MASALAH PENJADWALAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR: Studi Kasus di Lembaga Bimbingan Belajar BTA Bogor BIMA SAPUTRA

(1)

MASALAH PENJADWALAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR:

Studi Kasus di Lembaga Bimbingan Belajar BTA Bogor

BIMA SAPUTRA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

BIMA SAPUTRA. Masalah Penjadwalan Kegiatan Belajar Mengajar: Studi Kasus di Lembaga Bimbingan Belajar BTA Bogor. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan TONI BAKHTIAR.

Di setiap semester, beberapa tempat bimbingan belajar menghadapi permasalahan yang sama, yakni penjadwalan kegiatan belajar mengajar dengan kendala waktu dan kapasitas ruangan yang terbatas. Pada setiap semester, banyaknya siswa yang mendaftar untuk mengikuti bimbingan belajar pada umumnya tidak selalu sama, sehingga menimbulkan permasalahan yang terkait dengan kapasitas ruangan. Permasalahan penjadwalan ruangan ini dapat dimodelkan sebagai masalah pemrograman linear integer/Integer Linear Programming (ILP). ILP adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif linear dan kendala serta variabel integer.

Pemodelan masalah penjadwalan ini dirumuskan dengan kendala berikut: (i) ketersediaan ruangan, (ii) periode waktu yaitu Senin-Rabu-Jumat atau Selasa-Kamis-Sabtu, (iii) dengan sejumlah mata pelajaran dan (iv) ketersediaan pengajar.

Tulisan ini akan membahas bagaimana memformulasikan masalah penjadwalan kegiatan belajar mengajar dalam bentuk ILP dengan mengambil contoh kasus di lembaga bimbingan belajar BTA Bogor. Penyelesaian model ini menggunakan software Lingo 8.0 dengan metode Branch and

(3)

ABSTRAK

BIMA SAPUTRA. Scheduling Problem of Teaching and Learning Activities: Case Study at BTA College Bogor. Supervised by FARIDA HANUM and TONI BAKHTIAR

.

At every beginning of semester, some colleges may face the same problem in setting up schedules of teaching and learning activities with constraints of time and availability of rooms. Generally, in every semester, the number of registered students in the college are not always the same. Thus, it will generate problem which related to the classroom capacities. In this work, the teaching and learning activities scheduling problem can be modeled as an integer linear programming problem (ILP). ILP is the problem of optimization with linear objective function and constraints, which involves some integer variables.

The model of scheduling problem is formulated under the following constraints: (i) the availability of rooms, (ii) the time period of Monday-Wednesday-Friday or Tuesday-Thursday-Saturday, (iii) the number of courses and (iv) the availability of the toturs.

In this work, we discuss how to formulate the scheduling problem of teaching and learning activities into ILP by taking a case study at BTA college. To solve this model we use Lingo 8.0 software with branch and bound method.

(4)

MASALAH PENJADWALAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR:

Studi Kasus di Lembaga Bimbingan Belajar BTA Bogor

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

BIMA SAPUTRA

G54051666

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(5)

Judul : Masalah Penjadwalan Kegiatan Belajar Mengajar: Studi Kasus di

Lembaga Bimbingan Belajar BTA Bogor

Nama : Bima Saputra

NRP : G54051666

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dra. Farida Hanum, M.Si.

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.

NIP. 19651019 199103 2 002

NIP. 19720627 199702 1 002

Mengetahui,

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 19610328 198601 1 002

(6)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

2. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya).

3. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).

4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).

5. Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono, Mas Deni, Mas Yono, Mas Heri.

6. Keluargaku tercinta: bapak, ibu, dan kakak-kakakku tercinta (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, dan kasih sayangnya.

7. Niken (terima kasih atas waktu, doa, dukungan, saran, dan segala bantuannya).

8. Teman-teman Math 42: Yusep, Fachri, Djawa, Ayeep, Mocco, Ilie, Awi, Septian, Warno, Sapto, Dendy Diedie, Erlin, Jane, Idha, Eyyi, Oby, Lisda, Achy, Vino, Hapsari, Octa, Ryu, Vita, Luri, Hikmah, Ricken, Ocoy, Nyoman, Agnes, Ayu, , Siti, Zil dan teman-teman Math 42 lainnya (selamat berjuang teman-teman-teman-temanku…).

9. Teman-teman Math 43: Nia, Suci, Supri, Apri, Copy, Lia, Destya, Nene, Vera, Margi, Kabil, Peli, Rizky, Arum, Fitria, Andrew, dan teman-teman Math 43 lainnya (makasih buat dukungan, bantuan dan doanya).

10. Teman-teman Pamatjik (Persatuan Mahasiswa Cikarang): Kak Dani, Kak Fuad, Kak Izul, Fuadi, Lazuardi (makasih atas doa dan dukungannya).

11. Manajemen dan para pengajar BTA Bogor: Mas Farid, Mba Nana, Mas Wahyu, dll (makasih atas semangat dan motivasinya).

12. Teman-teman Vila Bambu : Goni, Johan, Efi, Darda, Firman (terima kasih atas doanya). 13. Teman-teman Wisma Ayu : Mba Nidia, Nita, Rita, Anggi, Ika, Tyas, Yu’ni, dll (terima

kasih atas doanya).

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Juni 2009

Bima Saputra

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 26 April 1987 sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Mayunus dan Yusdeliwarni.

Tahun 1999 penulis lulus dari SDN Kampung Utan IV. Tahun 2002 penulis lulus dari SMPN 1 Cibitung. Tahun 2005 penulis lulus dari SMAN 1 Cikarang Utara dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif di dalam kegiatan mahasiswa yaitu sebagai anggota Departemen Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB periode 2007/2008. Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara antara lain Masa Perkenalan Departemen tahun 2007 dan Pesta Sains Nasional 2007.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Linear ... 1

2.2 Integer Programming (IP) ... 3

2.3 Metode Branch and Bound ... 3

III PEMODELAN ... ... 6

IV STUDI KASUS ... ... 8

V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan ... 16

5.2 Saran ... 16

DAFTAR PUSTAKA ... 16

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

1. Mata Pelajaran ... 8

2. Periode Waktu ... 8

3. Ruangan yang tersedia ... 9

4. Daftar Kelompok ... 9

5. Daftar Pengajar ... 9

6. Kelompok dan mata pelajaran yang ditentukan ... 10

7. Jadwal kegiatan belajar mengajar di BTA ... 13

8. Jadwal kegiatan belajar mengajar di BTA ... 14

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1. Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dari IP (6) ... 4

2. Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3 ... 5

3. Seluruh pencabangan pada metode Branch-and-Bound untuk menentukan solusi optimum dari IP ... 6

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1. Solusi subproblem-subproblem untuk Contoh 2 ... 18

2. Program untuk menyelesaikan masalah penjadwalan kegiatan belajar mengajar di lembaga bimbingan belajar BTA Bogor dengan proses pertama yaitu lokasi Jalan Gedung Sawah terlebih dahulu kemudian jadwal untuk Jalan Baru... 20

(10)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Di setiap semester, beberapa tempat bimbingan belajar menghadapi permasalahan yang sama, yakni penjadwalan kegiatan belajar mengajar dengan kendala waktu luang siswa, pengajar, dan kapasitas ruangan yang terbatas. Pada setiap semester, banyaknya siswa yang mendaftar untuk mengikuti bimbingan belajar pada umumnya tidak selalu sama, sehingga menimbulkan permasalahan yang terkait dengan kapasitas ruangan. Oleh sebab itu, permasalahan ini harus dapat diatasi.

Permasalahan penjadwalan ruangan ini dapat dimodelkan sebagai masalah pemrograman linear integer/Integer Linear

Programming (ILP). ILP adalah masalah

optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel integer.

Tulisan ini akan membahas bagaimana memformulasikan masalah penjadwalan kegiatan belajar mengajar dalam bentuk ILP dengan mengambil contoh kasus di lembaga bimbingan belajar Bimbingan Tes Alumni (BTA) Bogor.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah adalah memodelkan masalah penjadwalan kegiatan belajar mengajar di lembaga bimbingan belajar Bimbingan Tes Alumni (BTA) Bogor ke dalam bentuk ILP.

II LANDASAN TEORI

Untuk membuat model penjadwalan kegiatan belajar mengajar di bimbingan belajar, diperlukan pemahaman teori Linear

Programming (LP), Integer Linear Programming (ILP), dan Metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah integer programming. Berikut ini akan dibahas satu

per satu.

2.1 Pemrograman Linear

Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait dengan konsep pemrograman linear.

Definisi 1 (Fungsi Linear)

Suatu fungsi f(x1,x2,...,xn) dalam variabel-variabel x x1, 2,...,xn adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta c c1, 2,...,cn, . ... ) ,..., , (x₁ x₂ x_n c₁x₁ c₂x₂ c_nx_n f     (Winston, 2004) Sebagai gambaran, f x x( ,1 2)2x13x2

merupakan fungsi linear, sementara 2 2

1 2 1 2

( , )

f x x x x bukan fungsi linear.

Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan Linear)

Untuk sembarang fungsi linear )

,..., , (x₁ x₂ x_n

f dan sembarang bilangan b,

pertidaksamaan f(x1,x2,...,xn)b dan b x x x f( 1, 2,..., n) adalah pertidaksamaan linear.

Misalkan b sembarang bilangan, suatu persamaan f(x₁,x₂,...,x_n)b merupakan persamaan linear.

(Winston, 2004)

Pemrograman linear (PL) atau linear

programming (LP) adalah suatu masalah

optimisasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut:

a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel

keputusan. Fungsi yang akan

dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.

b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.

c) Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel xi, pembatasan tanda menentukan xi harus taknegatif (xi 0) atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted

in sign).

(11)

Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3 (Bentuk Standar PL)

Suatu PL dikatakan berbentuk standar jika berbentuk:

min _{z  c x}T

terhadap Axb (1) x0

dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m × n yang disebut juga matriks kendala.

[Nash & Sofer, 1996]

Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) n × 1.

Solusi Pemrograman Linear

Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimum bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947, dan dalam perkembangannya merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar.

Pada masalah PL (1), vektor x yang memenuhi kendala Axb disebut solusi PL (1). Misalkan matriks A dinyatakan sebagai







A B N , dengan B adalah matriks taksingular berukuran m  m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m(n m )

yang elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks B disebut matriks basis untuk PL (1).

Misalkan x dinyatakan sebagai vektor

       B N x x

x , dengan xB adalah vektor variabel

basis dan xN adalah vektor variabel

nonbasis, maka Axb dapat dinyatakan sebagai 





_ _   B N x Ax B N x . Bx + Nx_B _Nb (2) Karena matriks B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (2)

B

x dapat dinyatakan sebagai:

.  -1  -1

B N

x B b B Nx (3) Kemudian, fungsi objektifnya berubah menjadi:

min z

=

T T

.

B B N N

c x

+

c x

Definisi 4 (Solusi Basis)

Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi syarat berikut:

i. solusi tersebut memenuhi kendala pada PL;

ii. kolom-kolom dari matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari solusi tersebut adalah bebas linear.

(Nash & Sofer, 1996)

Definisi 5 (Solusi Basis Fisibel)

Vektor x disebut solusi basis fisibel jika x merupakan solusi basis dan x 0.

(Nash & Sofer, 1996)

Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel diberikan dalam Contoh 1.

Contoh 1

Misalkan diberikan PL berikut:

1 2

min z x 2x ,

(4)

Dari PL tersebut diperoleh:

. 2 1 1 0 0 2 1 2 0 1 0 , 7 1 0 0 0 1 3    





 





 





 





 

A b Misalkan dipilih



1 2 3



dan



4 5



, T T x x x x x   B N x x

maka matriks basisnya adalah

, , 2 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 1 1 / 2 3 / 2     

































-1 B B 0 0 1 0 0 1



















N



1 2 0



,



0 0



.     T T B N c c

Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh 1 2 3 1 2 4 1 5 1 2 3 4 5 terhadap 2 2, 2 7, 3, , , , , 0. x x x x x x x x x x x x x           

(12)









, 0 0 = 3 5 3 z = 13 T T     T -1 B N B -1 x x B b c B b (5)

Solusi (5) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5), yaitu B bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (5) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.

Hal yang juga penting dalam konsep pemrograman linear untuk model ini adalah daerah fisibel dan solusi optimum yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 6 (Daerah Fisibel)

Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.

(Winston, 2004)

Definisi 7 (Solusi Optimum)

Untuk masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.

(Winston, 2004)

2.2 Integer Programming

Integer programming (IP) atau pemrograman integer adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure

integer programming. Jika hanya sebagian

yang harus berupa integer, maka disebut

mixed integer programming (MIP). IP dengan

semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.

(Garfinkel & Nemhauser, 1972)

Definisi 8 (Pemrograman Linear Relaksasi) Pemrograman linear relaksasi atau sering disebut PL-relaksasi merupakan suatu pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.

Untuk masalah maksimisasi, nilai optimum fungsi objektif PL-relaksasi lebih

besar atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif IP, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum fungsi objektif PL-relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif IP.

(Winston, 2004)

2.3 Metode Branch-and-Bound

Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah IP digunakan software LINGO 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi

integer dengan lebih cepat, mudah, dan lebih

efisien. Software LINGO 8.0 ini menggunakan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah IP.

Prinsip dasar metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah PL-relaksasi dengan membuat subproblem-subproblem. Daerah fisibel suatu pemrograman linear adalah daerah yang memuat titik-titik yang dapat memenuhi kendala linear masalah pemrograman linear.

 Branch

Branching (pencabangan) adalah proses

membagi-bagi permasalahan menjadi subproblem-subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.

 Bound

Bounding (pembatasan) adalah suatu

proses untuk mencari atau menghitung batas atas (dalam masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi.

Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan PL-relaksasi dari suatu integer

programming. Jika semua nilai variabel

keputusan solusi optimum sudah berupa

integer, maka solusi tersebut merupakan

solusi optimum IP. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada PL-relaksasinya kemudian diselesaikan.

Winston (2004) menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimum untuk IP  nilai fungsi objektif optimum untuk PL-relaksasi (masalah maksimisasi), sehingga nilai fungsi objektif optimum PL-relaksasi merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah IP. Diungkapkan pula dalam (Winston 2004) bahwa nilai fungsi objektif optimum untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum untuk masalah IP asalnya. Suatu

(13)

kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah IP, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer.

Sebelumnya akan dibahas terlebih dulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat situasi sebagai berikut.

1. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk IP.

2. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah nilai fungsi objektif optimum bagi masalah IP pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimum untuk masalah IP.

3. Nilai fungsi objektif optimum untuk subproblem tersebut tidak melebihi (untuk masalah maksimisasi) batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound.

 Langkah 0

Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) IP yang optimum. Pada awalnya ditetapkan z dan i0.  Langkah 1

Subproblem PL dipilih sebagai bagian ( )i masalah berikutnya untuk diteliti. Subproblem

( )i

PL diselesaikan dan diukur dengan kondisi

yang sesuai.

a) Jika PL terukur, batas bawah z ( )i diperbarui jika solusi IP yang lebih baik ditemukan. Jika tidak, bagian masalah (subproblem) baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti, maka proses dihentikan.

b) Jika PL ( )i tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan PL . ( )i

 Langkah 2

Dipilih salah satu variabel xj yang nilai

optimumnya adalah x yang tidak memenuhi *j

batasan integer dalam solusi

PL

_{( )}_i . Bidang 1

] [ ]

[x*_j x_j  x*_j  disingkirkan dengan membuat dua subproblem PL yang berkaitan menjadi dua subproblem yang tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, yaitu

*

[

]

j j

x



x

dan

x

_j



[

x

*_j

] 1



, dengan [x*_j] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan

.

*

j

x Kembali ke langkah 1.

(Taha, 1996)

Untuk memudahkan pemahaman metode

branch-and-bound diberikan contoh sebagai

berikut.

Contoh 2

Misalkan diberikan IP berikut:

1 2, max z3x 5x 1 2 1 2 1 2 1 2 terhadap 2 4 25, 8, 2 10 , 0 , . x x x x x x x x integer      (6)

Solusi optimum PL-relaksasi dari masalah IP (6) adalah x 1 8, x 2 2.25, dan

35.25

z  (lihat pada Lampiran 1). Batas atas nilai optimum fungsi objektif masalah ini adalah z 35.25. Daerah fisibel masalah (6) ditunjukkan pada Gambar 1. Solusi optimum berada pada titik perpotongan dua garis yang berasal dari kendala pertidaksamaan masalah (6).

Gambar 1 Daerah fisibel (daerah yang diarsir) untuk PL-relaksasi dari IP (6).

x1= 8

x2= 2.25

(14)

Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel PL-relaksasi menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan (non-integer). Dipilih x2 sebagai

dasar pencabangan. Jika masalah PL-relaksasi diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu:

 Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala x 2 2.

 Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala x  ; ₂ 3

Hal ini diilustrasikan secara grafis pada Gambar 2.

Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3.

Setiap titik (solusi) fisibel dari IP (6) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3 dikatakan dicabangkan oleh x2.

Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimum untuk Subproblem 2 ini adalah x1 = 8, x2 = 2, dan z =

34 (lihat Lampiran 1). Semua variabel bernilai

integer (solusinya memenuhi kendala bilangan bulat), maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 2. Solusi dari Subproblem 2 menjadi batas bawah dari solusi IP yaitu sama dengan 34.

Saat ini subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi optimum untuk Subproblem 3 adalah x1 = 6.5,

x2 = 3, dan z = 34.5 (lihat Lampiran 1).

Karena solusi optimum yang dihasilkan

Subproblem 3 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan pada Subproblem 3 atas

1,

x sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni:

 Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah kendala x 1 6;

 Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah kendala x 1 7.

Selesaikan masalah Subproblem 4 dan Subproblem 5 satu per satu. Subproblem 5 takfisibel (lihat Lampiran 1 pada Subproblem 5), maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimum.

Solusi optimum untuk Subproblem 4 adalah x1 = 6, x2 = 3.25, dan z = 34.25 (lihat

Lampiran 1 bagian Subproblem 4). Karena solusi optimum Subproblem 4 bukan solusi

integer, maka dipilih pencabangan Subproblem 4 pada x2, sehingga diperoleh dua

subproblem lagi, yaitu:

 Subproblem 6: Subproblem 4 + kendala



x2 3



 Subproblem 7: Subproblem 4 + kendala



x2 4



Penyelesaian Subproblem 6 menghasilkan solusi optimum x1 = 6, x2 = 3, dan z = 33 (lihat

Lampiran 1 bagian Subproblem 6). Semua variabel bernilai integer (solusinya memenuhi kendala integer), akan tetapi solusi yang dihasilkan pada subproblem ini tidak lebih baik dari batas bawah sehingga solusi pada Subproblem 6 tidak menjadi batas bawah yang baru.

Solusi optimum dari Subproblem 7 adalah

x1 = 4.5, x2 = 4, dan z = 33.5 (lihat Lampiran 1

bagian Subproblem 7). Karena solusi optimum dari Subproblem 7 tidak lebih baik dari batas bawah, maka tidak perlu dilakukan pencabangan pada Subproblem 7.

Subproblem 2 menghasilkan solusi optimum yang berupa integer, dengan x1 = 8,

x2 = 2, dan z = 34. Solusi optimum dari

Subproblem 2 telah berupa integer dan tidak perlu lagi dilakukan pencabangan. Dengan demikian, solusi optimum pada IP (6) adalah solusi optimum dari Subproblem 2. Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian masalah IP (6) secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.

Subproblem 2 Subproblem 3

(15)

Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode Branch-and-Bound untuk menentukan solusi optimum dari IP.

III PEMODELAN

Langkah awal membangun model penjadwalan kegiatan belajar mengajar dengan kendala waktu luang siswa, ruangan, dan pengajar adalah mendeskripsikan masalah tersebut dengan jelas dan lengkap. Selanjutnya, masalah tersebut diformulasikan dalam bentuk ILP yang siap diselesaikan dengan metode yang sesuai.

Pemodelan masalah ini dibuat berdasarkan ketersediaan ruangan yang dapat digunakan untuk kegiatan belajar mengajar (KBM), kemudian waktu yang diatur setiap harinya dalam periode enam hari (Senin s.d. Sabtu) dengan sejumlah mata pelajaran yang akan dijadwalkan serta pengajar yang mengajar sesuai dengan bidangnya.

Untuk memformulasikan masalah tersebut ke dalam ILP tentunya diperlukan beberapa asumsi, di antaranya adalah:

1. setiap kelompok menentukan sendiri mata pelajaran yang ingin dipelajari dalam seminggu,

2. setiap kelompok memberikan pola belajar mereka, yaitu 2 jam per hari dan tiga kali per minggu: Senin – Rabu – Jumat ataukah Selasa – Kamis – Sabtu,

3. setiap kelompok memberikan waktu luang pada siang ataukah sore hari,

4. setiap pengajar tidak mengajar pada lokasi yang berbeda dalam setiap harinya.

Variabel-variabel yang digunakan:

si

I = waktu siang hari pada dua pola belajar

so

I = waktu sore hari pada dua pola belajar

si

N = kelompok dengan waktu siang hari pada dua pola belajar

so

N = kelompok dengan waktu sore hari pada dua pola belajar

sks

I = waktu pada pola belajar Selasa– Kamis–Sabtu

srj

I = waktu pada pola belajar Senin– Rabu–Jumat

sks

N = kelompok dengan waktu pada pola belajar Selasa–Kamis–Sabtu

srj

N = kelompok dengan waktu pada pola belajar Senin–Rabu–Jumat

jb

K = ruangan Jalan Baru

gs

N = kelompok dengan ruangan Gedung Sawah Subproblem 1 x1 = 8, x2 = 2.25 dan z = 35.25 Subproblem 3 x1 = 6.5, x2 = 3 dan z = 34.5 2 4 x  2 3 x  1 6 x  1 7 x  2 3 x  2 2 x  Subproblem 3 Subproblem 2 x1 = 8, x2 = 2 dan z = 34 Subproblem 4 x1 = 6, x2 = 3.25 dan z = 34.25 Subproblem 5 Solusi takfisibel Subproblem 7 x1 = 4.5, x2 = 4 dan z = 33.5 Subproblem 6 x1 = 6, x2 = 3 dan z = 33

(16)

gs

K = ruangan Gedung Sawah

jb

N = kelompok dengan ruangan Jalan Baru

kt

K = ruangan dengan kapasitas terbatas

rt

N = kelompok yang bisa pada ruangan tertentu

mt

N = kelompok di mana mata pelajaran yang telah mereka tentukan tidak terjadwalkan

ms

J = mata pelajaran yang bukan spesialisasi dari pengajar

tm

P = pengajar yang tidak dapat mengajar pada periode waktu tertentu

pt

I = waktu di mana pengajar tidak dapat mengajar

Selain itu, diperlukan pula pendefinisian suatu variabel keputusan:

1 ; jik a m a ta p elajaran d iselen g g arak an p a d a w ak tu d alam ru a n g u n tu k k e lo m p o k d en g an p en g ajar 0 ; selain n ya = ijkn p j i k n p x











Karena tujuan utama adalah mencari solusi penjadwalan terbaik dengan waktu luang siswa dan ruangan dengan kapasitas terbatas serta pengajar yang sesuai dengan bidangnya, maka fungsi objektif dari permasalahan ini adalah memaksimumkan variabel keputusan yang dimodelkan sebagai berikut:

max

i j k n p ijknp

x

 

dengan kendala-kendala sebagai berikut:

1. Dalam setiap pola belajar, suatu kelompok belajar sore hari tidak boleh belajar siang hari.

0 ,

i j k n p si so ijknp I n N

i

x

 





4. Keterbatasan kapasitas ruangan yang tersedia di bimbingan belajar sesuai dengan banyaknya siswa di setiap kelompoknya. 0 , i j k n p rt kt ijknp n N k K

x

   



0 , i j k n p tm pt ijknp p P i I

x

   



13. Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu. , , , ,

{0,1} ;

ijknp i j k n p

x





IV STUDI KASUS

Masalah yang akan dicontohkan di sini

adalah masalah penjadwalan kegiatan belajar mengajar di lembaga bimbingan belajar Bimbingan Tes Alumni Bogor (BTA Bogor). Hal yang perlu diperhatikan adalah ketersediaan ruangan yang memiliki kapasitas berbeda. Pada saat ini, lembaga bimbingan belajar BTA Bogor mengasuh 13 mata pelajaran, dengan 79 pengajar, dan 14 ruangan, serta 27 kelompok bimbingan yang terdaftar. Akan tetapi, dalam studi kasus ini hanya diambil sebagian saja.

Mata pelajaran yang diambil dalam studi kasus ini ada 13 mata pelajaran dan setiap siswa akan mendapatkan materi sesuai tingkatannya masing-masing (Tabel 1).

Kegiatan belajar mengajar ini dilakukan enam hari dalam seminggu, yang setiap harinya dibagi menjadi dua waktu dengan sejumlah mata pelajaran yang dijadwalkan. Pertama, waktu siang hari pada pukul 14.25-16.25 WIB. Kedua, waktu sore hari pada pukul 16.30-18.30 WIB (Tabel 2). Kemudian lembaga bimbingan belajar BTA membagi waktu pertemuannya menjadi tiga kali dalam

setiap minggunya yaitu Senin - Rabu - Jumat dan Selasa - Kamis - Sabtu, setiap pertemuan hanya dua jam belajar.

Banyaknya siswa dalam setiap kelompok tidak melebihi kapasitas ruangan yang tersedia (Tabel 3). Lembaga bimbingan belajar BTA memiliki dua cabang yaitu cabang Jalan Gedung Sawah dan cabang Jalan Baru (Tabel 3). Apabila seseorang mendaftar di Jalan Gedung Sawah maka ruangan belajarnya di Jalan Gedung Sawah begitu juga untuk di Jalan Baru.

Dalam studi kasus ini juga hanya diambil 16 kelompok belajar yang terdiri dari beberapa tingkatan yaitu kelas 6 SD sampai XII SMA baik IPA maupun IPS dengan waktu luang mereka serta banyaknya siswa dalam setiap kelompok (Tabel 4). Kemudian pada studi kasus ini banyaknya pengajar ada 15 yang mengajar sesuai dengan bidangnya (Tabel 5). Dari ke-16 kelompok tersebut mereka telah menentukan mata pelajaran yang akan mereka pelajari dalam setiap minggunya (Tabel 6).

Tabel 1 Mata Pelajaran Indeks (j) Mata Pelajaran

1 Matematika 2 Ekonomi 3 Bahasa Indonesia 4 Bahasa Inggris 5 IPA 6 IPS 7 Agama 8 Kimia 9 Fisika 10 Biologi 11 Geografi 12 Sosiologi 13 Sejarah

Tabel 2 Periode Waktu Indeks (i) Hari Waktu

1 Senin Siang 2 Sore 3 Selasa Siang 4 Sore 5 Rabu Siang 6 Sore 7 Kamis Siang 8 Sore 9 Jumat Siang 10 Sore 11 Sabtu Siang 12 Sore

(18)

Tabel 3 Ruangan yang tersedia

Indeks (k) Kapasitas Tempat/lokasi

1 10 Jalan Gedung Sawah

5 10 Jalan Baru

6 5 Jalan Baru

7 5 Jalan Baru

8 4 Jalan Baru

Tabel 4 Daftar Kelompok

Indeks (n) Kelompok Tingkat Waktu Luang (Jam Kosong)

Banyaknya

Siswa Tempat/ lokasi

1 Aritmatika XII IPA Sore 10 Jalan Gedung Sawah

2 Vektor XII IPA Siang 7 Jalan Gedung Sawah

3 Geometri XII IPA Sore 5 Jalan Gedung Sawah

4 Matriks XII IPA Siang 10 Jalan Gedung Sawah

5 Median XII IPA Sore 2 Jalan Baru

6 Valas XII IPS Siang 5 Jalan Gedung Sawah

7 Fiskal XII IPS Sore 5 Jalan Gedung Sawah

8 Monetary XII IPS Sore 4 Jalan Baru

9 Mikro XII IPS Siang 4 Jalan Baru

10 Teuku Umar IX SMP Sore 7 Jalan Gedung Sawah

11 Hasanudin IX SMP Siang 5 Jalan Gedung Sawah

12 Diponegoro IX SMP Sore 3 Jalan Baru

13 Sudirman IX SMP Siang 2 Jalan Baru

14 Mawar VIII SMP Siang 5 Jalan Gedung Sawah

15 Grape VI SD Sore 5 Jalan Gedung Sawah 16 Banana VI SD Sore 4 Jalan Baru

Tabel 5 Daftar Pengajar

Indeks (p) Nama Pengajar Spesialisasi pengajar Tidak bisa mengajar pada hari:

1 Fajriansyah Matematika Kamis

2 Cut Yuni Ekonomi Kamis

3 Purwatiningsih Bahasa Indonesia Rabu

4 Andry Bahasa Inggris Sabtu

5 Diana Novalia IPA -

6 Siti Sholihat IPS Senin

7 Ardhy Agama Rabu

8 Abdul Gani Kimia Selasa

9 Mardanih Fisika Kamis

(19)

Lanjutan Tabel 5

Indeks (p) Nama Pengajar Spesialisasi pengajar Tidak bisa mengajar pada hari:

11 Rully Budiman Geografi Sabtu

12 Latifah Sulton Sosiologi Selasa

13 Siti Nurhasanah Sejarah Kamis

14 Dadi Mulyadi Matematika Jumat

15 Rini Rustiani Bahasa Indonesia Selasa

Tabel 6 Kelompok dan mata pelajaran yang ditentukan

Indeks (n) Kelompok Mata pelajaran yang mereka tentukan

1 Aritmatika Fisika Kimia Matematika

2 Vektor Matematika Bahasa Indonesia Kimia

3 Geometri Biologi Matematika Bahasa Indonesia

4 Matriks Biologi Kimia Fisika

5 Median Biologi Fisika Kimia

6 Valas Bahasa Inggris Geografi Sosiologi

7 Fiskal Ekonomi Geografi Sejarah

8 Monetary Ekonomi Sosiologi Sejarah

9 Mikro Ekonomi Geografi Sejarah

10 Teuku Umar IPA IPS Bahasa Inggris

11 Hasanudin IPA IPS Bahasa Inggris

12 Diponegoro IPA Bahasa Indonesia Matematika 13 Sudirman Agama Bahasa Indonesia Matematika

14 Mawar IPA IPS Agama

15 Grape Bahasa Inggris Matematika Bahasa Indonesia 16 Banana Matematika IPS Agama

Untuk memformulasikan ILP, peubah

ijknp

x

didefinisikan pada setiap periode waktu i = 1, 2, …, 12, mata pelajaran j = 1, 2, …, 13, ruangan k = 1, 2, …, 8, kelompok

n = 1, 2, …, 16, pengajar p = 1, 2, …, 15.

Sehingga masalahnya dapat diformulasikan dalam ILP berikut:

max

i j k n p ijknp

x



dengan kendala :

1. Dalam setiap pola belajar, suatu kelompok belajar sore hari tidak boleh belajar siang hari. Untuk i  1,3,5, 7,9,11,dan 1, 3, 5, 7,8,10,12,15,16 : n  0 j k p ijknp

x





Banyaknya kendala pertama adalah 54.

2. Dalam setiap pola belajar, suatu kelompok belajar siang hari tidak boleh belajar sore hari. Untuk i  2, 4, 6,8,10,12,dan 2, 4, 6, 9,11,13,14 : n  0 j k p ijknp

x





Banyaknya kendala kedua adalah 42. 3. Suatu kelompok hanya belajar di satu

tempat, Jalan Gedung Sawah atau Jalan Baru.

a. Ruang 1-4 (Jalan Gedung Sawah) Untukk  5, 6, 7,8,dan 1, 2, 3, 4, 6, 7,10,11,14,15 : n  0 i j p ijknp

x





  

Untuk i 1,2,...,12, dan k 1,2, ...,8.

Banyaknya kendala ke-8 adalah 96. 9. Paling banyak satu kelompok dengan

suatu waktu diselenggarakan dalam suatu ruangan, suatu mata pelajaran, dan seorang pengajar. 1 k j p ijknp

x



 

Untuk i 1,2,...,12, dan n 1,2,...,16. Banyaknya kendala ke-9 adalah 192. 10. Ada beberapa mata pelajaran yang tidak

(21)

Untuk j 12,dan 1, 2,...,5,7,9,10,...,16: n  0 i k p ijknp

x





Untuk j 13,dan 1,2,...,6,10,11,...,16: n  0 i k p ijknp

x





Banyaknya kendala ke-10 adalah 160. 11. Setiap pengajar tidak mengajarkan mata

x





x





x





ijknp i j k n p

(22)

Pada uraian tersebut, terlihat bahwa banyak sekali persamaan maupun pertidaksamaan yang harus diselesaikan. Dalam hal ini sulit jika digunakan metode

branch and bound secara manual. Masalah di

atas selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan LINGO 8.0.

Dari asumsi 4 diketahui bahwa setiap pengajar tidak mengajar pada lokasi yang berbeda setiap harinya. Dalam hal ini, proses

runningnya dilakukan dengan dua cara. Cara

pertama, ditentukan jadwal untuk lokasi Jalan Gedung Sawah terlebih dahulu kemudian jadwal untuk Jalan Baru (Lampiran 2). Dengan cara serupa, dapat ditentukan jadwal untuk Jalan Baru terlebih dahulu kemudian jadwal Jalan Gedung Sawah. Hasil proses pertama bisa dilihat pada Tabel 7, sedangkan

proses kedua bisa dilihat pada Tabel 8. Dari kedua proses tersebut nilai total fungsi objektif maksimumnya sama yaitu 48 yang menunjukkan bahwa banyaknya penjadwalan maksimum pada masing-masing proses ada 48 jadwal. Total waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi dari proses pertama adalah 1 menit 4 detik didapat pada iterasi total ke 66, sedangkan untuk proses kedua 1 menit 3 detik didapat pada iterasi total ke 57.

Komputer yang digunakan untuk melakukan proses ini adalah processor komputer 1.34 GHz dengan kecepatan memori RAM 512 MB. Hasil komputasi tidak semuanya dicantumkan, karena terlalu banyak. Hasil yang dicantumkan hanya untuk

x yang bernilai satu saja.

Tabel 7 Jadwal kegiatan belajar mengajar di BTA

No Hari Waktu Mata pelajaran Ruangan Kelompok Pengajar 1

Senin

Siang Bahasa Indonesia 2 Vektor Purwatiningsih

2 Siang IPA 4 Hasanudin Diana Novalia

3 Siang Kimia 1 Matriks Abdul Gani

4 Siang Bahasa Inggris 3 Valas Andry

5 Sore Bahasa Indonesia 4 Grape Rini Rustiani

6 Sore Ekonomi 3 Fiskal Cut Yuni

7 Sore Matematika 5 Diponegoro Dadi Mulyadi

8 Sore Agama 8 Banana Ardhy

9 Sore Biologi 6 Median Adisti

10 Sore Sejarah 7 Monetary Siti Nurhasanah

11

Selasa

Siang Matematika 5 Sudirman Fajriansyah

12 Siang Ekonomi 6 Mikro Cut Yuni

13 Siang IPA 3 Mawar Diana Novalia

14 Sore Matematika 1 Aritmatika Dadi Mulyadi

15 Sore Bahasa Indonesia 3 Geometri Purwatiningsih

16 Sore Bahasa Inggris 2 Teuku Umar Andry

17

Rabu

Siang Geografi 4 Valas Rully Budiman

18 Siang Bahasa Inggris 3 Hasanudin Andry

19 Siang Matematika 2 Vektor Dadi Mulyadi

20 Siang Fisika 1 Matriks Mardanih

21 Sore Bahasa Indonesia 6 Diponegoro Rini Rustiani

22 Sore Sosiologi 5 Monetary Latifah Sulton

23 Sore Matematika 3 Grape Rini Rustiani

24 Sore IPS 7 Banana Siti Sholihat

25 Sore Kimia 8 Median Abdul Gani

(23)

Kamis

Siang Agama 8 Sudirman Ardhy

28 Siang IPS 3 Mawar Siti Sholihat

29 Siang Geografi 6 Mikro Rully Budiman

30 Sore Biologi 3 Geometri Adisti

31 Sore IPA 2 Teuku Umar Diana Novalia

32 Sore Kimia 1 Aritmatika Abdul Gani

33

Jumat

Siang Kimia 2 Vektor Abdul Gani

34 Siang IPS 3 Hasanudin Siti Sholihat

35 Siang Biologi 1 Matriks Adisti

36 Siang Geografi 4 Valas Rully Budiman

37 Sore Matematika 5 Banana Fajriansyah

38 Sore Bahasa Inggris 3 Grape Andry

39 Sore IPA 7 Diponegoro Diana Novalia

40 Sore Fisika 8 Median Mardanih

41 Sore Sejarah 4 Fiskal Siti Nurhasanah

42 Sore Ekonomi 6 Monetary Cut Yuni

43

Sabtu

Siang Bahasa Indonesia 8 Sudirman Rini Rustiani

44 Siang Agama 3 Mawar Ardhy

45 Siang Sejarah 5 Mikro Siti Nurhasanah

46 Sore IPS 2 Teuku Umar Siti Sholihat

47 Sore Fisika 1 Aritmatika Mardanih

48 Sore Matematika 3 Geometri Dadi Mulyadi

Tabel 8 Jadwal kegiatan belajar mengajar di BTA

Senin

Siang Bahasa Indonesia 2 Vektor Purwatiningsih

2 Siang IPA 3 Hasanudin Diana Novalia

3 Siang Biologi 1 Matriks Adisti

4 Siang Bahasa Inggris 3 Valas Andry

5 Sore Bahasa Indonesia 3 Grape Purwatiningsih

6 Sore Sejarah 4 Fiskal Siti Nurhasanah

7 Sore Bahasa Indonesia 7 Diponegoro Rini Rustiani

8 Sore Matematika 5 Banana Dadi Mulyadi

9 Sore Kimia 8 Median Abdul Gani

10 Sore Ekonomi 6 Monetary Cut Yuni

11

Selasa

Siang Matematika 5 Sudirman Dadi Mulyadi

12 Siang Ekonomi 6 Mikro Cut Yuni

13 Siang IPA 3 Mawar Diana Novalia

14 Sore Matematika 1 Aritmatika Fajriansyah

15 Sore Bahasa Indonesia 3 Geometri Purwatiningsih

(24)

Rabu

Siang Geografi 4 Valas Rully Budiman

18 Siang Bahasa Inggris 3 Hasanudin Andry

19 Siang Matematika 2 Vektor Fajriansyah

20 Siang Kimia 1 Matriks Abdul Gani

21 Sore Matematika 5 Diponegoro Dadi Mulyadi

22 Sore Sosiologi 8 Monetary Latifah Sulton

23 Sore Matematika 4 Grape Fajriansyah

24 Sore IPS 6 Banana Siti Sholihat

25 Sore Fisika 7 Median Mardanih

26 Sore Ekonomi 3 Fiskal Cut Yuni

27

Kamis

Siang Bahasa Indonesia 5 Sudirman Rini Rustiani

28 Siang Agama 3 Mawar Ardhy

29 Siang Geografi 6 Mikro Rully Budiman

30 Sore Biologi 3 Geometri Adisti

31 Sore IPA 2 Teuku Umar Diana Novalia

32 Sore Kimia 1 Aritmatika Abdul Gani

33

Jumat

Siang Kimia 2 Vektor Abdul Gani

34 Siang IPS 3 Hasanudin Siti Sholihat

35 Siang Fisika 1 Matriks Mardanih

36 Siang Sosiologi 4 Valas Latifah Sulton

37 Sore Agama 6 Banana Ardhy

38 Sore Bahasa Inggris 3 Grape Andry

39 Sore IPA 5 Diponegoro Diana Novalia

40 Sore Biologi 7 Median Adisti

41 Sore Geografi 4 Fiskal Rully Budiman

42 Sore Sejarah 8 Monetary Siti Nurhasanah

43

Sabtu

Siang Agama 5 Sudirman Ardhy

44 Siang IPS 3 Mawar Siti Sholihat

45 Siang Sejarah 6 Mikro Siti Nurhasanah

46 Sore IPS 2 Teuku Umar Siti Sholihat

47 Sore Fisika 1 Aritmatika Mardanih

(25)

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Masalah penjadwalan kegiatan belajar mengajar merupakan hal penting dalam proses belajar mengajar di bimbingan belajar. Hal ini dialami oleh lembaga bimbingan belajar BTA Bogor pada khususnya dan lembaga bimbingan belajar lain pada umumnya.

Dalam penulisan ini telah diperlihatkan bahwa masalah penjadwalan kegiatan belajar mengajar di BTA Bogor dapat dipandang sebagai masalah Integer Linear Programming. Penyelesaian masalah ini menggunakan

software LINGO 8.0 dengan metode Branch and Bound. Hasil yang diperoleh yaitu jadwal

kegiatan belajar mengajar di lembaga bimbingan belajar BTA Bogor dengan penyederhanaan yaitu banyaknya kelompok hanya 16 (kurang dari banyaknya kelompok yang sebenarnya) yang memenuhi semua kendala yang ada, dengan nilai total fungsi objektif 48.

Keuntungan dari penyelesaian masalah ini adalah memungkinkan pengguna untuk mengontrol atau menambahkan kendala dengan bebas. Sebagai contoh, jika bimbingan belajar BTA Bogor menginginkan keadaan bahwa pengajar merupakan pengajar fulltime, maka kendala waktu harus dihilangkan. Perubahan yang lain sangat mungkin untuk dilakukan.

5.2 Saran

Pada tulisan ini telah dibahas penjadwalan kegiatan belajar mengajar di BTA Bogor dengan penyederhanaan yaitu kelompok yang sedikit. Akan lebih baik lagi jika ada yang dapat menindaklanjuti penelitian ini dengan masalah yang lebih kompleks lagi, misalnya penjadwalan kegiatan belajar mengajar di lembaga bimbingan belajar selama satu semester atau membuat software yang dapat mengaplikasikan model ini.

DAFTAR PUSTAKA

Garfinkel, R.S. & G.L. Nemhauser. 1972.

Integer Programming. John Willey &

Sons, New York.

Nash, S. G. and Sofer. A. 1996. Linear and

Nonlinear Programming. McGraw-Hill,

New York.

Ng PH, Martin LM. 2002. Classroom Schedulling Problems: A Discrete Optimization Approach. The UMAP Journal 23(1):57-66.

Taha, H.A. 1975. Integer Programming. Academic Press, New York.

Taha, H.A. 1996. Pengantar Riset Operasi. Alih Bahasa: Drs. Daniel Wirajaya. Binarupa Aksara, Jakarta. Terjemahan dari: Operations Research.

Winston, W.L. 2004. Operations Research

Applications and Algorithms 4th ed.

(26)

(27)

Lampiran 1 Solusi subproblem-subproblem untuk Contoh 2 Subproblem 1. Maximize 3X1 + 5X2 Subject to 2X1 + 4X2 <= 25 X1 <= 8 2X2 <= 10 X1 >= 0 X2 >= 0

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 35.25000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 8.000000 0.000000 X2 2.250000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.250000 3) 0.000000 0.500000 4) 5.500000 0.000000 5) 8.000000 0.000000 6) 2.250000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 Subproblem 2. Maximize 3X1 + 5X2 Subject to 2X1 + 4X2 <= 25 X1 <= 8 2X2 <= 10 X2 <= 2 X1 >= 0 X2 >= 0

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 8.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 0.000000 3.000000 4) 6.000000 0.000000 5) 0.000000 5.000000 6) 8.000000 0.000000 7) 2.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 Subproblem 3. Maximize 3X1 + 5X2 Subject to 2X1 + 4X2 <= 25 X1 <= 8 2X2 <= 10 X2 >= 3 X1 >= 0 X2 >= 0

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6.500000 0.000000 X2 3.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.500000 3) 1.500000 0.000000 4) 4.000000 0.000000 5) 0.000000 -1.000000 6) 6.500000 0.000000 7) 3.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 1 Subproblem 4. Maximize 3X1 + 5X2 Subject to 2X1 + 4X2 <= 25 X1 <= 8 2X2 <= 10 X2 >= 3 X1 <= 6 X1 >= 0 X2 >= 0

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6.000000 0.000000 X2 3.250000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.250000 3) 2.000000 0.000000 4) 3.500000 0.000000 5) 0.250000 0.000000 6) 0.000000 0.500000 7) 6.000000 0.000000 8) 3.250000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 Subproblem 5. Maximize 3X1 + 5X2 Subject to 2X1 + 4X2 <= 25 X1 <= 8 2X2 <= 10

(28)

X2 >= 3 X1 >= 7 X1 >= 0 X2 >= 0

NO FEASIBLE SOLUTION AT STEP 0. SUM OF INFEASIBILITIES =

0.250000000000000.

VIOLATED ROWS HAVE NEGATIVE SLACK,

OR ( EQUALITY ROWS) NONZERO SLACKS.

ROWS CONTRIBUTING TO INFEASIBILITY

HAVE A NONZERO DUAL PRICE.

Subproblem 6. Maximize 3X1 + 5X2 Subject to 2X1 + 4X2 <= 25 X1 <= 8 2X2 <= 10 X2 >= 3 X2 <= 3 X1 <= 6 X1 >= 0 X2 >= 0

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6.000000 0.000000 X2 3.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 2.000000 0.000000 4) 4.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 5.000000 7) 0.000000 3.000000 8) 6.000000 0.000000 9) 3.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 Subproblem 7. Maximize 3X1 + 5X2 Subject to 2X1 + 4X2 <= 25 X1 <= 8 2X2 <= 10 X2 >= 3 X2 >= 4 X1 <= 6 X1 >= 0 X2 >= 0

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.500000 0.000000 X2 4.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.500000 3) 3.500000 0.000000 4) 2.000000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 6) 0.000000 -1.000000 7) 1.500000 0.000000 8) 4.500000 0.000000 9) 4.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 1

(29)

Lampiran 2 Program untuk menyelesaikan masalah penjadwalan kegiatan belajar mengajar di lembaga bimbingan belajar BTA Bogor dengan proses pertama yaitu lokasi Jalan Gedung Sawah terlebih dahulu kemudian jadwal untuk Jalan Baru.

Proses Jalan Gedung Sawah terlebih Dahulu:

SETS: WAKTU /W1 W2..W12/; MATA_PELAJARAN /MP1 MP2..MP13/; RUANGAN /R1 R2..R8/; KELOMPOK /K1 K2..K16/; PENGAJAR /G1 G2..G15/; KOMBINASI(WAKTU,MATA_PELAJARAN,RUANGAN,KELOMPOK,PENGAJAR):X; ENDSETS !Fungsi Objektif; MAX=@SUM(KOMBINASI(I,J,K,N,P):X); !Kendala;

!1 Dalam setiap pola belajar, suatu kelompok belajar sore hari tidak boleh belajar siang hari; @SUM(WAKTU(I)|I#EQ#2:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#2:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N,P) +X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#EQ#2:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#4:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N,P) +X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#EQ#2:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#6:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N,P) +X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#EQ#2:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#11:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N, P)+X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#EQ#2:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#14:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N, P)+X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0;

!2 Dalam setiap pola belajar, suatu kelompok belajar siang hari tidak boleh belajar sore hari; @SUM(WAKTU(I)|I#EQ#1:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#1:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N,P) +X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#EQ#1:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#3:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N,P) +X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#EQ#1:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#7:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N,P) +X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#EQ#1:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#10:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N, P)+X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0;

(30)

@SUM(WAKTU(I)|I#EQ#1:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM( RUANGAN(K):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#15:X(I,J,K,N,P)+X(I+2,J,K,N,P)+X(I+4,J,K,N, P)+X(I+6,J,K,N,P)+X(I+8,J,K,N,P)+X(I+10,J,K,N,P))))))=0;

!3 Suatu kelompok hanya belajar di satu tempat, Jalan Gedung Sawah atau Jalan Baru; !a.Ruang 1-4; @SUM(WAKTU(I):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(RUANG AN(K)|K#EQ#5:@SUM(KELOMPOK(N)|N#LT#5:X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K+1,N,P)+X(I,J,K+2,N,P )+X(I,J,K+3,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(RUANG AN(K)|K#EQ#5:@SUM(KELOMPOK(N)|N#LT#8 #AND# N#GT#5:X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K+1,N,P)+X(I,J,K+2,N,P)+X(I,J,K+3,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(RUANG AN(K)|K#EQ#5:@SUM(KELOMPOK(N)|N#LT#12 #AND# N#GT#9:X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K+1,N,P)+X(I,J,K+2,N,P)+X(I,J,K+3,N,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(RUANG AN(K)|K#EQ#5:@SUM(KELOMPOK(N)|N#LT#16 #AND# N#GT#13:X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K+1,N,P)+X(I,J,K+2,N,P)+X(I,J,K+3,N,P))))))=0;

!4 Keterbatasan kapasitas ruangan yang tersedia di BTA sesuai dengan banyaknya siswa di setiap kelompoknya; @SUM(WAKTU(I):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(KELOM POK(N)|N#EQ#1:@SUM(RUANGAN(K)|K#LT#5 #AND# K#GT#1:X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K,N+3,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(KELOM POK(N)|N#EQ#2:@SUM(RUANGAN(K)|K#EQ#1:X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K,N+8,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(KELOM POK(N)|N#EQ#2:@SUM(RUANGAN(K)|K#LT#5 #AND# K#GT#2:X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K,N+8,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(MATA_PELAJARAN(J):@SUM(KELOM POK(N)|N#EQ#3:@SUM(RUANGAN(K)|K#LT#3:X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K,N+3,P)+X(I,J,K,N+4,P )+X(I,J,K,N+8,P)+X(I,J,K,N+11,P)+X(I,J,K,N+12,P))))))=0;

!5 Setiap kelompok hanya belajar dengan satu pola belajar; @SUM(WAKTU(I)|I#LT#5 #AND# I#GT#2:@SUM(RUANGAN(K):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#2:@S UM(MATA_PELAJARAN(J):X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K,N+2,P)+X(I,J,K,N+4,P)+X(I,J,K,N+5,P)+X( I,J,K,N+9,P)+X(I,J,K,N+13,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#LT#9 #AND# I#GT#6:@SUM(RUANGAN(K):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#2:@S UM(MATA_PELAJARAN(J):X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K,N+2,P)+X(I,J,K,N+4,P)+X(I,J,K,N+5,P)+X( I,J,K,N+9,P)+X(I,J,K,N+13,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#LT#13 #AND# I#GT#10:@SUM(RUANGAN(K):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(KELOMPOK(N)|N#EQ#2:@ SUM(MATA_PELAJARAN(J):X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K,N+2,P)+X(I,J,K,N+4,P)+X(I,J,K,N+5,P)+X (I,J,K,N+9,P)+X(I,J,K,N+13,P))))))=0; @SUM(WAKTU(I)|I#LT#3:@SUM(RUANGAN(K):@SUM(PENGAJAR(P):@SUM(KELOMP OK(N)|N#EQ#1:@SUM(MATA_PELAJARAN(J):X(I,J,K,N,P)+X(I,J,K,N+2,P)+X(I,J,K,N+9,P) +X(I,J,K,N+13,P))))))=0;