Semiring Pseudo-Ternary. Pseudo-Ternary Semiring

(1)

50

Semiring Pseudo-Ternary

Maxrizal dan Ari Suparwanto Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM,

Jurusan Matematika FMIPA UGM, e-mail: [email protected]; [email protected]

Diterima 22 November 2013, disetujui untuk dipublikasikan 4 Maret 2014 Abstrak

Dalam makalah ini akan diperkenalkan definisi dan sifat-sifat semiring pseudo-ternary. Selanjutnya, akan diperke- nalkan subsemiring pseudo-ternary dan ideal pada semiring pseudo-ternary. Lebih lanjut, ideal-ideal yang ter- bentuk pada semiring pseudo-ternary akan digunakan untuk membentuk semiring pseudo-ternary faktor.

Kata kunci: Semiring pseudo-ternary, Semiring pseudo-ternary faktor.

Pseudo-Ternary Semiring

Abstract

In this paper we introduce the notion of pseudo-ternary semiring. Furthermore, we will introduce pseudo-ternary subsemiring and ideals in pseudo-ternary semiring. Finally, ideals in pseudo-ternary semiring will be used for con- structing pseudo-ternary factor semiring.

Keywords: Pseudo-ternary semiring, Factor pseudo-ternary semiring.

1. Pendahuluan

Konsep semiring ternary diperkenalkan oleh Dutta dan Kar (2004). Semiring merupakan generalisasi dari ring ternary yang diperkenalkan oleh Lister pada tahun 1971. Himpunan S tak kosong yang dilengkapi operasi biner penjumlahan (+) dan operasi triner perkalian () disebut semiring ternary jika (S, +) merupakan semigrup abelian, (S,) merupakan semigrup dan (S, +, ) memenuhi sifat distributif. Perhatikan bahwa operasi triner menyebabkan sifat asosiatif pada (S,) didefinisikan sebagai berikut: untuk setiap a, b, c, d,  S berlaku (abc)de = a(bcd) e = ab(cde).

Faktanya, definisi semiring ternary dimotivasi oleh struktur pada himpunan bilangan bulat negatif ( yang dilengkapi operasi biner penjumlahan dan ^) triner perkalian biasa. Selanjutnya, konsep semiring ternary pada  diperluas pada matriks persegi atas ^

 sehingga  M_{n n}_ ( yang dilengkapi operasi ^) biner penjumlahan dan triner perkalian matriks biasa juga merupakan semiring ternary. Perhatikan bahwa

( )

Mn n_  merupakan matriks khusus dari matriks ^ persegi panjang sehingga perlu diselidiki konsep yang lebih umum yaitu konsep semiring ternary pada matriks (M_{m n}_  . Untuk itu, dibentuk ^)

(M_{n n}_ (^), , )  dengan definisi operasi biner A  B A B dan operasi triner A  B C AB C^T . Perhatikan bahwa, operasi triner  dibentuk agar

ketiga matriks persegi panjang bisa dioperasikan dengan metode perkalian matriks biasa.

Berdasarkan sifat-sifat penjumlahan dua matriks, (M_{n n}_ (^), ) merupakan semigrup abelian dan  well-defined pada M_{n n}_ ( karena ^)

( )

T

AB CMn n_  . Selanjutnya, akan diselidiki sifat ^ asosiatif pada (M_{n n}_ (^), ) . Ambil

, , , _{n n}( ),

A B C DM _ ^ maka berlaku

( ) ( ^T )

T T

A B C D E AB C D E

AB CD E

      



( ) ( )

( )

T

T T

A B C D E A BC D E

A BC D E AD CB E

      



( ) ( ^T )

T T

A B C D E A B CD E

AB CD E

      



Perhatikan bahwa hanya berlaku sifat (A B C)    D E A B (C D E). Hal ini disebabkan karena untuk sebarang matriks beru- kuran m n , hubungan B CD^T ^T D CB^T ^T belum tentu berlaku. Jadi, (M_{n n}_ (^), , )  bukan meru- pakan semiring ternary, walaupun pada

(M_{n n}_ (^), , )  juga berlaku sifat distributif.

Berdasarkan permasalahan di atas, dalam makalah ini didefinisikan suatu struktur baru yang

(2)

disebut semiring pseudo-ternary. Semiring pseudo- ternary bersifat lebih umum dari semiring ternary sehingga memberikan peluang untuk menyelidiki sifat-sifat pada semiring ternary yang masih tetap berlaku pada semiring pseudo-ternary. Selanjutnya, dijelaskan contoh dan sifat dari semiring pseudo- ternary, subsemiring pseudo-ternary dan ideal pada semiring pseudo-ternary. Pada bagian akhir makalah dikaji proses pembentukan semiring faktor pseudo- ternary.

2. Semiring Ternary

Berikut adalah beberapa definisi tentang semiring ternary dan sifat-sifat yang dimiliki oleh semiring ternary.

Definisi 1. Diberikan himpunan S   yang dileng- kapi dengan operasi biner penjumlahan + : S  S  S dan triner perkalian  + : S  S  S. Himpunan S disebut semiring ternary jika memenuhi:

1. (S, +) merupakan semigrup abelian.

2. (S,) merupakan semigrup, yaitu untuk setiap a,b,c,d,e  S berlaku abc  S dan (abc)de = a(bcd)e = ab(cde).

3. Berlaku sifat distributif kanan, kiri dan tengah, yaitu untuk setiap a,b,c,d  S berlaku

(i) (a + b)cd = acd + bcd (ii) a(b + c)d = abd + acd (iii) ab(c + d) = abc + abd

Definisi 2. Suatu elemen disebut elemen nol dari semiring ternary S dinotasikan dengan “0” jika un- tuk setiap x,y  S berlaku 0 + x = x dan 0xy = x0y = 0. Semiring ternary S yang mempunyai elemen nol disebut semiring ternary dengan elemen nol.

Pada pembahasan selanjutnya S merupakan notasi untuk semiring ternary dengan elemen nol dan S* merupakan notasi untuk semiring ternary tanpa elemen nol, yaitu ^S^*^^S^{\ 0}

 

^.

Definisi 3. Suatu elemen e  S disebut elemen satuan dari semiring ternary S, jika untuk setiap x  S ber- laku eex = exe = xee = x.

Proposisi 1. Jika elemen e  S merupakan elemen satuan dari semiring ternary S maka untuk setiap x,y

 S berlaku exy = xey = xye.

Definisi 4. Semiring ternary S disebut semiring ter- nary komutatif jika untuk setiap s s s₁, ,₂ ₃S maka

1 2 3 2 1 3 2 3 1

s s s s s s s s s .

Definisi 5. Diberikan sebarang s₁0 dari suatu semiring ternary S s, ₁ disebut elemen pembagi nol kiri (tengah, kanan) dari S jika terdapat s s₂, ₃S₁ dengan s₂ 0 dan s₃ 0 sehingga s s s_{1 2 3} 0

2 1 3 2 3 1

(s s s 0,s s s 0). Elemen pembagi nol kiri yang sekaligus elemen pembagi nol tengah dan kanan disebut elemen pembagi nol.

Definisi 6. Diberikan semiring ternary komutatif.

Jika S tidak mempunyai elemen pembagi nol maka S disebut suatu semi-daerah integral ternary .

Definisi 7. Diberikan semiring ternary (S, +, ).

Himpunan T  S disebut subsemiring ternary jika (T, +, ) juga merupakan semiring ternary.

Proposisi 2. Diberikan suatu semiring ternary (S, +, ) dan subhimpunan T  S. Himpunan T meru- pakan subsemiring ternary jika dan hanya jika untuk setiap t t t₁, ,₂ ₃T, berlaku t₁ t₂ T dan t t t_{1 2 3}T. Definisi 8. Diberikan suatu semiring ternary (S, +, ) dan subhimpunan I  S dengan syarat untuk setiap

1,2

i i I berlaku i₁ i₂ I. Jika untuk setiap

1, 2

s s S dan iI berlaku s s i_{1 2} I

1 2 1 2

(is s s is, I), maka I disebut ideal kiri (kanan, tengah) dari S. Jika I merupakan ideal kiri, kanan dan tengah dari S, maka I disebut ideal dari S.

Definisi 9. Suatu relasi ekuivalensi  pada semiring ternary S disebut relasi kongruensi jika memenuhi kondisi berikut:

untuk setiap a a b b c c, , , , .  S berlaku a a  dan b b (ab) ( ab)

,

a a b b    dan c c (abc) ( a b c  )

Definisi 10. Diberikan I ideal sejati dari semiring ternary S. Relasi



₁ Bourne atas S didefinisikan sebagai berikut: untuk tiap s s, S,s_Is jika hanya jika sa₁ s a₂ untuk suatua a₁, ₂I. Proposisi 3. Relasi Bourne ₁ pada S merupakan relasi kongruensi pada S. Selanjutnya, relasi



₁ ini disebut relasi kongruensi Bourne.

Definisi 11. Diberikan I suatu ideal sejati dari semi- ring ternary S dan ₁ kongruensi Bourne atas I.

Didefinisikan operasi biner penjumlahan dan triner perkalian pada S/I sebagai berikut:

untuk setiap s,t,u  S,

(3)

( ) ( )( )( ) ( )

s I t I s t I s I t I u I stu I

  



Dengan operasi biner penjumlahan dan triner, (s I, , )  merupakan suatu semiring ternary dan disebut semiring ternary faktor Bourne.

3. Hasil dan Pembahasan

Berdasarkan permasalahan pada bagian pendahuluan, berikut ini diberikan definisi dari semiring pseudo-ternary.

Definisi 12. Diberikan himpunan S   yang dilengkapi dengan operasi biner : S S S dan operasi triner : S S S  S. Himpunan S disebut semiring pseudo-ternary jika



^S^,^



merupakan semigrup abelian,

 

^S^,^ merupakan semigrup pseudo-ternary yaitu untuk setiap a b c d e, , , ,  berlaku abc  S dan S (abc)de = ab(cde), dan

Berlaku sifat distributif kanan, kiri dan tengah, yaitu untuk setiap a,b,c,d  S, yaitu

(i) (a + b)cd = acd + bcd (ii) a(b + c)d = abd + acd (iii) ab(c + d) = abc + abd

Contoh 1. Himpunan matriks persegi panjang (M_{n n}_ (^), , )  dengan definisi operasi biner A   dan operasi triner B A B A  B C AB C^T merupakan semiring pseudo-ternary.

Contoh 2. Setiap semiring ternary merupakan semi- ring pseudo-ternary.

Selanjutnya, akan didefinisikan elemen nol pada semiring pseudo-ternary.

Definisi 13. Suatu elemen disebut elemen nol dari semiring pseudo-ternary S dinotasikan dengan “0”

jika untuk setiap x, y  S berlaku 0 + x = x dan 0xy

= x0y = xy0 = 0.

Semiring pseudo-ternary S yang mempunyai elemen nol disebut semiring pseudo-ternary dengan elemen nol.

Selanjutnya, pada pembahasan di bawah ini S merupakan notasi untuk semiring pseudo-ternary dengan elemen nol dan ^S^*^^S^{\ 0}

 

^.

Definisi 14. Suatu elemen e  S disebut elemen satuan dari semiring pseudo-ternary S, jika untuk setiap x  S berlaku eex = exe = xee = x.

Jika S semiring pseudo-ternary maka untuk setiap x, y  S berlaku xye = (exe)ye = ex(eye) = exy dan xye = (xee)ye = xe(eye) = xey. Perhatikan bahwa untuk setiap x, y  S berlaku exy = xey = xye. Jadi, proposisi pada semiring ternary masih berlaku pada semiring pseudo-ternary.

Selanjutnya, didefinisikan sifat komutatif pada semiring pseudo-ternary.

Definisi 15. Semiring pseudo-ternary S disebut semiring pseudo-ternary komutatif jika untuk setiap

1, ,2 3

s s s S maka s s s_{1 2 3}s s s_{2 1 3} s s s_{2 3 1}. Contoh 3. Diberikan himpunan

0

0 0 , 0 0

A a a b

b

  

 

   

  

  

Semiring pseudo-ternary ( , , )A   merupakan semiring pseudo-ternary komutatif.

Proposisi 4. Setiap semiring pseudo-ternary komuta- tif merupakan semiring ternary.

Bukti:

Perhatikan Definisi 12, untuk setiap a, b, c, d, f  S berlaku (abc)df = ab(cdf). Akan dibuktikan (abc)df = a(bcd)f = ab(cdf). Perhatikan bahwa S semiring pseudo-ternary komutatif sehingga berlaku a(bcd)f = (abc)df = (bcd)af = bc(daf) = (bca)df = (abc)df. Jadi, S merupakan semiring ternary. ■

Contoh 4. Semiring pseudo-ternary ( , , )A  pada Contoh 3, merupakan semiring ternary komutatif.

Perhatikan bahwa struktur matriks menyebabkan munculnya elemen-elemen pembagi nol. Hal itu juga berlaku pada semiring pseudo-ternary.

Definisi 16. Diberikan suatu semiring pseudo-ternary S. Misalkan s₁0 elemen S s, ₁ disebut elemen pem- bagi nol kiri (tengah, kanan) dari S jika terdapat

2, 3 1

s s S dengan s₂0 dan s₃0 sehingga

1 2 3 0( 2 1 3 0, 2 3 1 0)

s s s  s s s  s s s  . Elemen pembagi nol kiri yang sekaligus elemen pembagi nol tengah dan kanan disebut elemen pembagi nol.

Contoh 5. Diberikan ^S ^^M^{2 3}^

 

^⁰^ dan dibentuk semiring pseudo-ternary ( , , )S   . Misalkan A, B, C,  S tak nol, dengan

0 0 0 0

, , dan

0 0 0 0

0 0

0 0 0

a c

A B

b d

C e

   

   

   

 

  

 

Elemen A merupakan salah satu elemen pembagi nol di S.

(4)

Definisi 17. Semiring pseudo-ternary komutatif S yang tidak mempunyai pembagi nol maka S disebut semi-daerah integral pseudo-ternary .

Akibat 1. Setiap semi-daerah integral pseudo- ternary merupakan semi-daerah integral ternary.

Bukti:

Berdasarkan Proposisi 4 dan Definisi 6. ■

Contoh 6. Dibentuk ^h^



^{( )}^{a a}^{ }^⁰



. Semiring pseudo-ternary ( , , )H   merupakan suatu semi- daerah integral pseudo-ternary sekaligus semi-daerah integral ternary.

Selanjutnya akan diselidiki sifat dari suatu subhimpunan pada semiring pseudo-ternary. Berikut ini diberikan definisi dari subsemiring pseudo- ternary.

Definisi 18. Diberikan semiring pseudo-ternary



^S^{, ,}^{ }



. Himpunan T  disebut subsemiring S pseudo-ternary jika



^T^{, ,}  juga merupakan semi-



ring pseudo-ternary.

Proposisi 5. Diberikan suatu semiring pseudo- ternary



^S^{, ,}^{ }



dan subhimpunan T  . Himpunan S T subsemiring pseudo-ternary jika dan hanya jika untuk setiap t t t₁, ,₂ ₃ , berlaku T t₁  dan t₂ T

1 2 3

t t t  . T

Contoh 7. Diberikan subhimpunan T M_{m m}_ (2^₀). Struktur ( , , )T   merupakan subsemiring pseudo- ternary dari semiring pseudo-ternary

(M_{m m}_ (2^0),).

Selanjutnya, akan diselidiki proses pembentukan semiring pseudo-ternary factor. Secara umum, untuk sebarang semiring pseudo-ternary S diberikan relasi dengan definisi berikut.

Definisi 19. Diberikan T subsemiring pseudo-ternary pada semiring pseudo-ternary S. Untuk setiap s , s , s dikatakan berelasi (Bourne) S  dengan s _I dinotasikan s  jika hanya jika _Is sa₁ s a₂ untuk suatu a a₁, ₂ . T

Proposisi 6. Relasi Bourne  pada semiring _I pseudo-ternary S merupakan relasi ekuivalen pada c.

Bukti:

Pertama, akan dibuktikan  bersifat refleksif. _I Diambil s  S, maka sa₁  untuk setiap s a₁

a1 , sehingga T s . Dengan demikian, _Is  bersi-_I fat refleksif. Kedua, akan dibuktikan  bersifat _I

simetris. Diambil s s, S dengan s  , maka un-_Is tuk suatu a a₁, ₂T, s a       ₁ s a ₂ s a ₂ s a₁ s s_I . Dengan demikian,  bersifat simetris. Selanjutnya, ₁ akan dibuktikan  bersifat transitif. Diambil ₁

, ,

s s s S dengan s_Is dan s_Is, maka untuk suatu a a a a₁, , ,₂ ₃ ₄T , berlaku sa₁ s a₂ dan

3 4

sa  s a sehingga s(a₁a₃) s (a₂a₃) dan s(a₂a₃) s (a₂a₄). Akibatnya

1 3 2 4

( ) ( )

s a a  s a a . Jadi,  bersifat transi-₁ tif. Dengan demikian,  merupakan relasi ekui-₁ valen. ■

Perhatikan bahwa relasi ekuivalen pada semiring pseudo-ternary S menyebabkan S terpartisi menjadi kelas-kelas ekuivalen yang saling asing.

Selanjutnya, kelas ekuivalen dari suatu elemen s dari sIs dinotasikan dengan s T dan semua himpunan kelas ekuivalen dari S dinotasikan dengan S T. Definisi 20. Diberikan kelas-kelas ekuivalen s T dan s T pada semiring pseudo-ternary S. Kelas

s T dan s T dikatakan sama, dinotasikan dengan s T s T jika dan hanya jika s_Is.

Seperti halnya pada semiring, pada semiring pseudo-ternary juga dapat didefinisikan relasi kongruensi. Berikut definisi relasi kongruensi pada semiring pseudo-ternary S.

Definisi 21. Suatu relasi ekuivalen  pada semiring pseudo-ternary S disebut relasi kongruensi jika me- menuhi kondisi: untuk setiap a a b b c c, , , , .  S berlaku

1. a a  dan b b (ab) ( ab) 2. a a , b b  dan c c (abc) ( a b c  ).

Selanjutnya, akan diselidiki kongruensi pada relasi Bourne  pada semiring pseudo-ternary S. ₁ Berdasarkan Proposisi 6, relasi  merupakan relasi _I ekuivalen pada S.

Pertama, akan ditunjukkan jika untuk setiap , , ,

s s t t S, s_Is, dan t_It maka berlaku (at) (_I s t). Misalkan s_Is dan t_It. Berdasarkan Definisi 19 berlaku,

1 2

I I

s s s a s a

t t t b t b



   

untuk suatu a a b b₁, , ,₂ ₁ ₂T. Jika kedua persamaan dijumlahkan, maka diperoleh

1 1 2 2

(s t) (a b) ( s t) ( a b )

(5)

untuk suatu a a b b₁, , ,₂ ₁ ₂T atau

1 2

(s  t) c (s t)c

untuk suatu c c₁, ₂T. Berdasarkan Definisi 19, berlaku (st) (_I s t).

Kedua, akan ditunjukkan jika s_Is, t_It, dan u_Iu' maka berlaku (stu) (_I s t u  )_{, untuk} setiap s s t t u u, ', , ', , 'S. Diambil s_Is, t_It dan

I '

u u . Berdasarkan Definisi 19,

1 2

' '

sIs  s a  s a , t_It'   t b₁ t' b₂, dan u_Iu'   u c₁ u' c₂ untuk suatu

1, , , , ,2 1 2 1 2

a a b b c c T. Jika ketiga persamaan dikalikan maka diperoleh (sa₁)(tb₁)(uc₁) =

2 2 2

(sa )(tb )(uc ). Dari ruas kiri diperoleh

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

( )

stu stc sb u sb c ta u ta c a b u a b c . Karena a b c₁, ,₁ ₁T, maka a b c_{1 1 1}T tetapi

1, 1 , 1 1, 1 , 1 1

stc sb u sb c ta u ta c dan a b u_{1 1} belum tentu di dalam T karena T hanya suatu subsemiring pseudo- ternary di S. Hal yang sama terjadi di ruas kanan.

Perhatikan bahwa, jika di ruas kiri disyaratkan

1, 1 , 1 1, 1 , 1 1

stc sb u sb c ta u ta c , dan a b u_{1 1} di dalam T

maka diperoleh stud₁, dengan

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

d stc sb usb c ta uta c a b ua b c di dalam T. Hal yang sama terjadi di ruas kanan sehingga diperoleh s t u' ' 'd₂. Syarat tambahan inilah yang memotivasi munculnya definisi ideal pada semiring pseudo-ternary S.

Definisi 22. Diberikan suatu semiring pseudo-ternary S dan subhimpunan I  S dengan syarat untuk setiap

1,2

i i I maka berlaku i₁ i₂ I. Jika untuk setiap

1, 2

s s S dan iI berlaku s s i_{1 2} I

1 2 1 2

(is s s is, I) maka I merupakan suatu ideal kiri (kanan, tengah) dari S. Jika I merupakan ideal kiri, kanan dan tengah dari S maka I disebut suatu ideal dari S.

Perhatikan bahwa T subsemiring pseudo- ternary harus merupakan ideal di semiring pseudo- ternary S agar persamaan di ruas kiri dan kanan menjadi stud₁s t u  d₂, untuk suatu d d₁, ₂T . Berdasarkan Definisi 19, berlaku (stu) (_I s t u  ). Jadi, relasi  pada semiring pseudo-ternary S _I merupakan relasi kongruensi.

Selanjutnya, akan diselidiki eksistensi dari semiring pseudo-ternary faktor dari semiring pseudo- ternary S. Diberikan ideal I dari semiring pseudo- ternary S dan  relasi kongruensi pada S. _I Didefinisikan operasi biner penjumlahan dan triner perkalian pada S I dengan S It I  (s t) I dan

(S I t I U I)( )( ) ( s t) I , untuk setiap , ,s t uS. Akan dibuktikan bahwa S I yang dilengkapi operasi biner (+) dan triner

 

^ merupakan semiring ternary.

Pertama, akan dibuktikan S I yang dilengkapi operasi biner (+) merupakan semigrup komutatif.

Akan ditunjukkan operasi (+) pada S I well- defined. Diambil s I t I s I t I, ,  ,  S I dengan

, , ,

s s t t S. Akan ditunjukkan jika S I s I dan t I t I maka st I  s t I. Berdasarkan Definisi 20, jika s Is I dan t I t I maka berlaku s_Is dan t_It. Karena  relasi kongruensi _I pada S dan berdasarkan Definisi 21, jika s_Is dan tIt maka berlaku (st) (_I s t). Berdasarkan Definisi 20, berlaku st I s t I. Jadi, operasi (+) pada S I well-defined.

Akan ditunjukkan operasi (+) pada S I bersifat asosiatif. Diambil s I t I u I, , S I dengan

, ,

s t uS . Dibentuk persamaan (s It I)u I

   

(s t I) u I (s t) u I s (t u) I

        

( ) ( )

s I t u I s I t I u I

     

Jadi, operasi (+) pada S I bersifat asosiatif.

Akan ditunjukkan operasi (+) pada S I bersifat komutatif. Diambil s I t I, S I dengan

,

s t . Dibentuk S s It I  (s t) I t s I t I s I

    . Jadi, operasi (+) pada S I bersifat komutatif.

Kedua, akan dibuktikan S I dilengkapi operasi triner

 

^ merupakan semigrup pseudo- ternary.

Akan ditunjukkan operasi

 

^ ^pada^{S I} ^well-

defined. Diambil s I, t I , u I, s I' , 't I, '

u IS I dengan , , , , ,s s t t u u  S. Akan ditunjukkan jika s Is I t I , t I dan u I u I maka stu Is t u I   . Berdasarkan Definisi 20, jika

,

s Is I t I t I dan u I u I maka berlaku

I , I

s s t  t dan u_Iu. Karena  relasi kongruensi _I pada S dan berdasarkan Definisi 21, jika s_Is t, _It dan u_Iu maka berlaku (stu) (_I s t u  ). Berdasarkan Definisi 20, berlaku stu Is t u I   . Jadi, operasi () pada S I well-defined.

(6)

Akan ditunjukkan operasi

 

^ ^pada^{S I}

bersifat asosiatif. Misalkan s I, t I , u I, v I,w IS I dengan , , , ,s t u v wS . Maka



⁽^{s I}^{) (}^{t I}^{) (}^{u I}^{) (}



^{v I}^{) (}^{w I}⁾^



⁽^{stu I}^{) (}



^{v I}^{) (}^{w I}⁾

(stu vw I)



( )

st uvw I



 

(s I) (t I) (uvw I)



 

(s I) (t I) (u I) (v I) (w I)



Jadi,

 

^ ^pada^{S I} bersifat asosiatif.

Ketiga, akan dibuktikan bahwa S I yang dilengkapi operasi biner (+) dan triner

 

^ ^memenuhi

sifat distributif kiri, tengah dan kanan. Diambil

, , ,

s I t I u I v IS I dengan , , , ,s t u v w . Maka S



⁽^{s I}^{) (}^ ^{t I}^{) (}



^{u I}^{) (}^{v I}⁾^



⁽^s^^t⁾ ^I



⁽^{u I}^{) (}^{v I}⁾

((s t uv I) )

 

((suv) (tuv I)

 

suv I tuv I

 

(s I u I v I)( )( ) (t I u I v I)( )( )

 

   

(s I) (t I) ( u I) (v I) ( s I) (tu I) (v I) ((s t v I) )

 

((stv) (suv I)

 

stv I suv I

 

(s I t I v I)( )( ) (s I u I v I)( )( )

 

   

(s I t I)( ) (u I) ( v I) (s I t I)( ) (uv I)



^{st u}⁽ ^v⁾



^I

 



⁽^stu^{) (}^stv⁾



^I

 

stu I stv I

 

(s I t I u I)( )( ) (s I t I v I)( )( )

 

Jadi, S I yang dilengkapi operasi biner (+) dan triner

 

^ memenuhi sifat distributif kiri, tengah dan kanan.

Dengan demikian, S I yang dilengkapi operasi biner (+) dan triner

 

^ merupakan semiring pseudo-ternary dan disebut semiring pseudo-ternary faktor Bourne.

Akibat 2. Jika S I merupakan semiring pseudo- ternary faktor komutatif maka S I semiring ternary faktor.

Bukti:

Berdasarkan Proposisi 4. ■ 4. Kesimpulan

Dari pembahasan di atas dapat diberikan dua kesimpulan, beberapa sifat pada semiring ternary masih berlaku pada semiring pseudo-ternary seperti sifat subsemiring pseudo-ternary, ideal dan pembentukan semiring pseudo-ternary faktor; setiap semiring pseudo-ternary komutatif merupakan semiring ternary.

Daftar Pustaka

Dutta, T. K. and S. Kar, 2004, On Ternary Semifield, Discussiones Mathematicae General Algebra and Applications, 24, 185-198.

Kar, S., 2011, Ideal Theory in Ternary Semiring ^₀, Bulletin of Malaysian Mathematics Sciences Society, 34, 69-77.

Kar, S. and B. K. Maity, 2007, Congruence On Ter- nary Semigroups, Journal of The Chung- cheong Mathematical Society, 20, 3.