Andaikan terdapat 2 buah titik yaitu vpq+1 dan vpq+2 yang saling lepas. Kedua titik tersebut dihubungkan dengan sebuah graf berbentuk persegi panjang yang mempunyai panjang p titik dan lebar q titik sehingga membentuk Graf Perahu
G(p, q), yakni sebuah graf yang terdiri atas pq+ 2 titik dan terdiri atas lintasan
Pi : vpq+1 ↔ v(i−1)p+1 ↔ v(i−1)p+2 ↔ · · · ↔ vip ↔ vpq+2 untuk i = 1,2, ..., q, dan lintasan Pj : vj ↔ vp+j ↔ v2p+j ↔ · · · ↔ v(q−1)p+j untuk j = 1,2, ..., p seperti
yang ditunjukkan pada Gambar 1.2.
Proposisi 3.1 Andaikan p dan q adalah bilangan bulat positif sehingga p ≥ q
maka diam(G(p, q)) =p+ 1.
Bukti. Perhatikan Graf Perahu G(p, q) pada Gambar 1.2. Diperlihatkan bah-wa titik vpq+1 dan vpq+2 merupakan dua titik terjauh di graf G(p, q). Lintasan terpendek yang menghubungkan titikvpq+1 dan titikvpq+2 adalah lintasan dalam bentuk
Pvpq+1vpq+2 :vpq+1 ↔v(i−1)p+1↔v(i−1)p+2 ↔ · · · ↔vip−1 ↔vip↔vpq+2
untuk i= 1,2, ..., q. Lintasan tersebut mempunyai panjang
ℓ(Pvpq+1vpq+2) =d(vpq+1, v(i−1)p+1) +d(v(i−1)p+1, vip) +d(vip, vpq+2) = 1 + (p−1) + 1
=p+ 1
Jadi, ℓ(Pvpq+1vpq+2) =p+ 1.
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa untuk tiap dua titik berbedavxdanvy
diG(p, q), terdapat lintasan dengan panjang d(vx, vy)≤p+ 1. Diperhatikan dua
kasus, yaitu jika vx =vpq+1 atau vx =vpq+2 dan vy adalah titik selain keduanya,
Kasus 1. Andaikanvx =vpq+1 danvy adalah titik dalam bentukv(i−1)p+tdengan
1≤i≤q dan 1≤t≤p. Perhatikan lintasan
Pvxvy :vx ↔v(i−1)p+1 ↔v(i−1)p+2 ↔ · · · ↔v(i−1)p+t−1↔vy.
Lintasan Pvxvy mempunyai panjang
ℓ(Pvxvy) = d(vpq+1, v(i−1)p+1) +d(v(i−1)p+1, v(i−1)p+t)
= 1 +t−1
=t≤p < p+ 1
Selanjutnya, misalkanvx =vpq+2 dan vy =v(i−1)p+t dan perhatikan lintasan
Pvxvy :vx ↔vip↔vip−1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+t+1↔vy.
Panjang lintasan Pvxvy adalah
ℓ(Pvxvy) =d(vpq+2, vip) +d(vip, v(i−1)p+1)−d(v(i−1)p+1, v(i−1)p+t)
= 1 + (p−1)−(t−1)
=p−t+ 1< p+ 1
karena t ≥1.
Jadi, bila titikvx = vpq+1 atau vx = vpq+2 dan untuk setiap titik vy dalam
bentuk v(i−1)p+t ada lintasan Pvxvy dengan ℓ(Pvxvy)≤p < p+ 1.
Kasus 2. Titik vx dan titik vy bukanlah titik vpq+1 atau titikvpq+2. Akibatnya
terdapat 3 kasus, yakni:
a. Titik vx dan titik vy berada pada lintasan horizontal yang sama.
Andaikan vx =v(i−1)p+t1 dan vy =v(i−1)p+t2 dengan 1≤ i≤q dan 1≤t1 <
t2 ≤p. Lintasan
Pvxvy :vx=v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1+1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+t2−1 ↔v(i−1)p+t2 =vy
b. Titikvx dan titik vy berada pada lintasan vertikal yang sama.
Andaikan vx = v(i−1)p+t dan vy = v(h−1)p+t dengan 1 ≤ i < h ≤ q dan
1≤t≤p. Lintasan
Pvxvy :vx =v(i−1)p+t↔vip+t ↔ · · · ↔v(h−2)p+t ↔v(h−1)p+t=vy
mempunyai panjang ℓ(Pvxvy) =h−i≤q−1< p. Jadi, ℓ(Pvxvy)< p+ 1.
c. Titik vx dan titik vy tidak berada pada lintasan horizontal maupun vertikal
yang sama.
Andaikan vx = v(i−1)p+t1 dan vy = v(h−1)p+t2 dengan 1 ≤ i < h ≤ q dan 1< t1, t2 ≤p, t1 6=t2. Perhatikan dua lintasan Pvxvy sebagai berikut:
P1 : vx =v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1−1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+1↔vpq+1 ↔v(h−1)p+1 ↔v(h−1)p+2 ↔ · · · ↔vy =v(h−1)p+t2
P2 : vx =v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1+1 ↔ · · · ↔vip ↔vpq+2 ↔vhp↔vhp−1 ↔ · · · ↔vy =v(h−1)p+t2
Karenaℓ(Pv(i−1)p+1vip) =p−1 dan ℓ(Pv(h−1)p+1,vhp) =p−1, maka
ℓ(P1) +ℓ(P2) = 2(p−1) + 4.
Pilih lintasanPvxvy sehinggaℓ(Pvxvy) = min(ℓ(P1), ℓ(P2)). Jadi, ada lintasan
Pvxvy dengan ℓ(Pvx,vy)≤ 2p2+2 =p+ 1.
Untuk setiap pasangan titikvx danvy yang berbeda diG(p, q), telah
dibuk-tikan bahwa d(vx, vy) ≤ p+ 1. Karena titik vpq+1 dan titik vpq+2 merupakan titik terjauh dari G(p, q) maka dapat disimpulkan bahwa diam(G(p, q)) =p+ 1.
Teorema 3.2. Andaikan p dan q adalah bilangan bulat positif sehingga p ≥ q. Jika p adalah bilangan bulat positif ganjil maka k(G(p, q)) = diam(G2(p,q)).
Oleh karena d(vpq+1, vpq+2) adalah genap, maka berdasarkan Proposisi 2.4,
kvpq+1vpq+2 =
diam(G(p,q))
2 =
p+1
2 sehingga
k(G(p, q))≥ p+12 . (3.1)
Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa untuk tiap dua titik yang berbedavx
dan vy diG(p, q), terdapat jalan Wvxvy dengan panjang genap dimanad(vx, vy)≤
diam(G(p, q)). Jika d(vx, vy) genap, maka lintasan tersebut dapat diperpanjang menjadi jalan dengan panjang tepat p+ 1. Asumsikan bahwa d(vx, vy) ganjil,
maka terdapat 2 kasus yaitu:
Kasus 1. Andaikanvx =vpq+1 danvy adalah titik dalam bentukv(i−1)p+tdengan
1≤i < q dan 1≤ t≤p. Perhatikan jalan
Wvxvy :vx =vpq+1↔ vip+1 ↔vip+2 ↔ · · · ↔vip+t−1 ↔vip+t↔v(i−1)p+t =vy
Jalan Wvxvy mempunyai panjang genap
ℓ(Wvxvy) =d(vpq+1, vip+1) +d(vip+1, vip+t) +d(vip+t, v(i−1)p+t)
= 1 + (t−1) + 1
=t+ 1 ≤p+ 1
Sedangkan untuk i=q maka jalan Wvxvy menjadi
vx ↔v(q−2)p+1 ↔v(q−2)p+2 ↔ · · · ↔v(q−2)p+t−1 ↔v(q−2)p+t↔v(q−1)p+t=vy
dan jalan Wvxvy tersebut mempunyai panjang genap
ℓ(Wvxvy) =d(vpq+1, v(q−2)p+1) +d(v(q−2)p+1, v(q−2)p+t) +d(v(q−2)p+t, v(q−1)p+t)
= 1 + (t−1) + 1
=t+ 1≤p+ 1
Selanjutnya, misalkanvx =vpq+2 dan vy =v(i−1)p+t dan perhatikan jalan
Panjang jalan Wvxvy adalah
ℓ(Wvxvy) =d(vpq+2, vip+p) +d(vip+p, vip+t) +d(vip+t, v(i−1)p+t)
= 1 + (t−1) + 1
=t+ 1≤p+ 1
Dengan cara yang sama, untuk i=q maka jalanWvxvy menjadi
vx ↔v(q−1)p ↔v(q−1)p−1 ↔ · · · ↔v(q−2)p+t+1 ↔v(q−2)p+t↔v(q−1)p+t=vy
Panjang jalan Wvxvy untuk i = q tersebut mempunyai panjang paling banyak
p+ 1.
Jadi, bila titikvx = vpq+1 atau vx = vpq+2 dan untuk setiap titik vy dalam
bentuk v(i−1)p+t ada jalanWvxvy dengan panjang genap ℓ(Wvxvy)≤p+ 1.
Kasus 2. Titik vx dan titik vy bukanlah titik vpq+1 atau titikvpq+2. Akibatnya
terdapat 3 kasus, yakni:
a. Titik vx dan titik vy berada pada lintasan horizontal yang sama.
Andaikan vx =v(i−1)p+t1 dan vy =v(i−1)p+t2 dengan 1≤ i < q dan 1≤t1 <
t2 ≤p. Perhatikan dua kemungkinan jalan Wvxvy sebagai berikut:
W1 : vx=v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1−1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+1 ↔vpq+1 ↔vip+1 ↔vip+2 ↔ · · · ↔vip+t2 ↔v(i−1)p+t2
W2 : vx=v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1+1 ↔ · · · ↔vip↔vpq+2 ↔vip+p ↔vip+p−1 ↔ · · · ↔vip+t2 ↔v(i−1)p+t2
dan untuk i = q maka dua kemungkinan jalan Wvxvy menjadi sebagai
berikut:
W1 : vx =v(q−1)p+t1 ↔v(q−1)p+t1−1 ↔ · · · ↔v(q−1)p+1↔vpq+1 ↔v(q−2)p+1 ↔v(q−2)p+2 ↔ · · · ↔v(q−2)p+t2 ↔v(q−1)p+t2
Pilih jalan Wvxvy dengan panjang ℓ(Wvxvy) = min(ℓ(W1), ℓ(W2)) sehingga
ℓ(Wvxvy)≤diam(G(p, q)) =p+ 1. Andaikan Wvxvy =W1 maka
ℓ(Wvx,vy) = d(vx, vpq+1) +d(vpq+1, vip+t2) +d(vip+t2, vy) =t1+t2+ 1
=t+ 1≤p+ 1
Dengan cara yang sama, misalkanWvxvy =W2 maka panjang jalan tersebut paling banyakp+ 1. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ℓ(Wvxvy)≤p+ 1.
b. Titikvx dan titik vy berada pada lintasan vertikal yang sama.
Andaikan vx = v(i−1)p+t dan vy = v(h−1)p+t dengan 1 ≤ i < h ≤ q dan
1≤t≤p. Perhatikan dua kemungkinan jalan Wvxvy sebagai berikut:
W1 : vx =v(i−1)p+t↔v(i−1)p+t−1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+1 ↔vpq+1
↔v(h−1)p+1 ↔v(h−1)p+2 ↔ · · · ↔v(h−1)p+t=vy
W2 : vx =v(i−1)p+t↔v(i−1)p+t+1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+p =vip↔vpq+2
↔vhp=v(h−1)p+p ↔v(h−1)p+p−1 ↔ · · · ↔v(h−1)p+t=vy
Pilih jalan Wvxvy dengan panjang ℓ(Wvxvy) = min(ℓ(W1), ℓ(W2)) sehingga
ℓ(Wvxvy) ≤ diam(G(p, q)) = p+ 1. Karena titik vx dan vy berada pada
lintasan vertikal yang sama, makad(vx, v(i−1)p+1) =d(v(h−1)p+1, vy) sehingga
ℓ(Wvxvy)≤d(vx, v(i−1)p+1) +d(vx, vip) + 2
d(vx, v(i−1)p+1) +d(v(h−1)p+1, vy) + 2≤d(vx, v(i−1)p+1) +d(vx, vip) + 2
≤p+ 1
Andaikan jalan Wvxvy =W2 maka jalan tersebut akan mempunyai panjang paling banyakp+ 1. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ℓ(Wvxvy)≤p+ 1.
c. Titik vx dan titik vy tidak berada pada lintasan horizontal maupun vertikal
yang sama.
1< t1, t2 ≤p, t1 6=t2. Perhatikan dua jalan Wvxvy sebagai berikut:
W1 : vx=v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1−1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+1 ↔vpq+1 ↔v(h−1)p+1↔v(h−1)p+2↔ · · · ↔vy =v(h−1)p+t2
W2 : vx=v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1+1 ↔ · · · ↔vip↔vpq+2 ↔vhp↔vhp−1 ↔ · · · ↔vy =v(h−1)p+t2
Pilih jalan Wvxvy dengan panjang ℓ(Wvxvy) = min(ℓ(W1), ℓ(W2)) sehingga ℓ(Wvxvy)≤diam(G(p, q)) =p+1. Andaikan jalanWvxvy =W1. Jika jumlah
sisi horizontal pada jalan Wvxvy adalah ganjil, maka dilakukan cara yang
sama seperti pada (a), sedangkan jika jumlah sisi horizontal pada jalanWvxvy
adalah genap, maka dilakukan cara yang sama seperti pada (b). Jadi, bila
vx dalam bentukv(i−1)p+t1 dan vy dalam bentuk v(h−1)p+t2 maka ℓ(Wvxvy)≤
p+ 1.
Untuk setiap pasangan titikvx danvy yang berbeda diG(p, q), telah
dibuk-tikan bahwa terdapat jalan Wvxvy dengan ℓ(Wvxvy)≤p+ 1 sehingga
k(G(p, q))≤ p+12 . (3.2)
Berdasarkan persamaan (3.1) dan persamaan (3.2), dapat disimpulkan bahwa
k(G(p, q)) = p+12 = diam(G2(p,q)).
Teorema 3.3 Andaikan p dan q adalah bilangan bulat positif sehingga p ≥ q. Jika p adalah bilangan bulat positif genap maka k(G(p, q)) = diam(G2(p,q))+1.
Bukti. Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama seperti pada Teorema 3.2. Berdasarkan Proposisi 3.1, diperoleh diam(G(p, q)) =d(vpq+1, vpq+2) =p+ 1 yang bernilai ganjil. Untuk itu, diperlukan jalan dengan panjang genap terpendek
Oleh karena d(vpq+1vpq+2) adalah genap, maka berdasarkan Proposisi 2.4,
kvpq+1vpq+2(G(p, q)) =
p+2
2 sehingga
k(G(p, q))≥ p+22 . (3.3)
Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa untuk tiap dua titik yang berbedavx
dan vy diG(p, q), terdapat jalan Wvxvy dengan panjang genap dimanad(vx, vy)≤
diam(G(p, q))+1.Jikad(vx, vy) genap, maka lintasan tersebut dapat diperpanjang
menjadi jalan dengan panjang tepatp+2. Asumsikan bahwad(vx, vy) ganjil, maka
terdapat 2 kasus yaitu:
Kasus 1. Andaikanvx =vpq+1 danvy adalah titik dalam bentukv(i−1)p+tdengan
1≤i < q dan 1≤ t≤p. Perhatikan jalan
Wvxvy :vx =vpq+1↔ vip+1 ↔vip+2 ↔ · · · ↔vip+t−1 ↔vip+t↔v(i−1)p+t =vy
Jalan Wvxvy mempunyai panjang genap
ℓ(Wvxvy) =d(vpq+1, vip+1) +d(vip+1, vip+t) +d(vip+t, v(i−1)p+t)
= 1 + (t−1) + 1
=t+ 1 ≤p < p+ 2
Sedangkan untuk i=q maka jalan Wvxvy menjadi
vx ↔v(q−2)p+1 ↔v(q−2)p+2 ↔ · · · ↔v(q−2)p+t−1 ↔v(q−2)p+t↔v(q−1)p+t=vy
dan jalan Wvxvy tersebut mempunyai panjang genap
ℓ(Wvxvy) =d(vpq+1, v(q−2)p+1) +d(v(q−2)p+1, v(q−2)p+t) +d(v(q−2)p+t, v(q−1)p+t)
= 1 + (t−1) + 1
Selanjutnya, misalkanvx =vpq+2 dan vy =v(i−1)p+t dan perhatikan jalan
Wvxvy :vx =vpq+2↔vip+p ↔vip+p−1 ↔ · · · ↔vip+t+1 ↔vip+t↔v(i−1)p+t=vy
Panjang jalan Wvxvy adalah
ℓ(Wvxvy) =d(vpq+2, vip+p) +d(vip+p, vip+t) +d(vip+t, v(i−1)p+t)
= 1 + (t−1) + 1
=t+ 1≤p < p+ 2
Dengan cara yang sama, untuk i=q maka jalanWvxvy menjadi
vx ↔v(q−1)p ↔v(q−1)p−1 ↔ · · · ↔v(q−2)p+t+1 ↔v(q−2)p+t↔v(q−1)p+t=vy
Panjang jalan Wvxvy untuk i = q tersebut mempunyai panjang genap paling
banyakp.
Jadi, bila titikvx = vpq+1 atau vx = vpq+2 dan untuk setiap titik vy dalam
bentuk v(i−1)p+t ada jalanWvxvy dengan panjang genap ℓ(Wvxvy)≤p < p+ 2.
Kasus 2. Titik vx dan titik vy bukanlah titik vpq+1 atau titikvpq+2. Akibatnya
terdapat 3 kasus, yakni:
a. Titik vx dan titik vy berada pada lintasan horizontal yang sama.
Andaikan vx =v(i−1)p+t1 dan vy =v(i−1)p+t2 dengan 1≤ i < q dan 1≤t1 <
t2 ≤p. Perhatikan dua kemungkinan jalan Wvxvy sebagai berikut:
W1 : vx=v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1−1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+1 ↔vpq+1 ↔vip+1 ↔vip+2 ↔ · · · ↔vip+t2 ↔v(i−1)p+t2
W2 : vx=v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1+1 ↔ · · · ↔vip↔vpq+2 ↔vip+p ↔vip+p−1 ↔ · · · ↔vip+t2 ↔v(i−1)p+t2
berikut:
W1 : vx =v(q−1)p+t1 ↔v(q−1)p+t1−1 ↔ · · · ↔v(q−1)p+1↔vpq+1 ↔v(q−2)p+1 ↔v(q−2)p+2 ↔ · · · ↔v(q−2)p+t2 ↔v(q−1)p+t2
W2 : vx =v(q−1)p+t1 ↔v(q−1)p+t1+1 ↔ · · · ↔vpq ↔vpq+2 ↔v(q−1)p ↔v(q−1)p−1 ↔ · · · ↔v(q−2)p+t2 ↔v(q−1)p+t2
Pilih jalan Wvxvy dengan panjang ℓ(Wvxvy) = min(ℓ(W1), ℓ(W2)) sehingga ℓ(Wvxvy)≤diam(G(p, q)) =p+ 1 mempunyai panjang genap. Atau dengan
kata lain, ℓ(Wvxvy)≤p. Andaikan Wvxvy =W1 maka
ℓ(Wvx,vy) = d(vx, vpq+1) +d(vpq+1, vip+t2) +d(vip+t2, vy) =t1+t2+ 1
=t+ 1≤p
Dengan cara yang sama, misalkan Wvxvy = W2 maka panjang jalan genap tersebut paling banyak p. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ℓ(Wvxvy) ≤ p < p+ 2.
b. Titikvx dan titik vy berada pada lintasan vertikal yang sama.
Andaikan vx = v(i−1)p+t dan vy = v(h−1)p+t dengan 1 ≤ i < h ≤ q dan
1≤t≤p. Perhatikan dua kemungkinan jalan Wvxvy sebagai berikut:
W1 : vx =v(i−1)p+t↔v(i−1)p+t−1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+1 ↔vpq+1
↔v(h−1)p+1 ↔v(h−1)p+2 ↔ · · · ↔v(h−1)p+t=vy
W2 : vx =v(i−1)p+t↔v(i−1)p+t+1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+p =vip↔vpq+2
↔vhp=v(h−1)p+p ↔v(h−1)p+p−1 ↔ · · · ↔v(h−1)p+t=vy
Pilih jalan Wvxvy dengan panjang ℓ(Wvxvy) = min(ℓ(W1), ℓ(W2)) sehingga
ℓ(Wvxvy)≤diam(G(p, q)) =p+ 1 mempunyai panjang genap. Atau dengan
kata lain,ℓ(Wvxvy)≤p. Karena titikvxdanvy berada pada lintasan vertikal yang sama, maka d(vx, v(i−1)p+1) =d(v(h−1)p+1, vy) sehingga
ℓ(Wvxvy)< d(vx, v(i−1)p+1) +d(vx, vip) + 2
d(vx, v(i−1)p+1) +d(v(h−1)p+1, vy) + 2< d(vx, v(i−1)p+1) +d(vx, vip) + 2
Andaikan jalan Wvxvy =W2 maka jalan tersebut akan mempunyai panjang genap paling banyakp. Jadi, dapat disimpulkan bahwaℓ(Wvxvy)≤p < p+2.
c. Titik vx dan titik vy tidak berada pada lintasan horizontal maupun vertikal
yang sama.
Andaikan vx = v(i−1)p+t1 dan vy = v(h−1)p+t2 dengan 1 ≤ i < h ≤ q dan 1< t1, t2 ≤p, t1 6=t2. Perhatikan dua jalan Wvxvy sebagai berikut:
W1 : vx=v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1−1 ↔ · · · ↔v(i−1)p+1 ↔vpq+1 ↔v(h−1)p+1↔v(h−1)p+2↔ · · · ↔vy =v(h−1)p+t2
W2 : vx=v(i−1)p+t1 ↔v(i−1)p+t1+1 ↔ · · · ↔vip↔vpq+2 ↔vhp↔vhp−1 ↔ · · · ↔vy =v(h−1)p+t2
Pilih jalan Wvxvy dengan panjang ℓ(Wvxvy) = min(ℓ(W1), ℓ(W2)) sehingga
ℓ(Wvxvy)≤diam(G(p, q)) =p+ 1 mempunyai panjang genap. Atau dengan kata lain, ℓ(Wvxvy) ≤ p. Andaikan jalan Wvxvy = W1. Jika jumlah sisi
horizontal pada jalan Wvxvy adalah ganjil, maka dilakukan cara yang sama
seperti pada (a), sedangkan jika jumlah sisi horizontal pada jalan Wvxvy
adalah genap, maka dilakukan cara yang sama seperti pada (b). Jadi, bila
vx dalam bentukv(i−1)p+t1 dan vy dalam bentuk v(h−1)p+t2 maka ℓ(Wvxvy)≤
p < p+ 2.
Untuk setiap pasangan titikvx dan vy yang berbeda di G(p, q), telah
diper-lihatkan bahwa terdapat jalan Wvxvy dengan ℓ(Wvxvy) ≤ p. Namun berdasarkan
Proposisi 2.5, jalanWvxvy dengan panjangℓ(Wvxvy) = pdapat diperpanjang
men-jadi ℓ(W′
vxvy) =p+ 2 sehingga
k(G(p, q))≤ p+22 . (3.4)
Berdasarkan persamaan (3.3) dan persamaan (3.4), dapat disimpulkan bahwa
4.1 Kesimpulan
Penelitian ini membahas mengenai scrambling index dari Graf Perahu yang terdiri atas pq + 2 titik dengan panjang p titik dan lebar q titik dimana p ≥ q. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :
1. Diameter dari Graf PerahuG(p, q) yakni diam(G(p, q)) =p+ 1
2. Jika padalah bilangan bulat positif ganjil, maka scrambling index dari graf
G adalah
k(G) = diam(G(p, q)) 2
3. Jikapadalah bilangan bulat positif genap, maka scrambling index dari graf
G adalah
k(G) = diam(G(p, q)) + 1 2
Dari hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa scrambling index dari Graf Perahu G(p, q) bergantung pada diameter graf tersebut. Sedangkan diame-ter graf G(p, q) bergantung pada banyak titikp jika dan hanya jika titik p lebih banyak atau sama dengan dari titik q graf tersebut (p≥q).
4.2 Saran
Penelitian ini membahas mengenai scrambling index dari Graf Perahu G(p, q) yang terdiri atas pq + 2 titik dengan panjang p titik dan lebar q titik dimana
