Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

This material was created by NKH 1

C

C

o

o

n

n

t

t

o

o

h

h

P

P

e

e

r

r

s

s

o

o

a

a

l

l

a

a

n

n

I

I

n

n

t

t

e

e

g

g

r

r

a

a

l

l

L

L

i

i

p

p

a

a

t

t

d

d

u

u

a

a

d

d

a

a

n

n

t

t

i

i

g

g

a

a

Selesaikanlah soal-soal berikut ini:

1.

dx

dy

Penyelesaian:

dy

)

c

x

(

dy

dx

₁

(

x

c

₁

)

y

c

₂

xy

yc

₁

c

₂

2.

cos

d

d

Penyelesaian:

d

)

c

cos

(

d

d

cos

1₂ 2 ₁

1₂ 2sin c₁ c₂

3.

e

3t 7

dS

dt

Penyelesaian:

dt

c

dt

Se

dt

)

c

Se

(

dt

dS

e

3t 7 3t 7 ₁ 3t 7 ₁

Misal: u = 3t–7 jika diderivatifkan dan dengan operasi aljabar maka akan

didapat

3 du

dt sehingga integralnya menjadi

Se

u du₃

c

₁

dt

jika

diintegralkan diperoleh:

2 1 u 3

1_{Se tc c ingat u = 3t–7}

This material was created by NKH 2

4.

arc

tan

d

d

Penyelesaian:

d

d

tan

arc

d

d

tan

arc

Integral yang dikotak merah menggunakan integral parsial, partisinya adalah diambil:

u = arc tan dan dv = d , jika u diderivatifkan diperoleh:

2

1

d

du

dan jika dv

diintegralkan

dv

d

maka didapat v = sehingga integral yang ada dalam

kotak merah menjadi

d 1

1

-. tan arc d

tan arc

2

misal: u = 1+ 2 _{jika diderivatifkan dan dengan operasi aljabar maka}

akan didapat

2

du

d

sehingga integralnya menjadi

u

ln

u

du

2

du

u

2

1 2

1 _{ingat u = 1+} 2

maka hasilnya:

1 2 2

1_{ln(1 )) c}

tan arc (

Hasil tersebut diintegralkan kembali terhadap ,

2 1 2

2 1 2

1 2 2

1 _{( arc tan ln(1 ) c c}

2 1 d ) c ) (1 ln tan

arc (

Jadi hasil akhir dari soal ini adalah 2

(

arc

tan

₂1

ln

(1

2

)

c

₁

c

₂

2

1

5.

6

3 3 y

y 3 4

2

dy

dx

Penyelesaian:

6

3

6

3 2 2

6

3

3 y

3y -4 6

3 3 y

y 3 4

dy

1)

-3y

y

(

dy

3y))

-(4

-3)

(y

(

dy

x

dy

dx

2 2

6 3 2

2 3 3 3

1

y

y

y

1

20

-

7,5

112,5

menggunakan integral parsial

This material was created by NKH 3

6.

2

0 sin

0

d

d

cos

Penyelesaian:

2 2

2

0

2 2 1

0

sin 0 2

2 1

0 sin

0

d

cos

sin

d

cos

d

d

cos

misal: u = sin jika diderivatifkan dan dengan operasi aljabar maka akan

didapat

cos du

d sehingga integralnya menjadi

cos du . cos . u2

2

1

sehingga diperoleh: ₂1

u

2

d

u

₆1

u

3 ingat: u = sin

maka hasilnya:

)

0

1

(

)

0

sin

(sin

sin

1₆ 3 ₂ 3 ₆1

0 3 6

1 2

6

1

7.

e

dS

dt

1

0 e

0 7 t 3

7 2t

Penyelesain:

dt

e

dt

)

e

.

(e

dt

e

S

dt

dS

e

1

0 5t 1

0

7 t 3 7 2t 1

0

e 0 7 t 3 1

0 e

0 7 t 3

7 2t 7

2t

Dengan pemisalan u = 5t sehingga diperoleh:

e

1 ₅1

(

e

5

1

)

0 5t 5 1

maka hasilnya: (e 1) 5

1 5

menggunakan cara pemisalan

This material was created by NKH 4

8.

2

0 4cos

2 3

d

d

Penyelesaian:

d

4

d

cos

64

d

)

4

cos

(64

d

d

d

2 2

2 2

2

0 0

4

0

4

0

4cos 2 4 4 1

0 4cos

2 3

ingat salah satu sifat trigonometri, yaitu: cos2 ₂1 1 cos2

sehingga cos4 cos2 2 ₂1 1 cos2 2

2 cos 2

cos 2

1 2

4 1

4

cos

1

2

cos

2

1

₂1

4 1

integralnya menjadi:

|

2 2

2 2

0 0

2 1

0 0

2

1

1

cos

4

d

4

d

16

1

2

cos

2

1

cos

4

d

4

2

cos

2

1

16

|

2 2

0 0

4

d

4

cos

8

2

cos

32

24

Sehingga hasil integralnya adalah

|

|

2 2

0 0 4

4 sin 2 2 sin 16 24

10

2 0 0 0 0 0 12

9.

dx

dz

dy

Penyelesaian:

dy

c

z

)

c

x

(

dy

dz

)

c

x

(

dy

dz

dx

_{1 1 2}

(x c₁)zy yc₂ c₃

3 2 1 yc c

zyc xyz

menggunakan sifat-sifat trigonometri

menggunakan cara pemisalan,

diambil: u = 2 menggunakan cara pemisalan,

This material was created by NKH 5

10.

(

xy

yz

xz

)

dy

dz

dx

Penyelesaian:

dx

dz

)

c

xzy

z

y

xy

(

dx

dz

dy

)

xz

yz

xy

(

1₂ 2 1₂ 2 ₁

(

1₂

xy

2

z

1₄

y

2

z

2 1₂

xz

2

y

zc

₁

c

₂

)

dx

3 2 1 2

2 4 1 2 2 4 1 2 2 4

1 _{x y z xy z x z y xzc xc c}

11.

0 0 sec 0

4

d

d

d

2

sin

Penyelesaian:

d

d

2

sin

d

d

d

2

sin

sec

0 0 0 0 0

sec 0

4 4

sec .sin2 d d 2 sin d d

0 0 0 0

4 4

2

-

cos

|

d

2

1

1₂

2

d

0 0

0

4

) 2 2 ( 2

1 2

|

0 2

1

12.

2 2 2

2 2

0 x -2

0

y 4

y 2x

dx

dy

dz

Penyelesaian:

2 2

2 2 2

2

2 ₀

x -2

0

2 2 2

0 x -2

0

y 4

y 2x

dx

dy

)

y

x

2

(

)

y

-(4

dx

dy

dz

2

2 2

0

3 2

0

x 2 0 3 3 2

2

y

y

)

dx

(

2

x

)

dx

x

2

(4y

|

This material was created by NKH 6

dengan mengambil x = 2 sin , jika diderivatifkan diperoleh dx = 2cos d disamping itu didapat juga:

2 x

sin

sehingga dapat dibuat segitiga siku-siku sebagaimana gambar disamping, dari segitiga tersebut diperoleh:

cos 2 x

2 2

x 2

cos 2

2

2

x 2

x tan

sehingga integralnya menjadi:

2 2

0

4

0

3

d

cos

4

d

cos

2

cos

2

Dengan langkah seperti pada contoh no.8 maka diperoleh bentuk integral berikut ini:

d

4

cos

2

cos

2

2

3

2

0

2 1

4 3 4 sin 2

sin 2

3

|

2

0 8

1