SAMPLING & DISTRIBUSI SAMPLING

SAMPLING & DISTRIBUSI SAMPLING.

Sampel Vs Populasi populasi  parameter. sampel  statistik.

Populasi dan Sampel  Populasi : totalitas dari semua objek/ individu yg memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang akan diteliti  Sampel : bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yg juga memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yg dianggap bisa mewakili populasi.

Parameter vs statistik  Parameter : peubah acak yang menjelaskan ciri populasi  Statistik : peubah acak yang menjelaskan ciri sampel.

 Ukuran pemusatan : rataan/mean, median, modus  Ukuran keragaman : variansi, rentangan.

Ukuran pemusatan  Mean.  Median.  Modus.

contoh.

Ukuran keragaman  Sample variance.  Standard deviation.  Range.

Contoh.

Beda antara Statistik Sampel Vs Parameter Populasi Ukuran/Ciri. Parameter Populasi. Rata-Rata Selisih 2 Rata-rata. Statistik Sampel. µ 1  2 :. nilai mutlak. x x1  x2. : nilai mutlak. Standar Deviasi = Simpangan Baku. σ. S. Varians = Ragam. σ². s². Proporsi. ρ : phi atau p. Selisih 2 proporsi. Distribusi Sampling-Statistika 2. 1  2:. nilai mutlak.  p atau p p1  p2. : nilai mutlak. 10.

DISTRIBUSI SAMPLING  Distribusi Sampling merupakan distribusi teoritis (distribusi kemungkinan) dari semua hasil sampel yang mungkin, dengan ukuran sampel yang tetap n, pada statistik (karakteristik sampel) yang digeneralisasikan ke populasi.  Merupakan jembatan, karena melalui distribusi sampling dapat diketahui karakteristik populasi.

Distribusi sampling suatu statistik bergantung pada :.  Ukuran populasi  Ukuran sampel  cara penarikan sampel.

Penarikan Sampel Acak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :  Penarikan sampel tanpa pemulihan/tanpa pengembalian : setelah didata, anggota sampel tidak dikembalikan ke dalam ruang sampel.  Penarikan sampel dengan pemulihan : bila setelah didata, anggota sampel dikembalikan ke dalam ruang sampel..

Berdasarkan Ukurannya, maka sampel dibedakan menjadi  Sampel Besar jika ukuran sampel (n) ≥ 30  Sampel Kecil jika ukuran sampel (n) < 30.

Distribusi Penarikan Sampel = Distribusi Sampling  Jumlah Sampel Acak yang dapat ditarik dari suatu populasi adalah sangat banyak.  Nilai setiap Statistik Sampel akan bervariasi/beragam antar sampel.  Suatu statistik dapat dianggap sebagai peubah acak yang besarnya sangat tergantung dari sampel yang kita ambil.  Karena statistik sampel adalah peubah acak maka ia mempunyai distribusi yang kita sebut sebagai : Distribusi peluang statistik sampel = Distribusi Sampling = Distribusi Penarikan Sampel.

DISTRIBUSI SAMPLING  Distribusi dari besaran-besaran statistik seperti rata-rata, simpangan baku, proporsi yg mungkin muncul dr sampel-sampel  1. 2. 3.. Jenis-jenis Distribusi Sampling Distribusi Sampling Rata-rata Distribusi Sampling Proporsi Distribusi Sampling yang Lain.

DISTRIBUSI SAMPLING BAGI MEAN  Populasi : 0, 1, 2, 3  Keempat obsv. tsb menyusun populasi nilainilai sebuah var. Random x yang memiliki dist. Peluang F(x) = ¼ ; x = 0, 1, 2, 3 3.  = E(x) =  x f ( x ) x 0 =(0).(1/4) +...+ (3)(1/4) = 3/2 2 = E[ (X) -  ]2 (0  3 / 2) 2  (1  3 / 2) 2  (2  3 / 2)2  (3  3 / 2) 2 ( x   ) f ( x)  =  4 x 0 3. 2. = 5/4.

Ambil sampel berukuran 2 (dengan pemulihan ). No. Sampel. x. No. Sampel. x. 1 2 3 4 5 6 7 8. 0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 1,3. 0 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 2.0. 9 10 11 12 13 14 15 16. 2,0 2,1 2,2 2,3 3,0 3,1 3,2 3,3. 1.0 1.5 2.0 2.5 1.5 2.0 2.5 3.0.

Distribusi sampling bagi x dgn pemulihan. x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0. f 1 2 3 4 3 2 1. F(x) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16. f(x) 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5. 3.

3. x = E(x) =  x 0 = (0).(1/16) + (0.5)(2/16)+ …. + (3)(1/16) = 3/2 x =  x f ( x). 3.  x2. 2 ( x   ) f ( x) = E[X - ]2 =  x 0. =(0-3/2)2(1/16)+(0.5-3/2)2(2/16)+..+(3-3/2)2(1/16) =5/8. x2 =2/ n.

Teorema 1 : populasi tak terhingga  Bila semua kemungkinan random sampel berukuran n dengan pemulihan dari suatu populasi terhingga berukuran N yang mempunyai mean  dan simpangan baku , maka untuk n yang cukup besar,  Distribusi sampling bagi mean x akan menghampiri normal dengan mean x=  dan simpangan baku x =/n . Sehingga :. x z / n. Merupakan suatu nilai bagi variabel random normal baku z..

Misalkan sampel berukuran 2 diambil tanpa pemulihan. No 1 2 3 4 5 6. Sample 0,1 0,2 0,3 1,2 1,3 2,3. x 0.5 1.0 1.5 1.5 2.0 2.5. No. 7 8 9 10 11 12. Sampel 1,0 2,0 3,0 2,1 3,1 3,2. x 0.5 1.0 1.5 1.5 2.0 2.5.

Distribusi sampling bagi x tanpa pemulihan. x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5. f 2 2 4 2 2. F(x) 1/6 1/6 1/3 1/6 1/6.

 x = E(x) =  x f ( x) x. = (0.5).(1/6) + .+ (2.5)(1/6) = 3/2  x =   2x = E[ (X) -  ]2 =(0.5-3/2)2(1/6) +..+ (2.5 - 3/2)2(1/6) = 5/12  2x. 5/ 4 4  2  2  N  n     2  4 1  n  N  1 .

Teorema- 2 : populasi terhingga  Bila semua kemungkinan sampel random berukuran n diambil tanpa pemulihan dari suatu populasi terhingga berukuran N yang mempunyai mean  dan simpangan baku  maka distribusi sampling bagi x akan menghampiri normal dengan mean dan simpangan baku : x =  2 2   x   N  n n  N  1 .

. N n N 1. disebut sebagai FAKTOR KOREKSI populasi. terhingga.  Faktor Koreksi (FK) akan menjadi penting jika sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang terhingga/ terbatas besarnya..  Jika sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang sangat besar maka FK akan mendekati 1 hal ini mengantar kita pada dalil ke-3 yaitu Dalil limit pusat. Distribusi Sampling-Statistika 2. 26.

 Dalil Limit Pusat berlaku untuk : - penarikan sampel dari populasi yang sangat besar, - distribusi populasi tidak dipersoalkan  Beberapa buku mencatat hal berikut : Populasi dianggap BESAR jika ukuran sampel KURANG DARI 5 % ukuran populasi atau n  5% N.

Teorema 3. DALIL LIMIT PUSAT.  Bila sampel random berukuran n ditarik dari suatu populasi yang besar atau tak hingga dengan mean  dan ragam 2 maka mean sampel x akan menyebar menghampiri distribusi normal dengan mean x =  dan simpangan baku 2x =2/n . Sehingga : x z / n.

DISTRIBUSI SAMPLING BAGI BEDA DUA MEAN.  Populasi 1 : 3, 5, 7  Populasi 2 : 0,3 1 = 3  5  7  5 2 = 1  2. 3 (3  5) 2  (5  5) 2  (7  5) 2. 3. 8  3. 2. 2. 03 3  2 2. (0  3 / 2) 2  (3  3 / 2) 2 9   2 4.

Sampel diambil dari populasi 1  n1 =2 Sampel diambil dari populasi 2  n2 =3. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Dari Populasi 1 Sampel X1 3,3 3 3,5 4 3,7 5 5,3 4 5,5 5 5,7 6 7,3 5 7,5 6 7,7 7. No. 1 2 3 4 5 6 7 8. Dari Populasi 2 Sampel 0,0,0 0,0,3 0,3,0 3,0,0 0,3,3 3,0,3 3,3,0, 3,3,3. X2 0 1 1 1 2 2 2 3.

x1–x2 = x1 - x2 = 1 - 2 2x1- x2 = 2x1 + 2x2 = 12/n + 22/n.  Selisih Dua Nilai mean X2 0 1 1 1 2 2 2 3. 3 3 2 2 2 1 1 1 0. 4 4 3 3 3 2 2 2 1. 5 5 4 4 4 3 3 3 2. 4 4 3 3 3 2 2 2 1. X1 5 5 4 4 4 3 3 3 2. 6 6 5 5 5 4 4 4 3. 5 5 4 4 4 3 3 3 2. 6 6 5 5 5 4 4 4 3. 7 7 6 6 6 5 5 5 4.

Distribusi sampling bagi x1-x2 dengan pemulihan. x1-x2 0 1 2 3 4 5 6 7. f 1 5 12 18 18 12 5 1. F(x1-x2) 1/72 5/72 12/72 18/72 18/72 12/72 5/72 1/72.

x1 – x2 =  (x1-x2) f(x1-x2) = (1).(1/72)+……+ (7)(1/72) = 3.5 2x1- x2 = [(x1-x2)- 3.5]2 f(x)  hitung !!! x1 – x2 = x1 - x2 = 1 - 2 = 5 – 3/2 = 3.5 2x1- x2 =2x1+2x2=22/n1+12/n2= 8/3 + 9/4 = 25/12 2 3.

Teorema 5  Bila sampel independen berukuran n1 dan n2 diambil dari dua populasi yang besar atau tak hingga, masingmasing dengan mean 1 dan 2 dan ragam 12 dan 22, maka kedua mean sampel x1-x2 akan menyebar menghampiri distribusi normal dengan mean dan simpangan baku :   x1 – x2 = 1 - 2 dan 2x1- x2 = n  n 2.  Dengan demikian z. :. ( x1  x 2)  ( 1   2 ) ( 1 / n1 )  ( 2 / n2 ) 2. 2. 2. 1. 2. 1. 2.

Contoh 4 : Sebuah sampel berukuran n1 = 5 diambil secara random dari sebuah populasi yang menyebar normal dengan mean 1 = 50 dan ragam 12 = 9 dan diperoleh mean sampel x1. Sebuah sampel random yang kedua yang berukuran n2 = 4 diambil independen dari sampel pertama, dari populasi lain yang juga menyebar normal tetapi dengan mean 2 = 40 dan ragam 22 = 4 dan diperoleh mean sampelnya x2. Berapa P(x1-x2 < 8.2) ?.

Jawab : x1 – x2 = 1 - 2 = 50 – 40 = 10 2x1- x2 = 22/n + 12/n =9/5 + 4/4 = 2.8 x1 –x2 = 8.2 (8.2  10) z  1.08 (2.8) P(x1-x2 < 8.2) = P(z<-1.08) = 0.1401.

Dalam pengerjaan soal DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA perhatikan asumsi-asumsi dalam soal sehingga anda dapat dengan mudah dan tepat menggunakan dalil-dalil tersebut! Contoh 1: PT AKUA sebuah perusahaan air mineral rata-rata setiap hari memproduksi 100 juta gelas air mineral. Perusahaan ini menyatakan bahwa rata-rata isi segelas AKUA adalah 250 ml dengan standar deviasi = 15 ml. Rata-rata populasi dianggap menyebar normal.. 1.. 2.. Jika setiap hari diambil 100 gelas AKUA sebagai sampel acak DENGAN PEMULIHAN, hitunglah : a. standard error atau galat baku sampel tersebut? b. peluang rata-rata sampel akan berisi kurang dari 253 ml? Jika sampel diperkecil menjadi 25 gelas, hitunglah : a. standard error atau galat baku sampel tersebut? b. peluang rata-rata sampel akan berisi lebih dari 255 ml?. Distribusi Sampling-Statistika 2. 37.

JAWAB : SOAL 1 Diselesaikan dengan DALIL 1 Diselesaikan dengan DALIL 3. Diketahui: N = 100 000 000  = 250 P( < 253) = P(z < ?). GALAT BAKU =. karena PEMULIHAN karena POPULASI SANGAT BESAR.  = 15. n = 100.  15 15 x     15 . 10 n 100. 253  250 3 z   2.0 15 . 15 . Jadi P( < 253) = P(z < 2.0) = 0.5 + 0.4772 = 0.9772. Distribusi Sampling-Statistika 2. 38.

Soal 2 Diselesaikan dengan DALIL 3 karena POPULASI SANGAT BESAR. Diketahui: N = 100 000 000.  = 250.  = 15. n = 25. P( > 255) = P(z > ?).  15 15    30 . GALAT BAKU = x  n 25 5 255  250 5 z   167 . 30 . 30 . Jadi P( > 255 ) = P(z > 1.67) = 0.5 - 0.4525 = 0.0475 Distribusi Sampling-Statistika 2. 39.

Teorema-4. (Bila ukuran sampel kecil (n < 30)  Bila x dan s2 masing-masing adalah mean dan ragam suatu sampel random berukuran n yang diambil dari suatu populasi normal dengan mean  dan ragam 2maka t . x s/ n.  merupakan sebuah nilai variabel random X yang mempunyai distribusi T dengan v = n – 1 derajat bebas..

Sampel Kecil: Student’s t Distribution . Pada banyak kasus sering dijumpai tidak tersedia informasi tentang variansi populasi, sehingga dipergunakan variansi yg berasal dari sampel sebagai pengganti S. Bilamana sampel berukuran besar (n≥30) maka penggantian σ dengan S cukup baik dan kita bisa mempergunakan variabel normal Z spt biasa dalam perhitungan: X . Z. . S/ n. Jikalau sampel kecil (n<30) maka S2 akan berfluktuasi cukup besar dari sampel ke sampel sehingga perlu statistik yg lebih baik. Jika sampel kecil akan tetapi berasal dari distribusi normal, maka statistik T berikut ini: X . T. S/ n.

Sampel Kecil: Student’s t Distribution . Variabel T tsb akan mengikuti distribusi probabilitas yg disebut Distribusi Student T (Student adalah nama samaran dari penemu distribusi ini yg bernama Gosset), dengan derajat kebebasan v=n1. Distribusi ini bentuknya serupa sekali dengan distribusi normal: rata-rata=0 dan bentuknya simetrik. Akan tetapi untuk sampel kecil maka ekor distribusinya lebih tinggi dibandingkan distribusi normal, jadi bentuknya ditentukan oleh derajat kebebasan. ν=∞. ν=2. 0. t.

Tabel Student’s t Distribution . Tabel distribusi student diberikan untuk nilai kritis t yg terkait dengan luas ekor kanan dari distribusi t, untuk berbagai nilai derajat kebebasan yg berbeda..

Distribusi Sampling Variansi S2  Bilamana ingin dipelajari variasi dari data maka fokus studi adalah pada distribusi variansi sampel S2 untuk mendapatkan kesimpulan tentang variansi populasi σ2.  Sampel random berukuran n diambil dari populasi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2. Diperolah bahwa variansi sampel S2. Maka statistik :.   2. (n  1) S 2. . 2. n.  k 1. ( X k  X )2. 2.  Akan memiliki distribusi chi-squared dengan derajat kebebasan ν=n-1..

Distribusi Chi-Squared  Ditabelkan nilai variabel χ2 yang terkait dengan luas (α) ekor kanan dari distribusi chi-squared untuk berbagai derajat kebebasan..   2. (n  1) S 2. 2. α χα2. χ2.

Tabel Distribusi Chi-Squared  Tabel nilai kritikal χ2α yang terkait dengan luas (α) ekor kanan dari distribusi chi-squared untuk berbagai derajat kebebasan (v).

Distribusi F Salah satu perbandingan yg dilakukan dalam statistik adalah perbandingan variabilitas atau variansi dari dua buah sampel. Statistik yg dipergunakan dalam membandingkan variansi 2 buah sampel dinamakan distribusi F. Jika S12 dan S22 adalah variansi dari 2 buah sampel random yg tak saling bergantung (independen) dengan ukuran n1 dan n2 yg diambil dari populasi normal dengan variansi σ12 dan σ22, maka statistik F: 2 2. S1 /  1 F 2 2 S2 /  2. Mengikuti distribusi F dengan derajat kebebasan v1=n1-1 dan v2=n2-1. Distribusi F bersifat asimetrik . bentuknya bergantung pada derajat kebebasannya.

Perbandingan Variansi: Distribution F ν=(10,30). ν=(6,10). 0. α f. 0. fα. Jika fα (v1,v2) menyatakan nilai kritis f dengan luas ekor kanan α untuk derajat kekebasan v1,v2, maka: (perhatikan urutan v1 dan v2) f1 ( 2 , 1 ) . 1 f ( 1 , 2 ).

Tabel Distribusi F Karena ada dua derajat kebebasan yg menentukan bentuk Distribusi F maka, tabel distribusi lebih terbatas, hanya ditabelkan nilai kritis F untuk beberapa nilai luas ekor kanan yg populer dipakai (misalnya α=5%).