Bab 3
SISTEM PERSAMAAN LINIER
3.1. Pendahuluan
Pada kuliah ini akan dipelajari beberapa metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Penyelesaian sistem persamaan dengan jumlah variabel n yang tidak diketahui sering ditemui didalam ilmu rekayasa sipil.
Misalnya, ada suatu sistem persamaan yang akan dicari nilai , , ,…, yang memenuhi persamaan berikut,
1 x x2 x3 xn
(
)
(
)
(
, , ,...,)
0 0 ,..., , , 0 ,..., , , 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = = n n n n x x x x f x x x x f x x x x fSistem persamaan ini bisa merupakan sistem persamaan linier dan non linier. Untuk sistem persamaan non linier lebih rumit dari pada penyelesaian untuk sistem persamaan linier. Didalam pembahasan ini hanya akan dibahas sistem persamaan linier yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut,
n n nn n n n n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a = + + + + = + + + + = + + + + . ... . . . . . . . ... . . . . ... . . . 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11
Dari persamaan di atas dapat disusun sistem persamaan sebagai berikut, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n n nn n n n n n b b b x x x a a a a a a a a a a a a . . . . . . . ... . .. . . . . ... . . . . ... . . . ... ... 2 1 2 1 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11
dimana adalah koefisien konstanta, adalah konstanta, adalah jumlah persamaan, dan , , ,…, adalah variabel bilangan yang tidak diketahui.
a b n
1
x x2 x3 xn
Sistem persamaan di atas merupakan matriks dengan n persamaan dengan bilangan yang tidak diketahui. Matriks dari sistem persamaan di atas membentuk matriks × n yang merupakan matriks bujur sangkar. Sistem persamaan yang akan dibahas selanjutnya hanya sistem persamaan yang membentuk matriks bujur sangkar.
n
n
3.1. Tipe Matriks Bujur Sangkar
Matriks bujur sangkar paling banyak dipergunakan di dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Untuk mendapatkan penyelesaian di dalam sistem persamaan tersebut jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan yang tidak diketahui (kolom) harus sama. Beberapa tipe dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut,
1. Matriks Simetris 2. Matriks Diagonal 3. Matriks Identitas 4. Matriks Segitiga atas 5. Matriks Segitiga bawah
Matriks Simetris
Dikatakan suatu matriks merupakan matriks simetris apabila koefisien matriks . Contohnya matriks 3 x 3 berikut,
ji ij a a = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 6 5 4 5 3 2 4 2 1 A Matriks Diagonal
Dikatakan suatu matriks merupakan matriks diagonal apabila semua elemen selain elemen diagonal dari matriks tersebut adalah bernilai nol. Contoh matriks diagonal adalah sebagai berikut,
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 22 11 0 0 0 0 0 0 b b b B Matriks Identitas
Dikatakan suatu matriks merupakan matriks identitas apabila semua elemen dari matriks tersebut bernilai nol dan elemen diagonal utama dari matriks tersebut bernilai 1.
Matriks Segitiga Atas
Dikatakan suatu matriks merupakan matriks segitiga atas bila semua elemen dibawah diagonal utmanya adalah sama dengan nol. Contoh matriks segitiga atas adalah sebagai berikut,
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 23 22 13 12 11 0 0 0 b b b b b b B
Matriks Segitiga Bawah
Dikatakan suatu matriks merupakan matriks segitiga bawah bila semua elemen diatas diagonal utmanya adalah sama dengan nol. Contoh matriks segitiga bawah adalah sebagai berikut,
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 32 31 22 21 11 0 0 0 b b b b b b B
Matriks Pita atau Matriks Tridiagonal
Dikatakan suatu matriks merupakan matriks Pita bila semua elemen adalah sama dengan nol, kecuali pada satu jalur yang perpusat pada diagonal utama. Contoh matriks pita adalah sebagai berikut,
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 32 23 22 21 12 11 0 0 b b b b b b b B Matriks Transpose
Matriks transpose adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Misalnya diketahui sebuah matriks sebagai berikut, ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 b b b b b b b b b B
maka transpose dari matriks di atas adalah sebagai berikut, ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 23 13 32 22 12 31 21 11 b b b b b b b b b BT Matriks Invers
Didalam operasi matriks, pembagian matriks tidak didefinisikan. Operasi perhitungan matriks yang mirip dengan pembagian matriks disebut dengan Matriks Invers. Matriks tersebut dapat dipresentasikan sebagai berikut,
A I A−1=
3.2. Operasi Matriks
Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dapat dilakukan pada matriks.
Operasi Penjumlahan Matriks
Apabila A=
[ ]
aij dan B=[ ]
bij adalah dua matriks m× , maka operasi n penjumlahan dapat dilakukan pada kedua matriks tersebut. Contoh dari penjumlahan matriks adalah sebagai berikut,⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 6 5 4 3 2 1 A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 9 8 7 B ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + = + 9 7 5 12 10 8 3 6 2 5 1 4 9 3 8 2 7 1 B A
Operasi Pengurangan Matriks
Apabila A=
[ ]
aij dan B=[ ]
bij adalah dua matriks m× , maka operasi n pengurangan dapat dilakukan pada kedua matriks tersebut. Contoh dari pengurangan matriks adalah sebagai berikut,⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 6 5 4 3 2 1 A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 9 8 7 B ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = − 3 3 3 6 6 6 3 6 2 5 1 4 9 3 8 2 7 1 B A
Operasi Perkalian Matriks
Apabila A=
[ ]
aij dan C=[ ]
cji adalah matriks m× dan matriks n , maka operasi perkalian dapat dilakukan pada kedua matriks tersebut. Contoh dari perkalian matriks adalah sebagai berikut,m n× ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 6 5 4 3 2 1 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 9 2 8 1 7 C ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × + × + × × + × + × × + × + × × + × + × = × 3 6 2 5 1 4 9 6 8 5 7 4 3 3 2 2 1 1 9 3 8 2 7 1 C A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + + = × 32 122 14 50 18 10 4 54 40 28 9 4 1 27 16 7 C A
3.3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Dalam menyelesaikan sistem persamaan linier ada beberapa metode yang dapat dipergunakan. Dilihat dari cara penyelesaiannya, metode-metode tersebut dapat dibagi menjadi 2 tipe,
1. Metode Analisis
Metode ini menghasilkan nilai eksak. a. Metode Eliminasi Gauss
b. Metode Gauss Jordan 2. Metode Iterasi
Metode ini menghasilkan nilai pendekatan. a. Metode Jacobi
b. Metode Gauss-Siedal
Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss ini adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak dipergunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linier. Metode penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah sebagai berikut, misalnya diketahui suatu sistem persamaan linier dalam bentuk matriks 3× , 3 penyelesaian akhir dari sistem persamaan tersebut menghasilkan matriks sebagai berikut,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11b
b
b
z
y
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1 33 23 22 13 12 110
0
0
d
d
d
z
y
x
c
c
c
c
c
c
Dimana matriks dari persamaan tersebut dieliminasi sedemikian rupa sehingga menjadi bentuk matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah. Dari matriks segitiga tersebut penyelesaian untuk untuk x , y, dan dapat dilakukan dengan
mudah.
z
Untuk mendapatkan hasil akhir seperti matriks tersebut di atas maka apabila diketahui suatu sistem persamaan linier matriks 3× , lakukan beberapa langkah 3 perhitungan berikut,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11b
b
b
z
y
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1 33 32 23 22 13 12 11'
'
'
'
0
'
'
0
b
b
b
z
y
x
a
a
a
a
a
a
a
baris 1 baris 2 baris 3 1 baris -2 baris 11 21 × a a 1 baris -3 baris 11 31 × a a⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1 33 23 22 13 12 11''
'
''
0
0
'
'
0
b
b
b
z
y
x
a
a
a
a
a
a
2 baris ' ' -3 baris 22 32 × a aDari prosedur eliminasi tersebut didapat hasil yang berupa matriks segitiga atas. Setelah itu penyelesaian untuk mencari nilai x , , dan dapat dilakukan dengan mudah.
Metode Gauss Jordan
Metode Gauss Jordan ini adalah metode yang paling banyak dipergunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linier. Metode penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah sebagai berikut: Misalnya diketahui suatu sistem persamaan linier dalam bentuk matriks 3× . Penyelesaian dari sistem 3 persamaan ini adalah seperti prosedur tersebut,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11b
b
b
z
y
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
baris 1 baris 2 baris 3 11 a 1 baris 1 baris -2 baris × 11 21 a a 1 baris - 3 baris × 11 31 a a⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1 33 32 23 22 13 12'
'
'
'
'
0
'
'
0
'
'
1
b
b
b
z
y
x
a
a
a
a
a
a
baris 1 baris 2 baris 3 22 ' a 2 baris 2 baris - 1 baris × 22 12 ' ' a a 2 baris - 3 baris × 22 32 ' ' a a⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1 33 23 13'
'
'
'
'
'
'
'
0
0
'
'
1
0
'
'
0
1
b
b
b
z
y
x
a
a
a
baris 1 baris 2 baris 3 baris 3 a''33 3 baris - 1 baris × 33 13 ' ' ' ' a a 3 baris - 2 baris × 33 23 ' ' ' ' a a⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1'
'
'
'
'
'
'
'
'
1
0
0
0
1
0
0
0
1
b
b
b
z
y
x
baris 1 baris 2 baris 3Hasil akhir sistem persamaan dengan menggunakan metode Gauss Jordan ini merupakan solusi langsung untuk nilai x , y, dan . Oleh karena itu metode ini
paling banyak dipergunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linier.
Metode Jacobi
Metode ini merupakan metode iteratif yang penyelesaian akhirnya merupakan nilai pendekatan. Untuk memahami prosedur penyelesaian dari metode ini, lihat contoh berikut. Misalnya diketahui suatu sistem persamaan,
3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 . . . . . . . . . b z a y a x a b z a y a x a b z a y a x a = + + = + + = + +
Prosedur untuk menghitung nilai x , , dan adalah sebagai berikut, y z
Langkah 1:
Asumsi nilai awal x , , dan sama dengan nol. y z
Langkah 2:
Hitung nilai x , y, dan dari persamaan berikut, z
33 32 31 3 22 23 21 2 11 13 12 1 . . . . . . a y a x a b z a z a x a b y a z a y a b x + − = − − = − − = Langkah 3:
Jika nilai pendekatan baru untuk x , y, dan kurang akurat, lakukan lagi
perhitungan Langkah 2 sampai didapat nilai pendekatan
z
x, , dan yang
cukup teliti.
Metode Gauss Siedal
Metode ini juga merupakan metode iteratif yang penyelesaian akhirnya merupakan nilai pendekatan. Metode ini lebih banyak dipergunakan dari Metode Jacobi. Untuk memahami prosedur penyelesaian dari metode ini lihat contoh berikut. Misalnya diketahui suatu sistem persamaan berikut,
3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 . . . . . . . . . b z a y a x a b z a y a x a b z a y a x a = + + = + + = + +
Prosedur untuk menghitung nilai x , , dan adalah sebagai berikut, y z
Langkah 1:
Asumsikan nilai awal dari variabel dan sama dengan nol. y z
Langkah 2:
Dengan menggunakan nilai dan hitung nilai y z x dari persamaan pertama,
11 13 12 1 . . a z a y a b x= − − Langkah 3:
Dengan mennggunakan nilai x , dan hitung nilai z ydari persamaan kedua,
22 23 21 2 . . a z a x a b y = − − Langkah 4:
Dengan menggunakan nilai x , dan y hitung nilai dari persamaan ketiga, z
33 32 31 3 . . a y a x a b z= − + Langkah 5:
Jika nilai pendekatan baru untuk x , , dan kurang akurat, lakukan lagi perhitungan Langkah 2, 3, dan 4 sampai didapat nilai pendekatan
y z
x, , dan
yang cukup teliti.
