Materi : 5.1. Kapasitas panas fonon 5.2. Rapat keadaan model Debye 5.3. Temperatur Debye 5.4. Persamaan Debye T 3

INDIKATOR

Mahasiswa harus dapat :



Menentukan rapat keadaan model Debye.



Menghitung temperatur Debye.



Menghitung kapasitas panas fonon.



Menggunakan persamaan Debye untuk

kapasitas panas fonon.

Materi :



5.1. Kapasitas panas fonon



5.2. Rapat keadaan model Debye



5.3. Temperatur Debye

TIK



Untuk menentukan : Capasitas panas jenis

phonon (

Cv

pada volume konstant) untuk

temperatur tinggi

dan

temperatur rendah

temperatur tinggi

dan

temperatur rendah

Kapasitas Panas Phonon



Model Einstein

Pada BAB IV



jika dalam kristal terdapat phonon

maka akan terjadi hubungan dispersi

maka akan terjadi hubungan dispersi

(diatomik)

Cabang optik

Tidak ada energi yang melewati k 2 / 1 2 1 1 1 2 _       m m C 2 2 m c 1 2 m c Cabang akustik 0 k a   a 

Gambar tersebut menunjukkan cabang akustik dan cabang optik dari hubungan dispersi untuk kisi linear diatomik, menunjukkan limit frekuensi sudut pada k = 0 dan k_maks= π/a, dimana massa atom m1 < m2.

Kapasitas panas phonon

Kapasitas panas dengan volume konstan

didefinisikan sebagai

V V

T

U

C

_

















dimana U adalah energi kristal dan T adalah

temperatur.



Apabila partikel phonon yang mempunyai

frequensi



,

maka

m

enurut kuantum Planck

besarnya energi adalah

E = h = ћ . 

Energi kristal untuk vektor panjang gelombang k = k1 adalah k = k1 adalah

 

k p p p k p k

U

3 _, 1 , , _{1 1} 1













Artinya :



Secara umum energi kristal untuk satu k

ditulis :

p k p p k p k

U

_,







_,





_, Sehingga :

Energi Total Kristal Untuk seluruh nilai k

 

 



 

               k p p k p k tot p k k p p k p k tot U U U U , , , ,   



Dimana



_kp

 probabilitas penempatan tingkat energi

phonon

1





Dari fungsi distribusi Planck didapat

harga _kp

1

1

/ ,





_{k T} p k _b

e





_h Dengan k_b = 1,381 . 10-23 joule/K

Distribusi Planck



Grafik Fungsi Distribusi Plank



Untuk T mendekati linier

• Suatu osilator harmonik yang sama pada keseimbangan termal memiliki perbandingan antara jumlah keadaan N pada keadaan kuantum n + 1 ke keadaan kuantum n Sehingga

T k n n

_e

_b

N

N

_{1  /}



pecahan dari total N pada keadaan kuantum n pecahan dari total N pada keadaan kuantum n adalah





     



0 / / 0 s T k s T k s s n b b

e

e

N

N

   

• Maka Kita misalkan





   s T k s s T k s b b e se / /    _  T k_b

e

x



 / maka





2 4 1 1 1 x x x dx d x sx dan x xs s     







_

_

2 1 1 x _s dx _{s x} s 









Sehingga Persamaan menjadi









x x x x x x x x x sx s s s s         





1 1 1 . 1 1 1 1 2 2



• Kemudian ganti kembali harga x-nya dan hasilnya subtitusikan ke persamaan energi kristal, maka persamaannya menjadi

1

1

)

1

(

1

1

1

/ 0 / / / / /





















 _{ } T k T k T k T k T k T k b b b b b

e

e

e

e

e

e

x

x

     





 _{   }

1

/

_



_{k T} b

e





_

Maka Energi Kristal dapat dituliskan :





   kp k T p k p k kp p k b kp e U U 1 / , , ,       

Energi kristal berdasarkan fungsi distribusi planck yaitu



_  kp k T p k b kp e U 1 / ,    

Kapasitas Panas pada Temperatur Tinggi ( T>>)

Dengan menggunakan deret taylor maka persamaan di atas menjadi

...

1

...,

1

/ 3 2

















T

k

e

maka

x

x

x

e

b T k x b





h

h

Sehingga U dapat dinyatakan







   kp kp b b kp kp T k T k U 1 1 1 1    





kp b

T

k

U

 Atom-atom kristal dianggap bergetar satu sama lain

di sekitar titik setimbangnya secara bebas.



Getaran atomnya dianggap harmonik sederhana

A. Sehingga

Menurut Einsten



Getaran atomnya dianggap harmonik sederhana

yang bebas sehingga mempunyai frekuensi sama

          2

sehingga di dalam zat padat terdapat sejumlah N atom maka ia akan mempunyai 3N osilator harmonik yang bergetar bebas dengan frekuensi ().

Maka Kapasitas Panas



Nk T



dT d T U C_v  3 _b   

R

C

_v



3

T

Nk

T

k

U

_b kp b



3





R

Nk

Nk

C

 3





C

_v



3

R

R adalah konstanta universal gas.

Jadi kapasitas panas phonon untuk temperatur tinggi menurut model Einstein adalah

R

Nk

C

_V



3

_b



3

R

Nk

Nk

C

_V

 3

_b



_b



Kapasita Panas pada Temperatur

rendah

1



T

k

_b





Untuk T<< maka

Bila _kp = maka model Einstein 3N

jadi

1

3





T k_b

e

N

U

_































1

3

T k v b

e

N

dT

d

T

U

C

_





           _   k T b b V e b T k T k e N C     h h h h _{2 2} 1 1 . 3 2 3 1 . 2 2 2       _  T k T k T k N b b b e e       2 2



 k T













_

_



1

2

.

3

2 2 2 2 t K T k T k b b b b

e

e

e

T

k

N

  



  



1 1 . 3 2 2   T k bT e b k N 



  T k b v

e

b

T

k

N

C



3





.

 2 2

B E E k  h   maka jika 2 / / 2 2 2 / / 2 2 2 ) 1 ( 1 3 ) 1 ( . 3           T k T k B B v T k T k b v b b b b e e T k Nk c e e T k N c       h h h h h h 2 / / 2 ) 1 ( 3 ) 1 (             T k T k E B v B b b e e T Nk c e T k   h h 2 / / 2 2 / / 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3                   T k T k E v T k T k E v b b b b e e T R c e e T R c     h h h h

R c_v 3

Gambar. Variasi temperature dari c_v/3R untuk 1 mol intan

E T/ 1 3 ,    R c maka T v 0 3 , 0   R c maka T v

B. Model Debye

• Atom-atom dianggap sebagai osilator harmonis yang tak bebas



Gerakan atom-atom dipengaruhi oleh atom

tetangga

o Menyempurnakan Model Einstein terutama : T

<<

untuk T<< maka  << berada pada cabang akustik

Model Debye untuk Rapat Keadaan ( Density of

State) D(w) didefinisikan : jumlah keadaan (dN)

tiap rentang energi (dW)















)

(

)

(

)

(





d

dN

D

_dN



_D

₍



₎

_d



Energi total





 

_



















_k p _{k T} kp b kp

e

U

1









dw

w

D

e

U

_p T k kp b

)

(

.

1

 





_





k

Rapat Keadaan dalam 3 dimensi

3

3

4

k

V

_bola





₃ 3 2 3 4        L k N   dimana 3 2       L 

Volume sel primitive kubus dengan sisi L

3 3 3

_.

_k

_V

_.

_k

L

2 3 2 3 3

6

.

6

.





k

V

N

k

L

N







 

2₂

2



Vk

dk

dN

k

D





 





















dw

dk

Vk

dw

dk

dk

dN

dw

dN

w

D



2

2 sehingga

_V

_

_L

3

 3 2 2 2 1 2 ) ( v V v Vk D      

v

d

dk

vk





1







contoh



 D W d v V U ₃ 2 2 3        =vk k 2 2 6 k V N        d e v V U D b k



   0 3 2 3 1 2 3 _ 



  bT k d v e U 0 3 2 1 3    

Sehingga limit dari integral diatas didapat : ω_D D D D vk L k N             3 3 2 3 4               



 D B d e v V T T U c k v      0 3 2 3 1 2 3 _h h







  d e dT d v V c D B k v



                   0 3 3 2 1 1 1 2 3 h h

dimana                                     2 2 1 1 1 1 1 T k e k e e dT d B k B k k B B B     h h h h       d e e k v V c D B B k k B v



      _      0 2 4 2 3 2 2 1 1 2 3 h h h      _  _k e _{k T} d e v V c D B B _B k B k v



                                  0 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 3 h h h h

Misalkan : dx k d k d dx h T xk k x B B B B h h h _{ }            



e



k

dx

e

T

xk

k

v

V

c

B k x x B B v B D

h

h

h

h

























 



₀ 2 4 2 3 2 2

1

2

3

k _  4



e



k dx e x k k v VT c B k x x B B v B D h h h h           



 



₀ 2 4 4 2 3 2 4 2 1 2 3



e



dx

e

x

v

T

Vk

c

B D k x x B v















h

h

₀ 2 4 3 3 2 3 4

1

2

3

3 3 2 2 3 2 3

6

6

6

_D D D

v

_V

Nv

V

k

V

N



































Bila didefinisikan : _dan

B D D k  h  



e



dx

e

x

v

k

Nv

c

T x x B D v D



































/ 0 2 4 3 3 2 3 4 3 3 2

1

2

6

3

h







sehingga

 3



e



dx

e

x

T

Nk

c

T x x D B v D











/ 0 2 4 3 3 3 4

1

9



h



e



dx

e

x

v

T

k

Nv

c

T x x D B v D











/ 0 2 4 3 3 3 2 3 4 3 2

1

2

18







h



e



dx

e

x

T

Nk

c

T x x D B v D

























/ 0 2 4 3

1

9

 

D D B T x x D B B v

k

dx

e

e

x

T

k

Nk

c

D





























1

1

9

/ 0 2 4 3 3





h

h

 Kapasitas panas untuk temperatur tinggi



 





                ... ! 4 ! 2 2 1 1 1 2 4 4 4 0 2 4 x x x e e x e e x e x x x x 2 2 4 ! 2 2 x x x      

Untuk daerah integrasi 0 ≤ x ≤ x_D dengan x_D << 1



    D x dx x T k N c ₉ 3 2 1     _D X_D T ! 2

Jadi model Debye : untuk suhu tinggi :

_c

_Nk

_R

B v



3





3





     D B v x dx T k N c 0 2 3 9 Jadi : 3 2 3 3 1 9 N k T x c D B v       3 9 3 3 3 3 _x T x T k N c_{v B}      

• Kapasitas panas untuk temperatur rendah



e



dx x e T k N c D x x x D B v



_             0 4 3 1 9





 

1









_D

X

_D

T



e



dx x e T k N c D x x x D B v



            0 4 3 1 9 dx x dU x U  4   4 3







1



1 1       _x x _x e V dx e e dV





UdV  UV V dU Integral parsial : misalkan maka                  



 dx e x e x T Nk c _{x x} D B v 0 3 4 3 1 4 1 9

 







   0 3 4 ! 3 4 1 4 dx  e x x

 

90 .... 3 1 2 1 1 1 4 4 4 4 4       Dimana

Dengan fungsi Zeta Reaman

0 1 1 4                      T e T e x T x dan maka

 



3! 4



4 9 3        Nk T c_{v b} 3 4 5 12         NK T C_V



_B

 



3! 4



4 9 _       Nk c_{v b}               90 . 6 . 4 9 4 3  T Nk c_{v b}

3 3 234 NK T C B V  _ ...Hukum T3 Debye 3 4 v

5

4

3R

c

















D

T



atau c_v/3R T/Θ 1 3 ,    R c maka T v 0 3 , 0   R c maka T v



Perbandingan fungsi Einstein dan Debye

berdasarkan grafik :

Debye C_v R C_V 3 Einstein D T /

Latihan Soal

1.Jelaskan dan tuliskan persamaan tentang capasitas

panas jenis (Cv) phonon pada temperatur rendah

dan temperatur tinggi menurut model

a. Einstein

b. Debye

b. Debye

2. Jelaskan anggapan yang dipakai untuk model

Einstein dan Debye.

3.Pada keadaan suhu rendah, diketahui temperatur

Debye untuk logam tembaga adalah 340K

Hitunglah kapasitas panas phonon pada suhu 4 K

dan 27 C

Latihan Soal :

1.Tentukan rapat keadaan model Debye.

2.Menghitung temperatur Debye.

3.Menghitung kapasitas panas fonon.

4.Gunakan persamaan Debye untuk