BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM. dengan rumus rumus aljabar yang sudah baku atau lazim.

Metode Numerik Page 1 BAB I

METODE NUMERIK SECARA UMUM

1.1 Pengertian Metode Numerik

Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian aritmatika (hitungan), metode penyelesaian model matematika dengan rumus – rumus aljabar yang sudah baku atau lazim.

Contoh ilustrasi :

1. Tentukan akar-akar persamaan polinom : 14𝑥5_{+ 5𝑥}4_{+ 2𝑥}3_{− 𝑥}2_{− 𝑥 − 12 = 0} 2. Tentukan harga 𝑥 yang memenuhi persamaan:

√27,8𝑒5𝑥₋1 𝑥= cos;1

(120𝑥2_{+ √2𝑥)} 17𝑥 − 65

 Soal (1) tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom.  Sousi untuk (1) memanipulasi polinom, misalnya memfaktorkan (atau

menguraikan ) polinom menjadi perkalian beberapa suku.

 Kendala : semakin tinggi derajat polinom, semakin sukar memfaktorkannya.  Soal (2) masih sejenis dengan soal (1) yaitu menentukan nilai 𝑥 yang

memenuhi kedua persamaan.

1.2 Alasam Mempelajari Metode Numerik

Beberapa alasan mengapa kita harus mempelajari metode numerik :

1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik.

2. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahamanmatematika, karena metode numerik ditemukan dengan

Metode Numerik

Page 2

cara menyederhanakanmatematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.

3. Menyediakan sarana memperkuat pengetahuan matematika, karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi – operasi matematika yang mendasar.

1.3 Tahap Pemecahan Secara numeris : 1. Pemodelan

2. Penyederhanaan model 3. Formulasi Numerik

a. Menentukan metoe numeric yang akan dipakai, bersama dengan analisis error awal.

b. Pertimbangan pemilihan metode 1) Apakah metode tersebut teliti ?

2) Apakah metode mudah diprogram, dan waktu pelaksanaannya cepat ?

3) Apakah metode tersebut peka terhadap ukuran data ? c. Menyusun algoritma dari metode numeric yang dipilih 4. Pemrograman

5. Operasional -> pengujian program dengan data uji 6. Evaluasi -> intepretasi output, penaksiran

kualitas solusi numeric, pengambilan keputusan untuk menjelaskan program guna memperoleh hasil yang lebih baik.

1.4 Langkah-langkah Penyelesaian persoalan numerik : 1.1 Identifikasi masalah

1.2 Memodelkan masalah ini secara matemais

Metode Numerik

Page 3

1.4 Analisis hasil akhir : implementasi, metode, model dan masalah

1.5 Jenis-jenis persoalan matematika yang akan diselesaikan secara numerik dalam naskah ini:

1. Pencarian akar-akar persamaan tak linear.

2. Metode iteratif untuk penyelesaian sistem persamaan linear 3. Interpolasi linear, kuadrat, Newton, dan spline.

4. Regresi kuadrat terkecil. 5. Diferensiasi numerik. 6. Persamaan diferensial biasa. 7. Integrasi numerik.

Metode Numerik

Page 4

BAB II

DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

2.1 Deret Taylor dan Deret MaclLaurin Deret Taylor Rumus : 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0) 1! 𝑓′(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)2 2! 𝑓′′(𝑥0) + … + (𝑥 − 𝑥0)𝑚 𝑚! 𝑓𝑚(𝑥0) + … (𝒙𝟎) = 𝟏

Pada deret Taylor ini mempunyai panjang deret yang tak berhingga sehingga untuk mempermudahkan penulisan suku-suku selanjutnya kita menggunakan tanda elipsis (...).

contoh 1 :

Hampiri fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) ke dalam deret Taylor di sekitar 𝑥0= 1.

Penyelesaian : Tahap 1 :

Menentukan turunan 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) terlebih dahulu sebagai berikut : 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 𝑓′′(𝑥) = −sin 𝑥 𝑓′′′(𝑥) = −cos 𝑥 𝑓4_{(𝑥) = sin 𝑥} Dan seterusnya. Tahap 2 :

Subtitusikan 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) beserta turunannya ke persamaan deret taylor dibawah ini: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0) 1! 𝑓′(𝑥0) +(𝑥 − 𝑥0 )2 2! 𝑓′′(𝑥0) + … + (𝑥 − 𝑥0 )𝑚 𝑚! 𝑓𝑚(𝑥0) + …

Metode Numerik

Page 5

𝑆𝑖𝑛 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0) 1! 𝑐𝑜𝑠 (𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)2 2! (−𝑠𝑖𝑛 (𝑥0)) + (𝑥 − 𝑥0)3 3! (−𝑐𝑜𝑠 (𝑥0)) + (𝑥 − 𝑥0 )4 4! 𝑠𝑖𝑛 (𝑥0) + … Tahap 3 :

Karena pada deret taylor 𝑥0 = 1, maka subtitusi 𝑥0 menjadi 1:

𝑆𝑖𝑛 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (1) + (𝑥 − 1) 1! 𝑐𝑜𝑠 (1) + (𝑥 − 1)2 2! (−𝑠𝑖𝑛 (1)) + (𝑥 − 1)3 3! (−𝑐𝑜𝑠 (1)) + (𝑥 − 𝑥0) 4 4! 𝑠𝑖𝑛 (1) + …

Pada suku-suku deret taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu.

contoh 2 :

Tentukan deret Taylor 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ke dalam deret Taylor di sekitar 𝑥0= 1 untuk 𝑓(𝑥) hingga suku orde 3.

Penyelesaian : Tahap 1 :

Menentukan turunan 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) terlebih dahulu sebagai berikut : 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑓′(𝑥) = −sin 𝑥 𝑓"(𝑥) = −cos 𝑥 𝑓"′(𝑥) = sin 𝑥 Tahap 2 :

Subtitusikan 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) bersama dengan turunan 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ke persamaan deret taylor dibawah ini:

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0) 1! 𝑓′(𝑥0) +(𝑥 − 𝑥0 )2 2! 𝑓′′(𝑥0) + … + (𝑥 − 𝑥0)𝑚 𝑚! 𝑓𝑚(𝑥0) + … Maka akan menghasilkan :

Metode Numerik

Page 6

𝐶𝑜𝑠 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0) 1! (−𝑠𝑖𝑛 (𝑥0)) + (𝑥 − 𝑥0)2 2! (−𝑐𝑜𝑠 (𝑥0)) + (𝑥 − 𝑥0)3 3! 𝑠𝑖𝑛 (𝑥0)

Karena pada deret taylor 𝑥0 = 1, maka subtitusi 𝑥0 menjadi 1: 𝐶𝑜𝑠 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (1) + (𝑥 − 1) 1! (−𝑠𝑖𝑛 (1)) + (𝑥 − 1)2 2! (−𝑐𝑜𝑠 (1)) + (𝑥 − 1)3 3! 𝑠𝑖𝑛 (1) Deret MacLaurin Rumus : 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0) 1! 𝑓′(𝑥0) +(𝑥 − 𝑥0 )2 2! 𝑓′′(𝑥0) + … + (𝑥 − 𝑥0)𝑚 𝑚! 𝑓𝑚(𝑥0) + … (𝒙𝟎) = 𝟎

Pada deret MacLaurin ini juga mempunyai panjang deret yang tak berhingga sehingga untuk mempermudahkan penulisan suku-suku selanjutnya kita menggunakan tanda elipsis (...).

Contoh 3 :

Tentukan deret MacLaurin untuk 𝑠𝑖𝑛 𝑥. Penyelesaian :

Tahap 1 :

Menentukan turunan 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) terlebih dahulu sebagai berikut : 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑓′(𝑥)_{= cos 𝑥} 𝑓′′(𝑥)_{= − sin 𝑥} 𝑓′′′(𝑥)_{= − cos 𝑥} 𝑓4_{(𝑥) = sin 𝑥} . . 𝑓(0) = sin 0 𝑓′_{(0) = cos 0} 𝑓′′(0) = −sin 0 𝑓′′′(0) = −cos 0 𝑓4_{(0) = sin 0} . . 0 1 0 -1 0 Tahap 2 :

Metode Numerik

Page 7

Subtitusikan 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) bersama dengan turunan 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) ke persamaan dibawah ini: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0) 1! 𝑓′(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)2 2! 𝑓′′(𝑥0) + … + (𝑥 − 𝑥0)𝑚 𝑚! 𝑓𝑚(𝑥0) + … Maka akan menghasilkan :

𝑆𝑖𝑛 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0) 1! 𝑐𝑜𝑠 (𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)2 2! (−𝑠𝑖𝑛 (𝑥0)) + (𝑥 − 𝑥0)3 3! (−𝑐𝑜𝑠 (𝑥0)) + (𝑥 − 𝑥0)4 4! 𝑠𝑖𝑛 (𝑥0) + … Tahap 3 :

Karena pada deret MacLaurin 𝑥₀ = 0, maka subtitusi 𝑥₀ menjadi 0: 𝑆𝑖𝑛 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (0) + (𝑥 − 0) 1! 𝑐𝑜𝑠 (0) + (𝑥 − 0)2 2! (−𝑠𝑖𝑛 (0)) + (𝑥 − 0)3 3! (−𝑐𝑜𝑠 (0)) + (𝑥 − 0)4 4! 𝑠𝑖𝑛 (0) + … Tahap 4 :

Operasikan deret di bawah ini : 𝑆𝑖𝑛 (𝑥) = 0 + (𝑥) 1!1 + (𝑥)2 2! 0 + (𝑥)3 3! (−1) + (𝑥)4 4! 0 + … Hasil akhir : sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3 3!

Pada suku-suku deret MacLaurin tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret MacLaurin dipotong sampai suku orde tertentu.

Cotoh 4 :

Tentukan deret MacLaurin untuk 𝑓(𝑥) hingga suku orde 3 dari 𝑓(𝑥) = tan 𝑥

Penyelesaian : Tahap 1 :

Metode Numerik

Page 8

𝑓(𝑥) = tan 𝑥 𝑓′(𝑥)₌ 1 𝑐𝑜𝑠2_𝑥 𝑓′′(𝑥) =2 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2_𝑥 𝑓′′′(𝑥)₌ 2 𝑐𝑜𝑠4_𝑥+ 2𝑠𝑖𝑛2_𝑥 𝑐𝑜𝑠4_𝑥 Tahap 2 :

Subtitusikan tan (𝑥) beserta turunannya ke persamaan dibawah ini: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥₀) 1! 𝑓′(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)2 2! 𝑓′′(𝑥0) + … + (𝑥 − 𝑥0)𝑚 𝑚! 𝑓𝑚(𝑥0) + … Maka akan menghasilkan :

𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥₀) + (𝑥 − 𝑥0) 1! 1 𝑐𝑜𝑠2_𝑥(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)2 2! 2 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2_𝑥+ … + (𝑥 − 𝑥0)𝑚 𝑚! 2 𝑐𝑜𝑠4_𝑥+ 2𝑠𝑖𝑛2_𝑥 𝑐𝑜𝑠4_𝑥 + … Tahap 3 :

Karena pada deret MacLaurin 𝑥0 = 0, maka subtitusi 𝑥0 menjadi 0: 𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 0 + (𝑥 − 0) 1! 1 + (𝑥 − 0)2 2! 0 + … + (𝑥 − 0)3 3! 2 Tahap 4 :

Operasikan deret di bawah ini : 𝑆𝑖𝑛 (𝑥) =𝑥 1!+ 2𝑥 3! Hasil akhir : sin 𝑥 = 𝑥 +2𝑥3 6 sin 𝑥 = 𝑥 +𝑥3 3 Deret MacLaurin yang Penting.

1. _1;𝑥1 = 1 + 𝑥 + 𝑥2_{+ 𝑥}3_{+ 𝑥}4_{+ …} 2. ln(1 + 𝑥) = 𝑥 − 𝑥₂2+𝑥₃3+ 𝑥₄4+𝑥₅5+ …

Metode Numerik

Page 9

3. 𝑡𝑎𝑛;1_{𝑥 = 𝑥 −}𝑥3 3+ 𝑥5 5− 𝑥7 7+ 𝑥9 9− … 4. 𝑒𝑥_{= 1 + 𝑥 +} 𝑥2 2!+ 𝑥3 3!+ 𝑥4 4!+ … 5. sin 𝑥 = 𝑥 − 𝑥3 3!+ 𝑥5 5! – 𝑥7 7!+ 𝑥9 9!− … 6. cos 𝑥 = 1 − 𝑥_2!2+𝑥_4!4 −𝑥_6!6+ 𝑥_8!8− … 7. sinh 𝑥 = 𝑥 +𝑥₃3+ 𝑥₅5+𝑥₇7+𝑥₉9+ … 8. cosh 𝑥 = 1 + 𝑥_2!2+𝑥_4!4 +𝑥_6!6+ 𝑥_8!8+ … 9. (1 + 𝑥)2_{= 1 + (}𝑝 1)𝑥 + (𝑝2)𝑥2+ (3𝑝)𝑥3+ (𝑝4) 𝑥4+ … 2.2 Aalisis Galat

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑡𝑖 ( 𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ) = 𝐻𝑎𝑚𝑝𝑖𝑟𝑎𝑛 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖) + 𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 Misalkan a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejatinya a ,  maka selisih   a a  _ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0) 1! 𝑓′(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)2 2! 𝑓′′(𝑥0) + … + (𝑥 − 𝑥0)𝑚 𝑚! 𝑓𝑚(𝑥0) + …

Deret Taylor dan Deret MacLaurent mempunyai rumus deret yang sama yaitu :

Hanya saja berbeda pada nilai 𝑥0, yaitu :  Jika pada Deret Taylor 𝑥0 adalah 1.  Jika pada Deret MacLaurent 𝑥0 adalah 1.

Metode Numerik

Page 10



disebut Galat. Jika tanda Galat ( positif atau negatif ) tidak dipertimbangkan , maka Galat mutlak

2.3

  a a 

Galat Relatif didefinisikan sebagai

a R

  

Atau dalam persentase

%

100

x

a

R







2.4

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Dengan demikian, pengukuran panjang kawat mempunyai galat relatif sejati = 1/100 = 0.01, sedangkan pengukuran panjang pensil mempunyai galat relatif sejati = 1/10 = 0.1.

  a RA





Proses ini dilakukan secara berulang , atau secara iterasi dengan maksud secara beruntun menghitung aproksimasi yang lebih dan lebih baik. Jadi, persen galat relatif :

% 100 sekarang i aproksimas sebelumnya i aproksimas -sekarang i aproksimas _  a 

Komputasi diulang sampai



_a





_s

Pada perhitungan numerik yang menggunakan pendekatan lelaran (iteration), eRA dihitung dengan cara

𝜀𝑅𝐴= 𝑎𝑟:1− 𝑎𝑟

𝑎𝑟:1

Metode Numerik

Page 11

dan ar adalah nilai

hampiran lelaran sebelumnya. Proses lelaran dihentikan bila | 𝜀𝑅𝐴 | < 𝜀𝑆

yang dalam hal ini 𝜀𝑆 adalah toleransi galat yang dispesifikasikan. Nilai 𝜀𝑆 menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai 𝜀𝑆, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya.

Contoh :

1. Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relative, dan galat relatif hampiran. Penyelesaian : Galat = 10/3 – 3.333 = 10/3 – 3333/1000 = 1/3000 = 0.000333… Galat mutlak = | 10.000333…| = 0.000333… Galat Relatif = (1/3000)(10/3) = 1/1000 = 0.0001 Galat Relatif Hampiran = (1/3000) / 3.333 = 1/9999

2. Misalkan ada prosedur leleran sebagai berikut 𝑥𝑟:1=

−𝑥_𝑟3_{+ 3}

6 , 𝑟 = 0, 1, 2, 3, …

Leleran dihentikan bila kondisi | 𝜀𝑅𝐴 | < 𝜀𝑆 dalam hal ini 𝜀𝑆 adalah toleransi galat yang diinginkan. Misalkan dengan memberikan 𝑥₀= 0.5, dan 𝜀_𝑆= 0.00001 kita memperoleh runtutan. 𝑥0 = 0.5 𝑥1= 0.4791667 ; | 𝜀𝑅𝐴=( 𝑥1_𝑥; 𝑥0 ) 1 | = 0.043478 > 𝜀𝑆 𝑥2= 0.4791667 ; | 𝜀𝑅𝐴=( 𝑥2_𝑥; 𝑥₂1 ) | = 0.0051843 > 𝜀𝑆 𝑥3= 0.4813757 ; | 𝜀𝑅𝐴=( 𝑥3; 𝑥₃ 2 ) | = 0.0005984 > 𝜀𝑆

Metode Numerik

Page 12

𝑥4= 0.4814091 ; | 𝜀𝑅𝐴=( 𝑥4_𝑥; 𝑥₄3 ) | = 0.0000693 > 𝜀𝑆 𝑥5= 0.4791667 ; | 𝜀𝑅𝐴=( 𝑥5_𝑥; 𝑥4 )

5 | = 0.0000081 > 𝜀𝑆,

Berhenti !

Pada leleran ke-5, | 𝜀𝑅𝐴 | < 𝜀𝑆 sudah terpenuhi sehingga leleran dapat dihentikan.

3. Hasil pengukuran jari-jari suatu bola adalah: r = (4,50  0,45) m

Keterangan : 𝜀 = 0,45 𝑑𝑎𝑛 𝑎 = 4,50 Hitung galat maksimum dari:

a. Luas permukaan bola b. Volume bola Penyelesaian :

a. Luas permukaan bola ( 𝑆 = 4p 𝑟2 ₎

Galat relatif luas permukaan bola: 𝜀𝑟 (𝑆) = 2 𝜀𝑟 = 2 𝜀

𝑎 = 2 0,45

4,50 = 0,2

Galat mutlak luas permukaan bola: 𝜀𝑠= 𝑆 𝜀𝑟(𝑆) = 4𝜋𝑟2. 2𝜀𝑟 = 4 (3,14)(4,50)2 (0,2) = 50,868 𝑆 = (254,340 ± 50,868) 𝑚2 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎 ∶ 𝑉 = 4 3 p 𝑟3

Galat relatif volume bola: 𝜀𝑟 (𝑉) = 3 ε r = 3 0,45

4,50 = 0,3 Galat mutlak volume bola:

Metode Numerik

Page 13

𝜀𝑉 = 𝑉. 𝜀𝑟(𝑉) = 4 3p 𝑟3 𝜀𝑟(𝑉) = 4 3 (3,14)(4,50)3 (0,3) = 114,453 𝑉 = (381,51 ± 114,453) 𝑚3

2.3 Sumber Utama Galat Numerik

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik

 Galat Pemotongan ( truncation error )  Galat pembulatan ( round-off error )

Selain kedua galat ini, terdapat sumber galat lain :

1. Galat eksperimental , galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya.

2. Galat pemrograman, Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan bug. Dan proses penghilangan galat dinamakan debugging.

2.3.1 Galat Pemotongan

Galat pemotongan adalah keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat. Akibat pembulatan angka terjadi pada komputer yang disediakan beberapa angka tertentu.

Misal :

5 angka, penjumlahan 9.2654 + 7.1625 hasilnya 16.4279. ini berarti terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi 16.428

Metode Numerik

Page 14

Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak atau matematika yang lebih komplek diganti lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang digunakan penghampiran sehingga kadang-kadang disebut juga galat metode. Misalnya, tuurunan pertama fungsi 𝑓 di 𝑥1 dihampiri dengan formula

𝑓′_(𝑥

1) =𝑓(𝑥1:𝑖_𝑕);𝑓(𝑥𝑖)

h adalah lebar absis (𝑥1:𝑖) dengan 𝑥𝑖 .

galat yang ditimbulkan dari penghampiran turunan tersebut merupakan galat pemotongan.

Contoh :

Hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret taylor di sekitar x = 0 :

cos 𝑥 ≈ 1 −𝑥_2!2+𝑥_4!4−𝑥_6!6 +𝑥_8!8−𝑥_10!10+ ⋯ Nilai hampiran galat pemotongan

Deret taylor fungsi cos(x) deret tersebut kita potong sampai suku orde tertentu, misalngya sampai suku orde n = 6. Kita lihat bahwa menghampiri cos (x) dengan deret taylor sampai suku berderajat enam tidak memberikan hasil yang tepat. Namun kita dapat menghampiri galat pemotongan ini dengan rumus suku sisa :

𝑅𝑛(𝑥) =(𝑥;𝑥0)

(𝑛:1)

(𝑛:1)! 𝑓(𝑛:1)(𝑐) , 𝑥0< 𝑐 < 𝑥

Pada contoh cos (x) di atas, 𝑅6(𝑥) =𝑥

7

7!cos (𝑐) , 0 < 𝑐 < 𝑥

Metode Numerik

Page 15

Nilai 𝑅_𝑛 yang tepat hampir tidak pernah dapat kita peroleh, karena kita tidak mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang tertentu. |𝑅𝑛(𝑥)| < 𝑚𝑎𝑥(𝑥0<𝑐<𝑥)|𝑓(𝑛:1)(𝑐)|.

(𝑥;𝑥0)𝑛:1

𝑛:1!

Galat pemotongan pada deret taylor dapat dikurangi dengan meningkatkan orde suku-sukunya, namun jumlah komputasinya menjadi lebih banyak.

Contoh soal :

1. Gunakan deret taylor orde 4 disekitar 𝑥0 = 1 untuk menghampiri 𝑙𝑛(0,9) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat.

Penyelesaian : Tahap 1 :

Menentukan turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) terlebih dahulu. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 1 𝑥 𝑓"(𝑥) = 1 𝑥2 𝑓"′(𝑥) = 2 𝑥3 𝑓(4)_{(𝑥) =} −6 𝑥2 𝑓(5)_{(𝑥) =} 24 𝑥5 𝑓(1) = 0 𝑓′(1) = 1 𝑓"(1) = −1 𝑓"′(1) = 2 𝑓(4)_{(1) = −6} 𝑓(5)_{(𝑐) =} 24 𝑐5

Metode Numerik

Page 16

ln(𝑥) = (𝑥 − 1) −(𝑥 − 1)2 2 + (𝑥 − 1)3 3 − (𝑥 − 1)4 4 𝑅4(𝑥) Dan ln(0,9) = (0,9 − 1) −(0,9 − 1) 2 2 + (0,9 − 1)3 3 − (0,9 − 1)4 4 𝑅4 𝑅4(𝑥) ln(0,9) = (−0,1) −(−0,1)2 2 + (−0,1)3 3 − (−0,1)4 4 𝑅4(𝑥) ln(0,9) = −0.1053583 + 𝑅4(𝑥) Juga |𝑅5(0.9)| < 𝑚𝑎𝑥0.9<𝑐<1| 24 𝑐5| 𝑥 (−0.1)5 5!

Dan nilai Max |24/𝑐5_{| di dalam selang 0.9 < c < 1} adalah pada c = 0.9 (dengan medasari pada fakta bahwa suatu pecahan nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih kecil), sehingga

|𝑅4(0.9)| < 𝑚𝑎𝑥0.9<𝑐<1| 24 𝑐5| 𝑥

(−0.1)5

5! = 0.0000034 Jadi ln (0.9) = 0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0.0000034.

2. Deret Taylor yang digunakan untuk menghitung integral fungsi yang sulit diintegralkan secara analitik (bahkan, adakalanya tidak mungkin dihitung secara analatik). Hitunglah hampiran nilai ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥₀1 secara numeric, yaitu fungsi 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 dihampiri dengan deret MacLaurin orde 9.

Penyelesaian :

Deret Maclaurin orde 9 fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 adalah sin 𝑥 = 𝑥 − 𝑥3 3!+ 𝑥5 5! – 𝑥7 7!+ 𝑥9 9!− …

Metode Numerik

Page 17

Dengan demikian maka ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥₀1 = ∫ ₀1 .x − 𝑥3 3!+ 𝑥5 5! – 𝑥7 7!+ 𝑥9 9!/ dx = .1 − 13 3!+ 15 5! – 17 7!+ 19 9!/ = 1 − 1 6+ 1 120 – 1 5040+ 1 362880= 0.8414710097 2.3.2 Galat Pembulatan

Galat pembulatan adalah galat yang ditimbulkan oleh keterbatasan computer dalam menyajikan bilangan real. Hampir semua proses penghitungan dalam metode numeric menggunakan bilangan real. Penyajian bilangan real yang panjang nyata terhingga tidak bias disajikan secara tepat. Misalnya 1/6 akan menghasilkan nilai real 0.66666666 … Digit 6 pada bilangan tersebut panjangnya tidakterbatas. Sehingga untuk melanjutkan proses penghitungan bilangan tersebut dibulatkan menjadi 0.6667, tergantung berapa digit angka yang dibutuhkan. Dalam hal ini selisih antara 0.666666 … dan 0.6667 disebut galat pembulatan.

Angka Bena

Angka bena (significant figure) adalah angka bermakna,angka penting, atau angka yang dapat digunakan pasti .

Metode Numerik

Page 18

43.123 0.1764 0.0000012 278.300 270.0090 0.0090

Memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1, 2, 3) Memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4) Memiliki 2 angka bena (yaitu 1, 2)

Memiliki 6 angka bena (yaitu 2, 7, 8, 3, 0, 0) Memiliki 7 angka bena (yaitu 2, 7, 0, 0, 0, 9, 0) Memiliki 2 angka bena (yaitu 9, 0)

Perhatikan bahwa angka 0 bisa menjadi angka bena ata bukan. Pada contoh 0,001360, tigabuah angka nol pertama tidak berarti, sedangkan angka 0 yang terakhir angkab berarti karen pengukuran dilakukan sampai ketelitian ke 4 digit. Jumlah angka bena akan terlihat dengan pasti bila bilangan riil itu ditulis dlam penulisan ilmiah (scientific natation).

4.3123 × 101 1.764 × 10;1 1.2 × 10;6 2.78300 × 102 0.2700090 × 103 9.0 × 10;3 13.60 × 102_{, 0.1360 × 10}1_{, 1.360} × 10;3 6.02 × 1023 1.5 × 107

Memiliki 5 angka bena Memiliki 4 angka bena Memiliki 2 angka bena Memiliki 6 angka bena Memiliki 7 angka bena Memiliki 2 angka bena Memiliki 4 angka bena Memiliki 24 angka bena(bilangan avogadro) Memiliki 8 angka bena (jarak bumi-matahari)

Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena computer akan disimpan dalam sejumlah angka bena

Metode Numerik

Page 19

computer itu. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan.

Contoh :

1. Hitunglah dengan lima angka bena nilai 𝑓(13.400) bila : 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1000(√𝑥 + 0.1 − √−𝑥) Penyelesaian : 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1000(√𝑥 + 0.1 − √−𝑥) 𝑓(13.400) = 13.400 − 1000(√13.400 + 0.1 − √−13.400) 𝑓(13.400) = 13.400 − 13.633 𝑓(13.400) = −233 1000 𝑓(13.400) = −0.233

2. Hitunglah hampiran nilai cos(0.2), sudut dinyatakan dalam radian, dengan deret

Maclaurin sampai suku orde n = 6. Penyelesaian:

Dari hasil pada Contoh 2.2,

cos(0.2) 1 - 0.22/2 + 0.24/24 - 0.26/720 = 0.9800667

(sampai 7 angka di belakang koma)

2.3.3 Galat Total

Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Misalnya kita enggunakan deret maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos (0,2) sebagai berikut:

Metode Numerik

Page 20

cos(0.2)≈ 1 −0,22

2 + 0,24/24 ≈ 0,9800667

galat pemotongan galat pembulatan

galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) sampai suku orde empat, sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran kedalam 7 digit bena.

Contoh :

1. Tentukam polinom MacLaurin orde 3 untuk 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥), kemudian gunakan polinom tersebut untuk menghampiri nilai 𝑓(0.2) gunakan galat total dalam menentukan

hasilnya dengan 4 angka bena.

Penyelesaian : sin(𝑥) = 𝑥 − 𝑥3 3!+ 𝑥5 5! – 𝑥7 7! sin(0.2) = 0.2 − 0.23 3! + 0.25 5! – 0.27 7! = 0.1986693308 𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∶ 0.1987

2. Carilah deret MacLaurin 𝑒𝑥_{. Gunakanpolinom tersebut} untuk menghampiri nilai 𝑓(0.1), yang setiap hasil perhitungan antara maupun hasil perhitungan akhir menggunakan galat total.

Penyelesaian : 𝑒𝑥_{= 1 + 𝑥 +} 𝑥2 2!+ 𝑥3 3! 𝑒(0.1)_{= 1 + 0.1 +} 0.12 2! + 0.13 3! = 1.105166667 𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∶ 1.105167

Metode Numerik

Page 21

2.4 Orde Peghampiran

Di dalam metode numerik, fungsi 𝑓(𝑥) sering diganti dgn fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkap-kan tingkat ketelitian penghampiran itu adalah dengan menggunakan notasi O-Besar (Big-Oh).

Misal :

𝑓(𝑕) dihampiri dgn fungsi 𝑝(𝑕).

Jika |𝑓(𝑕) − 𝑝(𝑕)| ≤ 𝑀|𝑕𝑛|, yg dalam hal ini M adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa 𝑝(𝑕) menghampiri 𝑓(𝑕) dengan orde penghampiran 𝑂(𝑕𝑛_{) dan ditulis dgn :}

𝑓(𝑕) = 𝑝(𝑕) + 𝑂(𝑕𝑛₎

𝑂(𝑕𝑛_{) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari penghampiran} fungsi. Karena 𝑕 umumnya cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti penghampiran fungsinya.

Metode yg berorde 𝑂(𝑕2_{) misalnya, lebih teliti drpd metode yg} berorde 𝑂(𝑕). Juga pada metode yg berorde 𝑂(𝑕2_{), jika ukuran h} dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula.

Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan :

𝑥𝑖 + 1 = 𝑥𝑖 + 𝑕, 𝑖 = 0,1,2, … . .

Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran 𝑓(𝑥𝑖+ 1) dengan deret Taylor di sekitar 𝑥_𝑖 adalah :

Dalam hal ini :

) ( ) ( ! ) ( .... ) ( ! 2 ) ( ) ( ! 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 '' 2 1 ' 1 1              i  n i n n i i i i i i i i i i f x R x n x x x f x x x f x x x f x f ) ( ) ( ! .... ) ( ! 2 ) ( ! 1 ) ( ) ( 1 ) ( ' ' 2 ' 1        i  n i n n i i i i f x R x n h x f h x f h x f x f

Metode Numerik

Page 22

Jadi, kita dapat menuliskan :

Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digit-digit yang signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang memenuhi: |𝜀𝑟| = |a − â | â < 10;𝑑 2

Pada deret Taylor:] 𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 1₂! 𝑓′′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0 )2+ 1₃! 𝑓′′′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)3+ … + _𝑛1! 𝑓𝑛(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)𝑛 + 𝑅𝑛(𝑥)

Bila (𝑥 − 𝑥0) = 𝑕 atau 𝑥 = 𝑥0 + 𝑕, maka:

Dapat dituliskan menjadi:

𝑝(𝑕) adalah fungsi hampiran untuk 𝑓(𝑕) dengan galat 𝑂(𝑕𝑛 + 1).

1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ( ) ( ); )! 1 ( ) (       _  i   i n n n i n f t O h x t x n h x R



     n k n i k k i f x O h k h x f 0 1 1 ( ) ( ) ! ) ( ) ( ) ( ! 1 ... ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 2 0 ' ' 0 ' 0 0 h R h x f n h x f h x f x f h x f n n n _      

)

(

)

(

)!

1

(

1

)

(

1 1

_

1

_

1





n n n n n

f

h

Mh

O

h

n

h

R



) ( ) ( ) (_{h  p h O h}n1 f

Metode Numerik

Page 23

𝑂(𝑕𝑛 + 1) disebut sebagai Big-Oh (O-besar).

Pada umumnya 0 < 𝑕 < 1, jadi semakin besar n semakin dekat 𝑝(𝑕) menghampiri 𝑓(𝑕) Contoh: 1. 𝐶𝑜𝑠 𝑕 = 1 – 1 2! 𝑕2 ± 𝑂(𝑕4) = 1 – 1 2! 𝑕2 ± 1 4! 𝑕4 ± 𝑂(𝑕6) = 1 – 1 2! 𝑕2 + 1 4! 𝑕4 – 1 6! 𝑕6 ± 𝑂(𝑕8) = 1 – 1 2! 𝑕2 + 1 4! 𝑕4 – 1 6! 𝑕6 + 1 4! 𝑕8 ± 𝑂(𝑕10)

Orde Penghampiran didapat dati Deret Penting Maclaurin :

𝑓(𝑥) = ln(𝑥) = 𝑥 − 𝑥2 2+ 𝑥3 3− 𝑥4 4+ 𝑥5 5+ 𝑂(𝑕 6₎ 𝑓(𝑥) = cos(𝑕) = 1 −𝑕2 2!+ 𝑕4 4!− 𝑕6 6!+ 𝑂(𝑕 8₎ 𝑒𝑕 _{= 1 + 𝑕 +} 𝑕2 2! + 𝑕3 3! + 𝑕4 4! + 𝑂(𝑕5) 𝑙𝑛(𝑥 + 1) = 𝑥 – 𝑥2 2 + 𝑥3 3 – 𝑥4 4 + 𝑥5 5 + 𝑂(𝑕6) 𝑠𝑖𝑛(𝑕) = 𝑕 – 𝑕 3 3! + 𝑕5 5! + 𝑂(𝑕7) (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑂(𝑕6), 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑜𝑟𝑑𝑒 6 = 0) 𝑐𝑜𝑠(𝑕) = 1 – 𝑕2 2! + 𝑕4 4!– 𝑕6 6! + 𝑂(𝑕8_{) (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑂(𝑕}7_{), 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑜𝑟𝑑𝑒 7 = 0)} ) ( ! 4 ! 3 ! 2 1 ) ( 5 4 3 2 h O h h h h e x f _ x _{     } ) ( ! 5 ! 3 ) sin( ) ( 7 5 3 h O h h h h x f     

Metode Numerik

Page 24

Contoh :

2. a = 3,141592; â = 3,142

â mendekati a teliti sampai tiga desimal

2.5 Bilangan Titik Kambang

Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-kambang. Bilangan titik -kambang a ditulis sebagai :

𝒂 = ±𝒎 ⨯ 𝑩𝒑 = ±𝟎. 𝒅𝟏𝒅𝟐𝒅𝟑𝒅𝟒𝒅𝟓𝒅𝟔 . . . 𝒅𝒏 ⨯ 𝑩𝒑 dengan,

m = mantisa (riil), d1d2d3d4d5d6 ...dn adalah digit atau bit mantisa yang nilainya dari 0

sampai B – 1, n adalah panjang digit (bit) mantisa.

B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dan sebagainya)

P = pangkat (berupa bilangan bulat), nilainya dari –Pmin sampai +Pmaks

Contoh :

Bilangan riil 245.7654 dinyatakan sebagai 0.2457654⨯103 dalam format bilangan titik kambang dengan basis 10. Cara penyajian seperti itu serupa dengan cara penulisan ilmiah.

Penulisan ilmiah termasuk ke dalam sistem bilangan titik-kambang. Sistem bilangan yang kita gunakan setiap hari menggunakan basis sepuluh (disebut juga sistem desimal), B =

2 10 0001299 , 0 142 , 3 142 , 3 141592 , 3 3     r e

Metode Numerik

Page 25

10. Umumnya komputer menggunakan sistem biner (B = 2), tapi beberapa komputer menggunakan basis 8 dan 16.

Contoh soal :

1. bilangan rill 38.980 dinyatakan 0.3898 × 102_{dalam format} bilangan titik kambang dengan basis 10.

2. bilangan rill 6588 dinyatakan0.6588 × 104 _{dalam format} bilangan titik kambang dengan basis 10.

3. bilangan riil 3794.33 dinyatakan 0.379433 × 104_{dalam format} bilangan titik kambang dengan basis 10.

2.5.1 Bilangan titik kambag Ternormalisasi

Bilangan titik kambang dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.

a = ± (mb) ⨯ B p – 1

Misalnya, 245.7654 dapat ditulis sebagai 0.2457654 ⨯ 103 atau 2.457654 ⨯ 102 atau 0.02457654 ⨯ 104 , dan sebagainya

Bilangan titik-kambang yang dinormalisasi ditulis sebagai 𝒂 = ± 𝒎 ⨯ 𝑩𝒑_{= ± 𝟎. 𝒅}

𝟏𝒅𝟐𝒅𝟑𝒅𝟒𝒅𝟓𝒅𝟔 . . . 𝒅𝒏⨯ 𝑩𝒑

dengan, d1d2d3d4d5d6 ...dnadalah digit (atau bit) mantisa

dengan syarat

1 ≤d1≤b - 1 dan 0 ≤dk ≤B-1 untuk k > 1. Pada sistem desimal, 1 ≤d1≤ 9 dan 0 ≤dk ≤ 9, sedangkan pada sistem biner, d1 = 1 dan 0 ≤dk ≤ 1

Contoh,

0.0563⨯10-3 _{dinormalisasi menjadi 0.563⨯10}-4 ,

Metode Numerik

Page 26

0.00023270⨯106 _{dinormalisasi menjadi 0.23270 ⨯10}3 .

Pada sistem desimal (B = 10), m akan berkisar dari 0.1 sampai 1, dan pada sistem biner (B = 10), antara 0.5 dan 1. Sebagai catatan, nol adalah kasus khusus. Nol disajikan dengan bagian mantisa seluruhnya nol dan pangkatnya nol. Nol semacam ini tidak dinormalisasi.

Contoh :

Tulislah bilangan e dalam format bilangan titik-kambang ternormalisasi dengan basis 10, basis 2, dan basis 16. Penyelesaian:

Dalam basis 10 (menggunakan 8 angka bena), e ≈ 2.7182818 = 0.27182818 ⨯ 101

(bilangan titik-kambang desimal ternormalisasi)

Dalam basis 2 (menggunakan 30 bit bena), e ≈ 0.1010110111111000010101000101102⨯22 (bilangan titik-kambang biner ternormalisasi)

Dalam basis 16 (gunakan fakta bahwa 16 = 24, sehingga 22 = ¼ ⨯ 161

e ≈ 0.1010110111111000010101000101102⨯ 22 = ¼ ⨯ 0.1010110111111000010101000101102⨯ 161 = 0.001010110111111000010101000101102⨯ 161 = 0.2B7E151616 x 161

(bilangan titik-kambang heksadesimal ternormalisasi)

2.5.2 Epsilon mesin

Ukuran yang digunakan untuk membedakan suatu bilangan riil dengan bilangan riil berikutnya adalah epsilon mesin.

Metode Numerik

Page 27

Epsilon mesin distandardisasi dengan menemukan bilangan titik-kambang terkecil yang bila ditambahkan dengan 1 memberikan hasil yang lebih besar dari 1. Dengan kata lain, jika epsilon mesin dilambangkan dengan 𝜀maka

1 + 𝜀> 1

Contoh :

tinjau kasus bilangan titik-kambang biner 6-bit word (1 bit tanda, 3 bit untuk pangkat bertanda, dan 2 bit mantisa) dengan B = 2, dan nilai pangkat dari –2 sampai 3 Karena semua bilangan dinormalisasi, maka bit pertama harus 1, sehingga semua bilangan yang mungkin adalah berbentuk:

±0.102⨯2p atau ±0.112⨯2p, -2 ≤p ≤3

Daftar bilangan riil positif yang dapat direpresentasikan adalah 0.102⨯2-2 = (1 ⨯2-1 + 0 ⨯2-2) ⨯2-2 = 1/8 = 0.12510 0.102⨯2-1 = (1 ⨯2-1 + 0 ⨯2-2) ⨯2-1 = 1/4 = 0.2510 0.102⨯20 = (1 ⨯2-1 + 0 ⨯2-2) ⨯20 = 1/2 = 0.510 0.102⨯21 = (1 ⨯2-1 + 0 ⨯2-2) ⨯21 = 1 = 1.010 0.102⨯22 = (1 ⨯2-1 + 0 ⨯2-2) ⨯22 = 2 = 2.010 0.102⨯23 = (1 ⨯2-1 + 0 ⨯2-2) ⨯23 = 4 = 4.010 0.112⨯2-2 = (1 ⨯2-1 + 1 ⨯2-2) ⨯2-2 = 3/16 = 0.187510 0.112⨯2-1 = (1 ⨯2-1 + 1 ⨯2-2) ⨯2-1 = 3/8 = 0.37510 0.112⨯20 = (1 ⨯2-1 + 1 ⨯2-2) ⨯20 = 3/4 = 0.7510 0.112⨯21 = (1 ⨯2-1 + 1 ⨯2-2) ⨯21 = 3/2 = 1.510 0.112⨯22 = (1 ⨯2-1 + 1 ⨯2-2) ⨯22 = 3 = 3.010 0.112⨯23 = (1 ⨯2-1 + 1 ⨯2-2) ⨯23 = 6 = 6.010

Metode Numerik

Page 28

Bila kita susun dari nilai positif terkecil ke nilai terbesar, maka seluruh bilangannya digambarkan dalam diagram garis bilangan sebagai berikut:

Rentang nilai-nilai positifnya diperlihatkan pada gambar berikut.

Epsilon mesin pada sistem bilangan riil yang ditunjukkan pada gambar adalah

𝜀= 1.000000119 - 1.0 = 0.119 ⨯10-6

Gap (∆x) atau jarak antara sebuah bilangan titik-kambang dengan bilangan titik-kambang berikutnya, yang besarnya adalah

Metode Numerik

Page 29

yang dalam hal ini R adalah bilangan titik-kambang sekarang. Contohnya, gap antara bilangan positif terkecil pertama 0.29 ⨯10-38

dengan bilangan titik-kambang terkecil kedua pada gambar adalah

∆x = (0.119 ⨯10-6

) ⨯(0.29 ⨯10-38

) = 0.345 ⨯10-45

dan dengan demikian bilangan titik-kambang terkecil kedua sesudah 0.29 ⨯10-38

adalah 0.29 ⨯10-38

+ 0.345 ⨯10-45

Dapat dilihat bahwa gap akan bertambah besar dengan semakin besarnya bilangan titik-kambang.

Keadaan underflow terjadi bila suatu bilangan titik-kambang tidak dapat dinyatakan di antara 0 dan bilangan positif terkecil (atau antara 0 dan bilangan negatif terbesar). Keadaan overflow terjadi bila suatu bilangan titik-kambang lebih besar dari bilangan positif terbesar (atau lebih kecil dari bilangan negatif terkecil).

Jika kita mengetahui jumlah bit mantisa dari suatu bilangan titik-kambang, kita dapat menghitung epsilon mesinnya dengan rumus

𝜀= B1₋n

yang dalam hal ini B adalah basis bilangan dan n adalah banyaknya digit (atau bit) bena di dalam mantisa. Pada contoh pertama di atas (B = 2 dan n = 2),

𝜀=21₋2 =0.5

Metode Numerik

Page 30

dengan prosedur yang sederhana. Gagasannya ialah dengan membagi dua secara terus menerus nilai 1 dan memeriksa apakah 1 ditambah hasil bagi itu lebih besar dari 1.

Epsilon dapat digunakan sebagai kriteria berhenti kekonvergenan pada pada prosedur lelaran yang konvergen. Nilai lelaran sekarang dibandingkan dengan nilai lelaran sebelumnya. Jika selisih keduanya sudah kecil dari epsilon mesin, lelaran dihentikan, tetapi jika tidak, lelaran diteruskan.

2.5.3 Pembulatan Pada Bilagan Titik Kambang

 Bil. Riil dalam computer memiliki rentang terbatas  Floating-point yang tidak cocok salah satu dari

nilai-nilai dalam rentang nilai-nilai yang tersedia akan dibulatkan kesalahsatu nilai dalam rentang

 Error yang muncul akibat penghampiran di atas disebut galat pembulatan

 Teknik pembulatan yang umumnyadipakaikomputer, yaitu: - Pemenggalan (Chooping)

- Pembulatanke digit terdekat (In-rounding)

a.

Pemenggalan (chopping)

– Misaldiketahui:a =  0.d1d2d3…dndn+1…⨯10P flchop(a) =  0.d1d2d3…dndn+1…⨯10P • Contoh pemenggalannya:

p = 0.31459265358…⨯101

Metode Numerik

Page 31

Error = 0.00000065…⨯101

b.

Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding) – Misaldiketahui: a =  0.d1d2d3…dndn+1…⨯10P

dn ,jika dn+1< 5 dn+1 ,jika dn+1 > 5

dn ,jika dn+1 = 5 dan n genap dn+1 ,jika dn+1 = 5 dan n ganjil

Contoh 1:

p = 0.31459265358…⨯101

Dalam komputer 6 digit, pembulatan menjadi flround(p) = 0.314593⨯101

dengan error = 0.00000034642…⨯101

Pembulatan ke digit terdekat menghasilkan error yang lebih kecil dari pada pemenggalan

• Pembulatanke digit terdekat (In-rounding) Contoh 2: a = 0.568278571528⨯10-4 P n round a dd d d X fl ( ) 0. ... 10 ^ 3 2 1  



n

d

^

Metode Numerik

Page 32

1. Dalam komputer 7 digit, pembulatan menjadi flround(a) = 0.5682786⨯10-4

2. Dalam komputer 8 digit, pembulatan menjadi flround(a) = 0.56827857⨯10-4

Contoh lainnya, nilai 𝑎 = 0.5682785715287⨯10-4 :

- di dalam komputer 7 digit dibulatkan menjadi flround(𝑎) = 0.5682786 ⨯10-4

- di dalam komputer 8 digit dibulatkan menjadi flround(𝑎) = 0.56827857 x 10-4

- di dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi flround(𝑎) = 0.568278 x10-4

- di dalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi flround(𝑎) = 0.568278572 x 10-4

2.5.4 Aritmatika Bilangan Titik Kambang a. Operasi Penambahan dan Pengurangan

 Permasalahan 1

Penjumlahan dan Penguranga bilangan yang sangat kecil ke atau dari bilangan yang lebih besar menyebabkan error

Contoh :

Misalkam digunakan komputer dengan mantis 4 digit (basis 10). Hitunglah

Metode Numerik

Page 33

1.557 + 0.04381 = 0.1557 × 101_{+ 0.4381 × 10};1 Penyelesaian :

Perhatikan bahwa dua digit terakhir dari bilangan yang digeser ke kanan pada dasarnya telah hilang dari perhitungan.

Galat mutlak pembulatan = |(0.160081 × 101_{) − (0.1601 ×} 101_{)| = 0.000019}

Galat mutlak Pemenggalan = |(0.160081 × 101_{) − (0.1601 ×} 101_{)| = 0.000081}

 Permasalahan 2 :

Pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama besar, menyebabkan kehilangan angka bena dan pemenggalan maupun pembulatan menghasilkan jawaban yang sama. Contoh:

0.56780⨯105 _{– 0.56430⨯10}5

(5 angka bena) Penyelesaian :

Kurangi 0.56780 × 105 _{denga 0.56430 × 10}5 _{(5 angka} bena)

Hasil yang diperolrh hanya mempunyai 3 angka bena. Jadi kita kehilangan 2 buah angka bena. Meskipun kita dapat menuliskan hasilnya sebagai 0.35000 × 105_{, namun dua nol yang terakhir}

Metode Numerik

Page 34

bukan angka bena tetapi sengaja ditambahkan untuk mengisi kekosongan digit yang hilang.

Cotoh soal :

1) Kurangi 3.1415926536 dengan 3.1415957341 (11 angka Bena)

2) Kurangi 0.7642 × 103 _{dengan 0.764110}3 _{(4 angka bena)} 3) Hitung akar-akar polinom 𝑥2_{− 40𝑥 + 2 = 0 sampai 4 angka}

bena.

4) Diberikan 𝑓(𝑥) =ℯ𝑥;1;𝑥

𝑥2 . Hitung 𝑓(0.01) sampai 6 angka

bena. Penyelesaian :

1)

2)

Metode Numerik

Page 35

4)

b. Operasi Perkalian da Pembagian Kriteria:

1. Tidak memerlukan penyamaan pangkat seperti halnya pada penjumlahan

2. Perkalian dapat dilakukan dengan mengalikan kedua mantis dan menjumlahkan pangkatnya.

3. Pembagian dikerjakan dengan membagi mantis dan mengurangi pengkatnya.

Contoh.

1. Hitung perkalian 0.4652 ⨯104 _{dengan 0.1456 ⨯ 10}-1 (4 angka bena).

Metode Numerik

Page 36

Penyelesaian: a. Kalikan mantis 0.4652 ⨯ 0.1456 = 0.06773312 b. Jumlahkan pangkat 4 + (−1) = 3

c. Gabungkan mantis dengan pangkat 0.06773312 ⨯ 103 d. Normalisasi: 0.6773312 ⨯ 102 in-rounding → 0.6773 ⨯102 chopping → 0.6773 ⨯102 2. Hitung (0.8675 ⨯ 10−4 )/0.2543 ⨯ 10−2 (4 angka bena). Penyelesaian: a. Bagi mantis 0.8657 : 0.2543 = 3.4113252 b. Kurangi pangkat (−4) – (−2) = −2

c. Gabungkan mantis dengan pangkat 3.4113252 ⨯ 10−2

d. Normalisasi: 0.34113252 ⨯ 10−2 in-rounding →0.3411 ⨯ 10−2 chopping →0.3411 ⨯ 10−2

2.6 Perambatan Galat

Galat yang dikandung dalam bilangan titik-kambang merambat pada hasil komputasi. Misalkan terdapat dua bilangan 𝑎dan 𝑏 (nilai sejati) dan nilai hampirannya masing-masing 𝑎̂dan 𝑏̂, yang

Metode Numerik

Page 37

mengandung galat masing-masing 𝜺𝒂dan 𝜺𝒃. Dapat ditulis 𝑎 = 𝑎̂ + 𝜀𝑎 dan 𝑏 = 𝑏̂ + 𝜀𝑏.

Galat merambat pada hasil penjumlahan 𝑎 dan 𝑏

𝒂 + 𝒃 = (𝒂̂ + 𝜺_𝒂 ) + (𝒃̂ + 𝜺𝒃) = (𝒂̂ + 𝒃̂ ) + (𝜺𝒂+ 𝜺𝒃)

Jadi, galat hasil penjumlahan sama dengan jumlah galat masing-masing operand.

Galat merambat pada hasil perkalian 𝑎 dan 𝑏 𝒂𝒃 = (𝒂̂ + 𝜺_𝒂)(𝒃̂ + 𝜺𝒃) = 𝒂̂𝒃̂ + 𝒂̂𝜺𝒃+ 𝒃̂𝜺𝒂+ 𝜺𝒂𝜺𝒃

𝒂𝒃 − 𝒂̂𝒃̂ = 𝒂̂𝜺𝒃+ 𝒃̂𝜺𝒂+ 𝜺𝒂𝜺𝒃

Jika, a dan b 0, maka galat relatifnya adalah (𝒂𝒃 − 𝒂̂𝒃̂) 𝒂𝒃 = (𝒂̂𝜺𝒃+ 𝒃̂𝜺𝒂+ 𝜺𝒂𝜺𝒃) 𝒂𝒃 = (𝒂̂𝜺𝒃) 𝒂𝒃 + (𝒃̂𝜺𝒂) 𝒂𝒃 + 𝜺𝒂𝜺𝒃 𝒂𝒃 Jika, 𝑎 dan 𝒂̂hampir sama besar, yaitu 𝑎 𝒂̂ begitu juga b dan𝒃̂, dan 𝜺𝒂 dan 𝜺𝒃 sangat kecil, maka 𝒂̂_𝑎

b ̂ 𝑏 dan ( 𝜺𝒂 𝑎)( 𝜺𝒃 𝑏) , maka 𝐚𝐛 − 𝒂̂𝒃̂ 𝐚𝐛 = 𝜺𝒃 𝐛 + 𝜺𝒂 𝐚= 𝜺𝑹𝒃+ 𝜺𝑹𝒂

Jadi, galat relatif hasil perkalian sama dengan jumlah galat relatif masing-masing operand.

2.7 Kondisi Buruk

Suatu persoalan dikatakan berkondisiburuk (illconditioned) bila jawabannya sangat peka terhadap perubahan kecil data (misalnyaperubahankecilakibatpembulatan). Bila kita mengubah sedikit data, maka jawabannya berubah sangat besar (drastis). Lawan dari berkondisi buruk adalah berkondisi baik (wellconditioned). Suatu persoalan dikatakan berkondisi baik

Metode Numerik

Page 38

bila perubahan kecil datahanya mengakibatkan perubahan kecil pada jawabannya.

Sebagai contoh, tinjau persoalan menghitung akar persamaan kuadratax2_{+ bx + c = 0. Caranya hanya mengubah nilai-nilai} tetapan c-nya saja:

(i) 𝑥2_{− 4𝑥 + 3.999 = 0 akar-akarnya 𝑥}

1=2.031 dan 𝑥2=1.968 Sekarang, ubah 3.99 menjadi 4.00:

(ii) 𝑥2_{− 4𝑥 + 4.000 = 0 akar-akarnya 𝑥}

1=𝑥2=2.000 Ubah 4.00 menjadi 4.001:

(iii) 𝑥2_{− 4𝑥 + 4.001 = 0 akar-akarnya imajiner}

Jadi, persoalan akar-akar persamaan kuadrat diatas berkondisi buruk, karena dengan pengubahan sedikit saja data masukannya (dalam hal ini nilai koefisien c ), ternyata nilai akar-akarnya berubah sangat besar.

2.8 Bilangan Kondisi

Kondisi komputasi numerik dapat diukur dengan bilangan kondisi. Bilangan kondisi merupakanukuran tingkat sejauh mana ketidakpastian dalam diperbesar x oleh f(x). Bilangan kondisi dapat dihitung dengan bantuan Deret taylor. Fungsi f(x) diuraikan di sekitar 𝑥̂sampai suku orde pertama:

𝒇(𝒙) ≈ 𝒇(𝑥̂) + 𝒇′(𝑥̂)(𝒙 − 𝑥̂) Galat relatif hampiran dari 𝑥 adalah

𝜺𝑹𝑨,𝒇(𝒙)- = (𝒇(𝒙) − 𝒇(𝑥̂ ))/(𝒇(𝑥̂)) ≈ (𝒇′(𝑥̂)(𝒙 − 𝑥̂))/(𝒇(𝑥̂)) Dan galat relatif hampiran dari adalah

𝜺𝑹𝑨,𝒙- = 𝒙 − 𝑥̂

𝑥̂

Metode Numerik

Page 39

galat relatif hampiran dari f(x) dan galat relatif hampiran dari x:

Bilangan kondisi = |𝜺𝑹𝑨

,𝒇(𝒙)-𝜺𝑹𝑨,𝒙-| = |

𝑥̂𝒇′_(𝑥̂)

𝒇(𝑥̂)| Arti dari bilangan kondisi adalah:

- Bilangan kondisi = 1 berarti galat relatif hampiran fungsi sama dengan galat relatif x

- Bilangan kondisi lebih besar dari 1 berarti galat relatif hampiran fungsi besar

- Bilangan kondisi lebih kecil dari 1 berarti galat relatif hampiran fungsi kecil (kondisi baik)

Suatu komputasi dikatakan berkondisi buruk jika bilangan kondisinya sangat besar, sebaliknya berkondisi baik bila bilangan kondisinya sangat kecil.

Contoh soal :

1. Misalkanf(x) = √𝑥. Tentukan bilangan kondisi perhitungan akar kuadrat x. Penyelesaian: Hitungf '(x) terlebihdahulu 𝐟′_{(𝐱) =} 𝟏 𝟐√𝐱 Yangakandigunakanuntukmenghitung Bilangankondisi= | 𝑥 ̂ 2√𝑥̂ √𝑥̂| = 1 2 Bilangankondisiinisangatkecil, yang

berartipenarikanakarkuadratx merupakan prosesyang berkondisibaik. Sebagaicontoh, √20.999 = 4.5824665, danjika 20.999 diubahsedikit (dibulatkan)menjadi 21.000 maka√21.000 = 4.5825756. Ternyata perubahankecilpadanilaix

Metode Numerik

Page 40

hanyaberakibatperubahansedikitpadaf(x). 2. Hitungbilangankondisi𝒇(𝒙) =_𝟏;𝒙𝟏𝟎𝟐. Penyelesaian: Hitungf '(x) terlebihdahulu 𝑓′_{(𝑥) =} 20𝑥 (1 − 𝑥2_)² Yangdigunakanuntukmenghitung bilangankondisi= | 𝑥̂* 𝟐𝟎𝑥̂ (𝟏;𝑥̂2)𝟐+ 𝟏𝟎 (𝟏;𝑥̂2) | = |_𝟏;𝑥̂𝟐𝑥̂22|

Bilangan kondisi ini sangat besar untuk |𝑥| ≈ 11. Jadi, menghitung f(x) untuk x mendekati 1 atau -1 sangat buruk keadaannya, karena galat relatifnya besar. Sebagai contoh, f(1.009) = -55.306675, tetapi f(1.01) = -497.51243. Ternyata perubahan kecil pada nilai x di sekitar 1 (karena dibulatkan dari 4 angka bena menjadi 3 angka bena), mengakibatkan nilai f(x) berubah sangat besar. Untuk x yang jauh dari 1 atau –1, f(x) berkondisi baik.

3. Hitung bilangan kondisi untuk f(x) = tan(x). Penyelesaian:

Hitung f '(x) terlebih dahulu 𝑓′_{(𝑥) =} 1

𝑐𝑜𝑠2_𝑥 Yang digunakan untuk menghitung Bilangan kondisi= |𝑥̂|

𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝑥̂)|

tan (𝑥̂) |

Bilangan kondisi ini sangat besar untuk x ≈𝜋

2. Misalkan untuk x = 𝜋

2 + 0.1( 𝜋 2),

Metode Numerik

Page 41

Bilangan kondisi = 1.7279(40.86)/-6.314 = -11.2 Dan untuk x = 𝜋₂ + 0.01(𝜋₂),

Metode Numerik

Page 42

BAB III SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR

Dalam matematika terapan kita sering mencari penyelesaian persamaan untuk 𝑓(𝑥) = 0, yakni bilangan- bilangan 𝑥 = 1 sedemikian hingga 𝑓(𝑥) = 0 sehingga 𝑓(𝑟) = 0; 𝑓 adalah fungsi tak linear dan 𝑟 yang memenuhi disebut akar persamaan atau titik 0 fungsi tersebut.

3.1 Rumusan Masalah

Persoalan mencari solusi persamaan yang lazim disebut akar persamaan atau nilai-nilai nol yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 0 . Yaitu nilai 𝑥 = 𝑠 sedemikian sehingga 𝑓(𝑠) sama dengan nol.

Beberapa persamaan sederhana mudah ditemukan akarnya, misalnya 5𝑥 − 10 = 0pemecahannyaadalah dengan memindahka -10 ke ruas kanan sehingga menjadi 5𝑥 = 10, sehingga solusi atau akarnya adalah 𝑥 = 2 . Begitu juga dengan persamaan kuadratik seperti 𝑥2_{− 4𝑥 − 5 = 0, akar-akarnya mudah ditemukan dengan cara} pemfaktoran menjadi (𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = 0 sehingga 𝑥1= 5 dan 𝑥2= −1 Umumnya persamaan yang akan dipecahkan muncul dalam bentuk nirlanjar (non linear) yang melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma dan fungsi transenden lainnya. Misalnya :

Tentukan akar riil terkecil dari :

9.34 − 21.97𝑥 + 16.3𝑥3_{− 3.704𝑥}5_{= 0}

Contoh di atas memperlihatkan bentuk persamaan yang rumit atau kompleks yang tidak dapat dipecahkan secara analitik. Bila metode analitik tidak dapat menyelesaikan persamaan, maka kita masih bisa mencari solusinya dengan menggunakan metode numerik.

Metode Numerik

Page 43

3.2 Metode Pencarian Akar

Dalam metode numerik, pencarian akar 𝑓(𝑥) = 0 dilakukan secara lelaran (iteratif). Secara umum, metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar :

a) Metode tertutup atau metode pengurung (bracketing method) Metode ini mencari akar dalam selang ,𝑎, 𝑏-Selang ,𝑎, 𝑏-sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan lelarannya selalu konvergen menuju ke akar, karena itu metode tertutup sering disebut sebagai metode konvergen. b) Metode terbuka

Metode terbuka tidak memerlukan selang,𝑎, 𝑏-yang mengandung akar, yang diperlukan adalah tebakan (guest) awal akar. Kemudian dengan prosedur lelaran, kita menggunakannya untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Karena itu metode terbuka tidak selalu menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadangkala ia divergen.

3.3 Metode Tertutup

Seperti yang telah dijelaskan, metode tertutup memerlukan selang[a,b] untuk mencari akar yang berada pada selang tersebut. Dalam selang tersebut dapat dipastikan minimal terdapat satu buah akar. Sebagaimana namanya, selang tersebut “mengurung” akar sejati. Strategi yang dipakai adalah mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga lebar selang tersebut semakin sempit dan karenanya menuju akar yang benar.

Metode Numerik

Page 44

Dalam sebuah selang mungkin terdapat lebih dari satu buah akar atau tidak ada akar sama sekali. Secara grafik dapat ditunjukkan bahwa jika :

(1)𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0 maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil.

Gambar 1. Banyaknya akar ganjil

(2)𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) > 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau tidak ada akar sama sekali

Gambar 2. Banyaknya akar genap

Syarat Cukup Keberadaan Akar

Jika nilai fungsi berbeda tanda tanda di ujung-ujung selang, pastilah terdapat sedikit satu buah akar di dalam selang tersebut. Syarat cukup keberadaan akar persamaan ditulis sebagai berikut:

Metode Numerik

Page 45

Jika 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0 dan 𝑓(𝑥)menerus didalam selang ,𝑎, 𝑏-, maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan 𝑓(𝑥) = 0 di dalam selang,𝑎, 𝑏-.

Gambar 3. Lokasi akar

Syarat tersebut disebut sebagai syarat cukup (bukan syarat perlu) sebab meskipun nilai nilai ujung selang tidak berbeda tanda, mungkin saja terdapat akar di dalam selangtersebut.

Ada dua masalah yang terjadi karenaketidaktepatan mengambil selang ,𝑎, 𝑏- yaitu :

1. Bila di dalam selang,𝑎, 𝑏- terdapat lebih dari satu buah akar. Perlu diingat bahwa sekali suatu metode tertutup digunakan untuk mencari akar di dalam selang,𝑎, 𝑏-. Karena itu bila mengambil selang ,𝑎, 𝑏-. Yang mengandung lebih dari satu akar, maka hanya satu buah akar saja yang berhasil ditemukan

2. Bila mengambil selang,𝑎, 𝑏- yang tidak memenuhi syarat cukup 𝑓(𝑎)(𝑏) < 0. sehingga mungkin sampai pada kesimpulan

Metode Numerik

Page 46

tidak terdapat akar di dalam selang,𝑎, 𝑏-tersebut, padahal seharusnya ada.

Untuk mengatasi kedua masalah di atas, pengguna metode tertutup disarankan untuk mengambil selang yang berukuran cukup kecil yang memuat hanya satu akar. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan dalam memilih selang tersebut, yaitu :

1. Pendekatan pertama yaitu membuat grafik fungsi di bidang 𝑋 − 𝑌, lalu melihat dimana perpotongannya dengan sumbu 𝑋. Dari sini kita dapat mengira-ngira selang yang memuat titik potong tersebut. Grafik fungsi dapat dibuat dengan program yang ditulis sendiri, atau lebih praktis menggunakan paket program yang dapat membuat grafik fungsi.

2. Pendekatan kedua adalah dengan mencetak nilai fungsi pada titik-titik absis yang berjarak tetap. Jarak titik ini dapat diatur cukup kecil. Jika tanda fungsi berubah pada sebuah selang, pasti terdapat minimal satu akar didalamnya. Keberhasilan dari pendekatan ini bergantung pada jarak antara titik-titik absis. Semakin kecil jarak titik absis, semakin besar peluang menemukan selang yang mengandung hanya sebuah akar.

Ada dua metode klasik yang termasuk ke dalam metode tertutup, yaitu metode bagi dua dan metode regula-falsi.

3.3.1. Metode Bagidua2

Metode bagi dua ini dilakukan untuk pencarian akar suatu persamaan dengan cara selalu membagi

Metode Numerik

Page 47

dua selang sehingga diperoleh nilai fungsi untuk titik tengahselang.Metode ini mengasumsikan bahwa fungsi f(x) adalah kontinu pada interval[𝑎1,𝑏1], serta 𝑓 (𝑎1) dan 𝑓 (𝑏1) mempunyai tanda berlawanan, artinya 𝑓 (𝑎1). 𝑓(𝑏) < 0, karena itu terdapat minimal satu akar pada interval [𝑎1,𝑏1]. Interval dalam metode ini selalu dibagi dua sama lebar, jika fungsi berubah tanda sepanjang suatu subinterval, maka letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval. Proses ini diulangi sampai ukuran interval yag baru sudah sangat kecil dan hal ini tentu saja sesuai dengan toleransi kesalahan yang diberikan.

Misalkan kita telah menentukan selang [a,b] sehingga 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0. Pada setiap kali lelaran, selang [a,b] kita bagi dua di 𝑥 = 𝑐 , sehingga terdapat dua buah subselang yang berukuran sama yaitu selang ,𝑎, 𝑐-dan ,𝑐, 𝑏-. Selang yang diambil untuk lelaran berikutnya adalah subselang yang memuat akar, bergantung pada apakah 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0.

Metode Numerik

Page 48

Langkah pencarian akar dengan metode bagi dua :

Langkah 1 : Pilih selang inteval pencarian awal 𝑥1< 𝑥 < 𝑥𝑢 , dimana𝑥1adalah batas bawahdan 𝑥𝑢adalah batas atas. Kemudian lakukan pengujian apakah akar terdapat dalaminterval , yaitu 𝑓(𝑥𝑢) . 𝑓(𝑥1)< 0.

Langkah 2 : Taksir nilai akar (𝑥𝑟) dalam selang dengan cara membagi dua selang𝑥𝑟=𝑥1:𝑥₂𝑢

Langkah 3 : Lakukan pengujian terhadap nilai fungsi untuk mengetahui inteval

pencarian berikutnya , yaitu dengan cara :

 Jika (𝑥1) . 𝑓(𝑥𝑟)< 0 , berarti akar terletak pada interval di bawah 𝑥𝑟, sehingga

Metode Numerik

Page 49

interval pencarian selanjutnya 𝑥1= 𝑥1< 𝑥 < 𝑥𝑢= 𝑥_𝑟laluulangi langkah ke – 2.

 Jika (𝑥1) . 𝑓(𝑥𝑟)>0 , berarti akar terletak pada interval di atas 𝑥𝑟 , sehingga interval pencarian selanjutnya 𝑥1= 𝑥𝑟< 𝑥 < 𝑥𝑢= 𝑥𝑢laluulangi langkah ke – 2.

 Jika (𝑥1) . 𝑓(𝑥𝑟)=0 , berarti akar sama dengan 𝑥𝑟 maka hentikan perhitungan.

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran selang yang baru sudah sangat kecil. Kondisi berhenti lelaran dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut :

1. Lebar selang baru|𝑎 − 𝑏| < 𝜖 , yang dalam hal ini 𝜖adalah nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar

2. Nilai fungsi di hampiran akar 𝑓(𝑐) = 0. Beberapa bahasa pemrograman membolehkan pembandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingan 𝑓(𝑐) = 0dibenarkan. Namun jika kembali ke konsep awal bahwa dua buah bilangan riil tidak dapat dibandingkan kesamaannya karena representasi di dalam mesin tidak tepat, maka kita dapat menggunakan bilangan yang sangat kecil (misalnya epsilon mesin) sebagai pengganti nilai 0. Dengan demikian, menguji kesamaan 𝑓(𝑐) = 0 dapat kita hampiridengan𝑓(𝑐) < 𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛𝑚𝑒𝑠𝑖𝑛.

Metode Numerik

Page 50

3. Galat relative hampiran akar :|(𝐶𝑏𝑎𝑟𝑢− 𝐶𝑙𝑎𝑚𝑎/ 𝐶_{𝑏𝑎𝑟𝑢}| < 𝛿, yang dalam hal ini galat relative hampiran yang diinginkan.

Dengan jumlah iterasi dapat diprediksi menggunakan :

Contoh Soal :

Carilah salah satu akar persamaan berikut:

𝑥𝑒_{-x+1 = 0}

disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (εa) =0.001 dengan menggunakan range x=[−1,0]

Penyelesaian :

Dengan memisalkan bahwa : - (xl) = batas bawah = a - (xu) = batas atas = b - (xr) = nilai tengah = x

Metode Numerik

Page 51

Pada iterasi ke 10 diperoleh x = 0.56738 dan f(x) = -0.00066

Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan :

Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin bear jumlah iterasi yang dibutuhkan.

Contoh :

1. Carilah nilai akar dari persamaan 𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 𝑥 −} 1 = 0

Penyelesaian :

Pilih 𝑎 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 2. Karena 𝑓(1)𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑑𝑎𝑛 𝑓(2)𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓, maka salah satu akar terletak di antara 1 dan 2 . Oleh karena itu 𝑥0=3₂= 1,5. Kemudian karena 𝑓 .3₂/ = .3₂/

3 −3

2− 1 =7

Metode Numerik

Page 52

dan 1,5.

Kondisi ini memberikan 𝑥1=1:1,5₂ = 1,25. Karena 𝑓(𝑥1) = 𝑓(1,25) = −19

64 (negatif), nilai akar yang dicari terletak diantara 1,25 dan 1,5. Sehingga diperoleh

𝑥₂=1,25 + 1,5

2 = 1,375.

Bila prosedur diatas diulang kembali hingga 𝑥5diperoleh nilai-nilai aproksimasi berikut :

𝑥3= 1,3125, 𝑥4= 1,34375 , 𝑥5= 1,328125

2. Carilah lokasi akar pada fungsin 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 4𝑥 − 5} menggunakan metode bagi dua sampai 2 iterasi pada selang [2,9]

Penyelesaian :

𝑓(2) = 22_{− 4(2) − 5 = −9}

𝑓(9) = 92_{− 4(9) − 5 = 40}

𝑓(2). 𝑓(9) = (−9). (40) = −360 < 0 jadi memang terdapat akar pada selang [2,9]

Iterasi 1

Metode Numerik

Page 53

Panjang selang [2:9] adalah 9-2=7

Panjang setengah selang [2:9] adalah 7:2 = 3,5

Titik tengah selang [2:9] adalah 𝑐1= 2 + 3,5 = 5,5 𝑐₁disebut solusi hampiran lokasi akar untuk iterasi 1.

Galat/error= [akar sejati – akar hampiran] = [5 – 5,5] = 0,5

Karena ingin lanjut ke iterasi 2 maka bagi 2 selang [2:9] dengan titik tengah 𝑐1= 5,5 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢,2: 5,5-𝑑𝑎𝑛,5,5: 9-

Cek selang mana yang ada akarnya :

𝑓(2) = 22_{− 4(2) − 5 = −9}

𝑓(5,5) = (5,5)2_{− 4(5,5) − 5 = 3,25}

𝑓(9) = 92_{− 4(9) − 5 = 40}

𝑓(2). 𝑓(5,5) = (−9) . (3,25) = −29,25 < 0 jadi terdapat akar pada selang [2:5,5]

𝑓(5,5). 𝑓(9) = (3,25) . (40) = 130 > 0 jadi tidak terdapat akar pada selang [5,5:9]

Iterasi 2

Metode Numerik

Page 54

Panjang selang [2:5,5] adalah 5,5 – 2 = 3,5

Panjang setengah selang [2:5,5] adalah 3,5 : 2 = 1,75

Titik tengah selang [2:5,5] adalah 𝑐2= 2 + 1,75 = 3,75 𝑐₂ disebut solusi hampiran lokasi akar untuk iterasi 2.

Galat/error= [akar sejati – akar hampiran] = [5 – 3,75] = 1,25

3. Selesaikan persamaan 𝑥2_{− 3 = 0 dalam interval [1,2]} menggunakan metode bagi dua sampai 5 iterasi.

Penyelesaian : Iterasi 1 : 𝑎1= 1 𝑓(𝑎1) = −2 𝑏1= 2 𝑥1= 𝑎1+ 𝑏1 2 = 1 + 2 2 = 1,5 𝑓(𝑥1) = −0,75 Iterasi 2: Diamati (𝑎1) . 𝑓(𝑥1)> 0, maka 𝑎2= 𝑥1= 1,5 𝑓(𝑎2) = −0,75 𝑏₂= 𝑏₁= 2

Metode Numerik

Page 55

𝑥2= 𝑎2+ 𝑏2 2 = 1,5 + 2 2 = 1,75 𝑓(𝑥2) = 0,0625 Iterasi 3: Diamati (𝑎2) . 𝑓(𝑥2)< 0, maka 𝑎3= 𝑎2= 1,5 𝑓(𝑎3) = −0,75 𝑏3= 𝑥2= 1,75 𝑥3= 𝑎3+ 𝑏3 2 = 1,5 + 1,75 2 = 1,625 𝑓(𝑥3) = −0,3594 Iterasi 4: Diamati (𝑎3) . 𝑓(𝑥3)> 0, maka 𝑎4= 𝑥3= 1,625 𝑓(𝑎4) = −0,3594 𝑏₄= 𝑏₃= 1,75 𝑥₄=𝑎4+ 𝑏4 2 = 1,625 + 1,75 2 = 1,6875 𝑓(𝑥3) = −0,1523 Iterasi 5: Diamati (𝑎₄) . 𝑓(𝑥₄)<0, maka 𝑎5= 𝑥4= 1,6875 𝑓(𝑎5) = −0,1523

Metode Numerik

Page 56

𝑏5= 𝑏4= 1,75 𝑥5= 𝑎5+ 𝑏5 2 = 1,6875 + 1,75 2 = 1,7187 𝑓(𝑥3) = −0,0459

Jadi, pada iterasi ke 5 diperoleh akar hampiran x=1,7187

3.3.2 Metode Regula-Falsi

Metode regula falsi atau metode posisi palsu merupakan salah satu solusi pencarian akar dalam penyelesaian persamaan-persamaan non linier melaui proses iterasi (pengulangan). Persamaan non linier ini biasanya berupa persamaan polynomial tingkat tinggi, eksponensial, logaritmik, dan kombinasi dari persamaan-persamaan tersebut. Seperti metode biseksi, Metode regula falsi juga termasuk dalam metode tertutup.

Pada umumnya pencarian akar dengan metode biseksi selalu dapat menemukan akar, namun kecepatan untuk mencapai akar hampiran sangat lambat, oleh karena itu untuk mempercepat pencarian akar tersebut dibutuhkan metode lain yaitu metode regula falsi. kehadiran metode regula falsi adalah sebagai modifikasi dari metode biseksi, yang kinerjanya lebih cepat dalam mencapai akar hampiran.

Metode Regula Falsi merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier , dengan prinsip utama sebagai berikut :

Metode Numerik

Page 57

dua koordinat nilai awal terhadap kurva) untuk mendekati akar persamaan nonlinier (titik potong kurva f(x) dengan sumbu x) .

2. Taksiran nilai akar selanjutnya merupakan titik potong garis scan dengan sumbu x.

Berdasarkan gambar di atas, didapat rumus metode regula falsi :

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 =

𝑓(𝑏) − 0 𝑏 − 𝑐 Dapat disederhanakan menjadi 𝑐 =𝑓(𝑏)𝑎;𝑓(𝑎)𝑏_{𝑓(𝑏);𝑓(𝑎)} Algoritma Metode Regula Falsi

1. Tentukan nilai awal a dan b 2. Cek konvergensi nilai 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏)

a. Jika tanda 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏), nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya

b. Jika tanda 𝑓(𝑎) = (𝑏) , pilih nilai awal yang baru.

3. Lakukan iterasi dan tentukan nilai c (hitung akar), dengan rumus :

𝑓(𝑏)𝑎 − 𝑓(𝑎)𝑏 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

4. Cek konvergensi nilai c yaitu jika nilai 𝑓(𝑐) =0 maka hentikan proses iterasi.

Metode Numerik

Page 58

baru dengan cara :

a. Jika tanda f(c) = tanda f(a) maka c = a b. Jika tanda f(c) = tanda f(b) maka c = b

Contoh Soal:

1. Dengan menggunakan metode regula falsi, tentukanlah salah satu akar dari persamaan (𝑥) = 𝑥2_{− 5𝑥 + 4 . Jika diketahui} nilai awal x=2 dan x=5 dan serta ketelitian hingga 3 desimal.

Penyelesaian : Cek nilai awal

n 𝑎 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑓(𝑏) 𝑤 𝑐 𝑓(𝑐) 0 2 -2 5 4 0,333 3 -2 Nilai awal : 𝑎 = 2 → 𝑓(2) = (2)2_{− 5(2) + 4 = −2} 𝑏 = 5 → 𝑓(5) = (5)2_{− 5(5) + 4 = 4} 𝑤 = (−2) (−2) − (4)= 0,333 𝑐 = 2 + 0,333(5 − 2) = 3 → 𝑓(3) = (3)2_{− 5(3) + 4 = −2} Langkah selanjutnya menukar nilai a atau b dengan c jika 𝑓(𝑎) atau 𝑓(𝑏) sama tanda nilainya dengan 𝑓(𝑐) seperti pada metode biseksi

n 𝑎 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑓(𝑏) 𝑤 𝑐 𝑓(𝑐)

0 2 -2 5 4 0,333 3 -2

1 3 -2 5 4 0,333 3,667 -0,889

2 3,667 -0,889 5 4 0,182 3,909 -0,264 3 3,909 -0,264 5 4 0,062 3,977 -0,069

Metode Numerik

Page 59

𝑤 =_{(−0,264) − (4)}(−0,264) = 0,062 𝑐 = 3,909 + 0,062(5 − 3,909) = 3,977 → 𝑓(3,977) = (3,977)2_{− 5(3,977) + 4 = −0,069} Dan seterusnya …. n 𝑎 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑓(𝑏) 𝑤 𝑐 𝑓(𝑐) 0 2 -2 5 4 0,333 3 -2 1 3 -2 5 4 0,333 3,667 -0,889 𝑤=_{(−2) − (4)}(−2) = 0,333 𝑤= 3 + 0,333(5 − 3) = 3,667 → 𝑤(3,667) = (3,667)2_{− 5(3,667) + 4 = −0,889}

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7, karena 𝑐6 𝑑𝑎𝑛 𝑐7konstan (𝑐6 𝑑𝑎𝑛 𝑐7= 4,0000) sehingga diperoleh akar dari persamaan non linearnya adalah 4,0000

3.4 Metode Terbuka

Tidak seperti pada metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang yang mengurung akar. Yang diperlukan hanya sebuah tebakan awal akar atau duabuah tebakan yang tidak perlu mengurungakar. Inilah alasannya mengapa metode ini