Energetika Gelombang. Bab 4. Penyusun: Andhy Setiawan

4.1

Energetika Gelombang

Penyusun: Andhy Setiawan

Pendahuluan

Pada bab ini Anda akan mempelajari mengenai energi yang dirambatkan gelombang serta pemantuan dan transmisi gelombang dengan arah datang normal terhadap bidang batas dua medium. Pada gelombang mekanik, energi dan momentum dijalarkan melalui gangguan dalam medium, gangguan ini dapat menjalar karena adanya interaksi di dalam medium, yang muncul karena sifat elastis dan inersia mediumnya. Makin kuat interaksi di dalam medium, makin cepat penjalaran gelombang. Sedangkan pada gelombang elektromagnetik, energi dan momentum dijalarkan oleh medan listrik dan medan magnet yang dapat merambat melalui vakum. Perambatan energi dalam gelombang elektromagnetik digambarkan oleh vektor poynting. Secara khusus gelombang elektromagnetik ini akan dibahas pada topik tersendiri mengenai gelombang elektromagnetik.

Dalam bab mengenai energetika ini dibahas mengenai energi, intensitas dan momentum beserta keterkaitannya, impedansi dan intensitas (termasuk taraf intensitas) gelombang bunyi, impedansi dan daya gelombnag, serta pemantulan dan transmisi gelombang. Persamaan gelombang telah diturunkan secara kinematika dan dinamika gelombang. Pada bab ini penurunan persamaan differensial gelombang dijabarkan melalui hukum kekekalan energi.

Setelah mempelajari bab ini Anda diharapkan memiliki kemampuan untuk:

1. Menurunkan persamaan differensial gelombang berdasarkan hukum kekekalan energi. 2. Memformulasikan rapat energi dan rapat energi rata-rata serta rapat daya (intensitas) dan

intensitas rata-rata.

3. Memformulasikan rapat momentum dan rapat momentum rata-rata serta rapat aliran momentum dan rapat aliran momentum rata-rata.

4. Menerapkan hubungan antara rapat momentum, rapat aliran momentum, rapat energi dan intensitas.

5. Memformulasikan intensitas gelombang bunyi.

6. Menentukan/menerapkan hubungan antara intensitas gelombang bunyi dengan impedansi dan tekanan.

8. Menurunkan hubungan antara daya dan impedansi gelombang

9. Menurunkan persamaan koefisien pantul dan koefisien transmisi dalam ungkapan-ungkapan bilangan gelombang, rapat massa, dan impedansi berdasarkan syarat batas. 10. Memformulasikan reflektansi dan transmitansi dan kaitannya dengan koefisien pantul dan

koefisien transmisi.

11. Menjelaskan kasus khusus untuk nilai impedansi tertentu berkaitan dengan transmitansi dan reflektansi.

12. Menggunakan formulasi koefisien pantul dan transmisi dan melakukan perhitungan reflektansi dan transmitansi.

Kemampuan yang Anda peroleh setelah mempelajari bab ini diharapkan dapat memperkaya wawasan dan memperdalam pemahaman mengenai konsep-konsep gelombang yang secara umum mungkin pernah diperoleh sebelumnya pada pembahasan fisika di level yang lebih bawah. Kemampuan yang diperoleh diharapkan dapat menjadi penguatan terhadap pemahaman konsep-konsep gelombang yang pernah diperoleh sebelumnya.

Sesuai dengan kemampuan yang diharapkan tercapai, uraian dalam bab ini tidak dapat terlepas dari analisis secara matematis. Dalam mempelajari bab ini, sebaiknya Anda terlebih dahulu telah mempersiapkan pengetahuan matematika terutama tentang differensial parsial, integral, persamaan differensial, dan ekspanasi fungsi kedalam bentuk deret pangkat.

Untuk membantu Anda dalam menguasai hal tersebut di atas, dalam bab ini akan disajikan uraian materi beserta tes formatif yang terbagi dalam dua kegiatan belajar sebagai berikut:

Kegiatan Belajar 1: Energi dan Intensitas Gelombang

a. Penjabaran Persamaan Gelombang berdasarkan Kekekalan Energi. b. Rapat Energi dan Intensitas.

c. Rapat Momentum dan Aliran Momentum. d. Intensitas dan Taraf Intensitas.

Kegiatan Belajar 2: Pemantulan dan Transmisi Gelombang a. Impedansi dan Daya Gelombang

b. Koefisien Pantul dan Koefisien Transmisi c. Reflektansi dan Transmitansi

Agar Anda lebih mudah dalam mempelajari materi tersebut, ikuti petunjuk berikut ini: 1. Bacalah dengan cermat bagian Pendahuluan ini sampai Anda mengetahui betul

2. Baca sepintas secara keseluruan dan carilah konsep-konsep yang bersifat prinsip. Pahami terlebih dahulu setiap kasus atau sistem yang ditinjau dalam pembahasan. Pelajari pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri atau bertukar pikiran dengan teman.

3. Ulangi dan lakukan sendiri setiap langkah dalam penurunan persamaan dan analisis yang bersifat matematis. Pahami terlebih dahulu apa yang akan ditentukan melalui pembahasan secara matematis tersebut.

4. Terapkan prinsip-prinsip yang telah Anda peroleh dalam situasi yang mungkin Anda temukan dalam kejadian sehari-hari.

5. Mantapkan pemahaman dan kemampuan Anda melalui diskusi dalam kelompok atau dengan teman.

Kegiatan Belajar 1

Energi dan Intensitas Gelombang

Pada keiatan belajar ini dibahas mengenai energi yang dirambatkan gelombang. Pembahasan dimulai dengan penurunan persamaan differensial gelombang berdasarkan perumusan energi mekanik (energi kinetik dan energi potensial) dan penerapan hukum kekekalan energi mekanik. Selanjutnya dibahas mengenai repat energi dan kaitannaya dengan rapat momenetum dan intensitas gelombang. Selain itu dibahas juga mengenai impedansi dan intensitas gelombang bunyi. Dalam pembahasan yang terakhir ini diperlukan persamaan-persamaan yang telah dibahas pada bab sebelumnya.

A. Penjabaran Persamaan Gelombang Berdsarakan Kekekalan Energi.

Persamaan gelombang dalam bentuk differensial, seperti pada persamaan (2.8), dapat pula diturunkan dari hukum kekekalan energi. Untuk gelombang pada pegas dengan rapat massa , ditinjau suatu elemen pegas dengan massa dm, dan panjang dx, maka persamaan energi kinetik dapat dituliskan sebagai

2 2 1          t dm dE_k   2 2 1          t dx dE_k   (4.1) Energi potensial pegas dapat dituliskan sebagai





2 ) ( ) ( 2 1 x dx x k dEP     . (4.2a)

Dengan mengekspansikan bentuk (xdx) pada suku pertama ruas kanan persamaan (4.2a) kedalam bentuk deret seperti pada persamaan (3.2a), dan dengan menggunakan hubungan antara konstanta elastisitas k dan modulus elastisitas K, yakni K =k dx, maka pesamaan energi potensial dapat dituliskan melalui persamaan

2 2 ) ( 2 1          x dx dx K dE_P   2 2 1          x Kdx dE_P  . (4.2b) Energi mekanik E diperoleh dengan menjumlahkan energi kinetik persamaan (4.1) dan energi potensial yang diungkapkan oleh persamaan (4.2b), sehingga diperoleh.

dx x K t dE _                         2 2 2 1 _    dx x K t E 2 2



                            , (4.3) yang mana pengintegralan dilakukan memanjang mencakup ke seluruh medium

Energi E bernilai tetap sehingga derivasinya terhadap waktu 0.

dt dE

Dengan

demikian maka dari persamaan (4.3) diperoleh

0 2 2 2                       





dx t x x K dx t t      (4.4) Berdasarkan aturan differensiasi dari perkalian dua fungsi maka dapat ditulis

t x x x t t x dx d                          2 2 2  2 2 2 x t t x dx d t x x                           (4.5)

sehingga dengan mensubstitusikannya pada persamaan (4.4) diperoleh

0 2 2 medium 2 2                           





dx x t K t x K dx t t        . (4.6a)

Suku ke-dua persamaan (4.6a) sama dengan nol karena di perbatasan medium fungsi gelombang maupun turunannya lenyap. Dengan demikian maka persamaan (4.6a) dapat dituliskan lagi sebagai

0 2 2 2 2              



dx t x K t     . (4.6b) Agar persamaan (4.6b) terpenuhi, yaitu nilai integral tersebut lenyap untuk sembarang pengambilan elemen medium, maka harus berlaku

0 2 2 2 2               t x K t     (4.6c) sehingga diperoleh 0 ) ( ) ( 2 2 2 2   dt x d K dx x d    atau ( ) (₂ ) 0 2 2 2   dx x d K dt x d    , (4.7)

yang merupakan ungkapan persamaan differensial gelombang yang dicari. Dengan membandingkan persamaan (4.7) ini dengan persamaan umum differensial gelombang yang terdapat pada persamaan (2.7) maka dapat ditentukan cepat rambat gelombang yang merambat pada pegas adalah



K

seperti yang telah dibahas pada bab sebelumnya. Untuk gelombang mekanis longitudinal dalam batang, modulus elastisitas K ditempati oleh modulus elastisitas tarikan atau modulus Young Y.

B. Rapat Energi dan Intensitas.

Energi kinetik untuk elemen medium sepanjang x dengan massa m, dapat dituliskan sebagai 2 2 1           t m E_k  . (4.9) dan energi potensialnya dapat diungkapkan sebagai



  





2 2 1 x x x k E_p     . (4.10a) Dengan mengekspansikan bentuk (xx) pada suku pertama ruas kanan persamaan (4.10a) kedalam bentuk deret seperti pada persamaan (3.2a), dan dengan mengingat modulus elastisitas K =k x, maka diperoleh ungkapan untuk energi potensial adalah

 

2 2 1           x x x K E_p  . (4.10b) Dari persamaan (4.8) dapat diperoleh hubungan Kxmv2 sehingga dengan mensubstitusikannya pada persamaan (4.10b) diperoleh

 

2 2 2 1           x x mv E_p  . (4.10c) Menggunakan hubungan

 

x x   dengan

 

t x  

yang diperoleh dari persamaan (2.6a), maka

persamaan (4.10c) menjadi

 

2 2 1           t x m E_p  . (4.10d) Energi total E merupakan jumlah dari energi kinetik yang diungkapkan persamaan (4.9) dan energi potensial yang diungkapkan oleh persamaan (4.10d), sehingga dapat dituliskan sebagai

 

2           t x m E  (4.11) Rapat energi per satuan volume medium dapat dituliskan sebagai

2          t   E . (4.12)

Untuk gelombang dengan fungsi (x,t)₀.cos



kxt



, maka rapat energinya dapat dihitung sebagai berikut

) ( sin2 2 0 2 t kx       E . (4.13a) Menggunakan bantuan hubungan trigonometeri cos 2a = 1  2 cos2a dengan a sembarang, maka persamaan (4.13) dapat dimodifikasi menjadi



1 cos2( )



2 0 2 2 1   _kx_t  E . (4.13b) Dari persamaan (4.13) nampak bahwa energi juga merambat dengan kecepatan v = /k tetapi dengan frekuensi sudut 2

Rapat energi rata-rata dapat diperoleh dengan menggunakan nilai rata-rata dari

kuadrat fungsi sinusoidal yang dapat ditulis 2 ₂1

sin a  dengan a sembarang. Dengan demikian. melalui penggunaan persamaan (4.13a) untuk menghitung rapat energi rata-rata, diproleh



kx t



     2 2 0 2 sin E  _E ₂12₀2 _(4.14)

Dari persamaan rapat energi ini, dapat diturunkan persamaan intensitas. Intensitas I merupakan daya P persatuan luas A, atau disebut juga rapat daya. Sedangkan daya merupakan laju energi dE/dt . Sehingga rapat daya dapat disebut juga sebagai rapat laju energi atau laju rapat energi. Hubungan ketiga besaran tersebut secara matematis dapat ditelusuri sebagai berikut

v I dt dx Adx dE A dt dE I A P I      E (4.15a) dengan v adalah kecepatan fase atau cepat rambat gelombang. Dengan substitusi E dari persamaan (4.12) maka diperoleh

2          t v I   (4.15b) Untuk gelombang yang memiliki fungsi (x,t)₀.cos



k xt



, maka intensitasnya adalah ) ( sin2 2 0 2 t kx v v I E    . (4.16) Dari persamaan (4.16) ini dapat dihitung intensitas rata-rata, yaitu



kx t



v

Intensitas rata-rata atau rapat daya rata-rata dapat juga disebut laju rapat energi rata-rata sehingga dapat juga diperoleh dari persamaan (4.15a) dengan mengganti rapat energi oleh rapat energi rata-rata. Dengan cara seperti ini maka diperoleh

v v

I E ₂12₀2

yang sama dengan persamaan (4.17).

C. Rapat Momentum dan Aliran Momentum

Pembahasan rapat momentum dilakukan dengan meninjau gelombang transversal yang merambat pada tali dengan tegangan sebesar T. Walaupun ditinjau pada tali, namun perumusan rapat momentum berlaku secara umum. Elemen tali sepanjang dx bermassa dm terletak pada kurva (x) memiliki kecepatan yang tegak lurus dengan kelengkungan kurva, sehingga dapat diuraikan dalam komponen longitudinal dan transversal seperti diperlihatkan pada gambar 4.1. Rapat momentum P dan rapat aliran momentum G diberikan oleh kecepatan longitudinal.

Gambar 4.1 Komponen kecepatan transversal dan longitudinal dari elemen tali dalam perambatan gelombang

Momentum persatuan volume atau rapat momentum dituliskan sebagai

l u dV dm  P atau P ul. (4.18)

Kurva pada elemen tali yang ditinjau memiliki sudut kemiringan  seperti terlihat pada gambar 4.1. Dari definisi kemiringan kurva dapat ditulis sebagai  tan

  x dan dari gambar 4.1 t l u u   

tan maka diperoleh hubungan

dx (x+dx) (x) u T T   u uv ul

x u u_{l t}      . (4.19) Persamaan (4.19) disubstitusikan pada persmaan (4.18) dengan terlebih dahulu memasukkan

t ut     maka diperoleh x t          P (4.20) Berdasarkan hubungan

 

x x   dengan

 

t x  

yang diperoleh dari persamaan (2.6a), maka

persamaan (4.20) menjadi 2          t v   P (4.21)

dengan v adalah cepat rambat gelombang.

Mengikuti persamaan intensitas sebagi aliran rapat energi, maka persamaan rapat aliran momentum atau aliran rapat momentum G dapat dituliskan sebagai

v P G   2          t   G . (4.22)

Persamaan ini ternyata sama dengan persamaan rapat energi yang diungkapkan dalam persamaan (4.12). Jadi rapat energi sama dengan aliran rapat momentum, sedangkan aliran rapat energi adalah intensitas. Dengan demikian maka dapat diperoleh hubungan

2

v v v

I E G P (4.23a) dan otomatis berlaku

2

v v v

I E G P (4.23b) Untuk gelombang yang memiliki fungsi (x,t)0.cos



kxt



maka rapat

momentum dan rapat aliran momentum P dan G dan rata-ratanya dengan mudah dapat diperoleh, yaitu ) ( sin2 2 0 2 t kx v     _  P dan 2 ₀2 2 1 _{ } v  P ) ( sin2 2 0 2 t kx       G dan 02 2 2 1_{ }  G

D. Intensitas dan Taraf Intensitas

Pembahasan intensitas pada bagian ini dilakukan dengan meninjau perambatan gelombang longitudinal pada kolom gas yang dapat dipandang sebagai gelombang bunyi.

Pada pembahasan dinamika gelombang Bab 3 Kegiatan Belajar 1 bagian C.2, telah diperoleh persamaan gerak elemen gas yang dapat dinyatakan dalam persamaan (3.21b), dan persamaan differensial gelombang yang dinyatakan oleh persamaan (3.25), berturut-turut dapat dituliskan lagi di sini sebagai berikut

x p t       2 2  0 2 2 2 2       x B t    .

Berdasarkan kedua persamaan tersebut maka dapat diperoleh hubungan antara gelombang tekanan dan gelombang pergeseran

2 2 x B x p         x B p      (4.24) Daya atau arus energi gelombang dapat dituliskan sebagai

t pA P     . (4.25a) Substitusi persamaan (4.24) pada persamaan (4.25) dan berdasarkan hubungan

 

x x   dengan

 

t x  

dari persamaan (2.6a) maka diperoleh

t x BA P          2          x BAv P  atau 2          t v BA P  (4.25b) Berdasarkan persamaan (4.25b) ini maka intensitas atau rapat daya P/A dapat ditulis sebagai 2          x Bv I  atau 2          t v B I  (4.26) Dengan memasukkan harga B dari cepat rambat gelombang



B

v seperti yang diperoleh sebelumnya, maka ungkapan intensitas pada persamaan (4.26) menjadi

2 3          x v I   atau 2          t v I   (4.27) yang konsiten dengan persamaan (4.15b) yang diperoleh pada pembahasan rapat energi.

Hubungan antara intensitas dan tekanan dapat dinyatakan juga dalam ungkapan impedansi. Impedansi gelombang dapat dituliskan sebagai

                  t x B Z   (4.28a) atau dapat juga ditulis sebagai

v B

Z  . (4.28b) Dengan menggunakan hubungan cepat rambat v dan modulus B maka persamaan (4.28b) dapat ditulis sebagai

v

Z  . (4.28c) Substitusi persamaan (4.24) ke dalam persamaan (4.26) menghasilkan

2 2 p B v B p v B I         , (4.29) dan dengan menggunakan persamaan (4.28b) maka diperoleh hubungan intensitas dan tekanan yang diungkapkan dlam bentuk impedansi, yaitu

2

1

p Z

I  (4.30) Intensitas gelombang bunyi biasanya dinyatakan sebagai taraf intensitas bunyi. Taraf intensitas I ini dalam satuan Bel dinyatakan sebagai logaritma dari perbandingan intensitas yang ditinjau terhadap intensitas acuan I0, yang dapat ditulis sebagai

0 log I I  I . (4.31) Dengan demikian maka dalam satuan decibel (dB), taraf intensitas dinyatakan sebagai

0 log 10 I I  I . (4.31) Besarnya intensitas acuan I0 = 1012 W/m2. Taraf intensitas bunyi yang dapat didengar

manusia berada pada kisaran 100 dB (I =1010 I0) sampai 30 dB (I =103 I0).

Daftar Pustaka

M. O. Tjia, 1994, Gelombang, Dabara Publishers, Solo.

Frank S. Crawford, Jr.,1978, Waves, Berkeley Physics, Vol. 3, Mc Graw Hill, New York. Taufik Ramlan R., 2001, Diktat Gelombang Optik, Bandung : penerbit UPI

William C. Elmore and Mark A Heald, 1985, Physics of Waves, Dover Publication Inc. New York

Tes Formatif Bab 4 Kegiatan Belajar 1

Jawablah soal-soal di bawah ini

1. Turunkan persamaan differsensial gelombang pada pegas berdasarkan hukum kekekalan energi.

2. Turunkan persamaan rapat energi dan intensitas gelombang dan tentukan hubungan antara keduanya.

3. Turunkan persamaan rapat momentum dan rapat aliran momentum dan tentukan hubungan antara keduanya.

4. Suatu gelombang 

 

x,t 10cos(3x15t)cm (x dalam meter dan t dalam sekon) merambat pada medium dengan rapat massa 1 g/cm3, tentukan: (a) rapat momentum, (b) rapat energi, (c) rapat daya, dan (d) intensitas rata-rata gelombang tersebut.

5. Tinjau suatu gelombang yang merambat dengan rapat energi memenuhi fungsi

3 2 J/m ) 1020 3 ( sin 100 x t  

 (x dalam meter dan t dalam sekon). Tentukan: (a) rapat arus energi, (b) rapat momentum, (c) rapat arus momentum, (d) rapat momentum rata-rata, dan (e) intensitas rata-rata.

6. Buktikan bahwa intensitas gelombang bunyi dapat dinyatakan sebagai 1 p2 Z

I  dengan Z adalah impedansi, dan p adalah gelombang tekanan.

7. Dua gelombang bunyi intensitasnya masing-masing 60 dan 600 mikrowatt/cm2. Berapakah perbedaan taraf intensitas kedua bunyi tersebut (dalam dB)?



T0

Fz T (x,t) = f(x- vt) = f()

Kegiatan Belajar 2

Pemantulan dan Transmisi Gelombang

Pada kegiatan belajar ini dibahas mengenai pemantulan dan transmisi gelombang yang datang secara normal pada permukaan batas dua medium. Pembahasan diawali dengan penentuan impedansi gelombang yang ditinjau pada tali. Selanjutnya pembahasan mengenai penerapan syarat batas pada perbatasan medium untuk memperoleh perandingan antara amplitudo gelombagan yang dipantulkan dengan amplitudo gelombang datang dan antara amplitudo gelombang transmisi dengan amplitudo gelombang datang. Perbandingan tersebut dapat dinyatakan melalui perbandingan bilangan gelombang, perbandingan impedansi, ataupun perbandingan densitas (rapat massa) medium. Berkaitan dengan energi dibahas mengenai fraksi energi yang dipantulkan dan fraksi energi yang ditransmisikan melalui penentuan reflektansi dan transmitansi.

A. Impedansi dan Daya Gelombang.

Gambar 4.2 gaya luar yang bekerja pada elemen tali

Ditinjau gelombang yang merambat pada tali. Elemen tali yang mendapatkan gangguan diperlihatkan pada gambar 4.2. Pada saat elemen tali mendapatkan gaya luar Fz, sifat inersia menyebabkan elemen tali melawan gaya tersebut dengan gaya yang sebanding dengan kecepatannya, sehingga dapat dituliskan

dt d Z Fz    (4.32) dengan Z adalah impedansi gelombang. Dalam pembahasan rangkain listrik AC dikenal impedansi listrik yang merupakan besaran yang mewakili hambatan listrik, dan memenuhi hubungan V = Z dq/dt dengan V beda potensial antar ujung-ujung penghantar dan q adalah muatan listrik. Hubungan tersebut memiliki bentuk yang sama dengan persamaan (4.32).

Pada pembahasan gelombang besaran yang mewakili hambatan ini dinamakan impedansi gelombang.

Berdasarkan gambar 4.2 dapat dipeoleh

 tan 0 T Fz  atau dt d T F_z  ₀  (4.33) dari hubungan dt d v dx d 1  

 yang dapat dilihat pada persamaan (2.6a), maka persamaan (4.33) dpat dituliskan sebagai

dt d v T F o z    . (4.34) Dengan membandingkan persamaan (4.32) dan (4.34) maka diperoleh

v T Z  o

(4.35)

Daya gelombag dapat ditulikan sebagai

t F P _z     . (4.36) Dengan mengamil besarnya Fz dari persamaan (4.32) maka diperoleh

t t Z P         2          t Z P  (4.37) yang memiliki bentuk yang sama dengan persamaan daya pada rangkaian listrik, yaitu

2        dt dq Z P .

B. Koefisien Pantul dan Koefisien Transmisi.

Gambar 4.3 Perambatan gelombang melewati batas dua medium.

Perambatan gelombang melalui perbatasan dua medium yang mana gelombang datang tegak lurus dengan bidang batas, dapat diilustrasikan dengan perambatan gelombang pada persambungan tali yang rapat massa atau densitasnya berbeda seperti diperlihatkan pada

gambar 4.3. Pada gambar tersebut ditunjukkan pulsa gelombang datang dari medium pertama (sebelah kiri), dan pada saat melewati persambungan tali (dapat dipandang sebagai batas dua medium), maka ada pulsa gelombang yang diteruskan dan ada pulsa gelombang yang ditransmisikan. Secara umum, perambatan gelombang yang melewati batas dua medium dapat diilustrasikan pada gambar 4.4.

Gambar 4.4 perambatan gelombang saat melewati perbatasan medium

Misalkan gelombang datang, gelombang pantul dan gelombang transmisi berturut-turut dinyatakan oleh d, p, dan t. Ketiganya dapat dinyatakan dalam fungsi gelombang masing-masing



k x t



A_d d    cos 1  (4.38a)



k x t



A_p p    cos ₁  (4.38b)



k x t



A_t t    cos ₂  . (4.38c) Pada perbatasan dua medium (x = 0) berlaku syarat batas berupa kontinuitas simpangan, kontinuitas kemiringan, dan sinkronisasi gerak yang dapat dinyataka sebagai berikut: a. Kontinuitas simpangan: ₁ ₂ b. Kontinuitas kemiringan: x x     ₁ ₂ c. Sinkronisasi gerak: t t     ₁ ₂

yang mana indeks 1 dan 2 menunjukkan medium.

Berdasarkan syarat batas kontinuitas simpangan, maka diperoleh d p t medium 1 medium 2 x x = 0

t p d A A A    d t d p A A A A   1 _{( 4.39a)}

yang dapat dituliskan sebagai

t r  1 (4.39b) dengan d p A A

r disebut sebagai koefisien refleksi (pantul), dan

d t A A t  disebut sebagai koefisien transmisi.

Berdasarkan syarat kontinuitas kemiringan maka dapat diperoleh



Ad Ap



k At

k1   2 . (4.40a)

Substitusi At dari persamaan (4.39a) ke persamaan (4.40a) maka diperoleh



Ad Ap



k



Ad Ap



k₁   ₂  . (4.40b) Dari persamaan (4.40) dan dari hubungan

d p A A r  maka diperoleh 2 1 2 1 k k k k r    . (4.41) Dengan mensubstitusikan persamaan (4.41) ini pada persamaan (4.39b), maka diperoleh ungkapan untuk koefisien transmisi, yaitu

2 1 1 2 k k k t   . (4.42) Pada pembahasan sebelumnya telah diperoleh pada persamaan (4.35) bahwa

v T Z  o

.

Berdasarkan hubungan k =/v maka persamaan (4.41) dan (4.42) dapat dituliskan dalam bentuk perbandingan impedansi sebagai

2 1 2 1 Z Z Z Z r    (4.43) dan 2 1 1 2 Z Z Z t   . (4.44) Selain dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan bilangan gelombang dan perbandingan impedansi, koefisien pantul dan koefisien transmisi dapat juga dinyatakan

dalam perbandingan densitas (rapat massa). Berdasarkan hubungan

v T Z  o _dan  o T v

maka diperoleh Z  T_o sehingga persmaan (4.43) dan (4.44) dapat dituliskan dalam bentuk 2 2 2 1        r (4.45) dan 2 1 1 2      t . (4.46)

C. Reflektansi dan Transmitansi

Reflektansi R merupakan fraksi energi gelombang yang dipantulkan saat melewati perbatasan medium. Adapun transmitansi T merupakan fraksi energi yang ditransmisikan melewati perbatasan medium. Dengan kata lain berturut-turut merupakan perbandingan energi gelombang yang dipantulkan dan energi gelombang yang ditransmisikan terhadap energi gelombang yang datang.

Karena daya merupakan laju energi, maka reflektansi dapat dipandang sebagai perbandingan daya gelombang yang dipantulkan terhadap daya gelombang yang datang, dan transmitansi sebagai perbandingan daya gelombang yang ditransmisikan terhadap gelombang yang datang. Berdasarkan persamaan (4.37) maka diperoleh hubungan

2 2 ) ( ) ( d p d p A A P P R   2 r R (4.47) dan 2 1 2 2 ) ( ) ( d t d t A Z A Z P P T    2 1 2 _t Z Z T  . (4.48) Berdasarkan hukum kekekalan energi, maka Ed Ep Et atau dapat dinyatakan

sebagai 1   d t d p E E E E atau  1 d t d p P P P P

Sehingga dapat ditulis

1  T

R (4.49) Selanjutnya dapat ditinjau beberapa kasus sebagai berikut

a. Kasus dengan kesesuaina (matching) impedansi yang sempurna, Z1 = Z2, maka diperoleh

nilai r = 0 dan t =1. Dengan kata lain R = 0 dan T = 1. Jadi kasus ini menunjukkan transmisi total.

b. Kasus Z1/Z2 = 0 (infinite drag), atau dapat ditulis Z2 >> Z1, maka diperoleh r = 1 (tanda

negative menunjukkan terjadi pembalikan fase), dan t = 0. Dengan kata lain nilai R = 1 dan T = 0. Jadi kasus ini menunjukkan pemantulan total. Persamaan gelombang pada medium pertama merupakan superposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul sehingga dapat dituliskan sebagai

) cos( ) cos( 1 1 1 Ad k x t Ad k x t      .

Dengan bantuan hubungan trigonometri, maka diperoleh

   

k x t

A_d 

₁ 2 sin ₁ sin atau ₁ ₁₀sin

 

t

yang menunjukkan bahwa pemantulan total menghasilkan gelombang berdiri dengan

distribusi amplitudo sebesar 10 2Ad sin

 

k1x yang menghasilkan 10 0 di x = 0,

seperti pada tali dengan ujung terikat.

c. Kasus Z2/Z1 = 0 (zero drag), atau dapat ditulis Z1 >> Z2, maka diperoleh r = 1, dan t = 2.

Denan kata lain R = 1 dan T = 0. Jadi pada kasus ini juga menunjukkan terjadinya pemantulan total. Persamaan gelombang pada medium pertama dapat dituliskan sebagai

) cos( ) cos( 1 1 1 Ad k x t Ad k x t      .

Dengan menggunakan hubungan trigonometri diperoleh ) ( cos ) cos( 2 ₁ 1 Ad k x t   atau ₁ ₁₀cos(t)

yang juga menunjukkan bahwa pemantulan total menghasilkan gelombang berdiri dengan

distribusi amplitudo sebesar 10 2Ad cos

 

k1x yang memberikan 10 2Ad di x = 0,

seperti pada tali dengan ujung bebas.

Daftar Pustaka

M. O. Tjia, 1994, Gelombang, Dabara Publishers, Solo.

Frank S. Crawford, Jr.,1978, Waves, Berkeley Physics, Vol. 3, Mc Graw Hill, New York. Taufik Ramlan R., 2001, Diktat Gelombang Optik, Bandung : penerbit UPI

William C. Elmore and Mark A Heald, 1985, Physics of Waves, Dover Publication Inc. New York

Tes Formatif Bab 4Kegiatan Belajar 2

Jawablah soal-soal di bawah ini

1. Buktikan bahwa daya gelombang memiliki persamaan yang sama dengan daya pada rangkaian listrik.

2. Turunkan persamaan koefisisen pantul dan koefisien transmisi transmisi dalam ungkapan (a)bilangan gelombang, (b) impedansi, dan (c) densitas.

3. Buktikan bahwa (a) reflektansi sama dengan kuadrat dari koefisien pantul, dan (b) transmitansi sama dengan perkalian antara perbandingan impedansi medium dengan kuadrat koefisien transmisi.

4. Dua buah tali yang berbeda disambung dan direntangkan hingga memiliki tegangan tali sebesar 4 N. Pulsa dengan amplitudo 6 cm, merambat melalui persambungan dua tali tersebut. Densitas masing-masing tali adalah 10 g/m dan 40 g/m. Tentukanlah: (a) impedansi masing-masing tali, (b) amplitudo gelombang pantul, (c) amplitudo gelombang transmisi, dan (d) reflektansi dan transmitansi.

5. Suatu gelombang merambat melalui 2 tali yang berbeda dengan koefisien transmisi t = 1,6. Gelombang datang pada tali dengan densitas 4 g/cm dinyatakan oleh fungsi

gelombang _d

 

x,t 2cos(3x150t) cm (x dalam meter dan t dalam sekon). Tentukan: (a) fungsi gelombang pantul _r

 

x,t , (b) fungsi gelombang transmisi t

 

x,t , (c) fraksi

energi yang direfleksikan (reflektansi), dan fraksi energi yang ditransmisikan (transmitansi), (d) densitas medium tempat gelombang yang ditransmisikan.

6. Jelaskan secara lengkap mengenai perambatan gelombang melalui dua medium yang berbeda untuk kasus infinite drag.