Lecture 4: Mixed Strategy
A. Metode Campuran (Mixed Strategy)
Di dalam permainan di mana permainan tersebut tidak mempunyai titik pelana, maka para pemain akan bersandar kepada apa yang disebut sebagai strategi campuran. Hal ini berarti: 1. Pemain memainkan setiap strategi baris dengan proporsi waktu (probabilitas) tertentu. 2. Pemain memainkan setiap strategi kolom dengan proporsi waktu (probabilitas) tertentu. Jadi, tugas setiap pemain adalah menentukan proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strateginya. Jadi, strategi campuran adalah strategi dengan setiap pemain menggunakan distribusi probabilitas dalam memilih strateginya.
Diberikan suatu matriks pembayaran yang berukuran mn, di mana pemain P1 mempunyai m strategi i, i = 1, 2, ..., m dan pemain P2 mempunyai n strategi j, j = 1, 2, ..., n. Misalnya:
xi = probabilitas pemain P1 memilih strategi ke-i. yj = probabilitas pemain P2 memilih strategi ke-j.
aij = nilai pembayaran dalam matriks pembayaran (aij) yang bersesuaian dengan strategi ke-i untuk pemain P1 dan strategi ke-j untuk pemain P2.
Pemain P2
Pemain P1
y1 y2 y3 ... y4
i/j 1 2 3 ... n
x1 1 a11 a12 a13 ... a1n
x2 2 a21 a22 a23 ... a2n
x3 3 a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ... ... ...
xm m am1 am2 am3 ... amn
Teorema 4.1 (Teorema minimax). Untuk setiap matriks pembayaran (pay off matrix), terdapat strategi optimal x* dan y* sedemikian sehingga
* * * ) , ( max min ) , ( min max ) , (x y E x y E x y v E x y y x
dengan x = [x1, x2, ..., xm] dan y = [y1, y2, ..., ym] berturut-turut merupakan vektor probabilitas untuk strategi pemain P1 dan P2. Dan
m i n j j ij ia y x y x E 1 1 ) , (merupakan nilai harapan matematis permainan.
Terdapat beberapa metode campuran yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu permainan, yaitu:
1. Metode Aljabar
Metode ini hanya dapat digunakan pada suatu permainan dengan masing-masing pemain mempunyai dua strategi (langkah) saja, yaitu permainan berukuran 2 × 2.
2. Metode Grafik
3. Metode Program Linear
Metode ini dapat digunakan pada suatu permainan berukuran × .
Catatan: Perlu diperhatikan kembali bahwa aturan dominansi dapat digunakan untuk mengu-bah ukuran matriks pembayaran suatu permainan menjadi lebih sederhana, sehingga dapat diselesaikan dengan metode yang lebih sederhana pula, sesuai dengan ukuran matriks setelah di dominansi.
B. Metode Campuran dengan Metode Aljabar
Metode aljabar dapat digunakan pada suatu permainan berukuran 2 × 2.
Contoh 1. Diberikan matriks pembayaran seperti di bawah ini.
Matriks pembayaran dari permainan berjumlah nol dari dua orang di atas tidak mempunyai titik pelana, sehingga strategi murni tidak dapat dipergunakan. Dengan demikian, tugas para pemain adalah menentukan proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strategi pada baris bagi pemain P1 dan strategi kolom bagi pemain P2.
Pemain P1 Misal didefinisikan
x = proporsi waktu pemain P1 yang digunakan untuk memainkan strategi ke 1. dengan 0≤ ≤1. Maka proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strategi pada baris kedua adalah 1-x, sehingga jumlah semua proporsi waktu yang diperlukan untuk memainkan seluruh strateginya adalah x + (1-x) = 1.
Pemain P2 Misal didefinisikan
y = proporsi waktu pemain P2 yang digunakan untuk memainkan strategi ke 1. Dengan 0≤ ≤1. Maka proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strategi pada kolom kedua adalah 1-y, sehingga jumlah semua proporsi waktu yang diperlukan untuk memainkan seluruh strateginya adalah y + (1-y) = 1.
Selanjutnya, akan dihitung besarnya nilai x dan y. Pemain P1 Pemain P2 i/j 1 2 1 5 3 2 1 4 Pemain P1 Pemain P2 y 1-y i/j 1 2 x 1 5 3 1-x 2 1 4
Langkah 1: Menentukan strategi campuran optimum pemain P1
Perhatikan pemain P1 yang secara logika akan membagi permainannya antara baris ke 1 dan 2 sedemikian rupa sehingga ia akan mencapai kemenangan yang sama, baik apabila pemain P2 memainkan kolom 1 atau 2. Perhatikan tabel kemenangan harapan (rata-rata kemenangan) pemain P1 berikut.
Bagi pemain P1, agar dapat mencapai strategi optimum, maka perlu menyamakan kemenangan harapan yang diperoleh ketika pemain P2 memainkan strategi ke 1, yaitu [5x + (1-x)], dengan kemenangan harapan yang diperoleh ketika pemain P2 memainkan strategi ke 2, yaitu [3x + 4(1-x)]. Dengan demikian, berarti bahwa:
5x + (1-x) = 3x + 4(1-x) 5x – x – 3x + 4x = 4 – 1
5x = 3 x = 3/5
Sehingga x1* = 3/5, dan x2* = 1- 3/5 = 2/5. Jadi, strategi campuran optimum pemain P1 adalah
5 2 , 5 3 *
x . Dengan demikian, strategi campuran yang optimum bagi pemain P1 dicapai jika ia menggunakan 3/5 waktunya untuk memainkan strategi ke 1 (baris ke 1) dan 2/5 waktunya untuk memainkan strategi ke-2 (baris ke 2).
Langkah 2: Menentukan strategi campuran optimum pemain P2
Selanjutnya, akan dicari strategi campuran optimum pemain P2 yang penalarannya sama dengan pemain P1, yaitu akan membagi permainannya antara kolom ke 1 dan ke 2 sedemikian rupa sehingga ia akan mencapai kemenangan yang sama, baik pemain P1 memainkan baris 1 maupun baris 2. Perhatikan tabel kekalahan harapan (rata-rata kekalahan) pemain P2.
Ketika P2 memainkan strategi ke 1 Ketika P2 memainkan strategi ke 2 P1 memainkan strategi ke 1, x kali P1 menang 5 unit, x kali P1 menang 3 unit, x kali P1 memainkan strategi ke 2, (1-x) kali P1 menang 1 unit, (1-x) kali P1 menang 4 unit, (1-x) kali Total kemenangan harapan P1 5x + 1(1-x) 3x + 4(1-x)
Agar pemain P2 dapat mencapai strategi optimum ia perlu menyamakan rata-rata kekalahan (kekalahan harapan) yang dideritanya ketika pemain P1 memainkan strategi ke 1, yaitu [5y + 3(1-y)] dengan rata-rata kekalahan yang diderita ketika pemain P1 memainkan strategi ke 2, yaitu [y + 4(1-y)]. Dengan demikian,
5y + 3(1-y) = y + 4(1-y) 5y – 3y – y + 4y = 4 – 3
5y = 1 y = 1/5.
Sehingga y1* = 1/5, dan y2* = 1- 1/5 = 4/5. Jadi, strategi campuran optimum pemain P2 adalah
5 4 , 5 1 *
Y . Jadi, strategi campuran optimum bagi pemain P2 dicapai jika ia menggunakan 1/5 waktunya untuk memainkan strategi ke 1 (kolom 1) dan 4/5 waktunya untuk memainkan strategi ke 2 (kolom 2).
Langkah 3: Menentukan nilai permainan
Karena strategi campuran optimum kedua pemain telah didapatkan, maka akan dihitung nilai permainannya. Berkaitan dengan strategi optimum yang telah didapatkan, penyajian matriks pembayarannya adalah sebagai berikut.
Perhitungan nilai permainan berikut menurut pandangan P2, yaitu dengan memperhatikan setiap strategi pemain , yaitu
a. Selama pemain P1 menggunakan 3/5 waktunya untuk memainkan strategi ke 1, pemain P2 kalah 5 unit sebanyak 1/5 dan 3 unit sebanyak 4/5 kali.
b. Selama pemain P1 menggunakan 2/5 waktunya untuk memainkan strategi ke 2, pemain P2 kalah 1 unit sebanyak 1/5 kali dan 4 unit sebanyak 4/5 kali.
Sehingga kemenangan harapan (rata-rata kemenangan) pemain P1 atau kekalahan harapan (rata-rata kekalahan) pemain adalah:
P2 memainkan strategi ke 1, y kali P2 memainkan strategi ke 2, (1-y) kali Rata-rata kekala-han Ketika P1 memainkan strategi ke 1 P2 kalah 5 unit, y kali P2 kalah 3 unit, (1-y) kali 5y + 3(1-y) Ketika P1 memainkan strategi ke 2 P2 kalah 1 unit, y kali P2 kalah 4 unit, (1-y) kali y + 4(1-y) Pemain P1 Pemain P2 1/5 4/5 i/j 1 2 3/5 1 5 3 2/5 2 1 4
*
2 22 * 1 21 * 2 * 2 12 * 1 11 * 1 2 1 2 1 * * * * * E(x ,y ) x a y x a y a y x a y a y V i j j ij i
5 . 17 5 2 5 3 5 17 5 17 5 2 5 17 5 3 5 16 5 1 5 2 5 12 5 5 5 3 5 4 . 4 5 1 . 1 5 2 5 4 . 3 5 1 . 5 5 3 Jadi, nilai permainan adalah 17/5. Ini berarti bahwa jika pemain P1 bermain dengan menggunakan strategi optimumnya, maka ia dapat mengharapkan kemenangan harapan (rata-rata kemenangan) sebesar 17/5 unit per permainan.
