial:



Korelasi spasial:



Z s s( ), L



_L



_{R R R}

_,

2

_,

3





( )

s

E Z s

( )









  









 











  



2

 

, Cov Z s Z s h E Z s Z s h E Z s Z s h C h        _    _  _  _  

 



  





 













 

   

 

 

, 0 0 0 Cov Z s Z s h C h C h h C C C Var Z s Var Z s h      

 







   

,



 

0 Var Z s  Cov Z s Z s  C

Kestasioneran

Kestasioneran Deret-waktu Z(t) Spasial/Geostatistik Z(s) Kuat

untuk sebarang n dan k. untuk sebarang n dan h.

Lemah 1. Fungsi mean konstan untuk

semua waktu 2. untuk semua t dan k. 1. 2. Intrinsik - 1. 2.     1 2 1 2 ( ), ( ),..., ( ) ( ), ( ),..., ( ) n n F Z t Z t Z t F Z t k Z t k Z t k         1 2 1 2 ( ), ( ),..., ( ) ( ), ( ),..., ( ) n n F Z s Z s Z s F Z s h Z s h Z s h    



t,t k



_0,k   



( )



E Z s  

  





,



 

Cov Z s Z s h  C h     0 E Z s_ h Z s _        1 2Var Z s h Z s  h Semivariogram lag-h                                2 2 0 0 2 0

Var Z s h Z s Var Z s h Var Z s Cov Z s h Z s

h C C C h h C C h               

Aplikasi Pemodelan Space Time

• Ekonomi (Nurhayati 2012)

• Pertanian & Perkebunan (Borovkova 2008, Mukhaiyar 2012)

• Transportasi (Garrido; 2000, Kamarianakis and Prastacos; 2005)

• Kriminologi (Liu and Brown; 1998)

• Sosial (Hernandez-Murillo and Owyang; 2004)

• Perminyakan (Ruchjana; 2002)

• Geologi dan Ekologi (Kyriakidis and Journel; 1999)

• Pertambangan

• Kedokteran

• Genetika

Analisis Space Time

“Observasi di suatu lokasi pada satu waktu dipengaruhi oleh observasi-observasi di masa lampau di lokasi tersebut dan juga di lokasi sekitarnya.” time 0 1 … i-1 i … T s₁ s₂ sj s_N s_N-1 s₀ s₁ s₂ sj s_N s_N-1 s₀ s₁ s₂ sj s_N s_N-1 s₀ s₁ s₂ sj s_N s_N-1 s₀

Model Space-Time

STMA (q₁) :          q s s q s s t s t s t t 1 1 1 0 ( ) ( ) ) ( ) ( e e We Z   STARMA (p,q) : 1 0 1 0 s mss p q ( k ) ( k ) sk sk s k s k ( t ) ( t s ) ( t ) ( t s )           Z W Z e W e G-STAR ( ) : p 1, 2,...,p 1 1 2 2 1 0 s ( k ) ( k ) p i i ( k ) i sk _{( k )} i s k _{iN N} w Z ( t s ) w Z ( t s ) Z ( t ) e ( t ) ... w Z ( t s )           _ _     



1980 2002 2008 2010 STARMAG ( ) p 1, 2,...,p,qm m1, 2,...,mp









1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 s s p ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) i sk i i iN N s k m q ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) sk i i iN N i s k Z ( t ) w Z ( t s ) w Z ( t s ) ... w Z ( t s ) w e ( t s ) w e ( t s ) ... w e ( t s ) e ( t )                         Di Giacinto Pfeifer & Deutsch Syarat kestasioneran GSTAR(1₁) (Nurani, dkk ) STAR (p₁) : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 t s t s t t p s s p s s Z WZ e Z          2006   

Model GSTAR(1;1) untuk galat berkorelasi waktu

(Borovkova, et al.) Model GSTAR(1;1) untuk

galat berkorelasi spasial

(Nurhayati) Kestasioneran _{Model GSTAR}

dengan IMAk (Mukhaiyar)

Model VAR(1)

• Jika banyaknya lokasi adalah N maka vektor observasi z(t) = (z₁(t)

z₂(t) ... z_N(t))t _{yang mengikuti model VAR(1) akan memiliki bentuk:}

• dengan e(t) adalah vektor galat acak. Dengan menggunakan operator backshift, maka,

)

(

)

1

(

)

(

t

Z

t

e

t

Z









)

(

)

(

t

t

j

B

j

Z



Z





I





B



Z

(

t

)



e

(

t

)

Kestasioneran Model VAR(1)

• Wei (1990, 2006) menuliskan bahwa syarat kestasioneran

untuk model VAR(1) adalah jika akar-akar dari B dari |I - B| = 0 berada di luar lingkaran satuan.

• Hal ini ekivalen dengan mengatakan bahwa syarat

kestasioneran model VAR(1) adalah nilai eigen dari  berada di dalam lingkaran satuan.

Operator Lag Spasial

• Untuk mempermudah dalam mendeteksi lag spasial, diperlukan pendefinisian dari operator lag spasial orde-l (L(l) _{) berikut:}

• dengan merupakan kumpulan bobot-bobot yang merupakan elemen dari matriks berukuran yang memenuhi,

)

(

)

(

) 0 (

t

Z

t

Z

L

_i



_i







N j j l ij i l

t

Z

w

t

Z

L

1 ) ( ) (

)

(

)

(

) (l ij

w

1

1 ) (





 N j l ij

w

Kekhasan model space-time

Matriks Bobot dan Orde Spasial

Sistem radius





      lainnya , 0 -ke orde pada angga adalah tet , 1 1 ) ( j i l d w_ij l _ij l

1. Matriks Bobot Biner

Memiliki nilai 0 dan 1 di elemen selain diagonal utama.

2. Matriks Bobot Uniform

3. Matriks Bobot non-uniform ct. matriks bobot euclidean

     lainnya , 0 -ke orde pada angga adalah tet , 1 ) ( ) ( j i l n w l i l ij               0 0 0 ) ( 11 11 2 21 1 12        w w w w w w w N N ij W

Lag Spasial

Sistem grid

• Tetangga Terdekat pada Lag Spasial 1 sampai 5 untuk Lokasi s_{0 .}

• Angka-angka pada grid menunjukkan orde spasial titik

tersebut yang ditentukan oleh jaraknya terhadap s₀. Angka yang semakin kecil menunjukkan posisi yang semakin dekat terhadap s₀.

5 4 3 4 5

4 2 1 2 4

3 1

s0

1 3

4 2 1 2 4

5 4 3 4 5

Model STARMA

• Misalkan Z(t) merupakan vektor variabel acak dari suatu proses STARMA di berbagai lokasi pada suatu waktu t.

• Model STARMA( ) dinyatakan dalam:

• dengan Z(t) merupakan vektor pengamatan (N1) dari N lokasi pada waktu t atau (Z_i(t) ), W adalah matriks bobot (NN) pada lag spasial l,

t menyatakan waktu pengamatan ,1,2,...,T dan e(t) adalah vektor galat

berdistribusi normal. q p

q

m m

p

_{,..., ,...,} 1 1 

,

 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 0 1 1 ) ( 0 t s t s t r t r t t q r m l l rl r p s k k sk s r s e e W e Z W Z Z _                    









        

Model STARMA(1;1, 1;1)

)

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

t

₁₀

Z

t

₁₁

WZ

t

₁₀

e

t

₁₁

We

t

e

t

Z



























Model STAR(1;1)

•

Model STAR(1;1) yang merupakan kasus khusus dari

model STARMA(1;1, 1;1), yaitu tidak melibatkan unsur

galat di lokasi sekitarnya (yang terdekat) pada waktu

sebelumnya, dapat direalisasikan sebagai berikut:

•

Model STAR(1;1) ini juga dapat dinyatakan dalam

bentuk model VAR (1) yaitu:

)

(

)

1

(

)

1

(

)

(

1 11 10

t

t

t

t

s k

e

WZ

Z

Z













 









(

1

)

(

)

)

(

t

₁₀

I

₁₁

W

Z

t

e

t

Z













)

(

)

1

(

)

(

t

ΦZ

t

e

t

Z







Identifikasi Model Space Time

(Pfeifer and Deustch, 1980)

Model space time diidentifikasi melalui fungsi space time autokorelasi (STACF) dan fungsi space time parsial autokorelasi (STPACF).



     T s t T s s t t s 1 )' ( ) ( ) ( ˆ Z Z Γ

Matriks kovariansi antara lokasi dan waktu :



( )



1 ) ( tr ( ) ( )' s N s l k lk  W W Γ 

Rata-rata kovariansi space time pd lag-s :

 

s  E



Z

  

t Z t  s



'



Γ

Fungsi autokorelasi space time (STACF) :





_1/2

) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( kk ll lk lk s s











                                                                                                                                                                                                                                                                p p p p p p p p p p                              1 0 2 21 20 1 11 10 1 0 1 0 1 11 10 1 11 10 0 01 00 0 01 00 0 10 00 0 10 00 0 10 00 0 2 1 2 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1

Fungsi parsial autokorelasi space time (STPACF), :

…

lk



Contoh

• Model yang mungkin: GSTAR(1;1), ... ???

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Lag time S p a ti a l T im e P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n

Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Lag time S p a ti a l T im e P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n

Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Lag time S p a ti a l T im e P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n

Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Lag time S p a ti a l T im e P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n

Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Lag time S p a ti a l T im e A u to c o rr e la ti o n

Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Lag time S p a ti a l T im e A u to c o rr e la ti o n

Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Lag time S p a ti a l T im e A u to c o rr e la ti o n

Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Lag time S p a ti a l T im e A u to c o rr e la ti o n

Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 0

STACF plots

Model GSTAR



1 2



GSTAR

p

; ,

 

,...,



_p Generalized space time autoregressive Orde spasial = λ₁, λ₂,…, λ_p Orde waktu = p

Nilai Z_i (t) tergantung nilai satu

periode sebelumnya yang terjadi di i dan di lokasi yang

langsung terkait dengan i

GSTAR (1,1)

Generalized space time autoregressive Orde spasial =1 Orde waktu = 1

Model GSTAR(1;1)

•

Model GSTAR(1;1) untuk setiap lokasi i = 1, 2, ..., N dan

waktu t dinyatakan oleh:

•

dan dalam notasi matriks dinyatakan sebagai:

•

dengan

( ) ( ) 10 11 1 ( ) i ( 1) i N ( 1) ( ) i i ij j i j Z t  Z t  w Z t e t    



 





(

1

)

(

)

)

(

t

Φ

₀

Φ

₁

W

Z

t

e

t

Z



































)

(

)

(

)

(

)

(

2 1

t

Z

t

Z

t

Z

t

N



Z

             ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 t e t e t e t N  e



























0

0

0

2 1 2 21 1 12















N N N N

w

w

w

w

w

w

W

• dengan dan

• Proses Z(t) diasumsikan terpusat, yaitu E[Z(t)]=0 untuk semua

t.

• Perhatikan bahwa model STAR(1;1) merupakan kasus khusus dari model GSTAR(1;1) dengan dan .

1

1





 N j ij

w

Φ



diag





₁(1)

, ,



₁( )N



I

Φ

₀





₀

Φ

₁





₁

I

( ) ( ) 10 11 1

( )



(

1)



(

1)

( )





i

 

i

_

N

 

i i ij j i j

Z t

Z t

w Z t

e t

Bentuk umum

Notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)

Struktur model liner





(

1

)

(

)

)

(

t

Φ

₀

Φ

₁

W

Z

t

e

t

Z









ε

Xβ

Y





Penaksir Kuadrat _Terkecil

Bentuk VAR (1) kestasioneran model

GSTAR(1₁)

observasi pada waktu t, untuk setiap lokasi-i

T

βˆ

kekonsistenan

Kestasioneran GSTAR orde 1

• Jika solusi r_s memenuhi persamaan,

terletak di dalam lingkaran satuan ( ), maka GSTAR(1;1) stasioner.

(Wei, 1990, 2006)

• Syarat cukup kestasioneran GSTAR(1;1), jika

(Ruchjana, 2002) 1 ) ( 11 ) ( 10   i i





dan

₁₀(i) ₁₁(i) 1



₀  ₁



 0  Φ Φ W I s r 1  s r

Kuadrat Terkecil GSTAR(1;1)

• for time t = 1,2,…,T and spatial i = 1,2,…,N

i  i i  i Y X ε                                                                                                                                   ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 0 ) 1 ( ) 1 ( 0 0 ) 0 ( ) 0 ( 0 0 0 0 ) 1 ( ) 1 ( 0 0 ) 1 ( ) 1 ( 0 0 ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( 1 1 1 1 0 11 02 11 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T e e e T e e e T Z T Z Z Z Z Z T V T Z V Z V Z T Z Z Z T Z Z Z N N N N N N N N N N N N N N                                



  N j j ij i t w Z t V 1 ) ( ) ( with 1 dan N Y Y 1 dan N X X ε1 dan εN

Kuadrat Terkecil GSTAR(1

₁

)





Y

Xβ

ε

01 11 0 1

ˆ ( , ,...,

,

) '

   



_N



_N

Penaksir :



ˆ

'

 

'

X X

X Y

memenuhi,

Akibatnya,





1

ˆ

_'



_'

 

X X

X Y

Latihan

• N=3

• Misalkan dipandang produksi perkebunan teh di 3 bulan berturut-turut di 3 lokasi sbb:

• Misalkan proses mengikuti model GSTAR(1;1). Lakukan penaksiran parameter model dengan metode LS. Gunakan matriks bobot seragam.

• Catatan: pusatkan data terlebih dahulu.

Produksi (ribu ton)

Tahun 1992 Kebun 1 Kebun 2 Kebun 3 Januari 275 317 302

Februari 178 252 176

Nilai Z_i (t) tergantung nilai dalam dua periode sebelumnya

yang terjadi di i dan di lokasi yang langsung terkait dengan i

Generalized space time autoregressive

Orde spasial untuk lag waktu 2 : λ₂

Orde waktu = 2

GSTAR Orde 2

Pengamatan di lokasi i saat t

1 2

Model GSTAR(2; ,  )

Orde spasial untuk lag waktu 1 : λ₁ Lag spasial (λ₁, λ₂) 1 2 … 1 GSTAR(2;1,1) GSTAR(2;1,2) … 2 GSTAR(2;2,1) GSTAR(2;2,2) …          1 2 l d₀ d₀ d₀

Model GSTAR orde 2

observasi pada waktu t, untuk setiap lokasi-i

• GSTAR(2;1,1) • GSTAR(2;1,2) • GSTAR(2;2,1) • GSTAR(2;2,2)      1      1 10 11 20 21 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( ) N N i i i i i i ij j i ij j i j j Z t Z t w Z t Z t w Z t e t       



     



       1      1    2 10 11 20 21 22 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( ) N N N i i i i i i i ij j i ij j ij j i j j j Z t Z t w Z t Z t w Z t w Z t e t        



     



  



       1    2      1 10 11 12 20 21 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( ) N N N i i i i i i i ij j ij j i ij j i j j j Z t Z t w Z t w Z t Z t w Z t e t        



  



     



       1    2      1    2 10 11 12 20 21 22 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( ) N N N N i i i i i i i i ij j ij j i ij j ij j i j j j j Z t Z t w Z t w Z t Z t w Z t w Z t e t                           

Model GSTAR orde 2

notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)

• GSTAR(2₁₁) • GSTAR(2₁₂) • GSTAR(2₂₁) • GSTAR(2₂₂) 10 11 20 21 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 2) t t t t t                  _    _           Z W W Z e Z I 0 Z 0 (2) 10 11 20 21 22 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 2) t t t t t                 _{ }   _   _           Z W W W Z e Z I 0 Z 0 (2) 10 11 12 20 21 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 2) t t t t t                 _{ }   _   _           Z W W W Z e Z I 0 Z 0 (2) (2) 10 11 12 20 21 22 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 2) t t t t t                   _{ }   _   _           Z W W W W Z e Z I 0 Z 0

Model GSTAR orde 2

struktur model linier

Y



Xβ



ε

                _{   }   _{ }     _{   }   _{ }     _{   }   _{ } 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 0 0 0 0 3 1 1 2 2 0 0 0 0 2 3 N N ij j ij j j j N N ij j ij j j j N N ij j ij j j j N N N Z w Z Z w Z Z Z w Z Z w Z Z Z T Z T w Z T Z T w Z T Z Z Z T                         _{   }                                    _{   }   _{ }     _{   }   _{ }     _{   }   _{ }       1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 20 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 N N N ij j N ij j j j N N N ij j N ij j j j N N N ij j N ij j j j Z w Z Z w Z Z w Z Z w Z Z T w Z Z T w Z               _{ }                    _{ }                        _{ }                                  2 1 2 1 1 1 1 10 1 20 2 2 3 2 3 N N N _N N N N e e e T e e e T                                                                  _        _     _{  }     _    1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0            _      _   _                   _     N   N  N   N  ' ' ' ' ' ' ' ' ' Y X ε Y X ε Y X ε

Kuadrat Terkecil GSTAR(1;1)

) 1 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 (NT



X

NT N N



ε

NT

Y



             N X X X X        0 0 0 0 0 0 2 1          ii iN i i i i w w w w     1 , 1 , 1 0 0 0 1 0 0 M



(0) (1) ( 1)



'   T i i M Z Z Z X 







(0) (1) ( 1)



'    T Z Z Z I M X               N M M M M        0 0 0 0 0 0 2 1 dapat ditulis, dengan

)'

ˆ

,

ˆ

,...,

ˆ

,

ˆ

(

ˆ

1 0 11 01 N N T













Penaksir :



) 1 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 (NT



X

NT N N



ε

NT

Y



Y

X

X

X

'



ˆ

_T



'

memenuhi, Akibatnya,





X

ε

X

X

'



ˆ

_T







'

X

X'

dimana, harus non singulir.

' )' 1 ( ) 1 ( 1 ' M Z Z I M X X       _{  } 



 T t t t





       



 T t t t 1 ' )' ( ) 1 ( vec Z e M ε X

  

Y

X

ε

Y

X

X

X

'



ˆ

_T



'

memenuhi,

Akibatnya,





X

ε

X

X

'



ˆ

_T







'

X

X'

dimana, harus non singulir.

Penaksir β :



               



1 2 1 2 1 1 1 1 10 1 20 2 10 1 20 2 N N N N T

ˆ

ˆ

_,...,

ˆ

_,

ˆ

_,...,

ˆ

_,...,

ˆ

_,...,

ˆ

_,

ˆ

_,...,

ˆ

_'

   

  

 











p T

ˆ

 



Kekonvergenan Penaksir Parameter





ˆ





? T





ˆ

_T















T t

t

t

1

)'

1

(

)

1

(

Z

Z







T t

t

t

1

1

)

(

)'

(

e

Z

Menyelidiki sifat limit dari dapat dilihat dari perilaku:

Referensi

• Borovkova, S.A., Lopuhaä, H.P., & Nurani, B., Consistency and Asymptotic Normality of Least Squares Estimators in

Generalized Space-Time Models, Statistica Neerlandica, 62, pp. 482-508, 2008.

• Box, G.E.P., Jenkins, G.M. & Reinsel, G., Time Series Analysis, Forecasting and Control, 3rd _{ed., Prentice Hall, New} Jersey, 1994.

• Mukhaiyar, U. Kestasioneran Model Generalized STAR Melalui Metode Invers Matriks Autokovariansi, PhD Dissertation, Mathematics, Institut Teknologi Bandung, 2012.

• Mukhaiyar, U. Kekonsistenan Lemah Penaksir Kuadrat Terkecil Model Space-Time GSTAR(1;1) Melalui Proses Beda

Martingale: Studi Kasus pada Produksi Bulanan Perkebunan Teh di Wilayah Jawa Barat, Magister Thesis, Institut

Teknologi Bandung, 2007.

• Pfeifer, P.E., & Deutsch, S.J., A Three-Stage Iterative Approach for Space-Time Modeling, Technometrics, 22(1), pp. 35-47, 1980.

• Ruchjana, B.N. Suatu Model Generalisasi Space-Time Autoregresi dan penerapannya pada Produksi Minyak Bumi. , PhD Dissertation, Mathematics, Institut Teknologi Bandung, 2002.

• Wei, W.W.S., Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods 2nd. Ed., Pearson Addison Wesley, Boston, 2006.