Modul ke:
Fakultas
Program Studi
MODUL 1
Himpunan
Nur Azmi Karim, SE, M.Si
01
Penulisan Himpunan
Himpunan adalah suatu kumpulan objek yang berbeda, yang mungkin merupakan suatu kelompok bilangan- bilangan berbeda, orang, makanan, atau sesuatu lainnya.
Ada dua cara penulisan suatu himpunan : dengan menyebutkan satu persatu dan dengan gambaran. Jika kita memisalkan S mewakili himpunan dari tiga bilangan 2,3, dan 4 maka kita dapat menuliskan dengan menyebutkan satu persatu dari himpunan setiap elemen,
Tetapi bila kita misalkan I merupakan himpunan untuk seluruh bilangan bulat positif, menyebut satu persatu akan sulit, dan kita boleh menjelaskan elemen-elemen secara sederhana dan menulis,
I = ｛x | x bilangan bulat positif｝
yang sering dibaca sebagai berikut :” I adalah himpunan seluruh bilangan- bilangan x sedemikian rupa sehingga x merupakan bilangan bulat positif.” Tanda kurung digunakan untuk menutup himpunan kedua kasus tersebut.
Suatu himpunan dengan elemen- elemen bilangan hingga yang ditunjukkan oleh himpunan S di atas disebut himpunan hingga (finite set). Di lain pihak himpunan I masing- masing dengan elemen- elemen bilangan tak hingga, merupakan contoh himpunan tak hingga (infinite set).
Anggota dalam suatu himpunan dinyatakan dalam simbol (berasal dari huruf Yunani epsilon untuk “elemen”), dibaca sebagai “suatu elemen dari”, bisa dituliskan :
2 S 3 S 8 I 9 I
Tetapi, 8 S dibaca 8 bukan elemen dari himpunan S. Jika gunakan simbol R untuk menunjukkan himpunan dari seluruh bilangan nyata, maka pernyataan x adalah suatu bilangan nyata dapat disederhanakan menjadi :
x R
∈
∈ ∈ ∈
∈
∈
Bila dua himpunan dibandingkan satu dengan yang lainnya, beberapa jenis hubungan yang mungkin dapat diselidiki. Bila dua himpunan S1 dan S2berisi elemen- elemen yang sama :
S1 = ｛2,7,a,f｝ dan S2 = ｛2,a,7,f｝
Maka S1 dan S2 dikatakan sama meskipun orde yang terlihat pada elemen- elemen himpunan tidak penting.
Himpunan jenis lain adalah bahwa satu himpunan mungkin merupakan himpunan bagian dari himpunan lainnya. Kalau kita mempunyai dua himpunan,
S = ｛1,3,5,7,9｝ dan T = ｛3,7｝
Maka T adalah himpunan bagian dari S karena setiap elemen T adalah juga elemen S. Pernyataan yang lebih pasti mengenai hal ini adalah: T adalah himpunan bagian S jika dan hanya jika x T memenuhi x S. Dengan menggunakan simbol himpunan (berada dalam) dan
(termasuk), kita bisa menulis :
T S atau S T
Hubungan di antara Himpunan- himpunan
∈
∈
⊂
⊃
⊃
Pada ekstrem lainnya himpunan bagian S yang terkecil adalah suatu himpunan yang tidak berisi elemen sama sekali. Himpunan seperti itu disebut sebagai himpunan nol atau himpunan kosong dengan simbol ϕ atau ｛ ｝. Jika himpunan nol bukan merupakan himpunan bagian S (ϕ S ), maka ϕ harus berisi paling sedikit satu elemen x sehingga x S. Tetapi karena definisi himpunan nol tidak mempunyai elemen apapun kita tidak dapat mengatakan ϕ S; karena itu, himpunan nol adalah adalah himpunan bagian S.
⊄
Hubungan tipe ketiga adalah dua himpunan yang seluruh elemennya berbeda sama sekali. Dalam kasus ini, kedua himpunan tersebut dikatakan menjadi terputus (disjoint). Sebagai contoh, himpunan seluruh bilangan bulat positif dan himpunan seluruh bilangan bulat negatif adalah himpunan yang terputus. Hubungan tipe keempat terjadi bila dua himpunan mempunyai beberapa elemen yang sama tetapi beberapa elemen diantaranya “aneh” satu sama lainnya. Dalam peristiwa itu kedua himpunan tidak sama maupun terputus (disjoint), tetapi juga bukan bagian himpunan satu dengan lainnya.
Operasi Himpunan
Himpunan dapat juga dilakukan operasi
matematis, ada tiga prinsip operasi yang
akan dibahas yaitu gabungan (union), irisan
(interseption),dan komplemen himpunan.
Untuk mendapatkan gabungan dari dua
himpunan A dan B perlu dibentuk
himpunan baru yang berisi elemen- elemen
yang dimiliki olah A maupun B, atau berisi
elemen A dan B. Himpunan gabungan
menggunakan simbol A
B (baca A
Contoh 1
Jika A = ｛3,5,7｝dan B = ｛2,3,4,8｝,
maka
A ᵕ B = ｛2,3,4,5,7,8｝
Contoh ini menunjukkan suatu kasus
dimana himpunan A dan B tidak sama dan
tidak disjoint dan A bukan himpunan
bagian dari B serta sebaliknya.
Contoh 2
Gabungan dari himpunan seluruh bilangan bulat dan himpunan seluruh bilangan pecahan adalah himpunan seluruh bilangan rasional. Demikian pula, gabungan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional menghasilkan himpunan seluruh bilangan nyata.
Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan baru yang berisi elemen- elemen milik A dan B. Himpunan irisan diberi simbol A ᴖ B (baca A irisan B).
Contoh 3
Dari himpunan A dan B pada contoh 1, dapat ditulis
A ᴖ B = ｛3｝ Contoh 4
Bila A = ｛-3, 6,10｝ dan B ｛9,2,7,4｝,
maka Aᴖ B = ϕ. Himpunan A dan
himpunan B adalah disjoint sehingga
irisannya adalah himpunan kosong tidak
ada elemen milik bersama A dan B
Hal yang dapat lebih dimengerti dengan
membandingkan
definisi
irisan
dan
gabungan, sebagai berikut :
Irisan
: A B = ｛x | x A dan x B
｝
Gabungan: A B = ｛x | x A dan x B
｝
Sebelum
menjelaskan
himpunan
komplement,
akan
dijelaskan
terlebih
dahulu konsep himpunan universal.
Bila bilangan yang digunakan adalah himpunan dari tujuh bilangan positif yang pertama, kita dapat menunjuk himpunan itu sebagai himpunan universal U. Jadi dengan himpunan tertetu, katakanlah A = ｛3,6,7｝, kita dapat mendefinisikan himpunan A yang lain( baca komplement A) sebagai himpunan yang berisi seluruh bilangan dalam himpunan universal U yang tidak ada dalam himpunan A, yaitu :
Contoh 5
Bila U = ｛5,6,7,8,9｝ dan A = ｛5,6｝, maka Ā = ｛7,8,9｝
Contoh 6
Apa komplement dari U ? Karena setiap objek (bilangan) yang sedang dipertimbangkan termasuk dalam himpunan universal, komplemen U harus kosong. Jadi Ũ = ϕ
Ketiga jenis operasi dapat disajikan dalam bentuk tiga diagram yang dikenal sebagai diagram Venn
A
Dalil- dalil Operasi Himpunan
Dari gambar di atas dapat dilihat dapat dilihat daerah yang berwarna gelap (diarsir) pada diagram (a) tidak hanya menunjukkan A U B tetapi juga B U A. Hal yang sama berlaku untuk diagram (b), dimana daerah yang berwarna gelap tidak hanya menunjukkan A B tetapi juga B A. Jika dirumuskan, hasilnya merupakan hukum komutatif dari gabungan dan irisan :
A U B = B U A A B = B A Hubungan ini sama dengan dalil aljabar
Untuk memperoleh gabungan dari tiga himpunan A, B, dan C, kita terlebih dahulu mencari gabungan dari dua himpunan manapun, kemudian hasil gabungan digabungkan dengan himpunan yang ketiga, cara yang sama dapat diterapkan untuk operasi irisan. Hasil dari operasi semacam ini digambarkan sebagai berikut :
Hukum Asosiatif dari gabungan dan irisan : Aᵕ(BᴖC) = (AᵕB)ᵕC
Aᴖ(BᴖC) = (AᴖB)ᴖC Menyerupai hukum aljabar
a + (b+c) = (a+b)+c dan a x (bxc) = (axb)xc
Contoh 7
Buktikan hukum distributif jika diketahui
A = ｛4,5｝, B = ｛3,6,7｝, dan C = ｛2,3｝
Untuk membuktikan bagian pertama hukum ini, kita tunjukkan pernyataan sebelah kiri dan sebelah kanan secara terpisah:
Kiri : Aᵕ(BᴖC) = ｛4,5｝ᵕ｛3｝= ｛3,4,5｝
Kanan : (AᵕB)ᴖ(AᵕC) = ｛3,4,5,6,7｝ᴖ｛2,3,4,5｝=｛3,4,5 ｝
Karena kedua sisi memberikan hasil yang sama, maka hukum tersebut terbukti. Cara yang sama digunakan utnuk bagian kedua hukum distributif, di mana kita peroleh :
Kiri : Aᴖ(BᵕC) = ｛4,5｝ᴖ｛2,3,6,7｝= ϕ Kanan : (AᴖB)ᵕ (AᴖC) = ϕᵕϕ = ϕ
Contoh 8
Diketahui himpunan universal
U=u|u = bilangan bulat positif dan u ≤ 15｝, dan A ｛y|y = 3x; x = bilangan bulat positif
dan x ≤ 5｝.
Manakah yang menjadi elemen dari himpunan A1...
Kaidah- Kaidah dalam matematika dalam pengoperasian Himpunan Kaidah Idempoten a. A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif a. ( A U B )C U = A U ( B U C ) b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) Kaidah Komutatif a. A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A
Kaidah Distributif a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C ) Kaidah Identitas a. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø c. A U U = U d. A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø c. ( Ā ) = A d. U ≡ Ø Ø ≡ U Kaidah De Morgan a. (A U B)= Ā.∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B
Skema Bilangan
Himpunan Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = { 1,2,3,4,5,6,… } Himpunan Bilangan Prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli uang hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1
P = { 2,3,5,7,11,13, … } Himpunan Bilangan Cacah
Adalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
Himpunan Bilangan Bulat
Adalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanya seluruh bilangan bulat baik yang negatif, nol, maupun yang positif
B = {…,-3, -2, -1, 0,1,2,3,…} Himpunan Bilangan Rasional
Adalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q dimana p,q Є bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu decimal berulang
Contoh : 0,-2,2/7,5,2/11, dan lain- lain Himpunan Bilangan Irasional
Adalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu decimal berulang.
Himpunan Bilangan Rill
Adalah himpunan yang anggota- anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
Contoh : log 10; 5/8;-3; 0,3
Himpunan bilangan imajiner
Adalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanya merupakan I (satuan imajiner) dimana i merupakan lambing bilangan baru yang bersifat i2 = -1,
Contoh : i,4i,5i
Himpunan Bilangan Kompleks
Adalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanya (a+bi) dimana a,b Є R, i2 = -1, dengan a bagian rill dan b bagian imajiner.
Contoh Soal dan Pemecahannya :
1. Gambarkanlah sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan bagian- bagian A serta B jika :
U = {1,2,3,4,5,6,7,8} A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8}, Selesaikan : a. A – B c. A ∩ B e. A ∩ B b. B – A d. A U B f. B ∩ Ā
2. Berdasarkan hukum- hukum matematika dalam pengoperasian himpunan sebagaiman tercantum pada daftar di muka, sederhanakanlah pernyataan- pernyataan himpunan berikut :
a. B U (B U A) b. A U (Ā ∩ B)
