Abink M, Saker M. 2002. Getting to grif with fair value. The Staple Inn Actuarial Society.
Bacinello AR. 2001. Fair pricing of Life Insurance participating policies with a minimum interest guaranteed. ASTIN Bulletin. 31(2): 275-298.
Bacinello AR. 2003a. Fair valuation of a guaranted life insurance participating contract embedding a surrender option. Journal of Risk and Insurance. 70(3): 461-487.
Bacinello AR. 2003b. Pricing guaranteed life insurance participating policies with annual premiums and surrender option. North American Actuarial Journal. 7(3), 1-17.
Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy. 81(3):637-654.
Bodie Zvi, Kane Alex, Markus AJ. 2005. Investasi. Jilid I. Budi Wibowo, penerjemah. Salemba Empat. Terjemahan dari: Invesment.
Bowers NL JR, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ.1997. Actuarial Mathematics. Second Edition. The Society of Actuaries. Illinois USA.
Briys E, De Varenne F. 1979. On the risk of insurance liabilities: debunking some common pitfalls. Journal of Risk an Insurance. 64(4):
673-694.
Buhlman H. 2002. New Math for Actuaries. ASTIN Bulletin. 32(2): 209-211.
Chance DM. 2004. An Introduction to Derivatives & Risk Management. Sixth Edition. Thomson South Western. Ohio USA.
Cox J, Ross S, Rubenstein M. 1979. Option Pricing: a simplified approach. Journal of Finacial Economics. 7: 229-263.
Devolder P. 2003. Fair valuation of Actuarial Liabilities in Binomial Environment. Universite Catholique de Louvain. Valencia.
Devolder P, Dominguez-Fabian I, 2005. Fair Valuation of Various Participation Schemes in Life Insurance. Astin Bulletin, 35(1): 275-297
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability With Stochastic Processes. Third Edition, Pearson Precentice Hall. New Jersey USA.
infact of interest rate guarantees, surrender option and bonus policies.
Insurance Mathematics and Economics. 26(1): 37-57.
Hull JC. 2006. Options, futures and other derivatives. Sixth Edition. Pearson Precentice Hall. New Jersey USA.
Ross SM. 1993. Introduction Probabilty Models. Fifth Edition. Academics Press. Inc. San Diego.
LAMPIRAN
Sebuah fungsi , , yang kontinu, dengan turunannya yang juga kontinu memenuhi
1
2 .
Bukti:
Fungsi , merupakan fungsi kontinu dan dapat diturunkan dalam peubah . Jika ∆ adalah perubahan kecil pada dan ∆ merupakan hasil perubahan kecil dalam , maka
∆ ∆ 1.1 Dapat dikatakan bahwa, ∆ sama dengan pendekatan tingkat perubahan berhubungan dengan dikalikan dengan ∆ . Jika dibutuhkan perhitungan yang lebih teliti, ekspansi deret Taylor pada ∆ dapat digunakan
∆ ∆ 1
2 ∆
1
6 1.2 Untuk fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan pada dua peubah dan , hasil yang sama dengan persamaan (1.1) adalah
∆ ∆ ∆ 1.3 dan ekspansi deret Taylor pada ∆ adalah
∆ ∆ ∆ 1
2 ∆ ∆ ∆
1
2 ∆ 1.4 Jika diambil limitnya pada saat ∆ dan ∆ mendekati 0, persamaan (1.4) menjad
1.5 Perluasan persamaan (1.5) untuk mencakup fungsi pada peubah yang mengikuti proses It , dengan memisalkan peubah mengikuti proses It sehingga
, , 1.6 dan merupakan fungsi pada dan . Analog dengan persamaan (1.4) ∆ dapat dinyatakan sebagai berikut
∆ ∆ ∆ 1
2 ∆ ∆ ∆
1
∆ , ∆ , √∆ 1.8 Atau jika penjelasan , dihilangkan menjadi
∆ ∆ √∆ 1.9 Persamaan ini menampakkan perbedaan penting antara persamaan (1.4) dengan persamaan (1.7). Pada saat penjelasan limit digunakan untuk merubah persamaan (1.4) menjadi (1.5), bentuk ∆ diabaikan karena merupakan bentuk orde kedua. Dari persamaan (1.9) dapat diperoleh
∆ ∆ bentuk orde yang lebih tinggi dalam ∆ (1.10) Hal ini menunjukkan bahwa bentuk yang mengandung ∆ pada persamaan (1.7) mempunyai komponen ∆ dan tidak dapat diabaikan.
Ragam pada distribusi normal baku adalah 1, hal ini berarti 1
dengan E melambangkan nilai harapan. Pada saat 0 akibatnya 1 sehingga nilai harapan ∆ ∆ . Hal itu dapat ditunjukkan bahwa ∆ adalah ragam pada orde ∆ dan sebagai akibatnya ∆ dapat diperlakukan sebagai bentuk nonstokastik dan sama dengan nilai harapan ∆ , pada saat ∆ mendekati 0. Dengan mengambil nilai limitnya pada saat ∆ dan ∆ mendekati nol pada persamaan (1.7) dan menggunakan hasil terakhir diperoleh
1
2 1.11 mengikuti lema It . Dengan menyubstitusikan pada persamaan (1.6) ke dalam persamaan (1.11) diperoleh
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 Bukti: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 .
2 Bukti: 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 .
2 Bukti: 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 .
2 Bukti: 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 .
v T Bukti: v T 1 1 T 1 1 T 1 1 1 T T 1 1 T T .
v T Bukti: v T 1 1 1 1 t T 1 1 1 1 t T 1 t 1 1 t T 1 t T 1 1 1 1 T 1 1 1 1 T 1 1 1 1 1 T 1 1 1 1 1 T dengan 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasio .
Sehingga jumlah deret tersebut adalah:
1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 11 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .
2 Bukti:
Menggunakan nilai (3.4) dan (3.7) pada dan , rumus (3.29) menjadi:
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 .
Suatu fungsi , ln memiliki turunan sebagai berikut:
1 1
0
Substitusikan turunan-turunan tersebut ke dalam persamaan
1
1
Fungsi memiliki drift rate dan variance rate . Perubahan Y dalam waktu antara 0 sampai 1 merupakan sebaran normal dengan rataan
dan . Hal ini berarti:
ln 1 ln 0 ,
ln 1 ln 0 ,
dengan 1 adalah harga aset pada waktu 1, 0 harga aset pada waktu 0 dan , menyatakan distribusi normal dengan:
rataan ln 0 dan simpangan baku . Selanjutnya, jika 1 didefinisikan sebagai fungsi kepekatan peluang dari
1 , maka nilai harapan menjadi
maks 1 1 , 0
1 1 1 1 . 5.1
ln 1
. 5.2 Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (5.2) diperoleh
ln 1 ln 0 2
, 5.3 dengan juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan simpangan baku 1. Fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan dengan sehingga
1 √2
/ . 5.4 Selanjutnya untuk menentukan nilai maks 1 1 , 0 perlu adanya perubahan batas integral dari integral menurut 1 menjadi integral menurut . Jika 1 ∞, maka ∞ dan jika 1 1 , maka
ln 1
.
Dengan mengubah persamaan di atas menjadi persamaan dalam 1 sehingga 1 . 5.5 Dengan menggunakan persamaan (5.5) bersama-sama dengan persamaan (5.4) dan dengan perubahan batas integral seperti yang disebutkan di atas, maka persamaan (5.1) menjadi maks 1 1 , 0 1 / 1 / 1 √2 / / 1 / 1 √2 / / 1 / 1 √2 / / 1 / / 1 √2 / / 1 /
/ /
/ 1 ln 1 1 1 ln 1
/ ln 1 1 ln 1 5.6
dengan /
Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (5.6) menjadi
maks 1 1 , 0 / ln 1 1 ln 1 / ln 1 ln 0 2 1 ln 1 ln 0 2 / ln 1 ln 0 2 1 ln 1 ln 0 2 ln 1 0 2
1 ln 1 2
1
0 1
Karena 0 1 dan ln 1 maka:
maks 1 1 , 0 1
Nilai opsi call menjadi
, , 1 maks 1 1 , 0
1 1 1
, , 1 ln 11 2 , , 1 ln 11 2 , , 1 Bukti: , , 1 ln 0 1 2 ln 1 1 ln 1 2 ln 11 2 , , 1 ln 0 1 2 ln 1 1 ln 1 2 ln 11 2 , , 1
1 1 1 1 1 1 1 Bukti: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Merupakan deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio . Sehingga jumlah deret tersebut adalah:
1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .
Suatu fungsi , ln memiliki turunan sebagai berikut: 1
1
0
Substitusikan turunan-turunan tersebut ke dalam persamaan
1
1
Fungsi memiliki drift rate dan variance rate . Perubahan Y dalam waktu antara 0 sampai T merupakan sebaran normal dengan rataan
dan . Hal ini berarti:
ln ln 0 , √ atau
ln ln 0 , √
dengan adalah harga aset pada waktu , 0 harga aset pada waktu 0 dan , menyatakan distribusi normal dengan:
rataan ln 0 dan simpangan baku √ . Selanjutnya, jika didefinisikan sebagai fungsi kepekatan peluang dari
, maka nilai harapan menjadi
maks 1 , 0
1 . 8.1
ln
. 8.2 Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (8.2) diperoleh
ln ln 0 2
√ , 8.3 dengan juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan simpangan baku 1. Fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan dengan sehingga
1 √2
/ . 8.4 Selanjutnya untuk menentukan nilai maks 1 , 0 perlu adanya perubahan batas integral dari integral menurut menjadi integral menurut
. Jika ∞, maka ∞ dan jika 1 , maka ln 1
.
Dengan mengubah persamaan di atas menjadi persamaan dalam sehingga . 8.5 Dengan menggunakan persamaan (8.5) bersama-sama dengan persamaan (8.4) dan dengan perubahan batas integral seperti yang disebutkan di atas, maka persamaan (8.1) menjadi maks 1 , 0 1 / 1 / 1 √2 / / 1 / 1 √2 / / 1 / 1 √2 / / 1 / / 1 √2 / / 1 /
/ /
/ 1 ln 1 1 1 ln 1
/ ln 1 1 ln 1 8.6
dengan /
Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (8.6) menjadi
maks 1 , 0 / ln 1 1 ln 1 / ln 1 ln 0 2 √ √ 1 ln 1 ln 0 2 √ / ln 1 ln 0 2 √ 1 ln 1 ln 0 2 √ ln 1 0 2 √
1 ln 1 2 √
1 0 1
Karena 0 1 dan ln 1 maka:
maks 1 , 0 1
Nilai opsi call menjadi
, , maks 1 , 0
1 1 1
, , ln 11 2 √ , , ln 11 2 √ , , √ Bukti: , , ln 0 1 2 √ ln 1 1 ln 1 2 √ ln 11 2 √ ln 11 2 √ , , ln 0 1 2 √ ln 1 1 ln 1 2 √ ln 11 2 √ ln 11 2 √ , , √
0 T 1