ARAH KONJUGAT. dibuat guna memenuhi tugas UAS Mata Kuliah Metode Numerik Dosen: Rukmono Budi Utomo M.Sc. 4 juni Dadang Supriadi A2

ARAH KONJUGAT

dibuat guna memenuhi tugas UAS Mata Kuliah Metode Numerik Dosen: Rukmono Budi Utomo M.Sc.

4 juni 2016

Dadang Supriadi 1384202098

6A2

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG FAKULTAS KEGURUAN ILMU DAN PENDIDIKAN

PENDIDIKAN MATEMATIKA

1

pengertian Arah Konjugasi

Metode numerik Arah Konjugasi merupakan salah satu metode numerik yang dapat di-gunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilai X = {x1, x2} ∈

R2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X). Metode Arah Konjugasi da-pat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi yang memiliki fungsi tujuan dengan banyak variabel (vektor).

2

Algoritma Metode Numerik Arah Konjugasi

Berikut ini langkah-langkah Algoritma Metode Numerik Arah Konjugasi :

1. Diberikan fungsi Z = F (x1, x2) dan akan ditentukan nilai X = {x1, x2} yang

meminimumkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x1, x2) tersebut.

2. Ambil sembarang titik awal X1 = {x1, x2} ∈ R2

3. Bentuk Matriks Hessian seperti berikut ini: H = ∂Z ∂x12 ∂Z ∂x1∂x2 ∂Z ∂x2∂x1 ∂Z ∂x22 !

4. Tetapkan arah pencarian

d1= " −1 2 # , d2= " a b #

5. Lalu didapat nilai d2dengan cara: d2 = d1tHd2dan sama dengankan nol, sehingga

diperoleh nilai dk+1 dengan cara: dk+1 = dktHdk+1

6. Tentukan λk= min Z



Xk+ λkdk



dan Xk+1 = Xk+ λkdk

7. Iterasi berhenti ketika norm

Xk+1− Xk

< ε dengan ε > 0 yang merupakan

suatu konstanta positif untuk menunjukkan kesalahan yang ditoleransi

3

Contoh Penerapan Arah Konjugasi

Tentukan nilai X = {x1, x2} yang meminimalkan Z (x1, x2) = 3x12+ 3x22−6x1−6x2x1

dengan menggunakan metode Arah Konjugasi dengan toleransi kesalahan ε = 0, 01 • Ambil sembarang titik awal X₁ = {−1, 2} ∈ R2

• Dibentuk Matriks Hessian H = ∂Z ∂x12 ∂Z ∂x1∂x2 ∂Z ∂x2∂x1 ∂Z ∂x22 ! H = 6 −6 −6 6 !

• Tetapkan arah pencarian d1 dan d2 dengan

d1 = " 1 0 # , d2 = " a b # d2 = d1tHd2 0 = [1 0] " 6 −6 −6 6 # " a b # 0 = 6a + 6b ⇔ a = b • Ambil a=2, b=1, dengan demikian diperoleh

d2 =

"

1 1

#

• Nilai λ1 dapat ditentukan sebagai berikut:

λ1= min Z(X1+ λ1d1)

= Z((−1, 2) + λ1(1, 0))

= Z (−1 + λ1, 2)

Substitusikan x1 dan x2 ke fungsi Z, lalu didapat nilai:

Z (−1 + λ1, 2) = λ12− 8λ1+ 11

• Derivatifkan Z (−1 + λ₁, 2) dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh λ1 = 4.

Lalu substitusikan nilai λ1 = 4 ke:

X2= X1+ λ1d1= (3, 2)

• Karena

X2− X1

= 4 > 0, 01 = ε maka iterasi dilanjutkan

• Dengan langkah yang sama, diperoleh λ2 = 0 dan X3 = (3, 2). Berdasarkan hal

tersebut

X3− X2

= 0 > 0, 01 = ε maka iterasi berhenti

• Dengan demikian iterasi STOP . Jadi X yang meminimumkan fungsi Z dalam soal ini adalah X3 = (0)

CATATAN

Perlu diperhatikan bahwa

X3− X2

= 0, hal ini mengindikasikan bahwa

kesala-han perhitungan numerik error ε = 0 yang menandakan bahwa solusi numeriknya juga merupakan solusi analitiknya.

4

Contoh Penyelesaian Dengan Analitik

Tentukan nilai X = {x1, x2} yang meminimalkan Z (x1, x2) = 3x12+ 3x22−6x1−6x2x1

dengan menggunakan metode Analitik dengan toleransi kesalahan ε = 0, 01 Solusi ∂Z ∂x1 = 6x1− 6 − 6x2 ∂Z ∂x2 = 6x2− 6x1 Karena ∂Z_x

1 = 0 dan juga karena

∂Z

x2 = 0, maka diperoleh x1= 1 dan x2 = 1.

Selanjutnya ∂2Z ∂x12 = 6 ∂2Z ∂x22 = 6 Karena _∂x∂2Z 12 = 6 > 0 dan ∂2_Z ∂x12( ∂2_Z ∂x12) − ( ∂Z ∂x1∂x2)

2_{= 0 = 0 maka terbukti bahwa titik 3,2}

merupakan titik yang meminimumkan fungsi Z = x1, x2 dalam soal ini.

Metode Stepest Descent

Siti Eliyawati June 10, 2016

1

Pengertian

Metode Numerik Stepest Descent merupakan salah satu metode numerik yang dapat di-gunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi,yakni menentukan nilai X = {x1,x2} ∈

R2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X)

• Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga dapat menggunakan metode aksial, Hooke and Jeeve atau Roosenberg

• Tentu saja setiap metode numerik memiliki algoritma yang berbeda dengan cepatan tingkat efektivitas pencarian O (Big Oh)yang berbeda serta tingkat ke-salahan yang berbeda pula.

2

Algoritma Stepest Descent

Algoritma Stepest Descent dapat dijelaskan sebagai berikut:

• Diberikan fungsi Z = F (x1, x2)dan akan ditentukan nilai X = {x1, x2} yang

mem-inimalkan atau memaksimalkan nilai Z = F (x1, x2) tersebut

• Tentukan sebarang titik awal X1 = {x1, x2} dan konstanta ∈> 0

• Bentuk ∇Z(x₁, x2) =  ∂Z x1, ∂Z x2 t

dan tentukan ∇Z(X1) dan lakukan untuk ∇Z(Xk)

• jika norm k∇Z (xk)

kuarang dari ∈, maka iterasi stop jika tidak lanjutkan

• tentukan dk= −∇Z(xk), λk = minZ(xk+ λkdk) dan xk+1= xk+ λkdk

3

Contoh Penggunaan Stepest Descent

Tentukan nilai X = {x1, x2} yang meminimlkan Z = (x1, x2) = −12x1−4x2+3x12+2x22

dengan menggunakan metode Stepest Descent Solusi

Iterasi 1

• Berdasarkan soal diatas, dapat ditentukan ∇Z(x₁, x2) =

−12 + 6x₁ −4 + 4x₂

!

• Ambil sebarang titik awal X₁ = {1, 1} ∈ R2_{, berdasarkan hal demikian}

∇Z(1, 1) = −6 0

!

• karena k∇Z (1, 1)k = 6 > 0, 01 =∈, maka berdasarkan hal tersebut iterasi dilan-jutkan

• Selanjutnya dapat ditentukan

d1= −∇Z(1, 1) = −6 0 ! dan λ1 = min Z(X1+ λ1d1‘) = Z(1, 1) + (6λ1, 0) = Z(1 + 6λ1, 1) dengan Z(1 + 6λ1, 1) = −12(1 + 6λ1) − 4(1) + 3(1 + 6λ1)2+ 2(1)2 = −12 − 72λ1− 4 + 3 + 36λ1+ 108λ12+ 2 = 108λ12− 36λ1− 11

• Untuk memperoleh nilai λ1, derivatifkan Z(1 + 6λ1, 1) dan sama dengankan nol,

sehingga diperoleh Z0 = (1 + 6λ1) = 216λ1− 36 ↔ 216λ1 − 36 = 0 ↔ λ1 = 1₆

Iterasi II

• selanjutnya X₂ dapat dicari dengan

X2 = X1+ λ1d1 = (1, 1) + 1₆(6.0) = (1, 1) + (1, 0) = (2, 1) dengan ∇Z(2, 1) = 0 0 dan k∇Z (2, 1)k = 0 < 0, 01 =∈ 2

• Berdasarkan hal tersebut karena k∇Z (2, 1)k = 0 < 0, 01 =∈, maka iterasi berhenti sehingga solusi numerik nilai {X1, X2} yang meminimalkan Z{X1, X2} dalam soal

ini adalah X2= 2, 1

catatan Perlu di ingat bahwa, karena k∇Z (2, 1)k = 0 hal ini mengindikasikan masalah kesalahan perhitungan numerik error ∈= 0 yang mengindikasikan bahwa solusi numerik juga merupakan solusi analitiknya.

METODE NUMERIK HOOKE AND JEEVES

Disusun untuk memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester Metodi Numerik June 8, 2016

Disusun Oleh : Febri Eka Putra S.

1384202095

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG Jln. Perintis Kemerdekaan I/33 Cikokol – Kota Tangerang

Tahun Ajaran 2015-2016

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang

Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitung. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya masing-masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencangkup sejumlah kalkulasi aritmatika.

Menurut Chapra dan Chanale, metode numerik adalah teknik dimana masalah matem-atika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoprasian ar-itmatika.

Menurut Rochmad, metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali, dan bagi.

Menurut Drs. Heri Sutarno, metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika yang sangat handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapat diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistem per-samaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapat diselesaikan dengan metode numerik.

Alasan memakai Metode Numerik ini karena tidak semua permasalahan matema-tis atau perhitungan matemamatema-tis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prin-sip matematik, suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak.

Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan den-gan metode matematis (analitik) maka kita dapat menggunkan metode numerik sebagai alternativ penyelesaian persoalan tersebut.

B. Rumusan Masalah

• Definisi Metode Numerik Hooke and Jeeves ? • Apa algoritma Metode Numerik Hooke and Jeeves ?

• Bagaimana contoh soal dari Metode Numerik Hooke and Jeeves ?

C. Tujuan

• Mengetahui definisi dari Metode Numerik Hooke and Jeeves • Mengetahui algoritma Metode Numerik Hooke and Jeeves

• Mengetahui cara penyelesaian soal dari Metode Numerik Hooke and Jeeves

D. Manfaat

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas Ujian Akhir Semester dari mata kuliah Metode Numerik di Semester 6. Manfaat yang dapat di am-bil adalah kita dapat menambah wawasan sebagai bekal ilmu sebagai seorang pendidik, bagi pembaca khususnya Mahasiswa/i Universitas Muhammadiyah Tangerang dan juga agar dapat sebagai referensi bacaan tentang Metode Numerik Hooke and Jeeves.

BAB II PEMBAHASAN

Secara umum, fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif. Sedangkan, harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel. Secara analitik, nilai maksimum dan minimum dari suatu persamaan: y = f(x) dapat diperoleh harga x yang memenuhi :

dy

dx = 0 atau df dx = 0

Untuk fungsi yang sulit digunakan diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya, proses optimasi ini dapat dilakukan secara numerik.

1

Definisi Metode Numerik Hooke and Jeeves

Metode Hooke and Jeeves atau sering ditulis metode Hooke and Jeeves merupakan metode lanjutan dari Metode Numerik Aksial. Metode Hooke and Jeeves digunakan untuk menemuan minimum atau maksimum dari suatu fungsi. metode ini dapat digu-nakan untuk menyelesaikan masalh optimisasi linear maupun non linear.

Metode Numerik Hooke and Jeeves merupakan suatu metode numerik untuk men-cari lokasi minimum dari fungsi Z, adalah metode penmen-carian langsung (direct search) yang diajukan oleh Hooke dan Jeeves. Metode ini memanfaatkan dua langkah, yaitu langkah penjelajahan untuk menentukan arah pencarian yang tepat dan langkah pola untuk mempercepat pencarian.

Pencarian langsung belum tentu menemukan minimum yang merupakan global mini-mum. Untuk memperbesar peluang itu, digunakan kombinasi berupa pencarian langsung dan secara acak yang memanfaatkan parameter-parameter tersebut.

Berbeda dengan metode numerik Aksial yang hanya digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi 1 variabel. Metode Numerik Hooke and Jeeves dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi yang melibatkan n (misal dibatasi hanya untuk n = 2, artinya hanya untuk R2_{) variabel bebas.}

2

Algoritma Metode Numerik Hooke and Jeeves

1. Diberikan fungsi f (x1, x2) dan diminta untuk menentukan (x1, x2) yang

memaksi-malkan atau meminimemaksi-malkan fungsi f (x1, x2).

2. Tentukan titik awal x = (x1, x2) R2 yang merupakan selang sembarang.

3. Tentukan  > 0 yang dimana  merupakan suatu kostanta toleransi kesalahan. 4

4. Tentukan d1= (1, 0); d2= (0, 1) dimana d1 dan d2 merupakan arah pencarian.

5. Iterasi berhenti ketika ||(xk− xk− 1)|| < .

3

Contoh Soal

Tentukan nilai x = x1, x2 yang meminimalkan f (x1, x2) = 4x21+ 3x22− 2x1− 2x2 dengan

toleransi kesalahan  = 0, 1. penyelesaian.

Ambil sembarang titik x = 0, 1 d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1) Iterasi 1 λ1 = minf (x1+ λ1d1) λ1 = minf ((0, 1) + λ1(1, 0)) λ1 = minf ((0, 1) + λ1, 0)) λ1 = minf (λ1, 1)

Selanjutnya, substitusikan kedalam fungsi f (x) f (λ1, 1) = 4λ21+ 3(1)2− 2λ1− 2(1)

f (λ1, 1) = 4λ21+ 3 − 2λ1− 2

Akan dicari λ1 dan disama dengankan nol

f0(λ1, 1) = 0

8λ1− 2 = 0

8λ1 = 2

λ1 = 2₈ = 1₄

Selanjutnya, dicari nilai x2 x2= x1+ λ1d1 x2= (0, 1) + 1₄(1, 0) x2= (0, 1) + (1₄, 0) x2= (1₄, 1) Akan dicek d = ||x2− x1|| d = ||(1₄, 1 − (0, 1)|| d =p (1₄ − 0)2_{+ (1 − 1)}2 d =p (1₄)2+ 0 d =q₁₆1 = 1₄ = 0, 25 > 0, 1 (iterasi dilanjutkan) Iterasi 2 λ2 = minf (x2+ λ2d2) λ2 = minf ((1₄, 1) + λ2(0, 1)) λ2 = minf ((1₄, 1) + (0, λ2)) λ2 = minf (1₄, 1 + λ2)

Selanjutnya, substitusikan kedalam fungsi f (x) f (1₄, 1 + λ2) = 4(₁₆1 ) + 3(1 + λ2)2− 21₄− 2(1 + λ2)

f (1₄, 1 + λ2) =1₄ + 3(1 + 2λ2+ λ22) −12 − 2 − 2λ2

f (1₄, 1 + λ2) =1₄ + 3 + 6λ2+ 3λ22−12 − 2 − 2λ2

Akan dicari λ2 dan disama dengankan nol

f0(1₄, 1 + λ2) = 0

6λ2+ 4 = 0

6λ2 = −4

λ2 = −4₆ = −2₃

Selanjutnya, dicari nilai x3

x3= x2+ λ2d2 x3= (1₄, 1) + −2₃ (0, 1) x3= (1₄, 1) + (0,−2₃ ) x3= (1₄,1₃) Akan dicek d = ||x3− x2|| d = ||(1₄,1₃) − (1₄, 1)|| d =p(1₄ −1₄)2+ (1₃ − 1)2 d =q0 + (−2₃ )2 d =q2₃ = 0, 67 > 0, 1 (iterasi dilanjutkan) Iterasi 3 λ3 = minf (x3+ λ3d3) λ3 = minf ((1₄,1₃) + λ3(1, 0)) λ3 = minf ((1₄,1₃) + (λ3, 0)) λ3 = minf (1₄+ λ3,1₃) 7

Selanjutnya, substitusikan kedalam fungsi f (x) f (1₄ + λ3,1₃) = 4(1₄ + λ3)2+ 3(1₃) − 2(1₄ + λ3) − 2(2₃) f0(2₃ + λ3,3₄) = 4(₁₆1 +1₂λ3+ λ23) +13 − 1 2 − 2λ3− 2 3 f0(2₃ + λ3,3₄) = 1₄ + 2λ3+ 4λ23+13 − 1 2 − 2λ3− 2 3

Akan dicari λ3 dan disama dengankan nol

f0(1₄ + λ3,1₃) = 0

8λ3 = 0

λ3 = 0

Selanjutnya, dicari nilai x4

x4= x3+ λ3d3 x4= (1₄,1₃) + 0(1, 0) x4= (1₄,1₃) + (0, 0) x4= (1₄,1₃) Akan dicek d = ||x4− x3|| d = ||(1₄,1₃) − (1₄,1₃)|| d =p(1₄,1₃)2− (1₄,1₃)2 d =√0 + 0 d =√0 = 0 < 0, 1 (iterasi dihentikan) 8

Akan dibuktikan dengan Cara Analitik

∂f

∂x1 = 8x1− 2 ;

∂f

∂x2 = 6x2− 2

untuk mencari titik kritis maka _∂x∂f

1 = 0 dan ∂f ∂x2 = 0 ∂f ∂x1 = 0 8x1− 2 = 0 8x1 = 2 x1= 2₈ = 1₄ sedangkan ∂f ∂x2 = 0 6x2− 2 = 0 6x2 = 2 x2= 2₆ = 1₃

Jadi, titik kritisnya adalah (1₄,1₃)

Akan dicek (1₄,1₃) memninimalkan fungsi f (x) = (x1, x2) ∂2_f ∂x2 1 = 8 ∂2_f ∂x2 2 = 6 ∂2_f ∂x1∂x2 = 0 ∂2_f ∂x2 1 (∂_∂x2f2 2 ) - (_∂x∂2f 1∂x2) = 8.6 − 0 = 48 > 0

Maka terukti bahwa titik kritis dari (1₄,1₃) merupakan suatu fungsi yang memini-malkan fungsi f (x).

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan

Dengan mempelajari metode numerik diharapkan mahasiswa mampu menangani sistem persamaan besar ketaklinieran dan geometri yang rumit yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis. Selain itu, mahasiswa diharap-kan mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket pro-gram, mampu merancang program sendiri sesuai permasalahan dihadapi pada masalah rekayasa dan dapat menangani masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis.

Di samping itu, metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan ke-terbatasan komputer menangani error. Suatu nilai hampiran (aproksimasi) dari masalah serta menyediakan sarana memperkuat pengertian matematika mahasiswa. Karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi men-jadi operasi-operasi matematika yang mendasar.

Pada metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan error. Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.

Metode Numerik Roosenberg

Ika Komala Sari 1384202072

6A2 June 9, 2016

1

Pengertian Metode Numerik Roosenberg

Salah satu metode pencarian titik minimum dengan cara numerik adalah menggunakan Metode Numerik Roosenberg. Metode Numerik Roosenberg adalah salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilai x = (x1, x2) ∈ R2 yang meminimumkan atau memaksimumkan Z = F(x).

Opti-masi ini diperkenalkan oleh Howard H. Rosenbrock pada tahun 1960.

2

Algoritma Metode Numerik Roosenberg

1. Diberikan fungsi Z = F(x1, x2) dan akan ditentukan nilai x = (x1, x2) yang

mem-inimumkan atau memaksimumkan nilai Z = F(x1, x2) tersebut

2. Ambil sebarang titik awal x1= (x1, x2)

3. Tetapkan  > 0 suatu konstanta positif yang menunjukkan kesalahan yang ditol-eransi

4. Tentukan arah pencarian direction d1 = (1,0) dan d2 = (0,1)

5. Cari λk dengan cara λk = xk+ λkdk

6. Nilai xk+1 ditentukan dengan cara xk+1 = xk+ λkdk

7. Iterasi berhenti ketika norm ||xk+1− xk|| < 

Catatan

Untuk arah pencarian direction dk

• Untuk arah k ganjil d1 = (1, 0)

d2k+1= _||bbk

k||

• Untuk arah k genap d2 = (0, 1)

d2k = ||bbkk||

• bk= λkdk+ λk+1dk+1

3

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Tentukan nilai x = (x1, x2) yang meminimumkan Z(x1, x2) = 6x21+ 9x22− 4x1− 24x2

dengan Metode Roosenberg dengan toleransi kesalahan  = 0, 01 ! Solusi :

Penyelesaian dengan Metode Roosenberg Ambil sembarang titik awal x = (0, 2) ∈ R2

Arah pencarian d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1) serta  = 0, 01

Iterasi 1

• Nilai λ1 dapat dicari sebagai berikut:

λ1 = min Z (x1+ λ1d1)

λ1 = min Z ((0, 2) + λ1(1, 0))

λ1 = min Z ((0, 2) + λ1, 0)

λ1 = min Z (λ1, 2)

• Derivatkan Z (λ₁, 2) dan sama dengankan 0. Z (λ1, 2) = 6(λ1)2+ 9(2)2− 4(λ1) − 24(2)

Z (λ1, 2) = 6λ21+ 36 − 4λ1− 48

Z (λ1, 2) = 6λ21− 4λ1− 12

Z’ (λ1, 2) = 12λ1− 4

12λ1− 4 = 0 , maka λ1 = ₁₂4=1₃

• Berdasarkan hal tersebut, cari nilai x2.

x2 = x1+ λ1d1

x2 = (0, 2) +1₃(1, 0)

x2 = (0, 2) + (1₃, 0)

x2 = (1₃, 2)

• Akan di cek norm ||x₂− x₁|| < 

p

(1₃ − 0)2_{+ (2 − 2)}2_{> 0, 01} 1

3 > 0, 01, maka (iterasi di lanjutkan).

Iterasi 2

• Nilai λ2 dapat dicari sebagai berikut:

λ2 = min Z (x2+ λ2d2)

λ2 = min Z ((1₃, 2)) + λ2(0, 1))

λ2 = min Z ((1₃, 2)) + 0, λ2)

λ2 = min Z (1₃, 2 + λ2)

• Derivatkan Z (1₃, 2 + λ2) dan sama dengankan 0.

Z (1₃, 2 + λ2) = 6(1₃)2+ 9(2 + λ2)2− 4(1₃) − 24(2 + λ2)

Z (1₃, 2 + λ2) = 6₉ + 36 + 36λ2+ 9λ22− 43− 48 − 24λ2

Z (1₃, 2 + λ2) = 9λ22+ 12λ2−114₉

Z’ (1₃, 2 + λ2) = 18λ2+ 12

18λ2+ 12 = 0 , maka λ2 = −12₁₈=−2₃

• Berdasarkan hal tersebut, cari nilai x₃. x3 = x2+ λ2d2

x3 = (1₃, 2) + (−2₃)(0, 1)

x3 = (1₃, 2) + (0, −2₃)

x3 = (1₃,4₃)

• Akan di cek norm ||x₃− x₂|| < 

p

(1₃ −1₃)2_{+ (}4

3− 2)2 > 0, 01 2

3 > 0, 01, maka (iterasi di lanjutkan).

Iterasi 3

• Tentukan d3 untuk k=1 (arah ganjil) dengan cara sebagai berikut:

d2k+1= ||bbkk|| b1 = λ1d1+ λ2d2 b1 = 1₃(1, 0) + (−2₃)(0, 1) b1 = (1₃, 0) + (0, −2₃) b1 = (1₃, −2₃) ||b₁|| =p (1₃)2+ (−2₃)2 ||b1|| = q 1 9+ 4 9 ||b1|| = √ 5 3 d3 = _||bb1_1|| d3 = (1₃,−2₃) √ 5 3 3

d3 = √ 5 5 , −2√5 5

• Nilai λ₃ dapat dicari sebagai berikut: λ3 = min Z (x3+ λ3d3) λ3 = min Z (1₃,4₃) + λ3( √ 5 5 , −2√5 5 ) λ3 = min Z ((1₃,4₃)) + ( √ 5 5 λ3, −2√5 5 λ3) λ3 = min Z (1₃ + √ 5 5 λ3, 4 3− 2√5 5 λ3) • Derivatkan Z (1₃ + √ 5 5 λ3, 4 3 − 2√5

5 λ3) dan sama dengankan 0.

Z (1₃ + √ 5 5 λ3, 4 3 − 2√5 5 λ3) = 6(1₃ + √ 5 5 λ3)2+ 9( 4 3 − 2√5 5 λ3)2− 4( 1 3 + √ 5 5 λ3) − 24( 4 3 − 2√5 5 λ3) = 42₅λ2₃−50 3 Z’ (1₃ + √ 5 5 λ3, 4 3 − 2√5 5 λ3) = 84 5 λ3 84 5λ3= 0, maka λ3= 0

• Berdasarkan hal tersebut, cari nilai x4.

x4 = x3+ λ3d3 x4 = (1₃,4₃) + 0( √ 5 5 , −2√5 5 ) x4 = (1₃,4₃) + (0, 0) x4 = (1₃,4₃)

• Akan di cek norm ||x4− x3|| < 

p

(1₃ −1₃)2+ (4₃) −4₃)2 > 0, 01 0 < 0, 01, maka iterasi berhenti

Dengan demikian iterasi berhenti, sehingga nilai x yang meminimumkan fungsi Z dalam soal ini adalah x4 = (1₃,4₃).

Penyelesaian dengan Analitik Z(x1, x2) = 6x21+ 9x22− 4x1− 24x2 • _∂x∂Z 1 = 12x1− 4 ; ∂Z ∂x2 = 18x2− 24 Karena _∂x∂Z

1 = 0 dan juga karena

∂Z ∂x2 = 0, maka 12x1− 4 = 0, x1 = ₁₂4=1₃ 18x2− 24 = 0, x2 = 24₁₈=4₃ • ∂2f ∂x2 1 = 12 ; ∂_∂x2f2 2 = 18 ; _∂x∂2f 1∂x2 = 0 Karena∂_∂x2f2 1 = 12 > 0 dan∂_∂x2f2 1 (∂_∂x2f2 2 ) - (_∂x∂2f 1∂x2) = 12.18−0 = 216 > 0, maka terbukti

bahwa titik (1₃,4₃) merupakan titik yang meminimumkan fungsi Z = (x1, x2) dalam

soal ini.

METODE STEEPEST DESCENT

Dosen Pengampu: Rukmono Budi Utomo M.Sc.

Disusun Oleh :

Linna Tri Lestari (6A1) 1384202140

Diajukan sebagai tugas Ujian Akhir Semester (UAS) Metode Numerik

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN MATEMATIKA June 5, 2016

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT. atas rahmat dan karunia yang telah diberikan-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Dalam penulisan makalah ini dibuat dalam format latex document untuk memenuhi tugas ujian akhir semester mata kuliah metode numerik semester 6 di Univer-sitas Muhammadiyah Tangerang.

Selain itu saya juga berharap makalah ini mampu memberikan kontribusi, memberi gambaran ataupun menjadi referensi kita dalam mengenal dan mempelajari materi yang akan dibahas. Saya menyadari bahwa masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kri-tik dan saran yang membangun sangat saya harapkan demi kesempurnaan di masa yang akan datang.

Tangerang, 05 Juni 2016 Linna Tri Lestari

1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara metematik dengan cara operasi hitungan (arithmetic). Penggunaan metode numerik dilakukan karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis (analitik) maka kita dapat menggunakan metode nmerik sebagai alternative penyelesaian persoalan tersebut.

Dalam perkuliahan metode numerik di semester 6 lalu kita telah membahas berba-gai macam metode numerik mulai dari metode golden ratio, metode bisection,metode fibonacci, metode newton, metode aksial, dichotomus, secant, hooke and jeeves, arah kon-jugasi, roosenberg. Dalam makalah ini yang akan dibahas adalah metode steepest descent, yang erat kaitannya dengan metode aksial, hooke and jeeves, arah konjugasi serta roosen-berg.

1.2 Rumusan Masalah

• Menjelaskan pengertian dari metode numerik steepest descent • Menjelaskan algoritma metode steepest descent

• Menjelaskan contoh penyelesaian metode steepest descent

1.3 Tujuan dan Manfaat

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas ujian akhir semester mata kuliah metode numerik di semester 6, serta berbagi pengetahuan kepada para pembaca mengenai materi yang akan dibahas yaitu metode steepest descent. Man-faat yang dapat petik dari tujuan tersebut yaitu diharapkan dapat menambah wawasan para pembaca dan khususnya untuk mahasiswa-mahasiswi Universitas Muhammadiyah Tangerang.

2

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Metode Steepest Descent

Metode steepest descent juga dikenal dengan nama metode gradient . Metode steepest descent merupakan prosedur paling mendasar yang diperkenalkan oleh Cauchy pada tahun 1847. Metode ini adalah metode gradien sederhana yang menggunakan vektor gradien un-tuk menenun-tukan arah pencarian pada setiap iterasi. Kemudian, dari arah tersebut akan ditentukan besar ukuran langkahnya. Metode Steepest Descent digunakan untuk mencari minimum suatu fungsi, yakni dengan menggunakan nilai negatif dari gradient fungsi disu-atu titik. Digunakan nilai negatif dari gradient karena gradien memberikan nilai kenaikan yang semakin besar. Dengan nilai negatif dari gradient maka akan diperoleh nilai penu-runan yang semakin besar.

Metode Steepest Descent digunakan untuk mencari minimum suatu fungsi, yakni dngan menggunakan nilai negatif dari gradient fungsi disuatu titik. Digunakan nilai negatif dari gradient karena gradien memberikan nilai kenaikan yang semakin besar. Dengan ni-lai negatif dari gradient maka akan diperoleh nini-lai penurunan yang semakin besar. Pada beberapa kasus, metode steepest descent ini memiliki kekonvergenan yang lambat menuju solusi optimum karena langkahnya berbentuk zig-zag. Metode ini dapat digunakan untuk optimasi tanpa kendala maupun dengan kendala.

2.2 Algoritma Metode Steepest Descent

1. Diberikan fungsi Z = f (x) untuk mencari nilai (x1, x2), XR2 yang meminimumkan

fungsi tersebut

2. Tentukan titik awal ¯xk = (x1, x2), ε atau error yang ditentukan dan ambil k = 0

3. Dihitung gradient dari f (x) pada titik xk,yaitu ∇f (¯xk).

4. Kemudian dihitung ∇f (¯xk). Jika ||∇f (¯xk)|| < ε, iterasi dihentikan dan pilih xk

sebagai titik minimum. Jika sebaliknya, lanjutkan ke langkah selanjutnya. 5. Misalkan arah pencarian pada titik ¯xk adalah dk= −∇f (xk).

6. Dihitung λk= minZ(¯xk+ λkdk)

7. Derivatifkan Z(¯xk+ λkdk) dan sama dengankan nol untuk menentukan nilai λk

8. Dihitung ¯xk+1 dimana ¯xk+1= ¯xk+ λkdk

9. Iterasi terhenti ketika ||∇f (¯xk)|| < 

Kondisi ∇f (¯xk) = 0 kerapkali tidak dapat dengan tetap dipenuhi karena

perhitun-gan secara numerik dari gradient akan jarang tetap sama denperhitun-gan nol. Dalam kasus demikian maka sebagai kriteria penghentian adalah dengan mengecek norma gradient, yakni jika norma ||∇f (¯xk)|| dari gradient adalah tidak lebih besar dari suatu toleransi

yang diberikan maka iterasi dihentikan sebagai alternatif dapat juga dilakukan dengan menghitung perbedaan nilai mutlak ||f (¯xk+1− (¯xk)|| diantara nilai objektif untuk setiap

dua iterasi brturut-turut. Jika perbedaannya tidak lebih besar dari suatu toleransi yang diberikan maka perhitungan diberikan.

Agar lebih mudah dalam memahami algoritma metode Stepeest Descent,dibawah ini diberikan diagram alir metode Stepeest Descent.

Figure 1: Diagram alir algoritma Steepest Descent

2.3 Contoh Soal

1. Diberikan suatu fungsi f (X) = 6x2₁+ 2x2₂+ 2x1x2− 12x1− 2x2+ 6, dengan

meng-gunakan metode steepest descent, tentukan pembuat minimum jika diberikan titik awal (0, 1) dan ε = 0.2

Penyelesaian:

ITERASI I

• Dari soal diketahui fungsi awal f (X) = 6x2

1+ 2x22+ 2x1x2− 12x1− 2x2+ 6 dengan

titik awal x0 = (0, 1) dan ε = 0.2

• Untuk mencari ∇f (¯x0), terlebih dahulu turunan dari x1 terhadap fungsi f(X) dan

turunan x2 terhadap fungsi f(X) yaitu sebagai berikut: ∂F ∂x1 = 12x1+ 2x2− 12 ∂F ∂x2 = 4x2+ 2x1− 2 maka : ∇f (¯x0) = ∇f (x1, x2) = ∇f (0, 1) ∇f (¯x0) = 12(0) + 2(1) − 12 4(1) + 2(0) − 2 ! = −10 2 !

• Kemudian cek apakah ||∇f (¯x0)|| < ε atau > ε yaitu dengan cara :

k∇f (x0)k = k∇f (0, 1)k = −10 2 ! = q (−10)2+ (2)2 =√104 =10.2

Karena ||∇f (¯x0)|| = 10.2 > ε maka memenuhi syarat bahwa iterasi

• Mencari arah pencarian d0 d0 = −∇f (¯x0) = − −10 2 ! = 10 −2 !

• Mencari nilai λ0 yaitu dengan cara sebagai berikut :

λ0 = min Z(¯x0+ λ0d0)

λ0 = min Z((0, 1) + λ0(10, −2))

λ0 = min Z((0, 1) + (10λ0, −2λ0))

λ0 = min Z(10λ0, −2λ0+ 1)

Subtitusikan Z(10λ0, −2λ0+ 1) ke persamaan awal:

Z(10λ0, −2λ0+1) = 6(10λ0)2+2(−2λ0+1)2+2((10λ0)(−2λ0+1))−12(10λ0)−2(−2λ0+1)+6

Z(10λ0, −2λ0+ 1) = 600λ20+ 8λ20− 8λ0+ 2 − 40λ20+ 20λ0− 120λ0+ 4λ0− 2 + 6

Z(10λ0, −2λ0+ 1) = 568λ20− 104λ0+ 6

Kemudian turunkan fungsi Z diatas dan sama dengankan nol untuk memperoleh λ0:

⇔ _dλdZ 0 = 0 ⇔ 1136λ₀− 104 = 0 ⇔ 1136λ₀= 104 ⇔ λ0 = ₁₁₃₆104 = 0.091549295 ⇔ λ0≈ 0.092 • Mencari nilai ¯x1 ¯ x1= ¯x0+ λ0d0 ¯ x1= (0, 1) + 0.092(10, −2) ¯ x1= (0, 1) + (0.92, −0.184) ¯ x1= (0.92, 0.816) ITERASI II

• Dari iterasi 1 diperoleh ¯x1 = (0.92, 0.816)

• Mencari ∇f (¯x1): ∇f (¯x1) = ∇f (0.92, 0.816) ∇f (¯x1) = 12(0.92) + 2(0.816) − 12 4(0.816) + 2(0.92) − 2 ! = 11.04 + 1.632 − 12 3.264 + 1.84 − 2 ! = 0.672 3.104 !

• Kemudian cek apakah ||∇f (¯x1)|| < ε atau > ε yaitu dengan cara :

k∇f (0.92, 0.816)k = 0.672 3.104 ! = q (0.672)2+ (3.104)2=√0.451584 + 9.634816 = √ 10.0864 =3.176

Karena ||∇f (¯x1)|| = 3.176 > ε maka memenuhi syarat bahwa iterasi

dilan-jutkan.

• Mencari arah pencarian d1

d1 = −∇f (¯x1) = − 0.672 3.104 ! = −0.672 −3.104 !

• Mencari nilai λ1 yaitu dengan cara sebagai berikut :

λ1 = min Z(¯x1+ λ1d1)

λ1 = min Z((0.92, 0.816) + (−0.672λ1, −3.104λ1))

λ1 = min Z(−0.672λ1+ 0.92, −3.104λ1+ 0.816)

Subtitusikan Z(−0.672λ1+ 0.92, −3.104λ1+ 0.816) ke persamaan awal:

Z(−0.672λ1+ 0.92, −3.104λ1+ 0.816)

= 6(−0.672λ1+ 0.92)2+ 2(−3.104λ1+ 0.816)2+ 2(−0.672λ1+ 0.92)(−3.104λ1+ 0.816)) −

12(−0.672λ1+ 0.92) − 2(−3.104λ1+ 0.816) + 6

= 26.150912λ2₁− 10.0864λ1+ 1.239552

Kemudian turunkan fungsi Z diatas dan sama dengankan nol untuk memperoleh λ1:

⇔ dZ dλ1 = 0 ⇔ 52.301824λ1− 10.0864 = 0 ⇔ 52.301824λ1 = 10.0864 ⇔ λ₁ = _52.30182410.0864 = 0.1928498708 ⇔ λ1≈ 0.193 • Mencari nilai ¯x2 ¯ x2= ¯x1+ λ1d1 ¯ x2= (0.92, 0.816) + 0.193(−0.672, −3.104) ¯ x2= (0.92, 0.816) + (−0.129696, −0.599072)) ¯ x2= (0.790304, 0.216928) ¯ x2≈ (0.79, 0.217) ITERASI III

• Dari iterasi 2 diperoleh ¯x2 = (0.79, 0.217)

• Mencari ∇f (¯x2): ∇f (¯x2) = ∇f (0.79, 0.217) ∇f (¯x2) = 12(0.79) + 2(0.217) − 12 4(0.217) + 2(0.79) − 2 ! = 2.48 + 0.434 − 12 0.868 + 1.58 − 2 ! = −2.086 0.448 !

• Kemudian cek apakah ||∇f (¯x2)|| < ε atau > ε yaitu dengan cara :

k∇f (0.92, 0.816)k = −2.086 0.448 ! = q (−2.086)2+ (0.448)2 =√4.351396 + 0.200704 = √ 4.5521 =2.136

Karena ||∇f (¯x2)|| = 2.136 > ε maka memenuhi syarat bahwa iterasi

dilan-jutkan.

• Mencari arah pencarian d₂ d2 = −∇f (¯x2) = − −2.086 0.448 ! = 2.086 −0.448 !

• Mencari nilai λ2 yaitu dengan cara sebagai berikut :

λ2 = min Z(¯x2+ λ2d2)

λ2 = min Z((0.79, 0.217) + λ2(2.086, −0.448))

λ2 = min Z((0.79, 0.217) + (2.086λ2, −0.448λ2))

λ2 = min Z(2.086λ2+ 0.79, −0.448λ2+ 0.217)

Subtitusikan Z(2.086λ2+ 0.79, −0.448λ2+ 0.217) ke persamaan awal :

= 6(2.086λ2+ 0.79)2 + 2(−0.448λ2 + 0.217)2 + 2(2.086λ2 + 0.79)(−0.448λ2+ 0.217)) −

12(2.086λ2+ 0.79) − 2(−0.448λ2+ 0.217) + 6

= 28.37884λ2₂− 4.5521λ₂+ 0.267638

Kemudian turunkan fungsi Z diatas dan sama dengankan nol untuk memperoleh λ2

⇔ dZ dλ2 = 0 ⇔ 56.75768λ₂− 4.5521 = 0 ⇔ 56.75768λ2= 4.5521 ⇔ λ2 = _56.757684.5521 = 0.080202362 ⇔ λ2≈ 0.08 • Mencari nilai ¯x3 ¯ x3= ¯x2+ λ2d2 ¯ x3= (0.79, 0.217) + 0.08(2.086, −0.448) ¯ x3= (0.79, 0.217) + (0.16688, −0.03584)) ¯ x3= (0.95688, 0.18116) ¯ x3≈ (0.96, 0.18) ITERASI IV

• Dari iterasi 3 diperoleh ¯x3 = (0.96, 0.18)

• Mencari ∇f (¯x3): ∇f (¯x3) = ∇f (0.96, 0.18) ∇f (¯x3) = 12(0.96) + 2(0.18) − 12 4(0.18) + 2(0.96) − 2 ! = 11.52 + 0.36 − 12 0.72 + 1.92 − 2 ! = −0.12 0.64 !

• Kemudian cek apakah ||∇f (¯x3)|| < ε atau > ε yaitu dengan cara :

k∇f (0.96, 0.18)k = −0.12 0.64 ! = q (−0.12)2+ (0.64)2 = √0.0144 + 0.4096 = √ 0.424 =0.651

Karena ||∇f (¯x3)|| = 0.651 > ε maka memenuhi syarat bahwa iterasi

dilan-jutkan.

• Mencari arah pencarian d₃ d3 = −∇f (¯x2) = − −0.12 0.64 ! = 0.12 −0.64 !

• Mencari nilai λ₃ yaitu dengan cara sebagai berikut : λ3 = min Z(¯x3+ λ3d3)

λ3 = min Z((0.96, 0.18) + λ3(0.12, −0.64))

λ3 = min Z((0.96, 0.18) + (0.12λ3, −0.64λ3))

λ3 = min Z(0.12λ3+ 0.96, −0.64λ3+ 0.18)

Subtitusikan Z(0.12λ3+ 0.96, −0.64λ3+ 0.18) ke persamaan awal :

Z(0.12λ3+ 0.96, −0.64λ3+ 0.18)

= 6(0.12λ3+ 0.96)2+ 2(−0.64λ3+ 0.18)2+ 2(0.12λ3+ 0.96)(−0.64λ3+ 0.18)) − 12(0.12λ3+

0.96) − 2(−0.64λ3+ 0.18) + 6

= 0.752λ2₃− 0.424λ₃+ 0.06

Kemudian turunkan fungsi Z diatas dan sama dengankan nol untuk memperoleh λ3

⇔ _dλdZ

⇔ 1.504λ3− 0.424 = 0 ⇔ 1.504λ3 = 0.424 ⇔ λ₃ = 0.424_1.504 = 0.28191489 ⇔ λ3≈ 0.282 • Mencari nilai ¯x4 ¯ x4= ¯x3+ λ3d3 ¯ x4= (0.96, 0.18) + 0.282(0.12, −0.64) ¯ x4= (0.96, 0.18) + (0.033, −0.18048)) ¯ x4= (0.99384, 0.00048) ¯ x4≈ (0.994, 0.0005) ITERASI V

• Dari iterasi 4 diperoleh ¯x4 = (0.994, 0.0005)

• Mencari ∇f (¯x4): ∇f (¯x4) = ∇f (0.79, 0.217) ∇f (¯x4) = 12(0.994) + 2(0.0005) − 12 4(0.0005) + 2(0.994) − 2 ! = 11.928 + 0.001 − 12 0.002 + 1.988 − 2 ! = −0.071 −0.01 !

• Kemudian cek apakah ||∇f (¯x4)|| < ε atau > ε yaitu dengan cara :

k∇f (0.994, 0.0005)k = −0.071 −0.01 ! = q (−0.071)2+ (−0.01)2 =√0.005041 + 0.0001 = √ 0.015041 =0.123

Karena ||∇f (¯x4)|| = 0.123 < ε maka telah memenuhi syarat bahwa iterasi

terhenti.

TABEL ITERASI

Dengan konsep Metode Numerik Steepest Descent maka perhitungan yang diperoleh disajikan dalam tabel dibawah ini:

Iterasi xk ∇f (xk) ||∇f (xk)|| dk λk x¯k I (0,1) (-10, 2) 10.2 > ε (10, -2) 0.092 (0.92, 0.816) II (0.92, 0.816) (0.672, 3.104) 3.176 > ε (-0.672, -3.104) 0.193 (0.79, 0.217) III (0.79, 0.217) (-2.086, 0.448) 2.136 > ε (2.086, -0.448) 0.08 (0.96, 0.18) IV (0.96, 0.18) (-0.12, 0.64) 0.651 > ε (0.12, -0.64) 0.282 (0.994, 0.0005) V (0.994, 0.0005) (-0.071, -0.01) 0.123 < ε ... ... ...

Pembuktian dengan Cara Analitik • Dalam soal diberikan fungsi f (X) = 6x2

1+ 2x22+ 2x1x2− 12x1− 2x2+ 6, kemudian

dicari turunan-turunan sebagai berikut: ⇔ _∂x∂f 1 = 12x1+ 2x2− 12... (1) ⇔ _∂x∂f 2 = 4x2+ 2x1− 2... (2) ⇔ ∂_∂x2f2 1 = 12 ⇔ ∂2f ∂x2 2 = 4 ⇔ _∂x∂2f 1∂x2 = 2

• Dicari nilai δ yaitu :

δ = (

∂_∂x2f2 1

)(

∂2_f ∂x2 2

) − (

∂2_f ∂x1∂x2

)

2

_{= 12(4) − 2}

2

_{= 48 − 4 = 44 > 0}

• Kemudian untuk mencari nilai (x₁, x2) menggunakan cara sebagai berikut :

Eliminasi Persamaan (1) dan (2)

12x1+ 2x2− 12 = 0| × 2| → 24x1+ 4x2− 24 = 0

4x2+ 2x1− 2 = 0| × 1| → 4x2+ 2x1− 2 = 0

diperoleh nilai : 22x1− 22 = 0

x1= 1

Subtitusi nilai x1 = 1 ke persamaan (2):

4x2+ 2x1− 2 = 0

4x2+ 2(1) − 2 = 0

4x2 = 0

x2= 0

• Karena δ > 0 maka terbukti bahwa (x1, x2) = (1, 0) meminimumkan fungsi Z = f (x)

3

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Metode steepest descent merupakan metode numerik untuk menyelesaikan persoalan optimasi dalam mencari nilai nilai (x1, x2) yang meminimumkan fungsi Z=f(X) dengan

¯

xR2 (dalam perkuliahan ini dibatasi sampai R2). Penyelesaian optimasinya berkaitan dengan metode aksial, hook and jeeves, arah konjugasi serta roosenberg. Hanya saja metode steepest descent ini dalam mencari arah pencariannya berbeda dari pada yang lainnya.

3.2 Saran

Setelah membahas materi mengenai metode steepest descent, penulis mengharapkan agar selanjutnya materi ini dapat dikembangkan lebih jauh terutama mengenai penyelesa-ian optimasinya. Karena belajar mengenai metode ini tidaklah mudah, dibutuhkan pema-haman yang mendalam untuk dapat menyelesaikannnya. Penulis berharap agar makalah ini dapat memberikan manfaat kepada setiap orang yang membacanya. Kritik dan saran yang membangun sangat penulis perlukan demi kesempurnaan di masa yang akan datang.

Metode Numerik Stepest Descent

LUPINIA FITIA 1384202145

6A2

Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Tangerang June 8, 2016

BAB I

PENDAHULUAN

Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Metode Numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer menangani galat (er-ror) suatu nilai hampiran (aproksimasi) dari masalah.

Beberapa definisi Metode Numerik yang dikemukakan oleh para ahli matematika, diantaranya :

• Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan hanya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali, dan bagi (Ibraheem dan Hisyam)

• Metode Numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matem-atika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi tambah, kurang, kali, dan bagi (Rochmad)

• Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika (Chapra dan Chanale)

Dalam Metode Numerik terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan karakteristik seperti Polinomial Tinggi, Sinusioda, Eksponensial, Logaritmik, atau Kom-binasi dari persamaan-persamaan tersebut. Ada beberapa macam Metode Numerik seperti Metode Biseksi, Metode Newton-Raphson, Metode Secant, Metode Aksial, Arah Konjugant, dan lainnya lagi masih banyak metode-metode dalam mengerjakan suatu per-masalahan. Yang akan dibahas pada artikel ini adalah Metode Steepest Ascent/Descent. Pada artikel ini, kita akan mengetahui definisi dari Metode Steepest Ascent/Descent,

Perbedaan dari Metode tersebut, Algoritma. Penulis juga akan memberikan suatu con-toh serta cara penyelesaian soal menggunakan Metode Steepest Ascent/Descent

• Rumusan Masalah

• Definisi Metode Numerik Steepest Ascent/Descent

• Algoritma pada Metode Numerik Steepest Ascent/Descent • Soal dan Pembahasannya

• Tujuan Penulisan

• Mengetahui Definisi Metode Numerik Steepest Ascent/Descent

• Mengetahui Algoritma Metode Numerik Metode Numerik Steepest Ascent/Descent • Memahami Soal dan Pembahasannya

BAB II PEMBAHASAN

1

Definisi Metode Numerik Steepest Ascent/Descent

Metode Numerik Steepest Ascent/Descent merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana. Terminologi : Steepest Ascent (untuk pencarian maksimum fungsi) Steep-est Descent (untuk pencarian minimum fungsi). Prinsip pencarian optimum yaitu di-lakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensional function) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function), berdasarkan gradien arah pencarian. Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif).

2

Algoritma Metode Numerik Steepest Ascent/Descent

• Tentukan sebarang titik awal X = {x₁, x2}

• Tentukan konstanta  > 0

• Bentuk ∇Z(x1, x2)=(∂z_x1,∂z_x2)tdan tentukan ∇Z(X1) dan lakukan untuk ∇Z(Xk)

• Jika normk ∇Z(X_k)kkurang dari , maka iterasi berhenti

• Tentukan d_k=-∇Z(Xk),λk=min Z (Xk + λk dk) dan X(k + 1) = Xk + λk dk

3

Bentuk Soal dan Pembahasannya

Pertanyaan

Tentukan nilai X = {x1, x2} yang meminimalkan Z = (x1, x2) = 2x21+ 3x22− 6x1− 4x2

dengan menggunakan Metode Numerik Steepest Descent jika diketahui nilai  > 0, 01 solusi

iterasi 1

• Berdasarkan soal tersebut dapat ditentukan : ∇Z(x1, x2)= 4x1

− 6 6x2− 4

!

• Ambil sebarang titik misalnya X_k = −1,2₃ dengan demikian : ∇Z(X1) = −10 0 ! CEK! : k ∇Z(X1)k = √ −102_{+ 0}2 _{= 10 > epsilon} • Selanjutnya ditentukan : d1 = -∇Z (X1) = 10 0 ! dan λ1= min Z (X1 + λ1 d1) λ1 = min Z (−1,2₃ + 10λ1 0) λ1 = min Z (10λ1−1, 2₃)

Derivatifkan Z (10λ1−1, 2₃) = 2x21+ 3x22− 6x1− 4x2) dapat dicari dengan :

(X2) = (Xk + λk dk)

(X2) = (−1,2₃ + (1₄)(-10,0)

(X2) = (−1,2₃) + (10₄, 0)

(X2) = (6₄, 2₃)

CEK! : Dengan memasukkan nilai (X2) = (6₄, 2₃) kedalam 4x1

− 6 6x2− 4 ! diperoleh nilai (X2) = 0 0 !

Selanjutnya nilai k ∇Z(6₄, 2₃)k =√02_{+ 0}2 _{= 0 <  maka ITERASI BERHENTI}

4

SOLUSI ANALITIK

Tentukan nilai X = {x1, x2} yang meminimalkan Z = (x1, x2) = 2x21+ 3x22− 6x1−

4x2 dengan menggunakan Metode Numerik Steepest Descent jika diketahui nilai

 > 0, 01 PENYELESAIAN (_∂x∂z 1) = 4x1− 6, ( ∂z ∂x2) = 6x2− 4 Karena (_∂x∂z 1) = 0 dan ( ∂z ∂x2) = 0 maka nilai x1 = ( 6 4) dan x2 = ( 2 3) Lebih Lanjut (∂_∂x2z2 1) = 4 dan ( ∂2_z x2 2 x 2 2) = 6 dan nilai ( ∂ 2_z ∂x1∂x2) = 0 sehingga (∂_x22z 1 ) (∂_x22z 2 ) - (_∂x∂2z 1∂x2) 2 _{= 4 (6) - 0 = 24} Karena (∂_∂x2z2 1 ) = 4 > 0 dan (∂_∂x2z2 1 ) (∂_∂x2z2 2 ) - (_∂x∂2z 1∂x2) 2 _{= 24 > 0, maka terbukti}

bahwa titik (6₄, 2₃) merupakan titik yang meminimumkan fungsi Z = (x1, x2)

METODE NUMERIK

ARAH KONJUGASI

14 Mei 2016

Diajukan untuk Memenuh Tugas Ujian Akhir Semester Mata kuliah Metode Numerik

Dosen Pengampu

Bapak Rukmono Budi Utomo,M.Sc

Nur Aliyah 1384202043

6A1

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Tangerang

2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas limpahan rahmat serta petunjuk-Nya, maka pembuatan Makalah Metode Numerik tentang Arah Konjugasi ini bisa terselesaikan dengan ketentuan waktu yang diberikan. Di-samping itu juga, saya selaku penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Rukmono Budi Utomo,M.Sc selaku pembimbing kami serta teman-teman yang berpartisipasi dan memberikan dorongan sehingga makalah ini bisa selesai.

Saya selaku penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekura-ngannya atau belum sesuai dengan apa yang kita inginkan bersama, namun saya sudah berusaha semaksimal mungkin agar makalah ini bisa terselaikan.

Untuk itu, dengan masih banyaknya kekurangan terhadap isi makalah ini, saya dari penulis atau penyusun makalah ini sangat mengharapakan saran dan kritikan yang besifat membangun untuk penyempurnaan makalah ini agar bisa sesuai keinginan kita bersama dan dapat bermanfaat untuk kita semua serta bisa dijadikan sebagai pedoman untuk kedepannya.

Tangerang, 14 Mei 2016 Penulis

DAFTAR ISI Kata Pengantar ... 2 Daftar Isi ... 3 BAB I PENDAHULUAN ... 4 1. Latar Belakang... 4 2. Rumusan Masalah ... 5 3. Tujuan ... 5 BAB II PEMBAHASAN ... 6 4. Pengertian Metode Arah Konjugasi ... 6 5. Algoritma Arah Konjugasi ... 6 6. Contoh Soal ... 7 7. Menggunakan Metode Analitik ... 13 BAB III PENUTUP ... 15 8. Kesimpulan ... 15 9. Saran ... 15 DAFTAR PUSTAKA ... 16

BAB I PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

Dalam sejarah perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, matematika me-megang peranan yang sangat penting untuk memecahkan berbagai permasalah-an secara kupermasalah-antitatif. Optimasi sebagai salah satu cabpermasalah-ang dalam matematika se-ring digunakan sebagai acuan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bidang ekonomi, teknik, dan lainnya. Dengan optimasi maka permasalahan-permasalahan yang ada dapat di prediksi dan dicari permasalahan-permasalahannya yang optimal.

Secara umum optimasi dikategorikan menjadi 2 bagian, yaitu optimasi de-ngan kendala dan optimasi tanpa kendala. Optimasi dede-ngan kendala adalah pe-nyelesaian permasalahan untuk mendapatkan pepe-nyelesaian yang optimal dengan memperhatikan faktor-faktor pembatas yang harus dipenuhi, melalui tahapan-tahapan perhitungan tertentu. Sedangkan optimasi tanpa kendala adalah pe-nyelesaian masalah tanpa adanya faktor pembatas yang mempengaruhi proses perhitungan sampai penyelesaian optimal tercapai. Penyelesaian optimal dapat diartikan sebagai penyelesaian yang minimal maupun penyelesaian yang mak-simal. Pada prinsipnya mencari nilai maksimal suatu fungsi f(x) sama artinya dengan mencari nilai maksimal dari negatif fungsi f(x).

Pada makalah ini akan dibahas permasalahan optimasi tanpa kendala (untuk kasus dengan kendala diubah menjadi permasalahan tanpa kendala), dan untuk kasus meminimalkan serta fungsinya merupakan fungsi konveks.

Dalam meminimalkan fungsi nonlinier multivariable f(x) tanpa kendala yaitu dengan mencari vektor

x = (x1, x2, ..., xn)

sehingga fungsi f(x) minimal. Apabila penyelesaiannya dapat di usahakan secara analitik tentu akan mempermudah memperoleh penyelesaiannya yang optimal, karena penyelesaian eksaknya didapatkan. Tetapi untuk berbagai per-soalan hal ini tidak selalu mudah dilakukan sehingga perlu diupayakan penye-lesaian secara numerik yang mendekati penyepenye-lesaian eksak.

Ada beberapa pendekatan secara numerik untuk mencari nilai minimum suatu fungsi nonlinier multivariable f(x). Pada makalah ini akan dibahas pen-dekatan secara numerik menggunakan metode arah konjugasi. Metode arah konjugasi merupakan metode untuk meminimumkan atau memaksimumkan su-atu fungsi . Untuk mendapatkan kekonvergenan yang lebih cepat, maka selain menggunakan arah penurunan tercuram juga menggunakan arah yang saling konjugat. Metode arah konjugasi menggunakan arah pencarian yang saling or-togonal serta selalu diperbaharui pada setiap langkah iterasi, sehingga pada setiap iterasi akan bergerak maju menuju penyelesaian yang optimal.

Sebagian besar pembahasan melibatkan operasi vektor dalam bentuk ma-triks sehingga diasumsikan operasi mama-triks yang meliputi jumlah dua mama-triks, hasil kali matriks dengan suatu skalar dan perkalian dua matriks terdefinisi.

2

Rumusan Masalah

• Apa yang dimaksud dengan metode numerik arah konjugasi ? • Bagaimana algoritma dalam arah konjugasi ?

• Bagaimana cara menyelesaikan persoalan numerik dengan menggunakan arah konjugasi ?

• Bagaimana cara menyelesaikan persoalan numerik dengan analitik dalam menggunakan arah konjugasi ?

3

Tujuan

• Untuk menambah pengetahuan mengenai berbagai metode yang dapat digunakan dalam persoalan numerik

• Dapat melatih mahasiswa dalam menganalisis permasalahan-permasalahan numerik

• Untuk menyelesaikan tugas pengganti UAS pada mata kuliah metode nu-merik

BAB I PEMBAHASAN

4

Pengertian Metode Arah Konjugasi

Metode Numerik Arah Konjugasi Merupakan salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Dan langkah-langkah da-lam menyelesaikan masalah optmisasi tersebut berbeda dengan metode nu-merik lainnya, yaitu Diberikan Z=F (x1,x2),kemudian menentukan nilai X =

(x1,x2)∈R2yang meminimalkan atau memaksimalkan Z=F {X} atau Z=F (x1,x2)

Kemudian Metode Arah Konjugasi lebih baik dari pada metode Steepest Descent, tetapi tidak juga dengan metode Newton. Seperti yang dilihat dari metode Steepest Descent dan metode Newton, faktor penting dalam efisiensi su-atu metode pencarian berulang adalah arah pencarian pada setiap iterasi.Untuk fungsi kuadrat n variabel

f (x) = 1 2x

T

Qx − xTb, x ∈ Rn, Q = QT > 0,

Arah pencarian terbaik disebut dengan arah Q-Konjugat. Pada dasarnya dua arah d(1) dan d(2) di Rn dikatakan Q- Konjugat jika d(1)TQd(2)=0

Metode arah konjugasi dapat dilihat sebagai penengah antara metode Stee-pest Descent dan metode Newton. Metode Arah konjugasi memiliki sifat sebagai berikut.

• Memecahkan persamaan kuadrat dari n variabel dalam n langkah • Dalam algoritma arah konjugasi, memerlukan matriks Hessian

• Tidak ada matriks invers dan tidak ada penyimpanan n x n matriks di-perlukan

5

Algoritma Arah konjugasi

• Diberikan fungsi Z=F (x1,x2), kemudianakan ditentukan nilai X = (x1,x2)

yang akan meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z=F (x1,x2)

• Kemudian ambil Sembarang titik awal X1 = (x1,x2)∈R2

• Kemudaian Bentuk Matriks Hessian yakni H = " ∂z ∂x2 1 ∂z ∂x1∂x2 ∂z ∂x2∂x1 ∂z ∂x2 2 # 6

dengan ∂2_f ∂x2 1 = ∂ 2_f ∂x1∂x2 = ∂ ∂x1  ∂f ∂x1  ∂2_f ∂x1∂x2 = ∂ ∂x1  ∂f ∂x2  ∂2f ∂x2∂x1 = ∂ ∂x2  ∂f ∂x1  • Kemudian tetapkan arah pencarian

d1=  1 0  , d2=  a b 

• kemudian dengan d2=d1THd2 dan d2=0 lalu lakukan untuk dkT−1Hdk

atau dk+1=dkTHdk+1Dengan dkT = Transpos dk

Contoh : dk =      a1 a2 .. . an      ; dT_k =h _a 1 a2 ... an i

• kemudian tentukan λk = min Z (Xk + λkdk) dan Xk+1= Xk + λkdk

• Iterasi berhenti ketika norm

Xk − Xk−1

< ε, ε > 0 sembarang konstanta. Contoh :

k( a1, b1) − (a2, b2)k =

q

(a1, a2)2− (b1− b2)2

6

Contoh Soal

Diberikan suatu fungsi f (x) = 3x12+2x22+4x1x2 - 6x1 - 8x2 + 6 dengan titik

awal X1 = (1,1) dan ε = 0, 01. Dengan menggunakan metode Arah Konjugasi,

tentukan pembuat minimum fungsi tersebut. Penyelesaian

Iterasi 1

• Diketahui f (x) = 3x12+2x22+4x1x2- 6x1 - 8x2 + 6

• Ambil sembarang titik awal X1 = (x1,x2)∈R2 yaitu X1 = (1,1) dengan

toleransi kesalahan ε = 0, 01 7

• Kemudian dibentuk matriks Hessian H = " ∂z ∂x2 1 ∂z ∂x1∂x2 ∂z ∂x2∂x1 ∂z ∂x2 2 # H =  6 4 4 4 

• Kemudian Tentukan arah pencarian pada d1dan d2 , sebagai berikut

d1=  1 0  , d2=   a b   d2= dT1.H.d2 = 1 0    6 4 4 4    a b  = 6 4   a b  = 0 = 6a + 4b = 0 = 6a = −4b 3a = −2b

Ambil a=2 dan b=-3 dengan demikian diperoleh d2=

 2 −3



• Kemudian hitung λ1 = min Z (X1+ λ1d1) sebagai berikut:

λ1= min Z(x1+ λ1d1)

λ1= min Z((1, 1) + λ1(1, 0))

λ1= min Z((1, 1) + (λ1, 0)

λ1= min Z(λ1+ 1, 1)

Subtitusikan Z(λ1+ 1,1) pada persamaan awal, sehingga menjadi : Z(λ1+ 1, 1) = 3x21+ 2x22+ 4x1x2− 6x1− 8x2+ 6 = 3(λ1+ 1)2+ 2(1)2+ 4(λ1+ 1)(1) − 6(λ1+ 1) − 8(1) + 6 = 3(λ12+ 2λ1+ 1) + 2 + 4(λ1+ 1) − 6λ1− 6 − 8 + 6 = 3λ12+ 6λ1+ 3 + 2 + 4λ1+ 4 − 6λ1− 6 − 8 + 6 = 3λ12+ 4λ1+ 1

Carilah turunan dari persamaan yang diperoleh dan samadenganka nol , agar diperoleh λ1

dz

dλ1 = 6λ1+ 4 = 0

6λ1= −4

λ1= −2₃

• Telah diperoleh λ1= - 2₃. maka akan dicari nilai X2

X2= X1+ λ1d1 = ( 1, 1 ) + −2₃
1, 0
= ( 1, 1 ) + −2 3, 0
= 1₃, 1
Diperoleh X2=  1 3, 1  Kemudian di subtitusikan, sebagai beriku :

X2− X1 = 1₃, 1
− (1, 1) = q 1 3− 1
2 + (1 − 1)2 = q −2 3
2 + 02 = q 4 9 =2 3 = 0, 67 9

Iterasi Dilanjutkan karena 0, 67 > ε ⇒ 0, 67 > 0, 01 Iterasi 2 Diketahui : X2=  1 3, 1 

• Kemudian hitung λ2 = min Z (X2+ λ2d2) sebagai berikut:

λ2= min Z(X2+ λ2d2)

λ2= min Z((1/3, 1) + λ2(2, −3))

λ2= min Z((1/3, 1) + (2λ2, −3λ2)

λ2= min Z(2λ2+ 1/3, 1 − 3λ2)

Subtitusikan Z(2λ2+1/3,1−3λ2) pada persamaan awal, sehingga menjadi:

Z = 2λ2+ 1/3, 1 − 3λ2
= 3x12+ 2x22+ 4x1x2− 6x1− 8x2+ 6 = 3(2λ2+ 1/3)2+ 2(1 − 3λ2)2+ 4(2λ2+ 1/3)(1 − 3λ2) − 6(2λ2+ 1/3) − 8(1 − 3λ2) + 6 = 3(4λ22+ 4/3λ2+ 1/9) + 2(1 − 6λ2+ 9λ22) + 4(2λ2− 6λ22+ 1/3 − λ2) − 6(2λ2+ 1/3) −8(1 − 3λ2) + 6 = (12λ22+ 4λ2+ 1/3) + (2 − 12λ2+ 18λ22) + (8λ2− 24λ22+ 4/3 − 4λ2) − (12λ2+ 2) −(8 − 24λ2) + 6 = 12λ22+ 4λ2+ 1/3 + 2 − 12λ2+ 18λ22+ 8λ2− 24λ22+ 4/3 − 4λ2− 12λ2− 2 − 8 + 24λ2+ 6 = 6λ22+ 8λ2− 1/3

Carilah turunan dari persamaan yang diperoleh dan samadengankan nol, agar diperoleh nilai λ2

dz

dλ2 = 12λ2+ 8 = 0

12λ2= −8

λ2= −2/3

• Telah diperoleh λ2= - 2₃. maka akan dicari nilai X3 X3= X2+ λ2d2 = 1₃, 1
+ −2₃
(2, −3) = 1₃, 1
+ −4₃, 2
= ( −1, 3) Diperoleh X3= (−1, 3)

Kemudian Di subtitusikan, sebagai berikut : X2− X1 = (−1, 3) − 1₃, 1
= q −1 −1 3
2 + (3 − 1)2 = q −4 3
2 + 22 =q16₉ + 4 = q 52 9 = 2, 4

Iterasi Dilanjutkan karena

2, 4 > ε ⇒ 2, 4 > 0, 01

Iterasi 3 Diketahui :

X3= (−1, 3)

• Kemudian hitung λ3 = min Z (X3+ λ3d3) sebagai berikut:

λ3= min Z(X3+ λ3d3)

λ3= min Z((−1, 3) + λ3(1, 0))

λ3= min Z((−1, 3) + (λ3, 0)

λ3= min Z(λ3− 1, 3)

Subtitusikan Z(λ3−1, 3) pada persamaan awal, sehingga menjadi: Z λ3−1, 3
= 3x12+ 2x22+ 4x1x2− 6x1− 8x2+ 6 = 3(λ3−1)2+ 2(3)2+ 4(λ3−1)(3) − 6(λ3−1) − 8(3) + 6 = 3(λ32− 2λ3+ 1) + 18 + 4(3λ3− 3) − (6λ3− 6) − 24 + 6 = 3λ32− 6λ3+ 3 + 18 + 12λ3− 12 − 6λ3+ 6 − 24 + 6 = 3λ32− 3

Carilah turunan dari persamaan yang diperoleh dan samadengankan nol, agar diperoleh nilai λ3.

dz

dλ3 = 6λ3= 0

λ3= 0

• Telah diperoleh λ3= 0. maka akan dicari nilai X4

X4= X3+ λ3d3 = ((−1, 3) + 0(4, 0)) = ((−1, 3) + (0, 0)) = (−1, 3) Diperoleh X4= (−1, 3)

Kemudian di subtitusikan sehingga menjadi X4− X3 = k(−1, 3) − (−1, 3)k = q (−1 + 1)2+ (3 − 3)2 =√02_{+ 0}2 =√0 = 0

Terlihat bahwa 0 < ε ⇒ 0 < 0, 01. Sehingga iterasi berhenti.

7

Menggunakan Metode Analitik

• Dengan konsep Arah Konjugasi yang telah dijelaskan di atas, maka per-hitungan dapat diselesaikan dengan Metode Analitik

Diketahui suatu fungsi f (x) = 3x12+2x22+4x1x2 - 6x1- 8x2 + 6

• Carilah turunan pertama terhadap x1 ∂f dx1 = 6x1+ 4x2− 6 = 0 → 6x1= 6 − 4x2 → x1= 6−4x₆ 2 → x1= 1 −2₃x2 Sehingga ⇒ ∂ 2_f dx1 = 6 • Carilah turunan pertama terhadap x2

∂f dx2 = 4x2+ 4x1− 8 = 0 → 4x2+ 4 1 −2₃x2
− 8 = 0 → 4x2−8₃x2− 4 = 0 → 4 3x2= 4 x2= 3 Sehingga ⇒ ∂ 2_f dx2 = 4 • Kemudian kita cari x1

Karena x2 telah diketahui x2=3, maka kita sibtitusikan terhadap

x1= 1 − 2 3x2 sehingga x1= 1 −2₃x2 x1= 1 −2₃(3) x1= 1 − 2 x1= −1

Dengan demikian didapat x1=−1 dan x2=3

• Kemudian Cek apakah terbukti nila x1=−1 dan x2=3 meminimumkan

fungsi f (x) = 3x12+2x22+4x1x2 - 6x1- 8x2 + 6 atau tidak. ∂2f dx1 × ∂2f dx2 −  ∂2f dx1dx2  > _dx∂f 1 × ∂f dx2 = 6 × 4 − (4)2 = 24 − 16 = 8 = 8 > 0

Terlihat bahwa terbukti nila x1=−1 dan x2=3 meminumumkan fungsi

f (x) = 3x12+2x22+4x1x2 - 6x1 - 8x2+ 6

BAB III PENUTUP

8

Kesimpulan

Metode Numerik Arah Konjugasi Merupakan salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Dan langkah-langkah da-lam menyelesaikan masalah optmisasi tersebut berbeda dengan metode nu-merik lainnya, yaitu Diberikan Z=F (x1,x2),kemudian menentukan nilai X =

(x1,x2)∈R2yang meminimalkan atau memaksimalkan Z=F {X} atau Z=F (x1,x2)

Kemudian Metode Arah Konjugasi lebih baik dari pada metode Steepest Descent, tetapi tidak juga dengan metode Newton. Seperti yang dilihat dari metode Steepest Descent dan metode Newton, faktor penting dalam efisiensi su-atu metode pencarian berulang adalah arah pencarian pada setiap iterasi.Untuk fungsi kuadrat n variabel

f (x) = 1 2x

T_{Qx − x}T_{b, x ∈ R}n_{, Q = Q}T _{> 0,}

Arah pencarian terbaik disebut dengan arah Q-Konjugat. Pada dasarnya dua arah d(1) _{dan d}(2) _{di R}n _{dikatakan Q- Konjugat jika d}(1)T_Qd(2)₌₀

9

Saran

sebaiknya sebelum menyelesaikan permasalahan numerik menggunakan metode arah konjugat kita harus lebih dulu memahami metode numerik Steepest De-scent karena algoritma arah konjugasi turunan dari metode Steepest DeDe-scent.

DAFTAR PUSTAKA

Chong, Edwin. kChong, Edwin. K.P. 2001.Chong, Edwin. K.P. 2001. An Introduction To Optimization. A Wiley Interscience Publication, John Wiley end Sons INC: Newyork

METODE ARAH KONJUGAT

Nur Ukhti Salamah

1384202147

8 Juni 2016

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

Matematika merupakan ilmu yang banyak dibutuhkan dalam kehidupan sehari-hari. Matematika juga menjadi sumber untuk pengembangan ilmu pengetahuan yang lain. Matematika memiliki daya abstraksi yang mampu mengabstraksikan permasalahan-permasalahan yang sering muncul baik dalam matematika itu sendi-ri maupun dalam kehidupan nyata sehingga mampu menyelesaikan permasalahan dengan tepat dan cepat.

Dalam sejarah perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, matematika memegang peranan yang sangat penting untuk memecahkan berbagai permasa-lahan secara kuantitatif. Para ahli menciptakan berbagai metode atau cara untuk menyelesaikan permasalahan manusia yang menyangkut persamaan multivariabel. Dengan berbagai metode tersebut, maka hasil perhitungan akan mendekati atau konvergen dengan nilai (solusi ) aslinya.

Optimasi sebagai salah satu cabang dalam matematika sering digunakan seba-gai acuan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bidang ekonomi, teknik, dan lainnya. Dengan optimasi maka permasalahan-permasalahan yang ada dapat di prediksi dan dicari permasalahannya yang optimal.

Secara umum optimasi dikategorikan menjadi 2 bagian, yaitu optimasi dengan kendala dan optimasi tanpa kendala. Optimasi dengan kendala adalah penyele-saian permasalahan untuk mendapatkan penyelepenyele-saian yang optimal dengan mem-perhatikan faktor-faktor pembatas yang harus dipenuhi, melalui tahapan-tahapan perhitungan tertentu. Sedangkan optimasi tanpa kendala adalah penyelesaian ma-salah tanpa adanya faktor pembatas yang mempengaruhi proses perhitungan sam-pai penyelesaian optimal tercasam-pai. Penyelesaian optimal dapat diartikan sebagai

penyelesaian yang minimal maupun penyelesaian yang maksimal. Pada prinsip-nya mencari nilai maksimal suatu fungsi f(x) sama artiprinsip-nya dengan mencari nilai maksimal dari negatif fungsi f(x).

Pada makalah ini akan dibahas permasalahan optimasi tanpa kendala (untuk kasus dengan kendala diubah menjadi permasalahan tanpa kendala), dan untuk kasus meminimalkan serta fungsinya merupakan fungsi konveks.

Dalam meminimalkan fungsi nonlinier multivariable f(x) tanpa kendala yaitu dengan mencari vektor X =(x1, x2, ..., xn) sehingga fungsi f(x) minimal.

Apabi-la penyelesaiannya dapat di usahakan secara analitik tentu akan mempermudah memperoleh penyelesaiannya yang optimal, karena penyelesaian eksaknya dida-patkan. Tetapi untuk berbagai persoalan hal ini tidak selalu mudah dilakukan sehingga perlu diupayakan penyelesaian secara numerik yang mendekati penyele-saian eksak.

Ada beberapa pendekatan secara numerik untuk mencari nilai minimum sua-tu fungsi nonlinier multivariable f(x). Pada makalah ini akan dibahas pendekatan secara numerik menggunakan metode gradien sekawan (conjugate gradient). Meto-de gradien sekawan merupakan metoMeto-de untuk meminimalkan suatu fungsi dimana arah pencarian pertamanya diambil arah penurunan tercuram (steepest descent). Untuk mendapatkan kekonvergenan yang lebih cepat, maka selain menggunakan arah penurunan tercuram juga menggunakan arah yang saling konjugat. Metode gradien sekawan menggunakan arah pencarian yang saling ortogonal serta gradien yang selalu diperbaharui pada setiap langkah iterasi, sehingga pada setiap iterasi akan bergerak maju menuju penyelesaian yang optimal.

Sebagian besar pembahasan melibatkan operasi vektor dalam bentuk matriks sehingga diasumsikan operasi matriks yang meliputi jumlah dua matriks, hasil kali matriks dengan suatu skalar dan perkalian dua matriks terdefinisi.

1.1

Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan metode numerik arah konjugasi? 2. Bagaimana algoritma dalam arah konjugasi?

3. Bagaimana cara menyelesaikan persoalan numerik dengan menggunakan arah konjugasi?

1.2

Tujuan

1. Untuk menambah pengetahuan mengenai berbagai metode yang dapat di-gunakan dalam persoalan numerik

2. Dapat melatih mahasiswa dalam menganalisis permasalahan-permasalahan numerik

3. Untuk menyelesaikan tugas mata kuliah metode numerik

PEMBAHASAN

2

Pengertian Arah Konjugat

Metode arah konjugasi (Conjugate Direction) telah diakui secara luas karena ke-gunaanya yang begitu besar. Manfaat paling utama dari metode yakni dalam memecahkan permasalahan skala besar di bidang ekonomi dalam proses hitung-menghitung dan meminimalkan simpanan kebutuhan. Selain itu, mengakumulasi batas toleransi keslahan mencapai 10−10 .

Metode Arah Konjugasi telah diusulkan selama kurang lebih 50-60 tahun. Se-lama 10 tahun terakhir metode ini terus diperbaiki dan berbagai macam program telah ditambahkan (diperluas). Arah konjugasi adalah metode iteratif yang sa-ngat popular untuk memecahkan permasalahan sistem linier berskala besar. Pada umumnya arah konjugasi dapat dinyatakan sebagai metode langsung (direct me-thod) atau metode iteratif (Iteratif Meme-thod). Akan tetapi biasany aarah konjugasi digunakan sebagai metode iteratif supaya dapat diaplikasikan pada sistem jarang (Sparse System) yang terlalu besar jika dipecahkan dengan metode langsung. Sis-tem seperti ini biasanya muncul saat memecahkan persamaan diferensial parsial.

Metode gradien konjugat termasuk pada metode Subruang Krylov yang me-rujuk pada pemecahan iterasi dari persamaan linear dengan bentuk Ax = y. To-piknya adalah untuk membuat persamaan dari solusi perkiraan vektor kombinasi linear dengan tipe u, Au, A2u, Anu dalam metode ini matriks A adalah matriks simetris dan matriks positif definit.

Conjugate Directiont (CD) digunakan untuk menentukan approximasi atau pendekatan persamaan dari solusi persamaan Ax = y dengan minimisasi fungsi.

Algoritma arah konjugat dapat ditentukan dengan cara :

1. Diberikan Z = F (x1, x2) dan akan ditentukan¯x = (x1, x2) yang

meminimalk-an atau memaksimalkmeminimalk-an Z = F (x1, x2)

2. Ambil sembarang titik awal ¯x1 = (x1, x2)R2

3. Dibentuk suatu matriks H (Hessian)

H = " _∂z ∂x12 ∂z ∂x1x2 ∂z ∂x2x1 ∂z ∂x22 #

4. Tetapkan arah pencarian

d1 = " 1 0 # , d2 = " a b # 4

5. dengan d2 = dT1Hd1 dan d2=0 lakukan untuk dk = dTk−1Hdk atau dk+1 = dT_kHdk+1 dengan dTk = Transpos dk Contoh: dk =      a1 a2 : an      ; d T k = [ a1 a2 : an] 6. Tentukan λk= M in z(xk+ λkdk) dan xk+1 = xk+ λkdk

7. Berhenti ketika k xk− xk−1 k < ε, ε >0 sembarang konstanta

Contoh : k(a1, b1) − (a2, b2)k = q (a1− a2) 2 + (b1− b2) 2 Contoh Soal 1:

Max Z = x1 2+ x2 2− 3x1x2+ 2x1 , dengan arah konjugasi dimulai dari titik

(0,0) dengan toleransi kesalahan 0,01!

Jawab :

• Ambil ¯x = (0, 0), dengan toleransi kesalahan ε = 0,01 • Dibentuk suatu matriks H (Hessian)

H =

"

2 −3

−3 2

#

• Dimana arah pencariannya :

d1 = " 1 0 # ; d2 = " a b # • dengan d2 = d1T.H.d2 h 1 0 i. " 2 −3 −3 2 # . " a b # h 2 −3 i. " a b # = 0 2a − 3b = 0 2a = 3b a = 3 2b 5

• Misal ambil a = 1, 5 maka nilai b = 1 • Dicari λ1 dengan = Max z(x1+ λ1d1)

= Max z (0,0) + λ1 (1,0) = Max z (0,0) + (λ1, 0) = Max z (λ1, 0) • Dengan z (λ1, 0) maka = (λ1)2 + (0)2- 3(λ1).0 + 2(λ1) = (λ1)2+ 2(λ1) • λ1 dicari dengan _dλdz 1 = 2λ1+ 2 = 0 ⇔ λ1 = −1 ITERASI 2 • x2 = (x1+ λ1d1) x2= (0,0) + -1 (1,0) x2= (0,0) +(-1,0) x2=(-1,0) • kita cek x2 = (−1, 0) ⇔k xk− xk−1 k < ε dengan = k (−1, 0) − (0, 0) k =q(−1)2+ (0)2 =√1 = 1 > ε • Dicari λ2 dengan = Max z(x2+ λ2d2)

= Max z (-1,0) + λ2 (1,5;1) = Max z (-1,0) + (1, 5λ2, λ2) = Max z (1, 5λ2− 1, λ2) • Dengan z (1, 5λ2−1, λ2) = (1, 5λ2−1)2 + (λ2)2- 3(1, 5λ2−1).(λ2) + 2(1, 5λ2− 1) = (2, 25λ2)2− 3λ2+ 1 + (λ2)2+ (−4, 5λ2+ 3)(λ2) + (3λ2− 2) = (2, 25λ2)2− 3λ2+ 1 + (λ2)2− (4, 5λ2)2+ 3λ2+ 3λ2− 2 = (−1, 25λ2)2 + 3λ2− 1 = 0 • λ2 dicari dengan _dλdz₂ = −2, 5λ2+ 3 = 0 ⇔ λ2 = 1, 2 ITERASI 3 • x3 = (x2+ λ2d2) x3= (-1,0) + 1,2 (1,5;1) x3= (-1,0) +(1,8;1,2) x3= (0,8 ; 1,2) 6

• kita cek x3 = (0, 8; 1, 2) ⇔k xk− xk−1 k < ε

dengan = k (0, 8; 1, 2) − (−1, 0) k =

q

(1, 8)2+ (1, 2)2 = √4, 68 = 2, 16 > ε(iterasi belum berhenti sebab masih lebih dari ε)

• Dicari λ3 dengan = Max z(x3+ λ3d3)

= Max z (0,8 ; 1,2) + λ3 (1,0) = Max z (0,8 ; 1,2) + (λ3, 0) = Max z (0, 8 + λ3; 1, 2) • Dengan z (0, 8+λ3; 1, 2) = (0, 8+λ3)2+ (1, 2)2- 3(0, 8+λ3).(1, 2) + 2(0, 8+λ3) = 0, 64 + 1, 6λ3+ (λ3)2+ 1, 44 + (−2, 4 − 3λ3)(1, 2) + 1, 6 + 2λ3 = (0, 64 + 1, 6λ3+ (λ3)2+ 1, 44 − 2, 88 − 3, 6λ3+ 1, 6 + 2λ3 = (λ3)2+ 0, 8 • λ3 dicari dengan _dλdz₃ = 2λ3 = 0 ⇔ λ3 = 0 ITERASI 4 • x4 = (x3+ λ3d3) x4= (0,8 ; 1,2) + 0 (1,0) x4= (0,8 ; 1,2) +(0,0) x4= (0,8 ; 1,2) • kita cek x4 = (0, 8; 1, 2) ⇔k xk− xk−1 k < ε dengan = k (0, 8; 1, 2) − (0, 8; 1, 2) k = q (0)2+ (0)2 = √0 = 0 < ε(iterasi berhenti sebab kurang dari ε)

NOTE:

Karena k∇Z = 0, 8; 1, 2k = 0 maka hal ini bisa dikatakan bahwa kesalahan per-hitungan atau error adalah 0, sehingga mengakibatkan jawaban yang didapat dengan menggunakan metode numerik (arah konjugasi) adalah sama dengan so-lusi analitiknya.

SOLUSI ANALITIK

Contoh Soal :

Max z = x1 2+ x2 2− 3x1x2+ 2x1 , dengan arah konjugasi dimulai dari titik (0,0)

dengan toleransi kesalahan 0,01!

Jawab • dz dx1 = 2x1− 3x2 + 2 ⇔ 2x1 = 3x2− 2 = x1 = 3x2−2 2 • d2_z dx1 = 2 • dz dx2 = 2x2− 3x1 ⇔ 2x2 = 3( 3x2−2 2 ) 2x2 = 9x2₂−6 4x2 = 9x2− 6 ⇔ x2 = 1, 2 ∗x1 = 3x2₂−2 x1 = 3(1,2)−2₂ x1 = 3,6−2₂ ⇔ x1 = 0, 8 • d2_z dλ2 = 2

Sekarang kita buktikan nilai x1 = 0, 8 dan x2 = 1, 2 benar memaksimalkan fungsi

Z = x1 2+ x2 2 − 3x1x2+ 2x1

CEK !! ∂2_z ∂x1. ∂2_z ∂x2 −  _∂2_z ∂x1x2  = 2.2 − (−3)2 _{= −5 < 0 (terbukti memaksimalkan )} Contoh Soal 2:

Min Z = 2x1x2+ x1 2+ 2x2 2− 4x1 , dengan arah konjugasi dimulai dari titik

(0,0) dengan toleransi kesalahan 0,01!

Jawab :

• Ambil ¯x = (0, 0), dengan toleransi kesalahan ε = 0,01 • Dibentuk suatu matriks H (Hessian)

H =

"

2 2 2 4

#

• Dimana arah pencariannya :

d1 = " 1 0 # ; d2 = " a b # • dengan d2 = d1T.H.d2 h 1 0 i. " 2 2 2 4 # . " a b # 2a + 2b = 0 2a = −2b a = −b • Misal ambil a = −1 maka nilai b = 1 • Dicari λ1 dengan = Min Z(x1+ λ1d1)

= Min Z (0,0) + λ1 (1,0)

= Min Z (0,0) + (λ1, 0)

= Min Z (λ1, 0)