Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2021
PENGELOMPOKAN NEGARA BERDASARKAN KEJADIAN PENYAKIT TUBERKULOSIS DENGAN MODEL FINITE MIXTURE NORMAL MELALUI
KRITERIA INTEGRATED COMPLETED LIKELIHOOD
Hanifa Puspa Anindya1), Irwan Susanto2), Sri Subanti3)
1 Program Studi Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Sebelas Maret, Surakarta email: hanifapuspaanindya@student.uns.ac.id
2 Program Studi Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Sebelas Maret, Surakarta email: irwansusanto@staff.uns.ac.id
3 Program Studi Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Sebelas Maret, Surakarta email: srisubanti@staff.uns.ac.id
Abstrak
Tuberkulosis (TB) adalah penyakit menular yang menyerang paru-paru disebabkan oleh bakteri Mycobacterium tuberculosis. Penyakit tuberkulosis telah dicanangkan oleh World Health Organization (WHO) sebagai Global Emergency sejak tahun 1992. Penelitian ini bertujuan untuk mengelompokkan negara-negara berdasarkan kejadian penyakit tuberkulosis melalui kriteria nilai Integrated Completed Likelihood (ICL) untuk menjadi referensi penyusunan strategi kebijakan menanggulangi tuberkulosis. Metode estimasi parameter model mixture dilakukan dengan metode estimasi maksimum likelihood menggunakan algoritma expectation maximization (EM) dan keseluruhan populasi dimodelkan sebagai model finite mixture normal. Penggunaan model finite mixture dapat digunakan pada data multimodal atau diindikasikan sebagai adanya kelompok yang berbeda pada data dengan banyaknya modus lebih dari satu. Kriteria ICL mampu memperkirakan jumlah komponen mixture yang stabil dan reliabel dibandingkan kriteria Bayesian Information Criterion (BIC). Penentuan jumlah kelompok optimal yang terbentuk berdasarkan nilai ICL terbesar. Berdasarkan analisis diperoleh hasil tiga kelompok yang terbentuk yaitu kelompok pertama terdapat 60 negara yang didominasi oleh negara-negara dengan Produk Domestik Bruto (PDB) per kapita yang tinggi, kelompok kedua terdapat 81 negara yang didominasi oleh negara- negara dengan PDB per kapita yang menengah, selanjutnya kelompok ketiga terdapat 62 negara yang didominasi oleh negara-negara dengan PDB per kapita yang rendah..
Kata Kunci : Algoritma EM, Finite Mixture Normal, ICL, Tuberkulosis
1. PENDAHULUAN
Tuberkulosis (TB) merupakan penyakit infeksi yang menyerang paru-paru dan bersifat menular dan menjadi permasalahan kesehatan yang serius karena dapat menyebabkan kematian. Penyakit tuberkulosis sudah dicanangkan oleh WHO (World Health Organization) sebagai Global Emergency sejak tahun 1992. Proses destruksi terjadi pula secara simultan proses penyembuhan jaringan paru sehingga terjadi perubahan struktural yang bersifat menetap yang menyebabkan berbagai kelainan fatal paru. WHO memperkirakan antara tahun 2002 hingga 2022, 1.000 juta orang akan terinfeksi, lebih dari 150 juta orang akan sakit dan 36 juta orang akan meninggal akibat
tuberkulosis apabila kontrol ke depan tidak baik (DepkesRI, 2007).
Untuk mengidentifikasi suatu kelompok pada populasi berdasarkan distribusi probabilitas dan keseluruhan populasi dimodelkan sebagai sebuah finite mixture distribusi dapat menggunakan model based clustering (Banfield, J. D. and Raftery, A. E, 1993). Algoritma Expectation Maximization (EM) yaitu algoritma iteratif yang diterapkan untuk menemukan penduga parameter dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood.
Sedangkan untuk mengelompokkan negara ditentukan melalui kriteria Integrated Completed Likelihood (ICL). Kriteria ICL ditujukan untuk mengatasi kecenderungan kriteria BIC yang menaksir jumlah kelompok berlebihan (Wu, 2014).
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2021 Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk
mengelompokkan negara-negara menurut data kejadian penyakit tuberkulosis melalui kriteria Integrated Completed Likelihood (ICL) pada model finite mixture normal supaya dapat diketahui karakteristik dari kelompok negara yang terbentuk sehingga dapat dipertimbangkan dalam menyusun strategi penanggulangan penyakit tuberkulosis.
Penelitian mengenai tuberkulosis telah diteliti oleh Tuasikal (Tuasikal, 2018) mengenai pengelompokan wilayah berdasarkan faktor-faktor penyebab tuberkulosis pada tahun 2015 menggunakan K-means clustering. Hasil yang dari penelitian tersebut disimpukan terdapat tiga kelompok yang terbentuk.
2. KAJIAN LITERATUR 2.1 Distribusi Normal
Fungsi densitas peluang dari distribusi normal yaitu,
f(𝑥;𝜇,𝜎2) =
√
𝑥 𝜇 dengan 𝑥 adalah variabel random kontinu dengan −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞. Mean 𝜇 dan variansi 𝜎2 merupakan parameter dari distribusi normal dengan −∞ ≤ 𝜇 ≤ ∞ dan 𝜎 2 > 0. Dengan demikian fungsi f(𝑥;𝜇,𝜎2) dapat juga dituliskan dengan 𝑋~ N(𝜇,𝜎2) dan dapat dibaca bahwa variabel random 𝑥 mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 (Bain, L. J. and Engelhardt, M, 1992).
2.2 Model Finite Mixture Normal
Model finite mixture didasarkan pada representasi kelompok sub-sub populasi tersebut sebagai suatu komponen mixture.
Vektor variabel random 𝑥 [𝑥 𝑥 𝑥 ] yang bertipe diskrit maupun kontinu berasal dari distribusi finite mixture jika fungsi densitas probabilitas (𝑥𝑖) didefinisikan sebagai.
𝑥 𝑥 𝑥 Untuk 𝑥 dengan 𝑥 merupakan fungsi kepadatan probabilitas mixture untuk semua dengan k merupakan banyaknya komponen mixture.
[ ] merupakan vektor parameter komponen mixture dari distribusi finite mixture dengan sebagai parameter
bobot (weight). Nilai-nilai dalam harus memenuhi dan ∑ .
Pada kasus ini, diasumsikan semua distribusi finite mixture berasal dari distribusi probabilitas yang memiliki vektor parameter , maka densitas mixture dapat ditulis dengan 𝑥 𝑥
𝑥 ∑ 𝑥
(1)
dengan [ ] [ ] (Fruhwirth-Schnatter, 2006). Model finite mixture adalah model statistika dengan distribusi finite mixture sebagai implementasi dalam pemodelannya (Susanto, I., and Handajani, S. S., 2020).
2.3 Metode Estimasi Maksimum Likelihood
Metode Estimasi Maksimum Likelihood (MLE) bertujuan memperkirakan parameter model dalam model mixture. Misalnya diberikan observasi 𝑥, 𝑖 saling independen dan [ ] maka fungsi likelihood dari model finite mixture (1) didefinisikan sebagai
∏ [∑ 𝑥
]
(2) dalam pendekatan metode estimasi maksimum likelihood untuk mengestimasi parameter model finite mixture, penduga maksimum likelihood, ̂ merupakan penyelesaian dari persamaan
(3) dengan
∑ [∑ 𝑥
]
(4)
merupakan fungsi log-likelihood observasi.
Proses persamaan (3) tidak mudah dilakukan karena fungsi likelihood (2) tidak dalam bentuk closed-form (Celeux, G., 2018).
Sehingga Expectation-Maximization (EM) merupakan solusi untuk mengatasi masalah tersebut.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2021 2.4 Algoritma Expectation Maximization
(EM)
Algoritma EM dilakukan dalam dua tahap yang pertama Expectation-Step (E-Step) dan Maximization-Step (M-Step).
i. Tahap Expectation (E)
Pada tahapan Expectation dilakukan evaluasi hasil kelompok pada inisiasi awal dengan menggunakan parameter penduga ̂ merupakan probabilitas observasi 𝑥 dengan 𝑖 untuk menjadi bagian dalam komponen mixture , pada iterasi ke-s, sehingga pada tahap ini ̂ diproses melalui
̂
𝑥
∑ 𝑥 (5) ii. Tahap Maximization (M)
Pada tahap Maximization,dilakukan perkiraan kembali parameter ̂ yang merupakan penyelesaian dari
{∑ ∑ ̂ [ 𝑥 ]
} dan saat iterasi ke-(s+1) menduga parameter bobot dengan
̂ ∑ (Dempster,. et all, 1977).
2.5 Uji Goodness of Fit
Kemudian untuk mengidentifikasi data berdistribusi univariat multimodal dilakukan uji goodness of fit dengan hipotesis null yaitu pola data mengikuti distribusi unimodal dan hipotesis alternatif yaitu pola data mengikuti distribusi multimodal. Daerah kritisnya ditolak jika atau untuk statistik uji menggunakan
∑[ 𝑖 ][ ( )
] dengan
𝑥 𝑥̅
: nilai Anderson Darling.
: ukuran sampel.
𝑥 : data ke-i yang telah diurutkan.
𝑥̅ : rata-rata data yang telah diurutkan.
: data 𝑥 yang telah di standarisasi.
: standar deviasi.
: nilai fungsi distribusi kumulatif normal baku di .
Modifikasi dari metode Anderson Darling menggunakan rumus
( ) dan
( )
dengan , , dan ditunjukkan dalam tabel Anderson Darling. Selanjutnya dapat ditarik kesimpulan.
2.6 Uji Signifikansi Model Finite Mixture Uji signifikansi untuk model finite mixture berbasis bootstrap likelihood ratio statistics untuk mengetahui model finite mixture yang sesuai dalam memodelkan data (Yu, 2018). Pada pengujian ini hipotesis null yang dipakai yaitu data mengikuti distribusi probabilitas unimodal dengan nilai
dan untuk hipotesis alternatif yaitu data mengikuti model finite mixture, dimana dalam hal ini banyaknya yaitu komponen mixture ditambah satu dengan nilai . Daerah kritisnya ditolak jika < . Statistik uji yang digunakan sebagai berikut
∑
(6) dengan adalah likelihood ratio statistic, I fungsi indikator dan B merupakan banyaknya proses boostrap yang dilakukan untuk membentuk vektor . Kemudian dapat ditarik kesimpulan.
2.7 Pemilihan Model
Pemilihan model finite mixture yang tepat ditentukan dengan banyaknya komponen mixture yang sesuai untuk mewakili pola pengelompokan dalam suatu distribusi data.
Bayesian Information Criterion (BIC) adalah salah satu ukuran informasi yang sering digunakan dalam menentukan banyaknya komponen mixture dalam suatu model. BIC tidak tergantung pada data, selain dari ukuran sampel n sehingga digunakan untuk memilih jumlah komponen mixture untuk sebuah data cenderung untuk memilih jumlah komponen yang diusulkan tertinggi. Nilai BIC selalu meningkat dengan menambahkan komponen mixture baru.
( ̂ ) ( ̂ ) : fungsi likelihood dari ̂ .
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2021 : banyaknya parameter model finite
mixture.
: banyaknya data observasi.
Namun, dalam analisis kelompok (klaster) hal itu menunjukkan kecenderungan pemilihan jumlah komponen yang berlebihan (Wu, 2014). Selain BIC, proses pemilihan model-based clustering terbaik dapat menggunakan kriteria ICL (Integrated Completed Likelihood). ICL mampu memberikan perkiraan jumlah komponen mixture yang stabil dan reliabel.
( ̂ ) ( ̂ ) dengan
: fungsi Likelihood dari penduga maksimum likelihood ̂ .
̂ : fungsi kepadatan peluang bersama data lengkap.
: banyaknya parameter model finite mixture.
: banyaknya data pengamatan.
Model terbaik yang dipilih kriteria ICL yaitu model dengan nilai ICL terbesar.
3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan studi kasus data kejadian penyakit tuberkulosis per 100.000 penduduk di dunia tahun 2018. Data yang digunakan merupakan data dari 203 negara, yang merupakan data sekunder dari The World Bank.
Adapun penelitian yang digunakan melalui pemodelan finite mixture dengan langkah- langkah sebagai berikut:
a. Identifikasi pola distribusi univariat multimodal pada data Kejadian Penyakit Tuberkulosis (per 100.000 penduduk).
b. Pemilihan distribusi data menggunakan uji goodness of fit.
c. Estimasi model finite mixture normal dengan metode estimasi maksimum likelihood.
d. Uji signifikansi model finite mixture menggunakan uji boostrap likelihood ratio test.
e. Penentuan banyaknya komponen mixture berdasarkan ICL terbesar dan menginterpretasikan hasil pengelompokannya.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Identifikasi Pola Data Kejadian
Penyakit Tuberkulosis
Diberikan observasi 𝑥𝑖 sebagai jumlah kejadian penyakit tuberkulosis per 100.000 penduduk pada tahun 2018, kemudian dilakukan identifikasi pola distribusi data untuk melihat adanya pola multimodal.
Terdapat keterkaitan antara suatu distribusi kejadian yang mempunyai karaketristik multimodal dengan banyaknya komponen dalam distribusi finite mixture. Penentuan banyaknya kelompok pendapatan dapat ditentukan dengan mengidentifikasi banyaknya komponen mixture dalam model finite mixture. Identifikasi pola distribusi kejadian penyakit tuberkulosis di dunia per 100.000 penduduk dilakukan melalui plot histogram pada Gambar 1 dan dengan uji goodness of fit.
Gambar 1. Histogram Data Kejadian Penyakit Tuberkulosis Di Dunia Grafik distribusi kejadian penyakit tuberkulosis pada Gambar 1 menunjukkan adanya beberapa puncak dari distribusi atau bersifat multimodal. Kemudian dilakukan uji signifikansi goodness of fit untuk melihat terpenuhi atau tidaknya pola multimodal.
: Pola data mengikuti distribusi normal unimodal
: Pola data tidak mengikuti distribusi normal unimodal
TABEL 1. HASIL OUTPUT MINITAB UJI ANDERSON DARLING Distribusi
Probabilitas pada AD
Normal 19,209 0,005
Dari hasil output Minitab pada Tabel 1 didapatkan nilai sebesar 19,209 dan
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2021 sebesar 0,005. Selanjutnya dihitung nilai
dan :
(
) (
) Diperoleh = 19,281 > = 0,748 dan
= 0,005 < 0,05 maka ditolak yang berarti pola data tidak mengikuti distribusi normal unimodal.
Pada tahapan selanjutnya dilakukan uji signifikansi berbasis bootstrap likelihood ratio statistics (BLRS) untuk menguji lebih lanjut penerapan model finite mixture untuk distribusi data tersebut.
4.2 Uji Signifikansi Model
Uji signifikasi dengan menggunakan bootstrap likelihood ratio statistics dilakukan untuk melihat kesesuaian data jika dimodelkan dengan finite mixture. Pernyataan uji hipotesis diberikan sebagai berikut
(Model memiliki sebanyak komponen)
(Model memiliki sebanyak ditambah satu komponen) TABEL 2. UJI HIPOTESIS SIGNIFIKANSI
MODEL FINITE MIXTURE Model E Nilai Boostrap
LRTS
: 1 VS : 2 1,181771e+02 0,001 : 2 VS : 3 7,015635e-04 0,005 Model V Nilai Boostrap
LRTS
: 1 VS : 2 231,172770 0,001 : 2 VS : 3 95,737802 0,001 : 3 VS : 4 15,159599 0,006 : 4 VS : 5 20,596687 0,003 Hasil dari komputasi uji signifikansi model dipaparkan dalam Tabel 2. Diperoleh kesimpulan ditolak artinya data kejadian penyakit tuberkulosis lebih sesuai dimodelkan dengan model finite mixture dengan komponen mixture berdistribusi normal.
Selanjutnya dilakukan proses seleksi model berdasarkan kriteria Integrated Completed Likelihood (ICL) untuk memberikan perkiraan jumlah komponen mixture yang sesuai untuk model.
4.3 Seleksi Model
Selanjutnya untuk hasil seleksi model berdasarkan kriteria BIC dan ICL dipaparkan dalam Tabel 3 dan Tabel 4, sebagai berikut
TABEL3. MODEL YANG
DIREKOMENDASIKAN BERDASARKAN NILAI BIC
Model V,5 V,3 V,4
Nilai BIC
- 2287,398
- 2291,276
- 2292,056 TABEL4. MODEL YANG
DIREKOMENDASIKAN BERDASARKAN NILAI
ICL
Model V,3 V,5 V,4
Nilai ICL
- 2332,435
- 2363,143
- 2365,467 Berdasarkan Tabel 4 diperoleh tiga model yang direkomendasikan berdasarkan kriteria ICL, ketiga model tersebut apabila disesuaikan algoritma EM dan nilai ICL terbesar diperoleh model terbaik yaitu model V,3 atau model V dengan tiga komponen dengan nilai ICL - 2332,435. Dari hasil yang didapat dari model dengan kriteria BIC dan ICL dapat disimpulkan bahwa estimasi model finite mixture yang sesuai untuk distribusi kejadian penyakit tuberkulosis di dunia tahun 2018 per 100.000 penduduk adalah model finite mixture normal dengan menggunakan kriteria ICL dengan tiga komponen membuktikan bahwa pernyataan ICL merupakan solusi dari permasalahan BIC yang cenderung berlebihan dalam pemilihan banyaknya kelompok adalah benar, karena hasil yang diperoleh dari kriteria BIC yaitu dengan lima komponen, hasil tersebut lebih besar dibandingkan jumlah komponen yang dihasilkan berdasarkan kriteria ICL yang menghasilkan tiga komponen. Hasil komputasi estimasi model finite mixture diberikan oleh
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
(7)
dengan parameter bobot ̂ = 0,267, ̂ = 0,398, dan ̂ = 0,334 dan parameter- parameter dari distribusi normal pada komponen pertama ̂ = 6,972 dan ̂ = 11,361, pada komponen kedua ̂ = 46,266
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2021 dan ̂ = 671,146, pada komponen ketiga ̂ =
254,144 dan ̂ = 21893,905.
Model (7) menyatakan bahwa kelompok pertama terdapat 60 negara yang rata-rata kejadian penyakit tuberkulosis per 100.000 penduduk sebesar 6,972, untuk kelompok kedua terdapat 81 negara yang rata-rata kejadian penyakit tuberkulosis per 100,000 penduduk sebesar 46,266, dan untuk kelompok ketiga terdapat 62 negara yang rata-rata kejadian penyakit tuberkulosis per 100.000 penduduk sebesar 254,144.
Kelompok pertama yang didominasi negara- negara didominasi oleh negara-negara dengan Produk Domestik Bruto (PDB) per kapita yang tinggi seperti Amerika Serikat, Australia, dan Kanada, kelompok pertama merupakan kejadian penyakit tuberkulosis yang paling rendah dibandingkan negara- negara pada kelompok lainnya. Kelompok kedua yang didominasi negara-negara dengan PDB per kapita yang menengah seperti Brazil, Thailand, dan Tunisia. Sedangkan kelompok ketiga yang didominasi oleh negara-negara dengan PDB per kapita yang rendah seperti Ethiopia, Nigeria, dan Zimbabwe, kelompok ketiga merupakan kejadian penyakit tuberkulosis yang paling rendah dibandingkan negara-negara pada kelompok lainnya.
Hasil penelitian yang menunjukkan kesesuaian kriteria ICL ini selaras dengan hasil penelitian sebelumnya yang telah dilakukan oleh Agustini (Agustini, 2017).
Meskipun demikian terdapat perbedaan dalam penelitian keduanya, yang mana Agustini menggunakan data multivariat mengenai indikator pasar tenaga kerja (KILM) dan menemukan dua komponen mixture.
Sementara pada penelitian ini menggunakan data kejadian penyakit tuberkulosis dan menemukan tiga komponen mixture. Pada kedua penelitian tersebut ditemukan bahwa kriteria ICL sesuai untuk menghasilkan kelompok yang optimal. Namun demikian dalam penelitian tersebut jenis data yang digunakan bisa saja menyebabkan pengambilan kesimpulan yang tidak tepat dengan data yang digunakan.
5. KESIMPULAN
Data kejadian penyakit tuberkulosis per 100.000 penduduk setiap negara di dunia tahun 2018 memiliki pola distribusi multimodal sehingga dapat dimodelkan dengan finite mixture normal tiga komponen berdasarkan kriteria ICL. Ketiga komponen menggambarkan tiga kelompok berdasarkan rata-rata kejadian penyakit tuberkulosis per 100.000 penduduk. Kelompok pertama terdapat 60 negara, untuk kelompok kedua terdapat 81 negara, dan kelompok ketiga terdapat 62 negara. Kelompok pertama yang didominasi negara-negara didominasi oleh negara-negara dengan Produk Domestik Bruto (PDB) per kapita yang tinggi seperti Amerika Serikat, Australia, dan Kanada.
Kelompok kedua yang didominasi negara- negara dengan PDB per kapita yang menengah seperti Brazil, Thailand, dan Tunisia. Sedangkan kelompok ketiga yang didominasi oleh negara-negara dengan PDB per kapita yang rendah seperti Ethiopia, Nigeria, dan Zimbabwe.
6. REFERENSI
Agustini, M. (2017). Model-Based Clustering Dengan Distribusi tMultivariat Menggunakan Kriteria Integrated Completed Likelihood dan Minimum Message Length. Tesis. Institut Teknologi Sepuluh Nopember (SSI42501).
Bain, L. J. and Engelhardt, M. (1992).
Introduction to Probability and Mathematical Statistics. California:
Duxbury Press.
Banfield, J. D. and Raftery, A. E. (1993).
Model-Based Gaussian and Non- Gaussian Clustering. Biometrics, Vol. 49, No. 3, pp. 803-821.
Bank, W. (2020, 10 2). Retrieved from Incidence of tuberculosis (per 100.000 people): http://worldbank.org
Celeux, G. (2018). Model Selection for Mixture Models – Perspective and Strategies. Handbook of Mixture Analysis, pp. 01961077.
Dempster,. et all. (1977). Maximum Likelihood from Incomplete Data Via the EM Algorithm. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological), Vol. 39 No. 1, pp. 1-38.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2021 DepkesRI. (2007). Pedoman Nasional
Penanggulangan Tuberkulosis.
Departemen Kesehatan Republik Indonesia. Edisi 2, Cetakan I.
Fruhwirth-Schnatter, S. (2006). Finite Mixture and Markov Switching Models.
New York: Springer.
Susanto, I., and Handajani, S. S. (2020).
Pengelompokan Rumah Tangga di Indonesia Berdasarkan Pendapatan per Kapita dengan Model Finite Mixture.
MEDIA STATISTIKA,Volume 13(1), pp. 13-24.
Tuasikal, N. (2018). mplementasi Webgis, Geographically Weighted Poisson
Regression (Gwpr), Dan Clustering K- Means Untuk Analisis Data Tuberkulosis Dunia (Studi Kasus : Kasus Tuberkulosis Dunia Tahun 2015). Universitas Islam Indonesia.
Wu, J. (2014). Classification automatique a base de modele et choix de modeles pour les donnees discretisees. France: Supelec.
Yu, Y. (2018). Retrieved from Mclust: Finite Mixture Modeling for Raw and Binned Data [Daring]. R Package Version 0.1.1:
from: https://cran.r-
project.org/package=mclust
