BAB 3 Teknik Perwakilan Pengetahuan Logik

Pengenalan

Logik simbolik mengandungi 2 cabang iaitu Logik usulan dan Logik predikat. Logik usulan mengambil usulan sebagai satu unit tunggal. Manakala Logik predikat pula membuat beberapa ciri yang boleh memperkembangkan atau meluaskan maksud sesuatu ayat dengan lebih baik. Penggunaan wakil simbol Logik predikat iaitu konstan, pembolehubah, fungsi dan ayat atomik , pengkuantiti ,semantiks dan sintaks dalam Logik predikat boleh menaakul perwakilan pengetahuan dengan lebih kemas dan lengkap. Anda juga akan diterangkan maksud istilah modus ponen, modus tolen dan well-formed formula dalam penggunan Logik predikat nanti. Selain itu, anda juga akan

mempelajari petua penaabiran, petua penyatuan dan teori pembuktian resolusi dalam pelbagai jenis Logik. Bab ini juga akan menerangkan kebaikan dan keburukan Logik dan bagaimana untuk mengatasi masalah ini.

Objektif

Di akhir bab ini anda dapat:

1. Pelajar akan faham sejarah awal Logik.

2. Pelajar akan mengetahui konsep asas Logik usulan.

3. Pelajar akan mengetahui konsep asas dan petua dalam Logik predikat.

4. Pelajar juga akan mampu melakukan pembuktian teorem Logik.

2.0 Apakah Logik atau Mantik ?

Tahukah anda bahawa Logik adalah satu kaedah perwakilan pengetahuan yang mula-mula digunakan dalam sistem cerdas ? Siapakah yang perkenalkannya? Kononnya Logik juga boleh dikenali sebagai mantik. Perkataan Logik merupakan bahasa Latin manakala Mantik adalah bahasa Arab yang digunakan semenjak zaman Ibnu Sinar lagi. Kenapa Logik lebih terkenal dari Mantik? Mungkin disebabkan oleh penjajahan.

Takrifan bagi penaakulan adalah proses deduksi fakta baru daripada fakta yang sedia manakala deduksi pula adalah tatacara penaakulan yang bersistem dan Logik.

Sebutan yang selalu digunakan dalam Logik pula adalah penyataan, usulan, ayat, ungkapan, aksiom, teorem dan lain-lain. Sila rujuk Rajah 2.0.

Rajah 2.0: Konsep asas dalam Logik.

Memapan kekosistenan Logik, S (pembuktian teorem resolusi)

P

Hujah P

Bukti/sangkal penyataan baru, menggunakan S

P:Set aksiom (penyataan benar)

Rajah 2.1:Asal-usul Logik usulan dan predikat.

Setakat ini, dua kaedah Logik yang biasa dikaitkan dengan kecerdasan buatan ialah Logik Usulan (Propositional Logic) dan Logik Predikat/ Kalkulus Predikat (Predicate Logic/Predicate Calculus). Sekiranya anda imbas semula bab 2 iaitu pengaturcaraan PROLOG, secara dasarnya bab ini akan menceritakan bagaimana aturcara tersebut boleh menjanakan hasilnya. Di harap anda akan merasa seronok untuk mengetahui prosesnya yang berlaku di dalam.

Jadual 2.0: Undang-undang Logik Aristotle

Nama Keterangan Ungkapan

IDENTITI • Sesuatu yang

menyerupai sendiri. • Kenyataan yang membawa maksud tersendiri A adalah A (A is A) PERCANGGAHAN (contradiction)

• Sesuatu yang bukan jadi kedua-duanya dan bukan sesuatu. • Tiada kenyataan

sama ada benar atau palsu. A adalah bukan bukan-A (A is not not-A) usulan Logik Usulan Predikat (“rumus atomik”) Rumus terbentuk rapi Logik predikat Benarkan: kata_hubung Logik Benarkan: pembolehubah Kata_hubung Logik & pengkuantiti

palsu (A is not both A and not-A)

Secara ringkas tujuan Undang-undang Logik adalah untuk: 1. Memelihara penyataan integriti

2. Menjanakan sesuatu penyataan dengan nilai kebenaran (Benar / Palsu)

3. Setelah sesuatu nilai kebenaran diterima sebagai penyataan, ia tidak boleh diubah lagi.

2.1 Logik Usulan

(Propositional Calculus)

Logik Usulan adalah suatu perwakilan dan alasan dengan usulan di mana penyataannya yang bernilai sama ada BENAR atau PALSU contoh:

Jadual 2.1: Contoh nilai kebenaran bagi suatu usulan.

Simbol Usulan Nilai

U1 Semua segiempat tepat mempunyai 4 sisi Benar U2 Semua burung memiliki sayap Benar U3 Semua segitiga mempunyai 2 sisi Palsu

U4 Burung boleh terbang Benar/Palsu

Oleh itu, penyataan U1 & U2 disebut tautologi dan penyataan U3 pula dipanggil falasi.

Berikut adalah contoh bentuk perwakilan Logik usulan di mana ia boleh terdiri dari alphanumerik, simbol usulan atau perkataan. Sila rujuk Jadual 2.2.

Jadual 2.2: Perwakilan secara Logik usulan. Usulan Contoh bentuk perwakilan U1 a, U1, segiempat….

U2 b,U2, burung_bersayap…. U3 c, U3, sisi_segitiga….

Sesuatu ayat tidak akan lengkap jika kita hanya menggunakan satu perkataan sahaja. Oleh itu, kata penghubung seperti dan, atau , dengan dan lain-lain lagi akan menjadi pelengkap kepada suatu ayat. Begitulah juga dengan Logik usulan yang juga mementingkan kata hubung dalam mewakilkan pengetahuan. Sila rujuk antara kata hubung yang dibenarkan dalam Logik.

Jadual 2.3: Senarai kata hubung atau Connectives dalam Logik usulan.

kata_hubung simbol contoh

ATAU (OR) ∨,+,∪ a atau b: a∨b,a∪b DAN (AND) ∧,∩,- . a dan b:a∧b,a∩b TAK (NOT) ~,¬,− tak a : ~a,-a

IMPLIKASI ⊃,→,⇒ a implikasi b: a⇒b (IMPLICATION)

Setara ≡,⇔,↔ a setara b: a≡b (EQUIVALENCE)

Jadual yang berikut akan menerangkan jadual kebenaran mengikut penggunaan kata penghubung yang telah anda belajar sebelum ini.

Contoh penggunaan Logik usulan dengan menggunakan petua pentaabiran.

JIKA kereta tidak boleh dihidupkan ----P DAN amat jauh berjalan untuk ke kuliah TS2023 ----Q MAKA hari ini saya akan ketinggalan pelajaran Sistem Cerdas----R Kita boleh tulis petua di atas sebagai P∧Q→R

Ayat dalam Logik Usulan dibentuk melalui gabungan simbol-simbol usulan dengan menggunakan kata penghubung mengikut syarat-syarat tertentu:-

1. Setiap simbol usulan dan simbol kebenaran adalah suatu ayat Contoh: P, Q, R, Benar dan Palsu adalah ayat

2. Penafian ayat adalah suatu ayat Contoh: ¬Por ¬Benar adalah ayat

3. DAN (TINDANAN) pada dua ayat adalah suatu ayat Contoh: P∧Qadalah ayat

4. ATAU (PENYATUAN) pada dua ayat adalah suatu ayat Contoh: P∨Q adalah ayat

5. IMPLIKASI satu ayat kepada ayat lain adalah suatu ayat

Contoh: P⇒Qadalah ayat. P adalah premis dan Q adalah konklusi

6. KESETARAAN dua ayat adalah suatu ayat Contoh: P = Q adalah ayat

2.2.1 Well-Formed Formulas ( WFF's)

a b a∨b a Λ b ~a a →b a ≡ b B B B B P B B B P B P P P P P B B P B B P P P P P B B B

Bagaimana hendak mengenali satu penaabiran adalah ayat benar: Ungkapan:

(

(

P∧Q

)

⇒R

)

=¬P∨¬Q∨R

Syarat: Setiap juzuk ungkapan adalah ayat maka ungkapan tersebut dikatakan satu ayat. Sibu setiap juzuk mengikut syarat-syarat usulan yang ada,

• P, Q, R adalah SIMBOL USULAN dan juga ayat

• P∧Q , adalah DAN (TINDANAN) terhadap dua ayat dan juga satu ayat

• (P∧Q)⇒ R, adalah IMPLIKASI ayat bagi ayat yang lain dan juga satu ayat

• ¬Pdan¬Q adalah PENAFIAN ayat dan juga satu ayat

• ¬P∨¬Q adalah ATAU (PENYATUAN) bagi 2 ayat dan juga satu ayat

• ¬P∨¬Q∨R adalah ATAU (PENYATUAN) bagi 2 ayat dan juga satu ayat

•

(

(

P∧Q

)

⇒R

)

=¬P∨¬Q∨Radalah SETARA bagi dua ayat dan juga satu ayat.

Oleh yang demikian, ungkapan diberi adalah

2.2.2 Semantiks

Dalam Logik usulan, Semantiks merujuk kepada MAKSUD kepada ayat usulan

PENTERJEMAHAN pula adalah merujuk kepada setiap usulan simbol berkait dengan satu penyataan atau simbol usulan.

S menandakan Matahari sedang memancar T menandakan Saya ada kereta merah

Di mana kedua-dua S dan T boleh memberi nilai kebenaran sama ada BENAR atau PALSU bergantung kepada keadaan tertentu.

Oleh itu, PENTERJEMAHAN digunakan untuk memberi nilai kebenaran (BENAR atau SALAH) kepada ayat usulan.

Penterjemahan bagi sesuatu ayat dikenalpasti melalui,

• PENAFIAN (¬S): P sekiranya S ialah B ; B sekiranya S ialah P • DAN (S∧T ): B sekiranya S dan T adalah B; sebaliknya P. • OR (S∨T ): P sekiranya S dan T adalah P; sebaliknya B.

• IMPLIKASI (S ⇒T): P sekiranya S adalah B dan T adalah P; sebaliknya B.

• SETARA(S =T): B sekiranya S dan T adalah sama nilai; sebaliknya P.

Berpandukan kepada petua di bawah, setiap usulan dan Logik predikat boleh ditaabirkan kepada bentuk lain. Anggap P, Q, R adalah penyataan Logik usulan. Terdapat beberapa jenis petua iaitu Kontrapositif, de Morgan, SALING TUKAR TERTIB (commutative) , KALIS SEKUTUAN (associative) dan KALIS AGIHAN /TABURAN

Semantiks Logik usulan (Propositional Calculus Semantics) adalah PENTERJEMAHAN satu set usulan iaitu dengan menetapkan nilai kebenaran BENAR (B) atau PALSU (P) kepada setiap simbol usulan.

(distributive). Sekiranya diberikan beberapa ayat Logik predikat atau Logik usulan, ia perlulah ditaabir dalam bentuk yang lebih ringkas dan mudah supaya dapat ditentukan pembuktian teorem seperti yang ditunjukkan dalam sub topik 2.3.9.

¬ (¬P) ≡P

(P v Q) = (¬ P → Q)

Petua kontrapositif : (P → Q) = (¬ Q →¬ P)

Petua de Morgan's: ¬ (P v Q) = (¬ P∧¬ Q) DAN ¬ (P ∧Q) = (¬ Pv¬ Q) Petua saling tukar tertib : (P ∧Q) = (Q ∧P) DAN (P v Q) = (Q v P) Petua Kalis Sekutuan: ((P ∧ Q) ∧R) = (P ∧(Q ∧ R))

Petua Kalis Sekutuan: ((P v Q) v R) = (P v (Q v R)) Petua Kalis Agihan: P v (Q ∧ R) = (P v Q) ∧ (P v R) Petua Kalis Agihan: P ∧(Q v R) = (P ∧ Q) v (P ∧R)

Berikut adalah jadual kebenaran (Jadual 2.5) bagi ungkapan dan contoh bagaimana Logik usulan boleh ditaabirkan dengan menggunakan petua di atas.

Jadual 2.5: Jadual kebenaran bagi ungkapan S T ¬S S∧T S∨T

(

S T

)

T S ∨ ¬ ⇒

(

S T

)

( S T) T S ¬ ∨ ¬ ∨ ∧ = B B P B B B B B P P P B P P P B B P B B P P P B P P B B

Mengenalpasti tugasan kebenaran ungkapan dengan menggunakan Jadual Kebenaran.

Jadual Kebenaran akan menyenaraikan semua nilai kebenaran tugasan kepada usulan bagi setiap ungkapan dan kemudian memberikan nilai kebenaran ungkapan untuk setiap tugasan.

Dua ungkapan akan dianggap setara sekiranya nilai kebenarannya adalah sama mengikut tugasan nilai kebenaran. Sila lihat jadual 2.6 dan jadual 2.7 untuk mendapat gambaran jelas mengenai kesetaraan apabila diberi 2 ungkapan.

S T ¬S ¬S∨T (S⇒T)

(

¬S∨T

)

=(S⇒T)

B B P B B B

B P P P P B

P B B B B B

P P B B B B

Jadual 2.7:Ungkapan 2 iaitu

(

S∨¬T

)

=(¬S⇒¬T)

S T ¬S ¬T S∨¬T (¬S⇒¬T)

(

S∨¬T

)

=(¬S⇒¬T) B B P P B B B B P P B B B B P B B P P P B P P B B B B B Oleh demikian

2.2.3 Menggunakan Logik usulan kepada bidang

pengetahuan

Logik merupakan salah satu lagi perwakilan pengetahuan yang mempunyai keistimewaannya tersendiri. Sebelum anda menggunakan teknik Logik usulan kepada bidang pengetahuan tertentu, anda mestilah menganalisis struktur bidang seperti:

i. usulan yang digunakan pada bidang tersebut

ii. perhubungan logikal yang wujud di antara usulan-usulan.

Sila lihat rajah 2.2 sebagai contoh. Setiap ayat yang panjang hendaklah anda mengambilkira isi ayat yang penting sahaja. Ayat 1 boleh kita ringkaskan dari

“Jikalau Ahmad minat Logik, maka dia akan belajar Logik semester depan, atau dia malas”

kepada Ahmad minat Logik.

Begitulah juga contoh bagi ayat-ayat yang lain. Proses ini kita panggilkan sebagai proses pengabstrakan.

Rajah 2.2: Proses pengabstrakan ayat biasa kepada Logik usulan.

2.3 Logik Predikat

(Predicate Calculus)

Setelah anda pelajari konsep asas Logik usulan, Logik predikat adalah lanjutan dari perwakilan pengetahuan tersebut atau kita boleh terjemahkan sebagai Kalkulus Predikat. Predikat merupakan lanjutan Logik usulan yang menyediakan perwakilan akhir bagi pengetahuan tertentu. Kalkulus Predikat mengandungi penyataan-penyataan predikat mengenai individu atau objek, ciri-cirinya dan hubungannya dengan objek lain serta mewakili nilai Benar atau Palsu.

Usulan Simbol

1. Ahmad meminati Logik A

2. Ahmad akan belajar Logik semester depan B

3. Ahmad malas. C

4. Ahmad memiliki buku Logik sendiri D

Aksiom Maksud

1. A⇒B∨C (Jika A adalah benar, begitu juga B atau C) 2. D⇒ A (Jika D adalah benar maka A adalah benar) 3. D (D adalah benar)

4. ¬C (C adalah palsu) Perangai Ahmad terhadap Logik

1. Jikalau Ahmad minat Logik, maka dia akan belajar Logik semester depan, atau dia malas.

2. Jikalau Ahmad memiliki buku Logik maka dia berminat dalam Logik 3. Ahmad akan mentelaah buku mengenai Logik sendiri

4. Ahmad tidak malas.

Mengabstrak usulan

Anda mesti ingat bahawa satu predikat (atau ayat atomik) mengandungi simbol predikat yang menamakan hubungan antara entiti kosong atau lebih dikenali sebagai argumen.

Bentuk am: predikat (argumen).

Jadual 2.8: Pembentukan dari suatu premis kepada usulan dan ditaabirkan secara predikat.

premis usulan predikat

1. Ahmad seorang lelaki P lelaki(ahmad) 2. Muru seorang lelaki Q lelaki(muru) 3. Siew seorang lelaki R lelaki(siew) 4. Semua lelaki adalah manusia S manusia(lelaki)

Perhatian ! nama predikat bermula dengan huruf kecil nama pembolehubah bermula dengan besar nama atom/pemalar bermula dengan huruf kecil Perhatikan contoh di atas (Jadual 2.8), terdapat beberapa kelemahan Logik. Antara kelemahan yang ketara akan digariskan dalam jadual perbezaan Logik usulan dan Logik predikat (Sila rujuk jadual 2.9). Jadual 2.9: Perbezaan Logik Usulan dan Logik Predikat.

Logik Usulan Logik Predikat

Tiada hubungan di antara individu bergelar lelaki dan individu bergelar manusia.

Ada hubungan di antara semua individu bergelar lelaki dan semua lelaki adalah manusia.

Setiap simbol (P, Q, R atau S) mewakili keseluruhan usulan Tiada jalan untuk menembusi (menyelami maksu usulan untuk setiap komponen individu

P = Ahmad bermain bolasepak

Membenarkan setiap individu komponen ditembusi atau diselami main(ahmad, bolasepak)

Usulan tidak mengandungi pembolehubah

Benarkan ungkapan mengandungi pembolehubah,

Iaitu membenarkan kemasukan atau 'assertion' entiti kelas seperti,

1. main(X, bolasepak) di mana X adalah manusia yang main bolasepak

2. main(ahmad, Y) di mana Y adalah jenis permainan. Melalui Peraturan penaabiran, kita boleh menerbitkan ungkapan kepada ayat baru seperti,

rakan_kumpulan(X, Y)⇒ main(X, bolasepak) ∧main(Y, bolasepak)

2.3.1 Sintaks Logik Predikat

1. Simbol Logik Predikat digunakan untuk menyatakan objek, ciri-ciri atau hubungan dalam dunia. Simbol adalah seperti 'token' dalam bahasa pengaturcaraan.

2. Simbol kalkulus predikat mengandungi: a. Set huruf iaitu huruf kecil atau besar b. Set digit 0, 1, …..9

c. Garis bawah atau underscore _

3. Simbol bermula dengan huruf dan diikuti dengan sebarang susunan perkataan yang dibenarkan (huruf, digit & _ ) 4. Simbol Logik predikat yang dibenarkan:

a, A, ahmad, ALI, suka, objek1, objek2, adam_dan_hawa, XXXX

5. Simbol Logik predikat yang tidak dibenarkan: & % @ ? # , ruang kosong antara huruf

2objek, jumlah%, adam dan hawa, tambah&jumlah

2.3.2 Wakil simbol predikat

Terdapat 5 perkara yang penting dan anda perlu tahu dalam perwakilan simbol predikat iaitu konstan. pembolehubah, fungsi, predikat dan ayat atomik.

1. Konstan

a. Selalunya digunakan kepada objek yang spesifik dan ciri-ciri dalam dunia.

b. Dimulakan dengan huruf kecil seperti ahmad, lelaki, manusia dan lain-lain.

2. Pembolehubah

a. Selalu digunakan kepada objek kelas am atau ciri-ciri am bagi sesuatu skop perbincangan.

b. Mesti bermula dengan hurus besar seperti Binatang, Lelaki, Kereta, Permainan , X, Y

3. Fungsi

a. Mewakili satu PEMETAAN dari elemen dalam satu set (fungsi domain) ke atas elemen unik (jarak fungsi) dalam set lain.

b. Simbol fungsi mesti bermula dengan huruf kecil

c. Mengandungi ARITI, menyatakan bilangan elemen yang memetakan ke jarak dalam domain.

Jadual 2.10: Bilangan elemen dalam fungsi tersebut adalah 2.

fungsi_simbol(elemen1, elemen2) PETA KEPADA nilai

darab (2,3) PETA KEPADA 6

campur (2,2) PETA KEPADA 4

Fungsi darab dan campur (ariti=2) MEMETA 2 nombor kepada nombor lain.

Jadual 2.11: Bilangan elemen dalam fungsi tersebut adalah 1. fungsi_simbol(elemen) PETA KEPADA nilai

bapa(ali) PETA KEPADA ahmad

kawan(ali) PETA KEPADA hasan kakak(ali) PETA KEPADA fatima

Fungsi bapa, kawan dan kakak (ariti=1) MEMETA 1 orang kepada orang lain

d. Ungkapan Fungsi.

Mengandungi satu simbol fungsi berariti n diikuti dengan TEMPOH n yang dikurungkan oleh parentisis dan dihadkan oleh masa.

Contoh: bapa(ahmad). harga(epal). campur(X,Y).

ayah(ayah(ahmad)).

TEMPOH boleh terdiri daripada konstan, pembolehubah atau ungkapan fungsi.

Kereta X NAMA darab(2,3) campur(2,4,6) 4. Predikat

Satu predikat menyatakan satu HUBUNGAN di antara kosong atau lebih objek dalam sesuatu skop perbincangan. Anda juga boleh menyatakan bahawa satu hubungan merupakan satu pemetaan elemen-elemen n (bergantung kepada skop perperbincangan) kepada nilai kebenaran (BENAR atau PALSU).

simbol_predikat(argumen1, argumen2) Nilai kebenaran

adalah_lebih_dari(2,3). Palsu

adalah_lebih_dari(3,2). Benar

suka(ali, komputer) Benar

benci(ali,hujan). Benar

warna(langit, hijau). Palsu

Predikat akan bermula dengan huruf kecil seperti suka, benci, main dan lain-lain. Predikat juga akan dihubungkan dengan satu ARITI iaitu nombor objek yang berkaitan. Walau bagaimanapun, nama predikat adalah sama tetapi berlainan ariti maka ia dikatakan berbeza atau 'distinct'. Oleh itu, predikat diwakili oleh hubungan berbeza. Contoh,

suka(bolasepak). ariti = 1

suka(ali,komputer). ariti = 2 suka(ali, televisyen, tidur). ariti = 3

Argumen kepada satu predikat akan mengikut tempoh kerana ia boleh terdiri daripada pembolehubah atau ungkapan fungsi. Seperti

kawan(ali, X).

kawan(suka(komputer),benci(televisyen)).

Jika diberi 2 objek , ali dan ahmad, kedua-dua suka komputer dan benci televisyen, satu ungkapan lain akan terjana iaitu:

Satu ayat atomik adalah satu predikat ariti n yang diikuti dengan TEMPOH n (iaitu konstan, pembolehubah atau ungkapan fungsi) yang dikurungi oleh perentisis dan dipisahkan oleh koma. Selain itu, satu ayat atomik boleh berhenti mengikut tempoh tertentu. Contoh: kawan(ahmad,ali). kawan(ahmad, ali,hasan). kawan(ayah(ahmad),ayah(ali)). suka(ahmad, muzik). suka(ahmad,X). suka(X,muzik).

Ayat atomik boleh dipanggil sebagai ungkapan atomik atau atom. Ayat atomik juga boleh digabungkan dengan penghubung logikal (seperti ¬,∧,∨,⇒,=) untuk membentuk sesutau ayat.

2.3.3 Pengkuantiti

Jika satu pembolehubah boleh berlaku dalam ayat maka ia mesti dipengkuantiti supaya maksud ayat boleh dikenalpasti.

keterangan simbol Contoh

wujud X ∃X ∃X ,(lelaki (X)∧ pelajar(X)) untuk semua X ∀X ∀X ,(pelajar_itm(X) ⇒bumiputera(X))

Pengkuantiti Semesta ∀ (Universal Quantifier): Menandakan bahawa ayat tersebut adalah BENAR untuk semua nilai dalam pembolehubah. Pengkuantiti Kewujudan ∃ (Existential Quantifier) : Menandakakan bahawa ayat tersebut adalah BENAR untuk sebahagian daripada nilai dalam pembolehubah (sekurang-kurangnya satu nilai dalam skop perbincangan tersebut).

Peringatan :

1. Jika pemboleubah X dipengkuantiti, maka X disebut pembolehubah terbatas

2. Jika pembolehubah X tidak dipengkuantiti, maka X disebut pembolehubah bebas

Contoh ayat Logik predikat yang menggunakan pengkuantiti, 1. Semua lelaki adalah manusia

X

∀ , (lelaki (X)⇒ manusia(X))

2. Ada rakyat yang tidak suka pemimpin negara ,

X

∃ (rakyat(X) ∧~suka(X,Y) ∧pemimpin_ negara(y))

3. Ada rakyat perempuan yang tidak suka semua rakyat lelaki ,

X

∃ {rakyat(X)∧perempuan(X) ∧ [ ∀Y ((rakyat(Y) ∧ lelaki(Y)) ⇒~suka(X,Y)]}

2.3.4 Semantik Logik Predikat

Sekiranya anda ingin menggunakan perwakilan lojik predikat dalam penyelesaian sesuatu masalah, anda mestilah menjelaskan OBJEK dan HUBUNGAN dalam DOMAIN PENTERJEMAHAN bagi sesuatu set ungkapan WFFs.

Semantik Logik predikat pula akan menyediakan satu dasar yang rasmi untuk mengenalpasti Nilai Kebenaran bagi setiap ungkapan-ungkapan WFFs. Nilai Kebenaran bagi ungkapan-ungkapan WFFs ini bergantung kepada pemetaan konstan, pembolehubah, predikat dan juga fungsi terhadap sesuatu objek dan hubungan dalam domain tertentu. Secara kesimpulannya semantik bagi Logik predikat boleh dikatakan ,

1. Menjelaskan satu interpretasi terhadap domain D.

2. Menggunakan penterjemahan untuk mengenalpasti tugasan nilai kebenaran bagi sesuatu ayat.

2.3.5 Penterjemahan

(Interpretation)

Penterjemahan digunakan apabila hendak meletakkan tugasan ahli-ahli bagi Domain D dalam sesuatu ungkapan lojik predikat (iaitu sama ada simbol fungsi, konstan, pembolehubah atau predikat)

1. Setiap konstan diberikan kepada satu elemen dalam domain D. 2. Setiap pembolehubah diberikan kepada satu subset tak_kosong

(nonempty). Ia akan membenarkan pembolehubah untuk menukarganti.

3. Setiap fungsi f, ariti m diterjemahkan mengikut bilangan argumen m dari set D dan kemudian ditakrifkan sebagai satu pemetaan dari Dm _{ke D.}

4. Setiap predikat p, ariti n diterjemahkan mengikut bilangan argumen n dari set D dan kemudian ditakrifkan sebagai satu pemetaan dari Dn dengan menyatakan nilai kebenaran {BENAR, PALSU}.

Sebagai kesimpulannya, penterjemahan boleh dikatakan sebagai contoh menggantikan pelbagai konstan, pembolehubah, predikat dan simbol fungsi bagi sesuatu ungkapan Logik predikat yang terdiri dari ahli D, dan akhirnya ungkapan yang terhasil akan memenuhi tuntutan tugasan nilai kebenaran.

Tugasan Nilai Kebenaran bagi Ungkapan Logik Predikat

Bayangkan jika ungkapan lojik predikat adalah E dan wujud satu penterjemahan I terhadap E bagai satu Domain D yang tak_kosong (nonempty). Oleh itu, nilai kebenaran E boleh dikenalpasti melalui:

1. Satu nilai konstan yang diberi kepada E oleh I adalah merupakan satu elemen dari D.

2. Satu nilai pembolehubah diberi kepada E oleh I adalah satu elemen dari D.

3. Satu nilai ungkapan fungsi yang diperolehi apabila menilai fungsi (iaitu ketika penterjemahan I memberikan nilai parameter yang juga merupakan satu elemen dari D).

4. Simbol kebenaran Benar ialah B dan Palsu ialah P.

5. Nilai bagi ayat-ayat atomik iaitu sama ada B atau P (seperti yang telah dikenalpasti oleh penterjemahan I).

6. Nilai ayat penafian ialah B sekiranya nilai ayat tersebut adalah P dan P sekiranya nilai ayat tersebut adalah B.

7. Nilai tindanan bagi 2 ayat adalah B sekiranya nilai kedua-dua ayat ialah B dan adalah P sekira sebaliknya.

8. Ungkapan nilai kebenaran menggunakan V, ⇒ dan = dikenalpasti dari nilai kendaliannya (operands) seperti yang telah diterjemah terlebih dahulu.

Untuk satu pembolehubah X dan satu ayat S mengandungi X pula; 9. Nilai ∀X S adalah B jika S adalah B untuk semua tugasan

dalam X mengikut penterjemahan I dan akan menjadi P jika sebaliknya.

10. Nilai ∃XS adalah B jika S adalah B untuk sekurang-kurangnya satu tugasan dalam X berpandukan kepada penterjemahan I ; jika berlaku sebaliknya maka S adalah P.

Berikut adalah sedikit rumusan ringkas bagi penterjemahan dalam lojik predikat.

Sekiranya anda sudah terasa agak penat. Bolehlah berhenti sekejap kerana selepas ini anda akan belajar perkara yang lebih mencabar iaitu petua penaabiran yang akan menggabungkan semua subtopik yang telah dipelajari sebelum ini.

2.3.6 Petua Penaabiran

(Inference Rules)

Satu lagi perkara yang penting dalam Lojik Predikat ialah Petua Penaabiran. Petua Penaabiran adalah kebolehan untuk taabir ungkapan betul baru dari satu set kemasukan (assertion). Jangan risau jiak anda masih belum memahami apa yang dimaksudkan dengan petua penaabiran. Sila teruskan pembacaan anda.

Apakah itu Petua Penaabiran yang sebenarnya?

Petua Penaabiran menyediakan satu mekanisma untuk menghasilkan ayat Logik predikat baru dari ayat-ayat lain. Tambahan lagi, petua

PENTERJEMAHAN AYAT LOJIK PREDIKAT Setiap ayat atomik adalah satu ayat.

1. Jika s adalah satu ayat, maka penafiannya adalah ¬s. 2. Jika s1 dan s2 adalah ayat, maka tindanannya adalah s1 ∧ s2.

3. Jika s1 dan s2 adalah ayat, maka penyatuannya adalah s1 ∨s2.

4. Jika s1 dan s2 adalah ayat, maka implikasinya adalah s1 →s2.

5. Jika s1 dan s2 adalah ayat, maka setaranya adalah s1 ≡s2.

6. Jika X adalah satu pembolehubah dan s adalah satu ayat, maka ∀X s adalah satu ayat.

7. Jika X adalah satu pembolehubah dan s adalah satu ayat, maka ∃X s adalah satu ayat.

penaabiran menyediakan satu cara untuk mengenalpasti sekiranya satu ungkapan logikal diikuti dari ungkapan lojikal yang lain. Sebagai contoh jika semua manusia akan mati atau tidak kekal, kita boleh gambarkan sebagai berikut:

Semua manusia akan mati (tidak kekal). ). ( ) ( : Xmanusia X mati X S ∀ ⇒

Seorang manusia yang bernama Abdullah atau mengikut ayat dibawah,

‘Abdullah adalah manusia.’ Boleh diwakilkan dalam ayat Logik predikat seperti berikut:

manusia(abdullah).

Kedua-dua ayat diatas boleh ditaabir mengikut petua penaabiran iaitu di mana Abdullah adalah manusia dan akan mati. Oleh itu ia boleh ditaabirkan ayat yang lebih baik dengan menggantikan X dengan abdullah.

). (

)

(abdullah mati abdullah

manusia ⇒

2.3.7 Modus Ponens

Satu petua penaabiran akan terbentuk sekiranya setiap ungkapan logik predikat dijanakan oleh petua dari satu set S yang juga merupakan satu set ungkapan lojik predikat.

Oleh itu, Modus Ponen adalah satu cabang dari petua penaabiran. Contoh 1:

JIKA kita ada 2 ungkapan dalam format Q

P⇒ dan P

di mana kedua-duanya Benar dibawah penterjemahan I

MAKA melalui modus ponen kita boleh taabir Q adalah juga Benar untuk semua interpretasi bagi P dan P⇒Q adalah Benar.

Contoh 2:

Ungkapan : "JIKA huda sedang menjahit MAKA hari itu adalah cuti" JIKA P mewakili "huda sedang menjahit"

MAKA ungkapan boleh ditulis sebagai P⇒Q Oleh itu…kita akan memperolehi petua

Q P⇒ dan fakta

P (huda sedang menjahit adalah Benar)

Selain itu, dengan menggunakan modus ponen kita boleh tambah fakta Q kepada set ungkapan benar : Q (hari itu adalah cuti).

Modus Ponen juga boleh digunakan kepada ungkapan mengandungi pembolehubah.

Contoh:

3 penyataan: Format predikat

1. Comel adalah seekor kucing. kucing(comel).

2. Semua kucing adalah makhluk. ∀X ((kucing (X)⇒makhluk(X)) 3. Semua makhluk akan mati. ∀Y ((makhluk(Y)⇒mati(Y)) Buktikan

Comel akan mati.

Menggunakan modus ponen pada penyataan 2 dan gantikan {comel/X} makhluk(comel).

Menggunakan modus ponen pada penyataan 3 dan gantikan {comel/Y} mati(comel).

Sila perhatikan contoh di bawah pula yang mengandungi 4 penyataan iaitu:

1. omar suka kalkulus.

2. semua yang suka kalkulus tahu prolog. 3. prolog berkait dengan Logik.

4. Logik diajar dalam kursus ts2023.

Kita ingin ketahui sama ada Omar ingin ambil kursus ts2023. 1a. suka(omar,kalkulus).

2a. ∀(X)(tahu(X,prolog)⇒suka(X,kalkulus). 3a. berkait(prolog, Logik).

Menggunakan modus ponen pada penyataan 2a dan gantikan {omar/X}

tahu(omar,prolog):-suka(omar,kalkulus).

Menggunakan modus ponen pada penyataan 4a dan gantikan {omar/X} dan {prolog/Y}

ambil(omar,ts2023):tahu(omar,prolog),berkait(prolog,logik). Oleh itu, petua penaabiran membenarkan sesuatu ayat digantikan kepada ayat yang lain dengan syarat ia membawa maksud yang sama atau menggunakan teknik modus ponen. Setelah anda faham apa yang dimaksudkan dengan penaabiran, mari pula belajar mengenai penyatuan.

2.3.8 Penyatuan (Unification)

Baiklah satu lagi perkara yang penting dalam Logik predikat ialah penyatuan. Penyatuan adalah satu alkhawarizmi bagi membandingkan pembolehubah dalam 2 ungkapan Logik predikat untuk mencari sekiranya wujud satu set gantian (untuk pembolehubah) yang boleh menjadikan 2 ungkapan Logik predikat serbasama.

Contoh:

1. Aishah adalah seorang Melayu. melayu(aishah).

2. Semua melayu adalah warganegara Malaysia. ). ( _ arg ) (X w anegara malaysia X Xmelayu ⇒ ∀

3. Semua warganegara_malaysia sama ada setia kepada pemimpin negara atau tidak.

). _ , ( ) _ , ( ) ( _ arg negara pemimpin X benci negara pemimpin X setia X malaysia anegara Xw ∨ ⇒ ∀ Tindakan penyatuan….

• Dalam penyataan 2, penyataan utama boleh digantikan oleh penyataan 1, iaitu pembolehubah X = =aisyah.

• Ia boleh diikuti (atau ditaabir) dari penggantian ini, ). (

_ arg

)

(aisyah w anegara malaysia aisyah

melayu ⇒ [ X = = aisyah ]

aisyah adalah seorang warganegara_malaysia

• Penaabiran warganegara_malaysia(aisyah) boleh digunakan untuk menggantikan penyataan utama 3, iaitu, X = = aisyah.

• Ia boleh ditaabirkan dengan menggantikan X = =aisyah , ). _ , ( ) _ , ( ) ( _ arg negara pemimpin aisyah benci negara pemimpin aisyah setia aisyah malaysia anegara Xw ∨ ⇒ ∀

Oleh itu, penyatuan membenarkan penaabiran terjadi pada satu set penyataan Logikal.

Bagaimanakah penyatuan dilakukan?

Untuk menyatukan 2 pembolehubah dalam 2 penyataan predikat anda mestilah mengetahui mengenai kasus iaitu satu alkharizmi yang menerangkan bagaimana penaabiran atau penyatuan boleh dilakukan. Kasus

1. Ungkapan U1 & U2 pemalar atau senarai kosong. JIKA U1 = U2 MAKA { } *

KALAUTAK gagal

Contoh bagi kasus 1,

cinta(komputer). cinta(komputer). cinta(komputer). benci(komputer). cinta(bolasepak). cinta(X).

TAK PADAN PADAN PADAN

2. Ungkapan U1 pembolehubah

JIKA U1 wujud dalam U2 MAKA gagal

KALAUTAK { U2/U1} 3. Ungkapan U2 pembolehubah

JIKA U2 wujud dalam U1 MAKA gagal

KALAU TAK {U1/U2}

Contoh bagi kasus 2 dan 3.

p(X,Y). p(X,X). berkahwin(X,Y)

p(A,B). P(Y,Z). Berkahwin(anak(X),anak(Y)). PADAN TIDAK PADAN TIDAK PADAN

kerana X wujud dalam anak(X). Ujian ini disebut “semakan kewujudan’(occur check).

4. Kedua-dua U1 & U2, senarai

JIKA panjang U1 ≠ panjang U2 MAKA gagal

KALAU TAK

Satukan unsur ke-i U1 dan unsur ke-i U2 untuk i=1,…,panjang U1 (atau U2)

JIKA ada unsur ke-i yang tidak boleh disatukan MAKA gagal

KALAUTAK berjaya

Contoh bagi kasus ke 4,

cinta(komputer). cinta(prolog,matematik). cinta(komputer,prolog). cinta(komputer,prolog). cinta(bolasepak,televisyen). cinta(komputer,X).

TAK PADAN PADAN PADAN

Sila rujuk rajah 2.3. Berikut adalah alkhawarizmi yang menerangkan kasus di atas yang diperolehi dari Luger (2001).

Rajah 2.3: Alkharizmi penyatuan dari Luger(2001).

Sekiranya anda masih kabur dengan penerangan di atas, apa kata cuba lihat contoh lain seperti di bawah :

Contoh Penyatuan 1

ibubapa(X,…). [siti/X]

ibubapa(siti,…). Padankan argumen ke-2

X disatukan kepada siti melalui penyataan 1, Oleh demikian itu kita akan memperolehi, ibubapa(siti, bapa(siti), ibu(siti)).

Ibubapa(siti, bapa(siti), Y). Cubaan untuk memadankan bapa(siti)

bapa(siti)

Padankan argumen ke-3

ibubapa(siti, bapa(siti), ibu(siti)). Ibubapa(siti, bapa(siti), Y).

Kedua-dua padanan menghasilkan 2 penyataan lain yang serbasama iaitu: siti/X dan ibu(siti)/Y

Penyataan yang terhasil selepas ia dipadankan adalah seperti berikut: ibubapa(X, bapa(X),ibu(siti) → ibubapa(siti, bapa(siti), ibu(siti)). ibubapa(siti, bapa(siti), Y) → ibubapa(siti, bapa(siti), ibu(siti)).

Padan kerana kedua-dua penyataan adalah sama

Contoh Penyatuan 2

ibubapa(X,…). [siti/X]

ibubapa(siti,…). Padankan argumen ke-2 ibubapa(siti, bapa(ali),…).

Penyataan predikat 1: ibubapa(X, bapa(ali), ibu(Z)).

Penyataan predikat 2: ibubapa(siti, bapa(Y), ibu(aminah)). 1. Periksa samada 2 simbol predikat sepadan.

PADAN

2. Periksa bilangan argumen pada kedua-dua predikat SAMA

3. Padankan secara berpasangan. Padankan argumen pertama

ibubapa(siti, bapa(Y),…). Cubaan untuk padankan, bapa(ali)

bapa(Y) [ali/Y]

Padankan argumen ke-3 ibubapa(siti, bapa(ali), ibu(Z)). ibubapa(siti,bapa(ali), ibu(aminah)). Cubaan untuk padankan,

ibu(Z).

ibu(aminah). [aminah/Z]

Penggantian berikut menjadikan 2 penyataan sama: siti/X, ali/Y dan aminah/Z.

Selepas penggantian,

ibubapa(siti,bapa(ali),ibu(Z))→ ibubapa(siti,bapa(ali),ibu(aminah)). ibubapa(X,bapa(Y),ibu(aminah))→ ibubapa(siti, bapa(ali), ibu(aminah)). Diharap anda telah mula memahami bagaimana untuk melakukan penyatuan apabila diberi dua penyataan yang boleh dipadankan berpandukan kasus .

2.3.9 Pembuktian Teorem Resolusi

Resolusi adalah satu teknik untuk membuktikan teori dalam lojik usulan atau lojik predikat.

Resolusi menceritakan satu cara untuk mencari perbedaan dalam satu set (pangkalan data) klausa penafian. Sila rujuk rajah 2.4.

Set klausa f d f e e d c b c b a ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨

Rajah 2.4 : Set klausa dalam bentuk binari

Resolusi membuktikan satu teori dengan menafikan penyataan asal untuk dibuktikan. Sila rujuk rajah 2.5.

Buktikan a adalah benar Penyataan asal adalah a Penyataan nafi adalah ¬a Rajah 2.5 : Kaedah penafian

Penyataan Nafi kemudiannya ditambah dalam pangkalan data klausa. Sila rujuk 2.6. Set klausa a f d f e e d c b c b a ¬ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨

Rajah 2.6:Penyataan nafi ditambah ke dalam set klausa. Penyataan nafi ditambah

Sekiranya Penyataan Nafi menyebabkan satu perbedaan maka ia akan disimpulkan sebagai Penyataan Asal adalah Benar.

Satu Petua Resolusi kemudiannya digunakan untuk menunjukkan penyataan nafi menuju kepada Perbedaan, seperti Penyataan Nafi yang tak konsisten atau tak selaras dengan set klausa yang diberi. Apakah yang dimaksudkan dengan Petua Resolusi?

Anda perlu ingat bahawa anda perlu nafikan sesuatu set klausa (selalunya bukti klausa yang hendak dihasilkan akan dinafikan) supaya satu kesimpulan boleh dicapai dengan mudah.

Diberi 2 klausa (kedua-duanya benar) b

a∨¬ dan b∨c

Nota: salah satu b dan ¬ b mesti sentiasa benar dan sentiasa palsu. (Tidak dibenarkan jika b adalah benar atau palsu pada masa yang sama).

Oleh itu, c

a∨ mesti sentiasa benar dan penyelesai kepada 2 klausa tersebut. Apakah pula Resolusi Binari?

JIKA

Terdapat 2 klausa di mana satu klausa mengandungi satu pembolehubah dan klausa lain mengandungi penafian terhadap pembolehubah yang sama

MAKA

Klausa baru dijanakan mengandungi semua predikat yang berbeda (Buang 2 pemboleubah dan penafiannya).

Contoh Pembuktian Resolusi Binari Bagi Logik Usulan Set klausa a f d f e e d c b c b a ¬ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨

Rajah 2.7:Set klausa ini perlu dibuktikan a adalah tidak benar. Perlu dibuktikan a adalah benar

¬ a a∨¬b∨¬c ¬b∨¬c b ¬ c c∨¬d∨¬e f e∨ ¬d∨¬e d f ∨¬d f ¬f

[ ] Oleh itu, a adalah benar

Rajah 2.8:Jalan penyelesaian secara pembuktian teorem. Contoh Pembuktian Resolusi Dengan Pembolehubah

Resolusi dalam Lojik predikat menggunakan PENYATUAN untuk menyamakan 2 pembolehubah dengan nama pembolehubah yang berbeza. ) ( ) (X haiwan X kucing ∨ ¬ kucing(comel) ) ( ) (Y mati Y haiwan ∨ ¬

Buktikan comel akan mati iaitu mati(comel) {Kesimpulan} . Selepas dinafikan,

) ( ) (X haiwan X kucing ∨ ¬ ¬haiwan(Y)∨mati(Y) {Y/X}

kucing(comel) ¬kucing(Y)∨mati(Y) {comel/Y}

mati(comel) ¬ mati(comel)

[ ] Oleh itu, dibuktikan comel akan mati.

Rajah 2.9: Pembuktian resolusi untuk pembolehubah. Contoh Pembuktian Refutasi Resolusi

1. ¬lulus(X,spm)∨menang(X,sukan)∨gembira(X) 2.¬belajar(Y)∨lulus(Y,Z)

3. ¬bertuah(W)∨lulus(W,V) 4.¬belajar(huda)

5. bertuah(huda)

6. ¬bertuah(U)∨menang(U,sukan)

Buktikan bahawa huda adalah gembira { gembira(huda) } Selepas dinafikan, ¬gembira(huda)

) ( ) , ( ) ,

(X spm menang X sukan gembira X

lulus ∨ ∨ ¬ ) , ( ) (U menang U sukan bertuah ∨ ¬ {U/X} ) ( ) ( ) , (U spm gembiraU bertuahU lulus ∨ ∨¬ ¬ ¬gembira(huda) {huda/U} bertuah(huda) ) ( ) ,

(huda spm bertuah huda

lulus ∨¬

¬

{}

¬lulus(huda,spm) ¬bertuah(W)∨lulus(W,V) {huda/W, spm/V}

¬bertuah (huda) bertuah(huda) {}

[ ]Oleh itu, terbukti huda gembira.

Diharap anda dapat melakukan teorem pembuktian sekiranya diberikan satu set klausa sama ada dalam bentuk binari, Logik usulan, pembolehubah atau lain-lain.

2.4 Kebaikan dan kelemahan Logik (berasaskan

kepada Logik predikat)

Hasil dari perbincangan kita diatas dapatlah kita gariskan beberapa kebaikan dan kelemahan Logik ini iaitu:

Kebaikan Logik: 1. Kesemulajadian 2. Bermodul 3. Kekonsistenan 4. Kejituan Kelemahan Logik

1. Proses penaakulan yang terbatas dan tidak mudah lentur. 2. Sukar untuk mewakili pengetahuan am atau pun pengetahuan

akal bistari (common sense), contohnya untuk mewakili: a. Darjah sukatan

Hari ini panas terik. b. Amaun kepastian

Orang yang berambut hitam selalunya bermata coklat. c. Maklumat heuristik

Dalam peraduan tarik tali, badan yang tegap memberi keuntungan

d. Maklumat lalaian (default) Semua burung pandai terbang.

2.5 Kesimpulan

Secara kesimpulannya bentuk umum sebarang proses Logikal adalah seperti berikut :

Komputer akan menerima input yang berbentuk premis atau fakta-fakta dan kemudian akan melakukan pemprosesan dengan menggunakan kaedah lojik iaitu sama ada lojik usulan dan predikat dan akhirnya akan menghasilkan satu penaabiran atau rumusan.

Anda juga telah mempelajari dari awal sehingga akhir iaitu apa itu logik, dan logik terbahagi kepada dua jenis iaitu logik usulan dan logik predikat. Logik usulan mempunyai kelemahannya tersendiri seperti tidak mudah diselami maksud setiap individu dalam sesuatu ayat tersebut manakala logik predikat lebih mudah untuk melentur maksud sesuatu ayat tersebut. Namun, kelemahan yang ketara dalam logik adalah sukatan darjah bagi sesuatu ayat tersebut. Seperti berapakah kebarangkalian kebenarannya atau sebaliknya. Masalah ini boleh dikendalikan dengan menggunakan teknik pengurusan ketidaktentuan. Teknik pengurusan tidak ketidaktentuan ini boleh dijalankan dengan menggunakan kaedah faktor ketentuan, teori bayes atau logik kabur.

Proses

Logikal

OUTPUT Penaabiran atau rumusan INPUT Premis atau fakta-fakta

Latihan

1. Apakah yang dimaksudkan dengan Logik usulan dan Logik predikat?

2. Siapakah yang mengasaskan Logik yang sebenarnya ? 3. Apakah tujuan penafian dalam pembuktian teorem resolusi ? 4. Wakilkan ayat-ayat berikut dalam bentuk logik predikat.

• Semua buah epal berwarna samada hijau atau merah. • Tiada buah epal yang berwarna biru.

• Jika epal itu berwarna hijau maka ianya lazat. • Setiap lelaki suka epal berwarna hijau.

5. Diberi satu set klausa dalam bentuk pembolehubah.

a. Sila tukarkan ayat umum ini kepada ayat Logik predikat. b. Kemudian nafikan ayat predikat tersebut.

c. Sila buktikan ahmad makan durian.

Jawapan

1. Sila rujuk 2.0. 2. Sila rujuk 2.0. 3. Sila rujuk 2.3.9. 4.

∀X( (buah_epal(X))→warna(X,hijau) ∨ warna(X,merah)). ∀X( (buah_epal(X))→¬warna(X,biru)).

∃X( (buah_epal(X)) ∧ warna(X,hijau)) →rasa(X,lazat).

∃X ,∀Y (( buah_epal(X)∨ lelaki(Y) →warna(X,hijau) ∧ suka(Y,X)). 5.

a. Sila rujuk kaedah yang digunakan dalam sub topic 2.3.2.

(P1) Ahmad suka buah-buahan tempatan

(P2) Durian adalah sejenis buah-buahan tempatan

(P3) Manusia makan apa yang dia suka

(P4) Ahmad ialah manusia

(NK) ahmad makan durian

(P1) ∀X( (buah_tempatan(X))→suka(ahmad, X)). (P2) buahan_tempatan(durian)

(P3) ∀Y∀Z(manusia(Y) ∧ suka(Y,Z)→makan(Y,Z)). (P4) manusia(ahmad).

b. Sila rujuk dibawah sub topik 2.3.5.

c. Sila rujuk di bawah sub topik 2.3.8 dan 2.3.9.

[Isi Topik]

[No. Bab].[No. Topik].[Subtopik] [Tajuk Subtopik]

[Isi subtopik]

Nota untuk penulis : Modul yang baik mengandungi beberapa – 1. Latihan

2. Uji diri

3. Akses ke CD-ROM 4. Akses ke Laman Web

Bentuk klausa:

KP1: ~buahan_tempatan(X) ∨ suka(ahmad,X) KP2: buahan_tempatan(durian)

KP3: ~manusia(Y) ∨ ~suka(Y,Z) ∨ makan (Y,Z) KP4: manusia(ahmad)

KNK: ~makan(ahmad,durian).

[KNK]

~makan(ahmad,durian). _{~manusia(Y) ∨~suka(Y,Z)} [KP3] _{∨ makan (Y,Z)}

manusia(ahmad) ∨ ~suka(ahmad,duiran)

{ahmad/Y, durian/Z} _[KP4] manusia(ahmad)

~suka(ahmad,durian) _{buahan tempatan(X)} [KP1] _{∨suka(ahmad,X)}

~buahan-tempatan(durian)

[KP2]

~buahan-tempatan(durian) {durian/X}