ELŐADÁSJEGYZET
Matematika A2
(BMETE90AX02)
Lektorálta:
Dr. Szilágyi Brigitta
Készítette:
Tartalomjegyzék
1. Lineáris algebra 2
1.1. Alapfogalmak . . . 2
1.2. Mátrixalgebra . . . 6
1.3. Mátrixműveletek . . . 7
1.4. Determináns . . . 8
1.5. Lineáris egyenletrendszerek . . . 14
1.6. Lineáris leképezések (tenzorok) . . . 17
1.7. Valós euklideszi terek . . . 23
1.8. Bázistranszformáció, koordinátatranszformáció . . . 24
2. Függvénysorozatok, függvénysorok 26 2.1. Alapfogalmak . . . 26
2.2. Taylor-sorok . . . 32
2.3. Fourier-sorok . . . 36
3. Többváltozós analízis 39 3.1. Alapfogalmak . . . 39
3.2. Iránymenti derivált, parciális derivált . . . 42
3.3. Középértéktételek . . . 43
3.4. Szélsőérték számítás . . . 44
3.5. Többváltozós függvények integrálszámítása . . . 47
1. Lineáris algebra
1.1. Alapfogalmak
Definíció:Legyen G nemüres halmaz, és ◦ egy művelet, (G,◦) csoport, ha teljesülnek az alábbi feltételek:
1. a művelet asszociatív, azaz (a◦b)◦c=a◦(b◦c), ∀a, b, c,∈ G,
2. létezik az egységelem (zéruselem)e, azaza◦e =e◦a, ∀a∈ G,
3. létezik az inverzelem, azaz ∃ˆa ∈Ghogy a◦ˆa= ˆa◦a=e, ∀a∈ G.
Megjegyzés: Ha a◦ művelet kommutatív, akkor Abel-csoportról beszélünk.
Példa: (R,·), (Q,+) és (C,+) mindegyike Abel-csoport.
Nem Abel-csoport azonban a (N,+), mert nem létezik az inverz elem és a (Q∗,+), mert nem létezik az egységelem.
További példák:
Definíció:Legyen R nemüres halmaz▽ és♦műveletek. (R,▽,♦) gyűrű, ha teljesülnek az alábbi feltételek:
1. (R, ♦) Abel-csoport,
2. a ▽művelet asszociatív, azaz (a▽b)▽c=a▽(b▽c), ∀a, b, c,∈ R,
3. teljesül a disztributivitás, azaz (a♦b)▽c = (a▽c) ♦ (b▽c) , és a▽(b♦c) =
(a▽b)♦(a▽c) ,∀a, b, c∈ R.
Definíció:Legyen T nemüres halmaz♥,és♣műveletek. (T,♥,♣) test, ha teljesülnek
az alábbi feltételek:
1. (T, ♥) Abel-csoport,
2. a ♣művelet asszociatív, azaz (a♣b)♣c=a♣(b♣c), ∀a, b, c,∈T,
3. létezik az egységelem e∈T, azaza♣e =e♣a, ∀a∈ T,
4. létezik az inverzelem, azaz ∃ˆa ∈T hogy a♣ˆa= ˆa♣a=e, ∀a∈ T,
Definíció: Legyen V nem üres halmaz és +, • két művelet, T test. (V, +, •) T test feletti vektortér (lineáris tér), ha teljesülnek az alábbi feltételek:
1. (V,+) Abel-csoport,
2. ha ∀α, β ∈ T és x∈ V, akkor (α•β)•x=α•(β•x),
3. ha ε a T-beli egységelem, akkor ε•x=x ∀ x∈V,
4. ha∀α, β ∈T ésx,y∈V, akkor (α+β)•x=α•x+β•x és α•(x+y) = α•x+α•y.
Példa:
• a legfeljebb n-ed fokú polinomok a skalárral való szorzásra és az összeadásra nézve
vektorteret alkotnak,
• a függvények az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve vektorteret alkotnak.
További példák:
Definíció:A vektortér elemeit vektoroknak nevezzük. Jelölés: xvagy x.
I. Állítás: A zéruselem és az ellentett elem létezése egyértelmű.
Bizonyítás: [ Zéruselem létezése egyértelmű ]
Tegyük fel hogy0és ˆ0egymástól különböző zéruselemek (06= ˆ0). Ebben az esetben az alábbi egyenlőség áll fenn:
ˆ
0=0+ ˆ0=0
Ezzel ellentmondásra jutunk, mert az egyenlőség szerint ˆ0és0megegyező zérusele-mek.
Bizonyítás: [ Inverzelem létezése egyértelmű ]
Tegyük fel hogy −x és −xˆ egyaránt x ellentettje (inverze) (−x6= −xˆ). Ebben az esetben:
−xˆ = (−x+x) + (−xˆ) =−x+ (x+ (−xˆ)) =−x
Ezzel ellentmondásra jutunk, mert az egyenlőség szerint −xˆ és −x egyaránt x el-lentettje és egyenlők.
II. Állítás: 0·x=0.
III. Állítás: α·0=0.
Bizonyítás:
IV. Állítás: α·x=0 akkor és csak is akkor, ha α= 0 vagy x=0.
Bizonyítás:
Definíció: A (V, + , λ) vektortér a1,a2. . .an vektorait lineárisan függőnek (
össze-függőnek) mondjuk, ha az
α1a1+α2a2+· · ·+αnan =0 vektoregyenletnek létezik triviálistól különböző megoldása. Ellenkező esetben lineárisan függetlenek.
Definíció: Legyen (V,+,λ) R feletti vektortér és ∅ 6= L ⊂ V, L-t altérnek nevezzük
V-ben, ha (L,+,λ) ugyancsak vektortér.
Példa: A polinomok (P,+, λ) vektorterének altere a legfeljebb n-ed fokú polinomok
(Pn,+, λ) vektortere.
További példák:
Állítás: Alterek metszete ugyancsak altér. Alterek uniója azonban általában nem altér.
Definíció: Legyen ∅ 6= G ⊂ V. G által generált altérnek nevezzük azt a legszűkebb alteret, amely tartalmazza G-t. Jele: L (G).
Definíció: Adott ∅ 6= G. G generátorrendszere V-nek, ha L (G) = V.
Példa:
vek-Példa:
Állítás: Végesen generált vektortérben bármely két bázis azonos tagszámú.
Bizonyítás:
Definíció: Végesen generált vektortér dimenzióján a bázisainak közös tagszámát ért-jük.
Állítás: Legyen{b1,b2. . .bn}a V vektortérnek egy bázisa. Ekkor tetszőleges V-beli vektor egyértelműen előállítható a {b1,b2. . .bn} vektorok lineáris kombinációjaként. Azaz∀v∈ V : ∃! (ξ1, ξ2. . . ξn) hogy,
Bizonyítás: ( egzisztencia )
{b1,b2. . .bn} lineárisan függetlenek, mert bázis. Ezért {v,b1,b2. . .bn} már lineárisan függő, így a
λv+α1b1+α2b2 +· · ·+αnbn=0
vektoregyenletnek létezik triviálistól különböző megoldása, azaz nem lehet (λ, α1, α2, . . . , αn) minden eleme egyszerre 0.
Tehát λ 6= 0, mert ellenkező esetben α1 =α2 =· · ·=αn = 0 állna fent, így oszthatjuk az egyenletetλ-val:
v=−α1
Bizonyítás: ( unicitás )
Tegyük fel hogy (ξ1, ξ2. . . ξn) és (η1, η2. . . ηn) egyaránt v koordinátái a {b1,b2. . .bn}
Vonjuk ki egymásból a két egyenletet:
0= (ξ1−η1)
1.2. Mátrixalgebra
Definíció: Egy mátrix transzponáltja a főátlóra való tükörképe. Jele: AT
Példa: A=
Definíció: Ha A=AT, akkor szimmetrikus mátrixról beszélnünk (A
∈Mn×n).
1.3. Mátrixműveletek
Definíció:Két mátrix összegén azt a mátrixot értjük, melyet a két mátrix elemenkénti összeadásával kapunk, azaz, ha A,B ∈Mn×k, akkor C:=A+B, ahol cij :=aij +bij.
Definíció: Egy mátrix és egy skalár szorzata olyan mátrix, melynek minden eleme skalárszorosa az eredeti mátrix elemeinek, azaz, ha A ∈ Mn×k és λ ∈ R(C), akkor
Definíció: Két mátrix szorzatán az alábbi műveletet értjük. Legyen A ∈ Mn×k és
B∈Mk×l. Ekkor C=A·B,
Célszerű az alábbi módon felírni a mátrixokat, hogy egyszerűbben elvégezzük a szorzást:
[ ]
1 0 3Állítás: A mátrixszorzás nem kommutatív művelet.
Bizonyítás:
Állítás: Ha A,B,C olyan mátrixok hogy létezik (A· B)· C mátrixszorzat, akkor
Bizonyítás:
Definíció:[ A determináns axonometrikus felépítése ] Tekintsük a Rn tér a
1,a2, . . . ,an vektorait, ezekhez hozzárendelünk egy R számot, amit determinánsnak nevezünk és det(a1,a2, . . . ,an)-nel jelölünk. A hozzárendelés az alábbi axiómák teljesülése mellett történik.
1. det(. . .
3. ha a determináns két oszlopát felcseréljük, a determináns értéke a (−1)-szeresére változik,
Állítás: Ha egy determinánsban van két azonos oszlopvektor, akkor a determináns értéke 0.
Állítás: Ha egy determinánshoz hozzáadjuk egy oszlopvektor skalárszorosát a deter-mináns értéke nem változik.
Bizonyítás:
Tétel: [ Kifejtési tétel ]
det(a1,a2, . . . ,an) =
Jelölje a k. sor és j. oszlop kitakarásával kapott aldeterminánstAkj, ekkor az egyenlőség a következőképpen írható át:
Inverzió:
Következmény:
I. A determinánsban nem lényeges, hogy sorról vagy oszlopról beszélünk a determi-nánssal kapcsolatban.
detA = detAT
II. Determináns bármely sora vagy oszlopa szerint kifejthető.
Definíció: A mátrix rangjának nevezzük az oszlopvektorai közül a lineárisan függet-lenek maximális számát.
A háromdimenziós tér 5 vektora, vagy az ötdimenziós tér 3 vektora közül legfeljebb 3 lehet lineárisan független, ezért a mátrix rangja legfeljebb 3.
Tétel: [ Mátrixok rangszámának tétele ]
Egy mátrix rangja megegyezik maximális el nem tűnő aldeterminánsának rendjével.
Bizonyítás:
Definíció: Egy mátrix elemi átalakításainak nevezzük a következőket:
1. A mátrix egy tetszőleges sorát vagy oszlopát egy 0-tól különböző számmal megszo-rozzuk.
2. A mátrix egy tetszőleges sorát vagy oszlopát felcseréljük.
3. A mátrix egy tetszőleges sorához vagy oszlopához egy másik tetszőleges sorát vagy oszlopát adjuk.
Állítás: Egy mátrix rangja elemi átalakítások során nem változik.
Bizonyítás: A determináns axiómáit figyelembe véve látható, hogy az elemi átalakí-tások nem változtatják meg a determináns 0 voltát.
Definíció: Egy kvadratikus (négyzetes) mátrixot regulárisnak mondunk, ha determi-nánsa nem 0.
Ha a kvadratikus mátrix determinánsa 0, szinguláris mátrixról beszélünk.
Tétel: [ A determinánsok szorzástétele ]
Legyen A,B∈Mn×n mátrix, ekkor det(A·B) = detA·detB.
Bizonyítás:
Állítás: (Mn×n,+,·) egységelemes gyűrű, mert:
• (Mn×n,+) Abel-csoport,
• (Mn×n,·) asszociatív,
• létezik a szorzás egységeleme, ami az egységmátrix: E=
1 . . . 0
... ... ... 0 . . . 1
.
Definíció: Az A ∈ Mn×n mátrix inverzén olyan A−1-gyel jelölt n ×n-es mátrixot
értünk, melyre A A−1 =A−1A =E teljesül.
Tétel: [ Ferde kifejtési tétel ] Legyen A∈Mn×n, ekkor
n
X
i=1
aj,i Ak,i = 0, ha j 6=k.
Bizonyítás:
Állítás: Egy szinguláris mátrixnak nem létezik inverze.
Bizonyítás: A bizonyítás indirekt módon történik. Tegyük fel, hogy A szinguláris mátrixnak létezik inverze A−1. Ekkor igaz, hogy A A−1 = E. Vizsgáljuk a következő
egyenlőséget:
detA
| {z }
=0
detA−1 = det(A
·A−1) = det| {z }E
=1
.
Látjuk hogy ezzel ellenmondásra jutunk, tehát nem igaz a feltevés, szinguláris mátrixnak nem létezik inverze.
Állítás: Reguláris mátrix inverze egyértelmű. Ha A∈Mn×n reguláris mátrix, akkor
A−1 := adjAT
detA
.
1.5. Lineáris egyenletrendszerek
Definíció:Véges sok elsőfokú egyenletet és véges sok ismeretlent tartalmazó egyenlet-rendszert lineáris egyenletrendszernek nevezünk.
Az m egyenletből és n ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszer (LER) általános alakja:
a11x1 +a12 x2+· · ·+a1nx1n =b1
a21x1 +a22 x2+· · ·+a2nx2n =b2
...
am1 x1+am2 x2+· · ·+amn xmn =bm, ahol aij együtthatók,bj konstansok, xj ismeretlenek.
Ha aij ∈R, akkor valós együtthatós egyenletrendszerről beszélünk. Általábanbj ∈R. A (γ1, γ2, . . . , γn)∈Rnmegoldása a fenti lineáris egyenletrendszernek, ha (x1, x2, . . . , xn) helyére (γ1, γ2, . . . , γn)-t beírva igaz egyenlőséget kapunk.
A lineáris egyenletrendszert megoldhatónak nevezzük, ha létezik megoldása.
A lineáris egyenletrendszert határozottnak nevezzük, ha egyetlen megoldása van.
A lineáris egyenletrendszerthatározatlannak mondjuk, ha végtelen sok megoldása van.
A lineáris egyenletrendszert ellentmondónak mondjuk, ha nem létezik megoldása.
Példa:
Definíció: Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha megoldáshal-mazuk megegyezik.
Megjegyzés: Az ekvivalencia szempontjából az egyenletek és az ismeretlenek sor-rendje nem számít.
Bizonyítás:
Lineáris egyenletrendszerek ábrázolása mátrixosan:
a1 a2 an
együttható mátrix x b
x1
Tétel: [ LER megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele ]
Az A x = b lineáris egyenletrendszer pontosan akkor megoldható, ha rg(A|b) = rgA.
Megjegyzés: Az (A|b) mátrixot kibővített mátrixnak nevezzük.
Bizonyítás:
Definíció: Az A x = b lineáris egyenletrendszert homogénnek mondjuk, ha b = 0. Ha b6=0, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.
Megjegyzés: Tekintsük az n egyenletből álló n ismeretlenes homogén LER-t. Azaz,
Megoldási módszerek:
1. A x=b, ha A reguláris (detA 6= 0), akkor invertálható és x=A−1 b.
2. Carmer-szabály, alkalmazhatóságának ugyanaz, a feltétele mint 1. esetben.
Tétel: [ Carmer-szabály ]
Az A x = b vagy {a1x1 +a2x2 +· · ·+anxn = b} lineáris egyenletrendszenek létezik egyértelmű megoldása, ha detA6= 0. Ekkor:
x1 =
3. Gauss - elimináció, csak sorműveletekkel átalakítjuk a kibővített mátrixot, hogy egyszerűbb alakot nyerjünk ezzel könnyebben megoldható legyen az egyenletrend-szer.
1.6. Lineáris leképezések (tenzorok)
Definíció: Legyenek V1 és V2 ugyanazon test (R vagy C) feletti vektorterek. Legyen
ϕ:V1 →V2 leképezés, melyet lineáris leképezésnek nevezünk, ha
ϕ(a+b) =ϕ(a) +ϕ(b) ∀a,b∈V1
ϕ(αa) =α ϕ(a) ∀a∈V1, α∈RvagyC
teljesül.
Megjegyzés:
I. ϕ(0) = 0 minden lineáris leképezés esetén.
II. A linearitás miatt igaz, hogy ϕ(−a) =−ϕ(a).
Definíció: Hom(V1, V2) :={ϕ :V1 →V2|ϕ lineáris}.
Definíció: Ha V1 =V2 =V, Hom(V, V) =: End(V).
Állítás: (Hom(V1, V2), +, λ) vektortér RvagyCfelett.
Definíció: A ϕ :V1 →V2 leképezés izomorfizmus ha lineáris és bijektív.
Állítás: Véges dimenziós vektorterek esetén az egymással izomorf vektorterek dimen-ziója azonos.
Állítás: Legyenek V1 és V2 ugyanazon test feletti vektorterek és dimV1 = dimV2,
ek-kor V1 ∼=V2.
Bizonyítás:
Tétel: [ Lineáris leképezések alaptétele ]
Legyenek V1 és V2 ugyanazon test feletti vektorterek, és legyen {b1,b2, . . . ,bn} bázis
V1-ben, és{a1,a2, . . . ,an}tetszőleges vektorrendszer V2-ben, ekkor egyetlen lineáris
leké-pezés létezik, melyreϕ(bi) = ai , i∈ {1,2, . . . n}. Bizonyítás: ( unicitás )
Indirekt módon. Legyenekϕ6=ψ lineáris leképezések, melyekre ϕ(bi) =ai ésψ(bi) =ai , i∈ {1,2, . . . n}. Legyenx∈V1 tetszőleges, x=Pni=1ξibi. Hattatom ϕ-t x-re:
ϕ(x) =ϕ
n
X
i=1
ξibi
!
=Xn i=1
ξi ϕ(bi) =ξ1ϕ(b1) +· · ·+ξnϕ(bn) =
Ezzel ϕ =ψ, ami ellentmond a feltételnek, tehát a feltevés nem igaz.
Bizonyítás: ( egzisztencia )
Konstruktív bizonyítás. Legyen ϕ : V1 → V2, és x 7−→ ϕ(x). Ha (ξ1, ξ2, . . . ξn) az x
AzAmátrixotϕleképezést reprezentáló mátrixnak hívjuk, segítségével tetszőlegesx∈V1
Példa:
Írjuk fel azα szögű forgatás mátrixát!
Állítás: Legyenek V1, V2, V3 vektorterek, dimV1 = k, dimV2 = m, dimV3 = n.
Le-gyenek adva, ϕ : V1 → V2 és ψ :V2 →V3 lineáris leképezések, ekkor a V1-ből V3-ra való
leképezés (ψ◦ϕ : V1 → V3) olyan, hogy ha ϕ ↔ A ∈ Mm×k és ψ ↔ B ∈ Mn×m, akkor
ψ◦ϕ↔C∈Mn×k, aholC=B·A.
Speciálisan, ha V1 = V2 = V3 = V, dimV = n. Ekkor C = A · B ∈ Mn×n és A,B∈Mn×n.
Következmény: Invertálható lineáris leképezés mátrixa invertálható.
Definíció: Legyen ϕ : V1 → V2 lineáris leképezés, ker ϕ :={v|v∈ V1 ∧ϕ(v) =0} a leképezés magtere (nulltere).
Állítás: ker ϕ⊆V1,altér V1-ben.
Bizonyítás:
Definíció: A magtér dimenzióját defektusnak nevezzük. ⇒dim (kerϕ) = defϕ.
Megjegyzés:
I. Nem létezik olyan vektortér, melynek magtere az üreshalmaz (a nullvektor mindig benne van, mert a nullvektor képe mindig nullvektor).
II. Invertálható lineáris leképezés magtere a nullvektor.
Állítás: A ϕ leképezés injektív, akkor és csak is akkor, ha kerϕ ={0} ⇔defϕ = 0.
Definíció: Egy lineáris leképezés rangjának nevezzük a képtér dimenzióját. rgϕ= dimϕ(V1).
Tétel: [ Rang-nullitás tétele ]
Legyen V1 véges dimenziós vektortér,ϕ :V1 →V2 lineáris leképezés, ekkor
rgϕ+ defϕ = dimV1.
Bizonyítás:
Állítás: Tetszőleges lineáris leképezés rangja megegyezik bármely bázisra vonatkozó mátrixreprezentációjának rangjával. ϕ : V1 → V2, dimV1 = m, dimV2 =n → ϕ ↔ A,
A∈Mn×m, rgϕ = rgA.
Bizonyítás:
Tétel: Legyen ϕ : V → V lineáris leképezés (lineáris operátor), {b1,b2, . . . ,bn} és {bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn} bázisok V-ben. A ϕ{b1,b2, . . . ,bn} bázisra vonatkozó mátrixa A, továbbá ϕ{bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn} bázisra vonatkozó mátrixa ˆA. Jelölje S a {b1,b2, . . . ,bn} bázisról a {bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn}bázisra való áttérés mátrixát, ekkor
ˆ
A =S−1A S.
Megjegyzés:
I. A fenti tételben szereplő A és ˆA mátrixok hasonlók. II. Hasonló mátrixok determinánsa megegyezik.
III. Hasonló mátrixok rangja egyenlő.
Definíció: Legyen V a T test feletti vektortér, v∈T, v=6 0. v-t a ϕ:V →V
lineá-ris leképezés sajátvektorának mondjuk, ha önmaga skalárszorosába megy át a leképezés során, azaz ϕ(v) =λv, λ∈T. λ-t a v sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek mondjuk.
Megjegyzés: Ha v sajátvektora ϕ-nek, akkor µ·v is sajátvektor (µ∈T, µ 6= 0).
box
Tétel: AzA ∈Mn×n mátrix sajátértékei a
det(A−λE) = 0
egyenlet gyökeiként adódnak.
Bizonyítás: Legyen v sajátvektor, ekkor igaz az alábbi egyenlőség: Av=λv.
Rendezve:
Av−λv=0,
Av−λE v=0,
(A−λE)v=0.
Így egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk, aminek létezik triviálistól eltérő meg-oldása (v6=0), tehát det(A−λE) = 0.
A det(A−λE) = 0 egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.
A det(A−λE) polinomot karakterisztikus polinomnak mondjuk.
Állítás: Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek.
Bizonyítás:
Állítás: Szimmetrikus mátrix sajátértékei valósak.
Állítás: Az n-edrendű szimmetrikus mátrixnak van n darab, páronként egymásra
merőleges sajátvektora.
Bizonyítás:
Példa: Határozzuk meg az A mátrix sajátértékeit és sajátvektorait!
A =
Így egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kapunk, amiből: s1 =s2.
Tehát a λ1 = 1 -hez tartozó sajátvektor: s=
Így ismét egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kapunk, amiből: t1 =−t2.
1.7. Valós euklideszi terek
Definíció: Legyen adva egy R feletti vektortér és értelmezzük a < , >: V ×V → R
függvényt, melyet skaláris szorzatnak mondunk, ha teljesíti az alábbiakat: 1. szimmetrikus: <x,y>=<y,x> ∀x,y∈V esetén,
az így előállított (V, < , >) valós euklideszi tér. Jelölés: En: n dimenziós euklideszi tér.
A valós euklideszi térben értelmezhetjük a vektorok hosszát: ||x||=√<x,x>.
melyetCauchy −Bunyakovszkij − Schwartz - egyenlőtlenséget hívunk, és az alábbi alakban is felírhatunk:
<x,y>2 6 <x,x> <y,y> .
Következmény: Valós euklideszi térben igaz a háromszög - egyenlőtlenség. ||x+y||6 ||x|| · ||y||
Az n dimenziós euklideszi tér A : V → V lineáris transzformációját ortogonálisnak
mondjuk, ha< Ax, Ay>=<x,y>,∀x,y∈V.
Megjegyzés:
I. Ortogonális transzformáció normatartó. II. Ortogonális transzformáció szögtartó.
III. Ortogonális transzformáció ortonormált bázist ortonormált bázisba visz át.
Belátható, hogy ha {e1,e2, . . . ,en} → {f1,f2, . . . ,fn} transzformáció mátrixa S, és {f1,f2, . . . ,fn} → {e1,e2, . . . ,en} transzformáció mátrixa T, akkor S T = E. EbbőlT=S−1 =ST. HaS−1 =ST, akkor ortogonális mátrixról beszélünk.
1.8. Bázistranszformáció, koordinátatranszformáció
Definíció:Legyenek {b1,b2, . . . ,bn} és {bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn} bázisok V-ben. ekkor a {b1,b2, . . . ,bn} → {bˆ1,bˆ2, . . . ,bˆn} bázistranszformáció S mátrixa a következőképpen írható fel:
ˆ
b1 =
n
X
i=1
si1bi =s11b1+s21b2+· · ·+sn1bn ...
ˆ
bj = n
X
i=1
sijbi =s1jb1+s2jb2 +· · ·+snjbn ...
ˆ
bn = n
X
i=1
sinbi =s1nb1+s2nb2+· · ·+snnbn ⇓
S=
s11 . . . s1n
s21 . . . s2n ... ... ...
sn1 . . . snn
.
Állítás: A bázistranszformáció mátrixa mindig invertálható.
2. Függvénysorozatok, függvénysorok
2.1. Alapfogalmak
Definíció:Az fn:I ⊂R→R sorozatot függvénysorozatnak nevezzük. Példa: fn :R→[−1,1], fn(x) = sin(nx).
gn : [0,∞]→R, gn(x) =xn.
További példák:
Definíció: Ha az x0 ∈ I pontban az (fn(x0)) számsorozat konvergens, akkor azt
mondjuk, hogy az (fn) függvénysorozat konvergensx0-ban. A konvergenciahalmaz:
H :={x|x∈I ∧ (fn) konvergens x−ben} Példa: fn(x) = sin(nx); Hfn ={k·π, k∈Z}.
gn(x) =xn, Hgn = [0,1].
További példák:
Definíció: f(x) := lim
n→∞fn(x), x ∈ H. f-t az (fn) függvénysorozat határfüggvé-nyének nevezzük. Azt mondjuk, hogy (fn) függvénysorozat pontonként konvergál az f határfüggvényhez H-n, ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε, x) : |fn(x)−f(x)|< ε, ha
n > N(ε, x).
Definíció: Azt mondjuk, hogy (fn) egyenletesen konvergens azE ⊂H halmazon, ha minden ha minden ε >0 esetén létezik N(ε) :|fn(x)−f(x)|< ε, ha n > N(ε) minden
x∈E esetén.
Tétel: [ Cauchy - kritérium ]
a) Az (fn) konvergens az x0 ∈ H pontban akkor, és csak is akkor, ha minden ε >0
esetén létezik N(ε) :|fn(x0)−fm(x0)|< ε, ha n, m > N(ε).
b) Az (fn) konvergens az H ⊂ I halmazon akkor, és csak is akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε, x) :|fn(x)−fm(x)|< ε, ha n, m > N(ε, x), ∀x∈H.
c) Az (fn) egyenletesen konvergens az E ⊂ H halmazon akkor, és csak is akkor, ha mindenε >0 esetén létezik N(ε) :|fn(x)−fm(x)|< ε, ha n, m > N(ε),∀x∈E. Bizonyítás: Az a) és b) esetek bizonyítása a numerikus sorozatoknál tanultak szerint történik (Matematika A1 anyaga).
c) eset bizonyítása:
⇒ : (fn) egyenletesen konvergens E-n, akkor mindenε >0 esetén létezik N(ε) hogy: |fn(x)−f(x)|<
ε
2, han > N
ε
2
, ∀x∈E,
|fm(x)−f(x)|<
ε
2, ham > N
ε
2
, ∀x∈E.
|fn(x)−fm(x)|=|fn(x)−f(x) +f(x)−fm(x)|≦|fn(x)−f(x)|+|f(x)−fm(x)|= felhasználva hogy |a+b|≦|a|+|b|,
=|fn(x)−f(x)|
| {z }
<ε2
+|fm(x)−f(x)|
| {z }
<ε2
< ε
2 +
ε
2 =ε,
han, m > N 2ε, ∀x∈E.
⇐ : |fn(x)−fm(x)|< ε2, ha n, m > N
ε
2
, ∀x∈E. fn(x) Cauchy - sorozat.
fm(x) is Cauchy - sorozat és konvergens, azaz fm(x)→f(x) ham → ∞ ∀x ∈E. Ekkor:
|fn(x)−f(x)|<
ε
2 < ε han > Nε2, ∀x∈E.
Definíció: Legyen fn:I ⊂R→Rfüggvénysorozat.
s1(x) := f1(x)
s2(x) :=f1(x) +f2(x)
...
sj(x) := j
X
i=1
Az így előálló (sn) függvénysorozatot az (fn) függvénysorozatból képzett függvénysornak hívjuk és P
fn-el jelöljük. AP
fnfüggvénysorkonvergens azx0 pontban, ha az (sn) függvénysorozat konvergens azx0 pontban.
A P
fn függvénysor konvergens a H ⊂ I halmazon, ha az (sn) függvénysorozat kon-vergens H-n.
AP
fnfüggvénysoregyenletesen konvergens aE ⊂H halmazon, ha az (sn) függvény-sorozat egyenletesen konvergens a E ⊂H halmazon.
Definíció: s(x) := lim
n→∞sn(x), x ∈ H, s-t a
P(
fn) függvény összegfüggvényének nevezzük.
Tétel: [ Cauchy-féle konvergencia kritérium egyenletes konvergenciára függvénysorok esetén ]
A P
fn függvénysor egyenletesen konvergens az E ⊂ H halmazon akkor, és csak is akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε) : |sn(x0)−sm(x0)| < ε, ha n, m > N(ε),
∀x∈E.
Bizonyítás:
Tétel: [ Weierstrass - tétel függvénysorok egyenletes konvergenciájára ]
Legyen fnI ⊂R→R és Pfn a belőle képzett függvénysor, továbbá Pan olyan kon-vergens numerikus sor, melyre |fn(x)| ≦ an ∀ x ∈ I vagy n > n0 ∈ N esetén teljesül,
akkor a P
fn függvénysor egyenletesen konvergens.
Definíció: Legyenfn(x) :=an(x−a)n, a belőle képzettPfn=
X
an(x−a)n, a∈R sort hatványsornak nevezzük, ahol an a hatványsorn-edik együtthatója,apedig a sorfej-tés centruma.
fnfüggvénysor egyenletesen konvergens egy azx0 pontot tartalmazó
környezeten, továbbá legyenek a sor tagjai x0-ban folytonosak, ekkor az összegfüggvény
is folytonos az x0- pontban.
Bizonyítás: Tudjuk, hogy P
fn folytonos és egyenletesen konvergens.
Azt akarjuk belátni, hogy |f(x)− f(x0)| tetszőlegesen kicsivé tehető, mert ekkor az
egyenletes konv. miatt, mertfn folytonos, egyenletes konv. miatt. ha n > N3ε:= max.{N1
1. Folytonos függvények egyenletesen konvergens sorozatának határfüggvénye is foly-tonos.
2. Folytonos függvények egyenletesen konvergens függvénysorának összegfüggvénye is folytonos, ha a függvénysor tagjai folytonosak.
Bizonyítás:
Tétel: [ Tagonkénti integrálhatóságról ] Legyenek P
fn függvénysor tagjai integrálhatóak az x ∈ [a, b] zárt intervallumon, tegyük fel, hogy a sor egyenletesen konvergens [a, b]-n és összegfüggvénye folytonos, ekkor
Z b
Bizonyítás:
Megjegyzés: Nem korlátos intervallum esetén nem igaz az állítás.
Tétel: [ Tagonkénti differenciálhatóságról ] LegyenekP
fn függvénysor tagjai differenciálhatókJ-n ésfn′ derivált függvények foly-tonosak J-n, valamint Pfn′ egyenletesen konvergens J-n, továbbá
P
fn is egyenletesen konvergensJ-n, ekkor, ha f jelöli a Pfn összegfüggvényét:
f′(x) =
∞
X
n=1
fn′(x).
Bizonyítás:
Tétel: Ha a X
0
anxn hatványsor konvergens az x0 pontban, akkor az |x| < |x0|
helyeken abszolút és egyenletesen konvergens.
−x0 0 x0
(−x0, x0)-n a hatványsor abszolút és egyenletesen konvergens
Bizonyítás: Ha a P
anxn hatványsor konvergens azx0 pontban, akkor anxn0 −→0,
ha n −→ ∞ (különben elszállna). Ekkor tehát korlátos is, azaz létezik K ∈ R, hogy
|anxn0|≦K.
|anxn|= |
an| |x0|n|
x0|n|x|n =|anx0|n
| {z }
≦K
x x0
n
| {z }
<1,ha|x|<|x0|
−→0
a) r= 0, akkor a hatványsor csak az x0 = 0 pontban konvergens,
b) r=∞, akkor a hatványsor mindenx∈R esetén konvergens,
c) 0 < r <∞, akkor a hatványsor abszolút konvergens, ha |x|< r,
és divergens, ha |x|> r.
−|r| |r|
div. absz. konvergens div.
Bizonyítás: Az a) és b) bizonyítása az előző tételek alapján könnyen adódik. c) Legyen x0 < r, tekintsük:
lim supqn
|anxn0|=|x0|lim sup n
q
|an|= |
x0|
r <1
Azaz létezik q < 1, hogy Panxn hatványsor a gyökteszt miatt konvergens. Mivel x0
tetszőleges volt (|x0| < r), így minden |x| < r esetén igaz, hogy a Panxn hatványsor konvergens. Ugyancsak a gyökteszt miatt, ha|x|> r, akkorPanxnhatványsor divergens.
Megjegyzés:
I. Ha a lim n→∞
n
q
|an| határértéke létezik, akkor az megegyezik a lim sup n
q
|an| értékkel. Gyakran az alábbi módon számolunk:
r = 1
lim n→∞
n
q
|an|
II. L:= lim
n→∞
n
q
|an|= lim n→∞
|an+1|
|an| Tétel: [ Abel 2. tétele ]
Tegyük fel hogy a P
anxn hatványsor konvergenciasugara r és ez a hatványsor az
x= r pontban konvergens. Ekkor a Panxn a [ 0, r] intervallumon egyenletesen konver-gens, így az összegfüggvény a [ 0, r] intervallumon folytonos. Ha a hatványsor azx=−r
pontban konvergens, akkor a hatványsor a [−r,0 ] intervallumon egyenletesen konvergens,
és így az összegfüggvény is folytonos [−r,0 ] intervallumon.
Következmény:
1. A hatványsor összegfüggvénye a konvergencia intervallum belsejében folytonos. 2. A hatványsor a konvergenciaintervallum tetszőleges részintervallumán tagonként
integrálható, azaz ha [a, b]⊂(−r, r) és s(x) := lim
n→∞
X
anxn összegfüggvény, akkor
Z b
a s(x)dx= ∞
X
n=0
Z b a anx
ndx.
3. Ha s összegfüggvénye aPanxn hatványsornak, akkor ∞
X
n=0
(anxn)′ = ∞
X
n=0
ann xn−1.
2.2. Taylor-sorok
Tegyük fel hogy az f függvény Panxn hatványsor alakban előállítható.
f(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+· · ·+anxn
f′(x) = a1+ 2a2x+ 3a3x2+· · ·+ann xn−1
f′′(x) = 2a2+ 2·3a3x+· · ·+ann(n−1)xn−2
f′′′(x) = 2·3a
3+· · ·+ann(n−1) (n−2)xn−3 ...
Vizsgáljuk azt az esetet, amikorx= 0 ∈(r,−r): f(0) =a0
f′(0) =a1
f′′(0) = 2a
2
f′′′(0) = 2·3a3
...
f(n)(0) =n!a
n
Ebből felírva a függvényt: f(x) = f(0) + f′1!(0)x+f′′2!(0)x2+f′′′3!(0)x3 +· · ·+ f(n)(0)
n! x
n. Zárt alakra hozva:
f(x) =
∞
X
n=0
f(n)(0)
n! x
n,
ahol f(0)(x) = f(x).
Definíció: Legyen f :I ⊂R→R függvény, mely az x0 ∈I pontban legalább p-szer
diffható, ekkor azf függvény x0 körülip-edik Taylor - polinomja:
p
Tétel: [ Taylor - formula Lagrange - féle maradéktaggal ]
Ha felbontjuk a zárójeleket láthatjuk hogy az egyes tagok páronként kiejtik egymást, így az egyenlőség az alábbi alakra egyszerűsödik:
F′(t) = (x−t)
0 = 1 körüli harmadfokú Taylor
További példák:
Definíció: Legyen f az x=x0 helyen akárhányszor differenciálható. Ekkor a
∞
X
k=0
f(k)(x0)
k! (x−x0)
k
hatványsort az f függvény x=x0 körüli Taylor - sorának nevezzük.
Ha x0 = 0, akkor Maclaurin - sorról beszélünk.
Tétel: Az előbb definiált Taylor - sor az x=x0 helyen akkor és csak is akkor állítja
elő függvényt, ha a maradéktag nullához tart n→ ∞ esetén.
Bizonyítás:
Néhány fontosabb függvény (x0 = 0) körüli Taylor-sora és azok konvergencia
intervalluma:
függvény Taylor - sor konvergencia intervallum
f(x) =ex
∞
X
k=0
xk
k! −∞< x <+∞
f(x) = sin x
∞
X
k=0
(−1)k x2k+1
(2k+ 1)! −∞< x <+∞
f(x) = cos x
∞
X
k=0
(−1)k x2k
(2k)! −∞< x <+∞
f(x) = shx
∞
X
k=0
x2k+1
(2k+ 1)! −∞< x <+∞
f(x) = chx
∞
X
k=0
x2k
(2k)! −∞< x <+∞
f(x) = ln(1 +x)
∞
X
k=0
(−1)k xk+1
(k+ 1) −1< x <1
f(x) = arthx
∞
X
k=0
x2k+1
(2k+ 1) −1< x <1
f(x) = (1 +k)α
∞
X
k=0
α k
!
xk −1< x <1
2.3. Fourier-sorok
Definíció:Egy
tn(x) = a0+a1 cosx+b1 sinx+a2 cos 2x+b2 sin 2x+· · ·+an cosnx+bn sinnx alakú függvényt trigonometrikus polinomnak nevezzük.
Definíció: Egy
a0+a1 cosx+b1 sinx+a2 cos 2x+b2 sin 2x+· · ·+an cosnx+bn sinnx . . . alakú végtelen összeget trigonometrikus sornak hívunk.
Megjegyzés:
I. Az összegfüggvény, ha létezik 2π szerint periodikus.
II. Ha folytonos a függvény és egyenletesen konvergens, akkor az összegfüggvény is konvergens.
Definíció: Legyen f : R → R egy 2l szerint periodikus függvény, amely a [0,2l]
intervallumon Riemann - integrálható (f ∈R[0,2l]). Ekkor f Fourier - során az alábbi
trigonometrikus sort értjük: ∞
X
k=0
akcos
x kπ l
!
+bksin
x kπ l
!!
,
ahol
a0 =
1 2l
Z 2l
0 f(x)dx, ak =
1
l
Z 2l
0 f(x) cos
x kπ l
!
dx, bk= 1
l
Z 2l
0 f(x) sin
x kπ l
!
dx.
Megjegyzés:
I. Ha azf függvény előáll a fenti típusú összegként, akkor az együtthatók csak ilyenek
lehetnek.
II. Ha f függvény 2l szerint periodikus, akkor mindegy hogy [0,2l] intervallumon
in-tegrálom vagy eltolom az integrálás intervallumát.
Z 2l
0 f(x)dx=
Z a+2l
a f(x)dx.
Tétel: Ha a 2π szerint periodikus f függvénynek létezik az x0 pontban a jobb- és
baloldali határértéke, továbbá azf függvény Fourier - sora ebben a pontban konvergens,
Bizonyítás:
Következmény: Ha az f függvény folytonos az x0 pontban, akkor a Fourier - sor
összege a határértékkel egyezik meg, azaz f(x0).
Tétel: Ha a 2π szerint periodikus, integrálhatóf függvény szakaszonként monoton és
azx0 pontban differenciálható, akkor azf függvény Fourier - sorax0 pontban konvergens.
Bizonyítás:
Állítás: Ha egy függvény páros, akkor Fourier - sorában csak a0 és koszinuszos tagok
szerepelnek, azaz bk = 0 mindenk-ra.
Bizonyítás:
Állítás: Ha egy függvény páratlan, akkor Fourier - sorában csak szinuszos tagok sze-repelnek, azaz a0 = 0 és ak= 0 minden k-ra.
Példa: Állítsuk elő az f(x) = x2, ha x ∈ [−π, π] és f(x) = f(k +k ·2π) k ∈ Z
függvény Fourier - sorát.
Mivel a függvény páros, bk= 0. Most [−π, π] intervallumon érdemes integrálni.
3. Többváltozós analízis
3.1. Alapfogalmak
Definíció:Legyen p∈Rn, ekkor a p pont εsugarú (nyílt) környezetén (gömbkörnye-zetén) a Bε(p) := {x∈Rn| |x−p|< ε} halmazt értjük.
Jelölés: A továbbiakban En jelölje az n dimenziós euklideszi teret.
Definíció: A (pn) En-beli pontsorozat konvergens, ha létezik p ∈ En, hogy minden
ε >0 esetén létezik N(ε) küszöbszám, hogypn ∈Bε(p), ha n > N(ε), ekkor a p pontot határpontnak vagy határértéknek nevezzük.
Tétel: [ Bolzano - Wierstrass - féle kiválasztási tétel ]
Végtelen, korlátosRn-beli ponthalmazból kiválasztható konvergens pontsorozat
részsoro-zata. Ezen sorozat határértéke (határpontja) a ponthalmaz torlódási pontja.
Bizonyítás: (Hasonlóan, mint az egyváltozós esetben.)
Jelölés: f :Rn →Rk felírható az alábbi formában:
(x1, x2, . . . xn)7→f(x1, x2, . . . xn) =
f1(x1, x2, . . . xn)
f2(x1, x2, . . . xn) ...
fk(x1, x2, . . . xn)
, ahol fi :Rn →R, i∈ {1,2, . . . k} függvényeket komponens függvényeknek nevezzük. Szokásos elnevezések még:
• f :Rn →Rk vektor − vektor függvény
• f :R→Rn leképezést skalár − vektor függvény
• f :Rn →R vektor − skalár függvény
Definíció:Tekintsük azf :Rn →Rkleképezést. Azt mondjuk, hogy azf határértéke az a∈ Rn pontban az A ∈Rk, ha A tetszőleges ε sugarú gömbkörnyezetéhez létezik a
-nak olyanσ(ε) sugarú gömbkörnyezete, hogy fBσ(ε)(a)
⊂Bε(A).
Definíció: Azt mondjuk, hogy az f : Rn → Rk leképezés folytonos az értelmezési tartomány egy belső pontjában (a ∈Df ⊂Rn) , ha aza pontbeli határérték megegyezik
f(a)-val, vagyis
lim
Emlékeztető: [Átviteli elv]
Azf :R→Rfüggvény határértéke aza∈Df pontbanA, akkor és csak akkor ha minden
xn→a (n → ∞) sorozat esetén f(xn)→A. Definíció: [Átviteli elv általánosítása]
Az f : Rn → Rk leképezés határértéke az a ∈Rn pontban A ∈Rk, akkor és csak akkor
ha minden xn →a (n → ∞) pontsorozat esetén f(xn)→A.
Definíció: Legyen U ∈ Rm nyílt halmaz, és f : U → Rk leképezés. Azt mondjuk,
hogy f differenciálható az a ∈ Df pontban, ha létezik A : Rm → Rk lineáris leképezés és w:Rm →Rm leképezés, hogy w(0) =0 és lim
khk→0
kw(h)k
khk = 0, hogy
f(x)−f(a) = A(x−a) +w(x−a)
teljesül.
Megjegyzés:
I. Ha létezik az f : U →Rk, U ∈Rm nyílt halmazon vett leképezés a pontbeli
deri-váltja, akkor ez az A lineáris leképezés egyértelmű.
Bizonyítás: (indirekt módon)
Tegyük fel, hogy A1 : Rm → Rk és A2 : Rm → Rk egyaránt az f : U → Rk
leképezés a∈Df pontbeli deriváltjai és A1 6=A2. Ekkor
lim kx−ak→0
f(x)−f(a)−A1(x−a)
kx−ak =0 és kx−limak→0
f(x)−f(a)−A2(x−a)
kx−ak =0 Vonjuk ki egymásból a két kifejezést, és vezessük be a h=x−a jelölést:
lim khk→0
A2(h)−A1(h)
khk =0
Mivel A1,A2 lineáris leképezések, ezért A2 −A1 is lineáris, ebből: A2(h)−A1(h) = (A2−A1)
| {z }
=:B
(h).
Ezután vizsgáljuk az alábbi esetet: h =λu. Ekkor ha h→0, akkor λ→0 is igaz
lesz. Tehát
lim λ→0
B(λu)
kλuk = limh→0
λB(u)
|λ| kuk =0
Mivel bármely u ∈ Rm esetén a λ
Bizonyítás: f(a+h)−f(a) = A(h) +w(h) = A(h) + w(h)khk
khk . Ha khk → 0, akkor w(h)
khk → 0, azaz kf(a+h)−f(a)k tetszőlegesen kicsivé tehető, hiszen
A(0) = 0 minden lineáris leképezés esetén igaz. Az állatás ebből következik.
Definíció:Azf :Rn→Rk leképezés differenciálható az adott pontban akkor és csak akkor, ha ebben a pontban a komponensfüggvényei is differenciálhatók.
Állítás: Legyen f : Rm → Rk és g : Rm → Rk differenciálhatók az a ∈ D f ∩Dg pontban, ekkorf +g is differenciálható a pontban és f+g-nek az a-beli deriváltja:
(f+g)′(a) = f′(a) +g′(a).
Továbbá (λ f), λ∈R is differenciálható a-ban és (λ f)′(a) = λ(f′(a)).
Bizonyítás:
Állítás: [Láncszabály]
Legyenek f : U ⊂ Rm → Rk, g : H ⊂ Rk → Rl leképezések, és f(U) ⊂ H, továbbá f legyen differenciálható az a ∈ Df pontban és g differenciálható az f(a) ∈ Dg pontban.
Ekkor az g◦f is differenciálható az a pontban és g◦f az a-beli deriváltja:
(g◦f)′(a) = g′(f(a))f(a).
Bizonyítás:
Megjegyzés:
3.2. Iránymenti derivált, parciális derivált
Definíció:Legyen H ⊂Rm nyílt halmaz, f :H →R és legyen adva v∈Rm, kvk= 1 egységvektor. Ha létezik a lim
λ→0+
f(a−λv)−f(a)
λ határérték és ez egy valós szám, akkor
ezt az f függvény a pontbeli virányú iránymenti deriváltjának nevezzük. Jele: ∂vf(a). Megjegyzés: ∂eif =∂if a parciális derivált. gradiensén az alábbi vektort értjük:
gradf(x01, x02, . . . , x0n) =
Definíció: [Jacobi - mátrix]
az alábbi módon számítjuk:
Megjegysés: Hasonlóan az egyváltozós esethez, itt is beszélhetünk magasabb rendű deriváltakról, amelyek képzése hasonló szellemben történik.
Tétel: [Young - tétel]
Legyen adott H ⊂ Rn nyílt halmaz, f : H 7→ R és a ∈ H, továbbá a-nak létezik olyan
környezete, melyben f összes p-edrendű parciális deriváltja létezik és folytonos. Ekkor ∂i∂jf = ∂j∂if, i, j ∈ {1,2, , . . . n}, azaz a parciális deriválás sorrendje p-ed rendig
Megjegyzés: Ami konvex, az összefüggő, de fordítva nem igaz.
Tétel: [Lagrange - tétel]
Legyen f : [a, b] → Rn folytonos és (totálisan) differenciálható ]a, b[-n. Ekkor létezik
Az egyszerűsítés után következik, hogy
Tétel: Legyen H ⊂ Rl, f : H → Rm továbbá H konvex és nyílt, valamint f
dif-adódik. Az ilyen f leképezést Lipschitz-feltételnek eleget tevőnek mondjuk.
Tétel: Legyen adott a ∈ Rn és annak r sugarú környezete B
Tétel:Legyenf :H ⊂Rn →R,x
0 ∈intH, haf minden változója szerint parciálisan deriválható az x0 pontban és ott lokális szélsőértéke van, akkor x0 stacionárius pontja
f-nek.
Bizonyítás:
Definíció:Legyen V Ttest feletti vektortér. Ha aϕ: V→Rlineáris leképezés, azaz
ϕ(αx+βy) = αϕ(x) +βϕ(y) minden x,y ∈ V és minden α, β ∈ T esetén, akkor ϕ-t
lineáris formának is hívjuk.
Definíció: Legyen ψ : V ×V →R mindkét változójában lineáris, azaz
ψ(α1x1+α2x2,y) =α1ψ(x1,y) +α2ψ(x2,y), ∀α1, α2 ∈Tés∀x1,x2,y∈V esetén, és
ψ(x, β1y1+β2y2) = β1ψ(x,y1) +β2ψ(x,y2), ∀β1, β2 ∈T és∀y1,y2,x∈V esetén. Ekkorψ-t bilineáris formának mondjuk.
Megjegyzés:
I. A ψ bilineáris forma szimmetrikus, ha ψ(x,y) =ψ(y,x), minden x,y∈V esetén.
II. A ψ bilineáris forma antiszimmetrikus, ha ψ(x,y) = −ψ(y,x), minden x,y ∈ V
esetén.
Definíció: Legyen η : V → R, ha létezik ψ : V × V → R szimmetrikus bilineáris
forma, hogy η(x) =ψ(x,x) minden x∈ V esetén, akkor η-t kvadratikus formának vagy
kvadratikus alaknak nevezzük. Az η: V→R kvadratikus formát:
1. pozitív definitnek mondjuk, ha η(x)>0, minden x6= 0∈ V esetén,
2. negatív definitnek mondjuk, haη(x)<0, minden x6= 0 ∈V esetén,
3. pozitív szemidefinitnek mondjuk, ha η(x)>0, minden x6= 0 ∈V esetén, 4. negatív szemidefinitnek mondjuk, haη(x)60, minden x6= 0∈ V esetén. Ha ezek egyike sem teljesül, indefinit kvadratikus formáról beszélünk.
Tétel: Legyen f :H ⊂Rm →R,x0 ∈intH. Tegyük fel, hogy az f függvény minden másodrendű parciális deriváltja létezik és folytonos az x0 pont valamely környezetében, legyen továbbá azx0 stacionárius pontja f-nek és Q:Rm →R olyan kvadratikus forma melynek mátrixa:
M(x0) =
∂12f(x0) ∂2∂1f(x0) . . . ∂m∂1f(x0)
∂1∂2f(x0) ∂22f(x0) . . . ∂m∂2f(x0)
... ... ... ...
∂1∂mf(x0) ∂2∂mf(x0) . . . ∂m2f(x0)
Állítás:
1. Ha Qpozitív definit, akkor f-nek x0-ban lokális minimuma van. 2. Ha Qnegatív definit, akkor f-nekx0-ban lokális maximuma van. 3. Ha Qindefinit, akkor f-nek x0-ban nincs szélsőértéke.
Tétel: Legyenm = 2 és teljesüljenek az előző tétel feltételei. Ekkor
D(x0) = detM(x0) =
H0-ra való leszűkítésének (f|H0) az x0 pontban lokális szélsőértéke van,akkor azt
mond-juk, hogy f-nek x0-ban feltételes szélsőérték van a g(x0) =0 feltétellel.
Definíció:Legyenm, n∈Z+ (m > n) ésH ⊂Rmnyílt halmaz, valamintf :H →R
ésg(g1, g2, . . . , gn) :H →Rn leképezések, továbbáH0 :={x|x∈H ∧g(x) =0}. Tegyük
fel, hogy f és gi függvények minden parciális deriváltja folytonos a H halmazon. Ha az
3.5. Többváltozós függvények integrálszámítása
Definíció:Legyen D ⊂Rn nyílt halmaz,f :D→Rn. A F :Rn→R függvényt az f függvény primitív függvényének nevezzük, ha F′(x) =f(x) ∀x∈D esetén. Azaz
∂F(x) ∂x1
,∂F(x) ∂x2
, . . . ,∂F(x) ∂xn
!
= (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)).
Tétel: [Szükséges feltétel a primitív függvény létezéséhez]
Ha D⊂Rn nyílt halmaz, f :D→Rn ésF :Rn→R azf függvény primitív függvénye, akkor ∂ifj =∂jfi, ahol i, j ∈ {1,2, . . . , n}.
Bizonyítás: f-nek létezik primitív függvénye, akkor ∂jF = fj. Vegyük mindkét kifejezés i-dik parciális deriváltját:
∂jfi = ∂j∂iF =∂i∂jF
| {z }
Young-tételt alkalmazva
=∂ifj.
Tétel: [Elégséges feltétel a primitív függvény létezéséhez]
Legyen D ⊂ Rn konvex, nyílt halmaz, ha f : D → Rn folytonosan differenciálható és
∂ifj =∂jfi ∀i, j ∈ {1,2, . . . , n} esetén, akkor f-nek létezik primitív függvénye.
Bizonyítás:
Definíció: Ha a1 < b1, a2 < b2, . . . , an < bn, ai, bi ∈R, i, j∈ {1,2, . . . , n}, akkor a [a1, b1]×[a2, b2]× · · · ×[an, bn] szorzatot Rn-beli zárt intervallumnak hívjuk.
Az (a1, b1)×(a2, b2)× · · · ×(an, bn) szorzatotRn-beli nyílt intervallumnak nevezzük. Megjegyzés:
1. Legyen a∈Rn, a(a1, a2, . . . , an) és b∈Rn, b(b1, b2, . . . , bn), ekkor [a1, b1]×[a2, b2]× · · · ×[an, bn] = [a,b].
2. (a,b) = int[a,b].
Definíció: Legyen I = [a,b], a,b∈Rn.
I. Az I intervallum térfogatán a (a1−b1)(a2−b2). . .(an−bn) szorzatot értjük. Jele: Vol(I) vagy V(I).
II. Az I intervallum átmérője: kb−ak=
v u u t
n
X
i=1
(bi−ai)2. Jele: diam(I).
III. Az I intervallum beosztásán olyan{I1, I2, . . . , Ik}sorozatot értünk, melyre k
∪
i=1Ii = I