Ratwa Suriadikirta Irawati A B S T R A C T “Daerah Euclid (DE) merupakan daerah ideal utama (DIU), dan daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal (DFT)” ditulis “ ”, namun kebalikan dari kedua implikasi tersebut tidak selalu benar.
DFT DIU DE⇒ ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − = ∈ + = = 2 19 1 , , ] [θ a bθ a b Z θ Z
A adalah salah satu
contoh DIU yang bukan merupakan DE, namun Z[θ] memenuhi kondisi “Almost Euclid (AE)”, sehingga diperoleh sebuah biimplikasi AE ⇔DIU. Almost Euclid
Telah diketahui bahwa : Jika R merupakan daerah Euclid (DE) maka R merupakan daerah ideal utama (DIU) dinotasikan , namun kebalikan dari implikasi tersebut tidak selalu benar. Akan ditunjukan bahwa
DIU DE⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ∈ = + − = 2 19 1 , , θ θ a b Z b a A adalah salah satu contoh DIU (daerah ideal utama) yang bukan DE (daerah Euclid).
Kita dapat menunjukan bahwa
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ∈ = + − = 2 2 1 , , * a bθ a b Z θ
A bahwa A* merupakan daerah Euclid
dengan fungsi penilaian Euclid ψ(z)=zz adalah modulus z pada bilangan kompleks. a. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ∈ = + − = 2 19 1 , , θ θ a b Z b a A Bukan Daerah Euclid (DE). Berikut diulang kembali pengertian daerah Euclid (DE).
Daerah integral A disebut daerah Euclid (DE) jika terdapat fungsi *
:A→ Z )
(fungsi disebut fungsi penilaianEuclid , sedemikian sehingga : i) a ≥0,∀a∈Adan a =0⇔a=0
ii) ab = a.b,∀a,b∈A
iii) Untuk a,b∈A, b≠0, terdapat q,r∈A sedemikian sehingga berlaku
b r dengan r qb a= + <
Dari kondisi (ii), diperoleh (ii’) yaitu a ≤ b,saat ab danb≠0. Untuk menunjukan A bukan daerah Euclid (DE), cukup ditunjukan bahwa tidak terdapat fungsi penilaian Euclid ( *
:A→ ) yang memenuhi ketiga Z sifat di atas. Akan diasumsikan terdapat fungsi penilaian Euclid yaitu fungsi
*
:A→ , kemudian ditrunjukan suatu kontradiksi. Z
Misal U adalah himpunan yang memuat elemen tidak nol di A dengan nilai fungsi Euclid terkecil (minimal). Setiap unit di A akan membagi sebarang elemen tidak nol di A, akibatnya menurut (ii’) sebarang unit di A akan merupakan anggota U dan menurut (iii) berakibat bahwa sebarang elemen U akan membagi elemen tidak nol di A dan U tepat beranggotakan semua unit di A. Selanjutnya akan ditunjukan U =
{ }
1,−1 . Pandang : ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ∈ = + − = 2 19 1 , , θ θ a b Z b a A ! Untuk , konjugasi dari bilangan kompleks A a∈ a ditulis a . Maka berlaku : I. θ =1−θ II. θθ =5 III. θ2 =θ −5IV. Untuk sebarang x=a+bθ∈A maka θx=(a+b)θ −5b
Sehingga diperoleh : A tertutup terhadap konjugasi pada bilangan kompleks (I), 5 bukan prima di A dan θ bukan unit di A sehingga 5 unsur terurai di A (II), A tertutup terhadap perkalian pada bilangan kompleks (III).
Jika N(z)=zz adalah modulus z pada bilangan kompleks, maka :
V. N(a+bθ)=
(
a+bθ)
.(a+bθ)=a2 +ab+5b2, sehingga berlaku : a. N(xy)= N(x).N(y);∀x,y∈A danb. N(x)≥0, ∀x∈Adan N(x)=0⇔ x=0
Jika a+bθ∈A adalah unit maka
(minimal) , sehingga jika
) 1 ( 1 5 ) (a b a2 ab b2 N N + θ = + + = = 1 0 0 = =± ≥ maka b dan a
ab . Begitu pula karena
θ θ a b b b a+ = + − , maka 1 ) ( 5 4 ) ( ) ( ) (a+bθ = N a+b−bθ = a+b 2 −ab+ b2 =a2 +ab+ b2 = N a+bθ = N
sehingga jika ab≤0 maka b=0 dan a=±1. Kesimpulannya adalah U =
{ }
1,−1 . Sekarang asumsikan bahwa m adalah nilai fungsi Euclid minimal diantara elemen di A yang berbeda dengan 0, 1, ‐1. Implikasi dari (iii) bahwa 2=qm+r dengan r < dan m r =0, atau r=1atau r=−1, sehingga m2,atau m3. Kemudian klaim m adalah salah satu dari ± atau2 ±3. Klaim tersebut adalah konsekuensi pada pakta bahwa 2 dan 3 adalah prima di A, yang ditunjukan sebagai berikut: Andai 2=(a+bθ)(c+dθ) dengan a+bθ dan c+dθ bukan unit di A, maka N(2)=N(
(a+bθ)(c+dθ))
=N(a+bθ).N(c+dθ)=4, akibatnya N(a+bθ)=2= N(c+dθ), sehingga 2 2 2 2 4 ) ( ) ( 5 ) ( 2=N a+bθ =a +ab+ b = N a+bθ = a+b −ab+ b , dan 2 2 2 2 4 ) ( ) ( 5 ) ( 2=N c+dθ =c +cd+ d =N c+dθ = c+d −cd+ d ,Untuk kasus ab≥0 dan ab<0, kita peroleh b=0 , serta untuk kasus 0
, 0
0 < =
≥ dan cd kita peroleh d
cd , sehingga 2=(a+bθ)(c+dθ)=ac. Mengingat 2 adalah prima di Z, 2 juga prima di A. Analog, 3 prima di A.
Gunakan (iii), θ kongruen (atau 0 atau1atau −1) mod.(atau ±2 atau ±3) dengan kata lain θ θ − θ + dapat dibagi oleh 2 atau 3. Tetapi hal
ini tidak mungkin mengingat N(θ)= N(θ −1)=5dan N(θ +1)=7 serta . 9 ) 3 ( 4 ) 2 ( = dan N = N
Dengan demikian diperoleh suatu kesimpulan bahwa
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ∈ = + − = 2 19 1 , , θ θ a b Z b a A bukan daerah Euclid (DE). b. Almost Euclid (AE) Definisi Almost Euclid :
Daerah integral D disebut Almost Euclid (AE) jika terdapat fungsi ( * :D Z d → Z : Bilangan bulat non negatif) yang memenuhi : * 1 d(0)=0, d(a)>0 jika a≠0 2 Jika b≠0, maka d(a)≤d(ab), ∀a∈D
3 Untuk setiap a,b∈D, b≠0 maka berlaku salah satu dari i) a= ,bq untuk suatu q∈D
ii) 0<d(ax+by)<d(b), untuk suatu x,y∈D Fungsi * disebut fungsi Almost Euclid :D Z d → c. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − = ∈ + = 2 19 1 , , θ θ a b Z b a
A Memenuhi Kondisi Almost
Euclid Akan ditunjukan bahwa ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − = ∈ + = 2 19 1 , , θ θ a b Z b a A memenuhi
kondisi Almost Euclid yaitu : untuk setiap α,β∈A, β ≠0 jika β tidak membagi α dan N(α)≥ N(β) maka terdapat s,t∈A yang memenuhi :
) ( ) ( 0<N αs−βt <N β hal dimaksud ekuivalen dengan kondisi bahwa 1 ) ( 0< N s−t < β α ... Almost Euclid
Untuk menunjukan Almost Euclid ambil α,β∈A, β ≠0. Jika β tidak membagi α dan N(α)≥ N(β), tulis = + −19∈Q
[ ]
,denganc>1c b a θ β α dan
a, b, c bilangan bulat yang relatif prim. Karena a, b, c bilangan bulat yang relatif prim, maka (akibat teorema 2.8.3) terdapat x,y,z∈Z yang memenuhi 1 = + +by cz ax . Tulis ay−19bx=cq+r , . Pilih , r dan q suatu untuk ) ( ) (r N c N
dengan < s,t∈A dengan, s= y+x −19 dan 19 − − =q z t , sehingga Almost Euclid dipenuhi jika . Kemudian periksa untuk kasus‐kasus 5 ≥ c 4 , 3 , 2 = = = c dan c c
a. Kasus Diketahui bahwa a, b, c bilangan bulat yang relatif prim, maka untuk c = 2, salah satu bilangan a atau b akan bernilai ganjil. Pilih . 2 = c dengan A t s, ∈ 2 19 ) 1 ( , 1 = − + − = dan t a b s sehingga memenuhi Almost Euclid.
b. Kasus Memperhatikan bahwa a, b, c bilangan bulat yang relatif prim maka a dan b tidak keduanya merupakan kelipatan tiga, akibatnya tidak dapat dibagi tiga untuk setiap ,
tulis . 3 = c 2 2 19b a + a,b∈Z , 3 19 2 2 r q b
a + = + dengan r =1atau r =2. Pilih
dengan A
t
s, ∈ s=a−b −19 dan t = sehingga memenuhi q
c. Kasus Memperhatikan a, b, c bilangan bulat yang relatif prim maka untuk c = 4, akan berakibat nilai a dan b tidak keduanya genap. . 4 = c
i. Kasus jika salah satu bilangan a atau b bernilai genap, maka tidak dapat dibagi empat , tulis Pilih 2 2 19b a + . 4 0 , , , 4 19 2 2 < < ∈ + =
+ b q r untuk suatu q r Z dan r
a dengan A t s, ∈ s=a−b −19 dan sehingga memenuhi Almost Euclid. q t=
ii. Kasus jika bilangan a dan b keduanya bernilai ganjil, maka merupakan kelipatan delapan , tulis Pilih 4 19 2 2 − + b a . ; 4 8 19 2 2 Z q suatu untuk q b a + = + ∈ dengan A t s, ∈ 2 19 − − = a b s dan sehingga memenuhi Almost Euclid. q t = Jadi ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − = ∈ + = 2 19 1 , , θ θa b Z b a
A memenuhi kondisi Almost
Euclid Teorema 1 Daerah integral D adalah Almost Euclid (AE) jika dan hanya jika D adalah daerah ideal utama (DIU). Bukti :
( )
⇒ iMisal D adalah Almost Euklid (AE), dan misal , dengan I adalah ideal dan D I ⊆ 0 ≠
I . Misal b∈I , dengan d(b)≤d(n), ∀n∈D. Ambil , untuk setiap I a∈ D y x, ∈ , maka ax+by∈I. Menurut definisi berarti b tidak memenuhi kondisi 3. ii) yaitu 0<d(ax+by)<d(b), untuk suatu x,y∈D, maka haruslah memenuhi kondisi 3. i), artinya a= ,bq untuk suatu q∈D sehingga I = b (DIU)
( )
⇐ii
Misal D adalah DIU maka D adalah UFD sehingga untuk setiap dan berlaku
0
, ≠
∈D a
a a bukan unit a=up1p2p3...pn, dengan u adalah
unit dan p adalah unsur tak terurai
Definisikan sebagai : . Kondisi 1 dan 2 dipenuhi dari definisi, mengingat
* :D Z d → ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = 0 ; 2 0 ; 0 ) ( a a a d n
{
0,1,2,3,...}
, 0 2n > ∀n= dan , sehingga : Untuk setiap berlaku n m n m = 2 + 2 . 2 , ,b D a ∈ d(ab)=d(a)d(b) maka dan . D a ab d a d( )≤ ( ),∀ ∈ 0 ≠ bMisal a,b∈D, dengan b≠0, misalkan pula I =
{
ax+byx,y∈D}
, dan karena , dengan I adalah ideal, tulis D I ⊆ I = r untuk suatu r∈Ddengan . Akibatnya dan 0 ≠ r 1 ) (x >d d(r)<d(b). Untuk r =x0a+ y0b maka berlaku , artinya kondisi 3 dipenuhi. ) ( ) ( 0<d r <d b Jadi daerah integral D merupakan Almost Euclid.
Dengan menggunakan teorema 1 tersebut, artinya
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − = ∈ + = 2 19 1 , , θ θa b Z b a
D q suatu untuk bq
a= , ∈ maka I = b . Misal I ≠ b , ambil
unit bukan x dan D x suatu untuk xr b I b∈ , = , ∈ , sehingga d(r)≤d(b). DAFTAR PUSTAKA 1 David S. Dummit, Richard M. Foote (1991), Abstract Algebra, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 07632 2 Ahmad Muchlis, Pudji Astuti (2007), Aljabar I, Universitas Terbuka 3 John B. Fraleigh (1999), A First Course In Abstract Algebra, Addison‐
Wesley Publishing Company
4 Hiram Paley, Paul M. Wechsel ( ), A First Course In Abstract Algebra, 5 Oscar A. Campoli (1988), A Principal Ideal Domain That Is Not a
Euclidean Domain, American Mathematical Monthly, 95, 868‐871 6 John Greene (1997), Principal Ideal Domains Are Almost Euclidean,
American Mathematical Monthly, , 154‐155