Hidrodinamika

BAB I BAB I

KONSEP DAN PRINSIP DASAR  KONSEP DAN PRINSIP DASAR 

1.

1.1.1. KoKonsnsep ep dadasasar dr darari Hi Hydydrorodidinanamimik k  1.1.

1.1.1.1. DefDefiniinisi dasi dari Parri Partiktikel flel fluiduida dasaa dasarr Ilmu tent

Ilmu tentang adanya teori ang adanya teori fluifluida mekanis didada mekanis didasari olesari oleh sebuah konsep dari sebh sebuah konsep dari sebuahuah masa dasar atau partikel dari fluida. Partikel ini tidak berbentuk atau sulit untuk di gambarkan masa dasar atau partikel dari fluida. Partikel ini tidak berbentuk atau sulit untuk di gambarkan  bentuknya.

 bentuknya. Partikel ini Partikel ini juga juga mungkin mungkin sebagai sebagai sebuahsebuah corpus alienum,corpus alienum, sebuah badan asing di sebuah badan asing di da

dalalam m memekakaninik k dardari i sesebubuah ah raragkagkaiaian. n. InIni i jujuga ga sesebagbagai ai sesebuabuah h pepengngantantar ar ununtutuk k lelebibihh memah

memahami ami istiistilah lah dalam arti fisika dari dalam arti fisika dari persapersamaan – maan – persapersamaan defferensmaan defferensial yang ial yang mengatmengaturur gerakan arus.

gerakan arus.

Seperti halnya dengan konsep dasar teori mekanik dari unsur padat yang di dasari oleh Seperti halnya dengan konsep dasar teori mekanik dari unsur padat yang di dasari oleh yang disebut sebuah “material point”, basis dari teori fluida mekanik disandarkan pada fungsi yang disebut sebuah “material point”, basis dari teori fluida mekanik disandarkan pada fungsi mekanik dari masa dasar dari fluida. Seperti sebuah masa dasar dari fluida yang biasanya mekanik dari masa dasar dari fluida. Seperti sebuah masa dasar dari fluida yang biasanya  bersama – sama den

 bersama – sama dengan material poin di gan material poin di dalam kinematis dari sebuah dalam kinematis dari sebuah tubuh padat, apakah tubuh padat, apakah didi asumsikan sangat keil atau ukup keil yang semua bagian – bagian dari elemen dapat di asumsikan sangat keil atau ukup keil yang semua bagian – bagian dari elemen dapat di arti

artikan memilkan memiliki !elosiiki !elositas ynag samtas ynag sama transla translasi " dan asi " dan mempumempunyai densinyai densitas yang samtas yang samaa  p. p.  partikel

 partikel fluida fluida dasar dasar ini ini di di asumsikan asumsikan menjadi menjadi homogen homogen atau atau homogeneous, homogeneous, isotropi isotropi dandan  berkesinambungan

 berkesinambungan atau ontinous atau ontinous dalam pengertian dalam pengertian maerosopi. Pola maerosopi. Pola moleular dan moleular dan sebuahsebuah molekuler dan pergerakan – pergerakan #ro$nian yang disertai partikel, adalah sebuah subjek molekuler dan pergerakan – pergerakan #ro$nian yang disertai partikel, adalah sebuah subjek yang dihadapkan dengan teori kinetik fluida, tidak akan dapat diambil sebagai hitungan.

yang dihadapkan dengan teori kinetik fluida, tidak akan dapat diambil sebagai hitungan.

1.

1.1.%1.%.. PenPendedekatkatan teoran teorititisis..

&ukum mekanis dari sebuah sistem benda padat 'sebuah pringan yang berputar sebagi &ukum mekanis dari sebuah sistem benda padat 'sebuah pringan yang berputar sebagi ontoh

ontohnya( di nya( di dapatkdapatkan an dengan ara menggabungkadengan ara menggabungkan n hukum mekanik pada sebuah hukum mekanik pada sebuah “mate“materialrial  point”dengan daerah atau area

 point”dengan daerah atau area atau besaran dari system di ba$ah pertimbangan. Sama dengatau besaran dari system di ba$ah pertimbangan. Sama deng anan dengan hokum fluida mekanik yang digunakan dalam praktek permesinan yang di dapat dengan hokum fluida mekanik yang digunakan dalam praktek permesinan yang di dapat dengan ara menggabungkan seara tepat atau mendekati hokum yang mengatur sifat dari dengan ara menggabungkan seara tepat atau mendekati hokum yang mengatur sifat dari sebuah partikelfluida sepanjang sebuah garis selurh dari sebuah daerah atau area atau sebuah sebuah partikelfluida sepanjang sebuah garis selurh dari sebuah daerah atau area atau sebuah !olume. )arenanya mungkin ilmu tentang hydrodinamik akan di bagi kedalam dua bagian. !olume. )arenanya mungkin ilmu tentang hydrodinamik akan di bagi kedalam dua bagian.

1*1.%.1 bagian pertama terdiri dari persamaan – persamaan defensial umum yang 1*1.%.1 bagian pertama terdiri dari persamaan – persamaan defensial umum yang mengatur gerak dari sebuah fluida p

mengatur gerak dari sebuah fluida partikel dasar.artikel dasar. 1 1

+luida mungkin akan di assumsikan sempurna  ideal 'tanpa gaya friksi( atau nyata. Dalam +luida mungkin akan di assumsikan sempurna  ideal 'tanpa gaya friksi( atau nyata. Dalam kasusu selanjutnya mungkin aliran mungkin juga akan menjadi laminar atau turbulen

kasusu selanjutnya mungkin aliran mungkin juga akan menjadi laminar atau turbulen

1*1.%.% langkah ke dua melibatkan metode deferensial matematik yang di gunakan 1*1.%.% langkah ke dua melibatkan metode deferensial matematik yang di gunakan untuk menyatu

untuk menyatukan kan persapersamaan – maan – persapersamaan deferensimaan deferensial dasar. al dasar. Seara praktekSeara prakteknya hubungan nya hubungan –– hubungan seara umum seperti yang telah kita ketahui dengan sangat baik tentang persamaan hubungan seara umum seperti yang telah kita ketahui dengan sangat baik tentang persamaan #ernoulli, mungkin bila kita simpulkan begitu. Pemeahan – pemeahan yang harus benar #ernoulli, mungkin bila kita simpulkan begitu. Pemeahan – pemeahan yang harus benar dalam beberapa kasus kusus dapat juga di arai dengan menggabungkan seara langsung. dalam beberapa kasus kusus dapat juga di arai dengan menggabungkan seara langsung.

1.1.-.

1.1.-. &ubunga&ubungan – hubungan – hubungan antarn antara partia partikel – parkel – partikel tikel fluidfluida dengan ga dengan gaya friaya frititi

Pada sebuah benda padat, titik pada sebuah system 'pada sebuah priringan sebagai Pada sebuah benda padat, titik pada sebuah system 'pada sebuah priringan sebagai o

ontntohoh( ( jajangangan n pepernrnah ah didigagantnti i poposisisi si rerelalatitifnfnya ya 'k'keeuauali li untuntuk uk benbentutuk k elelasastitis s yayang ng didi gambarkan seara jelas di dalam hokum * hukum(. Di sisi lain, partikel – partikel fluida gambarkan seara jelas di dalam hokum * hukum(. Di sisi lain, partikel – partikel fluida mungkin telah terbentuk dan tiap – tiap partikel mungkin telah mempunyai penggerak tertentu mungkin telah terbentuk dan tiap – tiap partikel mungkin telah mempunyai penggerak tertentu yang berbeda ukup jelas

yang berbeda ukup jelas dari gerak pada partidari gerak pada partikel * partikel kel * partikel yang lain. aya yyang lain. aya yang di gunakanang di gunakan antar partikel – partikel fluida adalah gaya tekan dan gaya friksi.

antar partikel – partikel fluida adalah gaya tekan dan gaya friksi. aya gesek per unit area

aya gesek per unit area pada sebuah pemberipada sebuah pemberian arah, di an arah, di sebut tegangsebut tegangan geser 'shearan geser 'shear stres

streses(es( τ τ , yang di asumsikan sebagai nol '“ideal” atau fluida ideal( atau sebanding dengan, yang di asumsikan sebagai nol '“ideal” atau fluida ideal( atau sebanding dengan koef

koefiiiient ent dardari i !is!isosositaitas s / / 'f'fluiluida da !is!isosos(. (. PenePenekanakanan n guntguntingingan an 'sh'shear ear strstressess(( ττ adalahadalah sebuah himpunan. Set dari shear stress saat sebuah titik mendasari tensor. Pembahasan ini sebuah himpunan. Set dari shear stress saat sebuah titik mendasari tensor. Pembahasan ini tentang pernyatan ini akan di bahas lebih lanjut dalam bab 0. untuk saat ini ukup untuk di tentang pernyatan ini akan di bahas lebih lanjut dalam bab 0. untuk saat ini ukup untuk di ketahui bah$a shering stress adalah pada saat ada titik pada sebuah $ahana parallel ke sebuah ketahui bah$a shering stress adalah pada saat ada titik pada sebuah $ahana parallel ke sebuah gerak langsung adalah

gerak langsung adalah

τ = τ = // dn dn dV  dV  dimana

dimana nn adalah garis tegak lurus ke arus gadalah garis tegak lurus ke arus gerak dengan !elositas ".erak dengan !elositas ". &i

&idrdrodiodinamnamik ik sasangangat t teterkrkaiait t dendengagan n dedengangan n “+l“+luiuida da e$e$toton2 n2 arartitinynya a adadalalahah  penekanan tensor !isos tergantung seara linier, isotropikal dan o!arian 'bab 0( pada sebuah  penekanan tensor !isos tergantung seara linier, isotropikal dan o!arian 'bab 0( pada sebuah  pada

 pada tingkat tingkat tegangan tegangan atau atau deri!atif deri!atif dari dari komponen komponen – – kompnene kompnene !elositas. !elositas. Ini Ini tidaktidak

% %

sependapat dengan “plasyik” fluida dimana koefisien / di gantikan dengan fungsi dari intensitas atau durasi dari shear.

1.%. aris 3rus, 3lur, aris 4apisan Dan 5abung 3lir 

1.%.1. 6atatan

Pada titik 3 ' x, y, z) dalam sisitem koordinat 6artesian. Sumbu 78, 79, 7: tegak lurus antara satu dengan yang lain 'lihat gambar figure 1*1(. Ingat suatu unsur keil dalam segitiga dari fluida dengan satu titik sebagai sebuah sudut. aris tepi dari elemen ini adalah dx, dy, dz. "olume dari elemen ini adalah dx, dy, dz  dan berat dari elemen ini adalah ; dx dy dy  atau pg dx, dy, dz  ; adalah berat khusus dan g  adalah akselerasi yang berkaitan dengan gra!itasi.

5ekanan saat di titik 3 adalah sebuah salar k$antitas yang sepenuhnya di tetapkan oleh magnitudo. 5ekanan selalu tegak lurus dari permukaan 'lihat gambar bagian 0*-.1(.gaya yang bersesuaian adalah sebuah !etor k$antitas, yang mana ditetapkan oleh magnitude dan arah. <agnitudo dari tekanan p adalah jarak koordinat dari 3 dan $aktu i = p = f (x,z,y,t) arah nya normal ke area yang mana tekananya digunakan.

ambar 1*1. notasi dalam koordinat kartesian

radien dari  p  'grdien  p  atau  p( yang terhubung dengan jarak, yang juga termasuk sebagai !etor.kuantitas. komponen – komponen dari gradien p sepanjang - sumbu

-koordinat 78, 79, 7: . merupakan turunan dari pyang menuju pada x, y, z bila diurutkan, ∂  p/ ∂_>, ∂ _p/ ∂ _y, ∂ _p/ ∂ _z.

)eepatan dari partikel fluida pada saat 3 adalah ". komponen – komponen dari " sepanjang tiga sumbu koordinat kartesian 78, 79, 7: adalah u, v dan w seara berurutan. ?ika i, j, k adalah unit !etor sepanjang sumbu 78, 79, 7: , kemudian " @ iu  jv  k w, sehingga system auan adalah persegi empat, magnitudo dari keepatan dilambangkan

denga huruf " @

[

% % %

]

1A%

w v

u + +   . " adalah sebuah sklar kuntitas dan $alaupun sudah sepenuhnya dihasilkan oleh mganitudo, seperti tekanan yang dilambangkan dengan hurh p. " adalah !etor kuantitas dan komponen – komponennya adalah u, v dan w  yang berfungsi sebagai jarak koordinat dari 3 dan $aktu t, mereka dapat dituliskan dalam bentuk " ' x, y, z, t).

1*%.%  !efinisi

1*%.%.1 penggantian tempat dS dari sebuah partikel fluida dibatasi oleh persamaan !etor, dS @ " dt, yang sangat tepat dipakai magnitudo dan arah. Persmaan mungkin ditulis dengan lebih khusus dalam terminology penggantian dalam tiap – tiap pada tiga koordinat kartesian arah dituliskan dalam bentuk sebagai berikutB

d> @ u dt dy @ v dt dC @ w dt

1*%%% sebuah garis arus adalah di tandai sebagai sebuah garis yang juga sebagai garis singgung pada saat tiap titik menuju ke !etor keepatan sat diberi sebuah $aktu t 1. sebuah

alat untuk menggambarkan garis arus adalah untuk memberi gambaran sejumlah partikel ahaya – ahay keil yang disalurkan seara aak ke dalam fluida. Dan kemudia difoto dengan menggunakan pengambilan seara dekat 'gamba1*%(. Setiap partikel foto digambarkan sebagai garis keil. Setiap garis yang digambarkan mengikuti garis sumbu garis ini disebut garis arus.

Saat $aktu t D , persamaan* persamaan dx = u dt, dy = v dt, dan dz = w dt menjadiB

( , , , ' ( , , , ' ( , , , ' _{D D} w  x  y  z t _D dz  t   z   y  x v dy t   y  y  x u dx = = E

gambar 1*% garis arus yang di lihat dengan menggunkan foto jarak pendek dengan menggunakan foto pada beberapa jenis

Inilah definisi dari garis arus 'streamline( menurut definisi <atematika. Persamaan ini menggambarkan kenyataan bah$a keepatan atau !elositas perpindahan garis sumbu dari satu  partikel dalam satu $aktu t D . gamaba 1*- menggambarkan kenyataan ini di dalam $adah ada

sebuah pergerakan dua demensi. Dalam $adah ini dx/u = dy/v yang dimplikasikan u dx " u dy = #.

aris arus tidak boleh menyebrang, keuali sebuah poin dari teori keepatan tak terbatas 'lihat gambar 11*F dan 11*G( dan saat penghentianndan pemisahan titik dari sebuah  badan dimana keepatanya adalah nol. 5epi padata yang telah di perbarui dan permukaan yang bebas adalah termasuk dalam garis arus. 5epi yang bergerak seperti sebuah mata pisau yang berputar dan permukaan bebas yang unsteady tidak termasuk dalam garis arua atau streamlines.

ambar

1.-1*%.%.- 3lur dari sebuha partikel khusu dari fluida adalah di digamabarkan dalam  posisinya sebagai sebuah fungsi dari $aktu. Ini mungkin bias di tentukan dengan memfoto

sebuah partikel ahaya yang terang dengan jarak yang panjang. 3lur garis adalah garis sumbu

yang menuju ke aram garis arus pada saat yang bersamaan di beri satuan $aktu t D.

$alaupun, $aktu sudah termasuk sebagai !ariable untuk menentukan sebuah alur. )arenanya garis alur di tentukan dalam rumus matematika sebagai berikutB

( , , , ' ( , , , ' ( , , , ' _{D D} w  x  y  z  t _D dz  t   z   y  x v dy t   y  y  x u dx = =  _{@ dt} 

1*%.%.E Sebuah garis lapis 'sreaklines( di buat seara tidak sengaja saat pengambilan gambar jumlah dari partikel ahaya keil dalam suspensi yang masuk kedalam fluida pada titik yang sama sama dengan garis inter!al pada saat yang bersamaan. 'gambar 1*E(

1*%.%.0 Sebuah alur dasar mengalir kedalam tepian saluran dengan jumlah garis alur yang tak terbatas menyebrangi sebuah kur!a tertutup yang di ketahui sebagi tabung arus. 'gambar 1*0(

$%&.' liran tady dan *nsteady

1*%.-.1 untuk aliran steady di tentukan oleh k$antitas $aktu, garis arus, streaklines dan partkel alur yang serupa. Halaupun untuk yang unsteady atau $aktu aliran, garis sangat  berbeda dan dengan jelas dimengerti dari generasi mereka sendiri perlu untuk di terjemahkan

hasilnya telah diberikan dalam penelitian. Sebagai ontoh jika sebuah benda di elupkan kedalam aliran fluida, pola dari kayu elupan akan kelihatn seperti di bengkokan, jka lokasi  pada posisi netral saat terapung sudah di ketahui, sebuah alur partikel dapat diselidiki = akhirnya jka sebuah sebuah benang dlam jumlah yang bayak yang dikatkan pada sebuah tubuh eara tidak sengaja arah dari benang ini di hasilkan sebuah pola sebuah garis alur. Semua metode ini biasanya di gunakan saat mempelajari gerak fluida.

aris arus, alur, garis bengkok dan tabung arus adalaha jenis aliran unsteady, yang aliranya berubah menurut $aktu. 3liran turbulen selalu menjadi aliran unsteady= $alaupun ininakan kelihatan didalamnya bah$a arti gerak yangberhubungan dengan $aktu dari aliran turbulen mungkin termasuk sebagai unseady. )emudian garis arus, alur dan garis bengkok dari dari arti gerak adalah sama 'lihat bab G (. ambar 1*F dan 1*G menggambarkan definisi dari beberapa kasus dari gerak unsteady.

gambar 1*F periode gra!itasi di dalam air 

gambar 1*G asap mengambang di udara

1*%.-.% Dalam bebrapa kasus dari gerak unsteady 'sebuah badan bergerak dengan keepatan konstan dalam sebuah fluida tetap, sebuah gelombang steady menggeambarkan seperti sebuah gelombang pereodik atau gelombang solitry( ini mungkin untuk di pindahkan sebuah gerak unsteady menjadi sebuah gerak yang steady ke sebuah sistemkoordinat yang digerakan dengan sebuah tubuh atau gelombang keepatan. Susunan dari pola steady yang diperoleh dengan mengurangi keepatan badan pada keepatan dari fluida. Susunan ini di sebut sebagai transformasi alilean 'alilean transformation(. aris arus steady dapat dapat di tentukan dengan pengamatan pergerakan yang berjalan dengan badan atau gelombang

1.-. <etode pembelajaran

Pergerakan dari sebuah fluida dapat di pelajari dengan menggunakan metode lagrange ataupun dengan metode uler.

1*-.1 <etode 4agrange

<etode 4agrange mungkin digunakan untuk menja$ab pertanyaanB apa yang terjadi diberikan efek sebuah partikel fluida yang bergerak sepanjang alurJ <etode ini terdiri dari  partikel fluida sepanjang yang menjalar dan memberikan garis dari alur, keepatan, dan tekanan dalam terminology dari posisi aslinya dari sebuah partikel dan $aktu berlalu sehingga kedudukan partikel pada posisi aslinya. dalam kasus ini fluida di mampatkan, densitas dan terperatur yang juga di berikan dalam terminology dari posisi aslinya dan berlalunya $aktu.

?ika posisi inisial dari dari sebuah partikel dengan satuan $aktu t D . adala+ >D, yD , C

D, sebuah system persamaan lagrange memberikan posisi x, y, z saat t sebagai B

  % = - 1 ' xD ,  yD, z D, t % t D(

 =- & (xD , y D , z D , t D " t D  )

  = - ' (xD , y D, xD , t D " t D(

Di dalam latihan netode ini kadang di gunakan dalam hidrodinamik. )oordinat 4agrange $alaupun kadang sering digunakan dalam teori relati!itas pada gelombang gra!itasi  pereodik. )omponen )eepatan dan akselerasi keepatan pada titik ' xD , y D, z D ) kemudian

di hasilkan oleh sebuah deferensasi parsial sederhana yang berhubungan dengan $aktu, seperti bah$a,

t   x u ∂ ∂ = D D D, y ,z   x t   y v ∂ ∂ = D D D, y ,z   x t   z  w ∂ ∂ = D D D, y ,z   x

sama dengan komponen akselerasi dimana ∂% _{x/ ∂t} & _{, ∂}% _y/ ∂t & _{, ∂}% _z/ ∂t &_.

gambar 1*K 1*-.% <ethode uler

<etode uler mungkin juga di gunakan untuk menja$ab pertanyaanB apa yang yang terjadi pada saat sebuah titik dalam sebuah jarak diduduki oleh fluida yang sedang bergerak J dalam hal ini paling banyak menggunakan bentuk frekuensi dari permasalah pertemuan dalam

hidrodinamik. <etode ini memberikan, sebuah titik 3 ' x,y, z), keepatan "'u, v, w) dan tekanan p 'dan dalam kasus kemampatan fluida, densitas dan temperatur( sebagai fungsi dari $aktu t . Sehingga " @ +' x, y, z, t ( )emudian u = f $ (x, y, z, t) v = f & (x, y, z, t) w = f ' (x, y, z, t) dan  p = - $ (x, y, z, t)

Sistem persamaan uler di ketahui dengan deferensasi total dari u, v, dan w tertuju  pada t dan seara berurutan dari komponen tekanan. Dalam ontoh – ontoh berikut dari

system koordinat uler di gunakan.

1*-.- sebuah ontoh dari pola 3lur

<ari langsung kita ingat sebuah system koordinat euler dimana gerak gelombang dua dimensi yang di $akili komponen perepatanB

* = f $ (x, y, z, t) = os' ( % ke kt  mx  0  dt  dx mz  − = 1 = f ' (x, z, t) = sin' ( % ke kt  mx  0  dt  dz  _{= −} mz  ₋

Persamaan garis di dapat dari persamaan defernsialB

( , , ' ( , , ' w  x  z  t  dz  t   z   x u dx = <enjadi ( sin' ( % , ' ( os' ( % , ' _D k  0  e kt _D mx dz  mx kt  e  0  k  dx mz  mz  ₋ = _{− −}

 jika t # diambil sebagai , persamaan ini menjadi

dz = % tan (%mx)dx= tan mx dx 1

 Penggabungan dari persamaan ini adalah

emC _{os ms @ konstan}

Dari bermaam – maam nilai konstan garis alur bentuk pola seara umum di gambarkan dalam gambar 1*G.

3lur 'atau partikel orbit( di gambarkan dalam persamaan deferensialB

dt  t   z   x w dz   z   y  x u dx = = ( , , ' ( , , '

dimana t  adalah sebuah !ariable. <ungkin ini dapat diasumsikan bah$a  x dan C bebeda sedikit dari beberapa nilai x dan z #. persamaan diferensial pada perkiraan pertama menjadiB

dx = k %  0 

 emzocos (kt " mx# )dt 

sehingga B  x " x $= %  0  emzo _{sin (kt% mx} # )

( z % z $ ) diketahui dengan menggunakan prosedur yang sama 'kt " mx#m )

 z " z $ =

%  0 

 cos(kt% mx# )

untuk menhapus t , persamaan ' x " x$ ) dan ' z " z $ ) dan di tambahkan hasilnya , sehingga B

' x " x$ )&  ' z " z $ )&=

[

]

% D % mz  e  0 

ini adalah persamaan dari radius linmgkaran '&%( emzo , ini kelihatan bah$a alur adalah  berputar dan radius enderung menuju ke nilai nol : * * . ini juga akan kelihatan bah$a

teori gelombang linear adalah seperti pada perkiraan yang pertama, satu menjadi >1 ≅ >, C1

≅ _{C 'bagian 1F – 1(, dan > C dapat artikan sebagai lokasi dari partikel fluida saat berhenti.}

1.E. Persamaan Dasar.

1*E. <asalah – maslah 9ang tidak diketahui dalam +luida mekanik

Seara umum, densitas dari sebuah airan adalah di asumsikan konstan sehingga  persamaannya adalah hanya membutuhkan sebuah perepatan an tekanan. )arenanya dalam system koordinat uler, gerak sangat diketahui saat di berikan pada titik x, y, z  jka satu dapat di artikan untuk menggambarkan " dan p sebagai fungsi jarak dan $aktu B " @ + ' x, y, z, t) dan p = - $ (x, y, z, t. $alaupun untuk meyelesaikan masalag dalam hidrodinamik ada dua  persamaan yang dibutuhkan, slah satunya dengan menggunakan !etor. ?ka " di artikan

dengan komponen uu, v, dan w, empat salar atau persamaan ordinary dibutuhkan.

Dalam maslah aliran permukaan bebas, permukaan bebas tingginya  µ _{' x, y, z)} sekitar tetap apda le!el air, atau kedalaman air + (x, y, z, t) tidak diketahui dan sebuah kondiis kinetik yang uga dibutuhkan. Halaupun, dalam kasusu ini tekanan p di ketahui dan dalam  persamaan umum pada tekana atmospir.

Dalam gas dua atau lebih di butuhkan untuk lebih di perhatikan, dalam nama, densitas  p dan kebulatan temperatur 5. karenanya untuk memeahkan maslah dalam kasusu umum yang biasa terjadi dari fluida mekanik, ada empat persamaan yang di butuhkan. ?ika " di ungkapkan dengan u, v, dan wdan kemudia enam persamaan biasa di butuhkan.

Penguangan dalam sebuah masalah pada jumlah keil dari !ariable '% dalam hidrodinamik dan E dalam gas dinamik(, tidak terjadi masalah yang sepele, tetapi sebuah hasil dari beberapa argumen penting dan yang di asumsikan. jumlah dari fungsi Pheonologik telah diketahui. Sebagai ontoh telah di ketahui bfluida adalah e$ton dan juga ideal atau  perepatan yang di tekankan dengan tensor. +luida megikuti hokum dari +ourier tentang konduksi. ?uga jumlah koofisien seperti konduksi panasm, panas kusus dan perepatan juga untuk di ketahui fungsinya dari semua !ariable yang tidak diketahui seperti densnitas ataupun temperatur.

1*E.% Prinsip dari )ontinuitas.

Prinsip kontinuitas menggambarkan drai konse!asi Cat, fluida dalam memberikan ruang tidak dapat di iptakan dan tidak dapat dihanurkan. Dalam kasusu dalam fluida sejemis yang tidak dapat di tempa, prinsip kkontinuitas di gambarkan dengan konser!asi dari !olume. )eualidalam kasus yang spesial dimana parsial nampak kosong.

Prinsip kontinuitas memberikan sebuah hubungan antaa ", densitas p dan koordinat ruang dan $aktu. ?ika p adalah konstan 'dalam kasus ini adalah sebuah fluida imkopreible atau tidak dapat di tempa( , Ini menghubungkan antara komponene dai " dan koordinat ruang, dimana x, y, z . persamaan kontunitas ini kemudian menjadi.

D = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂  z  w  y v  x u

telah di demonstrasikan dalam bagian -*%.

Ini akan kelihatan bah$a " mungkin ditemukan dalam beberapa kasus dari aliran di  ba$ah tekanan, bebas dari nilai absolut dari p, dari prinsip kontinuitas sendiri, tetapi p akan

selalu menjadi fungsi dari " keuali saat pada permukaan. 1*E.- Prinsip <omentum

 prinsip momentum mengungkapkan hubungan antara aya yang bekerja + pada sebuah unit !olume dari densitas p dan kemudian gaya Inersia d(p"(dt  drai unit !olume ini  bagian dari gerak. aya Inersia berhubungan dengan penerimaan alami dari tubuh untik

menerima kembali perubahan dalam gerak. &okum perama e$ton mengatakan baah$a “Setiap tubuh menggerakan negara ini dari tidur atau gerak berseragam dengan sebuah garis lurus keuali dipaksa dengan menggunakan gaya kasternal untuk menggerakan negara tersebut.” Sehingga kta tahu gaya e$ton berhubungan dngan isi dari hokum kedua B “rata – rata perubahan momentum adalah proporsinal untuk gaya – gaya yang bekrja dan berada di dalam arah dimana gaya tersebut bekerja” + @ d(mV)/dt.

+luida mekanik dalam persamaan ini mengambil bentukl partiular yang mana di ambil dari hitungan faktanya bah$a partikel fluida mungkinnn telah tersusun. Persamaan ini akan di pelajari seara menditail. Mntuk sebuah fluida inompersible'atau fluida yang tidak dapat di tempa penggabungan persamaan momentum dengan memberikan jarak kerja  persamaan dan energy, mengungkapkan sebuah bentuk dari perlindungan dari prinsip enrgy.

?ika " di ungkapakan dengan mneggunakan u, !, $ kemudian gaya e$ton yang kedua di ungkapakan sepanjang tiga koordianat sumbu. <aka ini akan mengahsilkan tiga  persamaanB  -  x = p dt  du  -  y= p dt  du  -  z  = p dt  dw

Di mana  p di asumsikan konstan dan  -  x -  y -  z  yang komponen – komponenya terletak sepanjang tiga koordinat sumbu,

1*E.E Persamaan State

1-?ika kita mengingat sebuah fluida inompressible, dua pernyataan yang lain diperlukan dalam dalam artian untuk mengungkapakan dua prinsip di atas. Itu adalah persamaan stae dan  persamaan tersebut mengungkapkap tentang nergi.

Persamaan state menungkapkan hubungan yang selalu di antara tekanan , densitas p dan temperatur sempurna 2 . untuk sebuah gas ideal persamaan ini mempunyai bentuk ideal

1 =  pg32   p atau =1  32   p ϖ  

dimana N adalah gas konstan uni!ersal 'N @ 0-.- ft _{N pada udara( dan ϖ  adalah berat} kusus.

Dalam kasus yang lebih umum dari sebuah gas sempurna, ini mungkin akan berbentuk  p/pg32 = $  f $ (2) p  f &(2) p&  4444444 dimana f $ dan f & adalah sebagai fungsi

absolut hanya pada temperatur 5. dalam sebuah $adah fluida inompresibel, persamaan dari state adalah sederhana p @ konstan. 5erperatur kemudian dapat diperlakukan sebagai !ariable  bebas mempunyai sebuah pengaruh yang signifikan pada koofisien !iskositas 'perepatan(.

1*E.0 Prinsip Dari )onser!asi nergy

 persamaan berinkut ini mengungkapakan konser!asi dari jumlah energi 'interna enrgy dan energi mekanik( ini adalah hokum pertama dari hukum thermodinamik.

 Persamaan berikut diambil dari hukum ini pada partiular dari sebuah aliran adibiatik dimana tidak ada panas yang ditambahkan atau dihilanhkan dari fluida masa. Ini beratiB p/p& =  konstan, dimana k  adalah adiabati kontan diartikan sebagai rasio dari panas kusus saat tekanan konstan 6 p pada panas kusus pada saat !olume konstan 6!.

Dalam $adah aliran isothermal saat temperatur konstan yang mungkin di butuhkan dalam menghilangkan atau menambah panas dari atau ke fluida masa p/p @ konstan.

7leh karena sebagai masalah hidrodinamik sendiri akan di bahas dalam buku ini, tiadak perlu lagi untuk membahas lebih banyak lagi tentang perssamaan state danpersamaan total energy. Densitas 'kepadatan(  p  akan diketahui dan konstan dan temperatur 5 akan menjadi sebuah !ariable tanpa terpengaruh dari per$ujudan di ba$ah konser!asi. Halaupun ini membuktikan bah$a pengusiran energy oleh !eloity 'perepatan ( mungkin menimbulkan kenaikan temperatur yang merubah bentuk karekteristik dari fluida. Seara umum efek dari hidrodinamik dan dalam partiular, koofisien dari keepatan µ  _{yang kita kenal dengan} konstan.

1*E.F Syarat #atas

1*E.F.1 Ini adalah sebuah bukti baha$a pemeahan seara umum dari system  persamaan yang digambarkan diatas tidak ada 'tidak pernah ada(, tetapi banyak sekali  pemeahan masalah dapat ditemukan ketika syarat – syarat batas telah bahas. Ini adalah tiga

syarat utama syarat bataB

1. Pada permukaan yang bebas dimana tekanan sudah diketahui dan  persamaan umum untuk tekanan atmosfer telah diketahui juga. <asalah untuk gelombang interaksi dorongan  keepatan antara angin dan air pada permukaan bebas adalah masalah yang spesial !ariasi dari tekanan pada permukaan bebas di hitung.

%. Pada sebuah batas padat, ketika fluida tidak dapat mele$ati atau keluar dari batas.

-. Pada ketidak batasan ketika gerak enderung telah diketahui nilainya. Dalam sebuah kasus, syarat telah diketahui pada saat ketidak batasn telah di keahui sebagai syarat “batas”.

1*E.F.% Pada saat tekana tepi batas telah diketahui, tetapi lokasi pada tekanan bebas ini mengau pada tingkat data horiContal yang tidak diketahui seara umum. ?adi dua syarat utama harus lebih spesifik B sebuah kondisi dinamik, menyatakan nilai tekanan, dan kondisi kinetik menyatakan bah$a partikel saat permukaan bebas kembali menjadi permukaan yang  bebas.

Sehingga  padalah nilai normal konstan kapanpun total defernsial dari  p (x, y z t) adalah nol, adalah B

 !p = =D ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂ ∂ dt  t   p dz   y  p dy dy  p dx  x  p

5ekanan deri!ati! dari p adalah B

D = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ dt  dz   z   p dt  dy  y  p dt  dx  x  p t   p dt   p

?ika !ariable u = dx / dt, u = d y / dt dan w = dz / dt, yang digunakan 'lihat bagian 1* %.%( dinamik permikaan bebas menjadi kondisi dalam masalah yang lebih umum

B =D ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂  z   p w  y  p v  x  p t   p  µ  10

)ondisi ini menyertakan sebuah gaya yang telah digunakan bersama persamaan untuk mengungkapkan prinsip momentum.

)ondisi kinematik akan dikembangkan dalam bagian 1F*1.%.- untuk $aktu ini ukup diketahui bah$a jika

 Z = η (x, y, t)

<erupakan persamaan pada permukaan bebas, kondisi kinematiknya adalahB

1 = _t  u  _x v _∂ y ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂_{η  η  η} 

1*E.F.- Pada saat baats padat terselesaikan, friksi mengurangi !elositi 'peretan( menjadi nol, sehingga " @ o. kondisi ini digunakan pada persamaan kontinutas, dan sehingga gaya friksi terpengaruh, pininjuga mungkin digunakan pada persamaan momentum. ?ika fluida diasumsikan menjadi fluida sempurna atau fluida ideal hanya komponen yang tegak lurus pada baats yang bernialai nol. )omponen dari !elosiata " yang sejajar dengan garis isnggung pada batas. Ini digunakan utama dengan hubungan yang berkelanjutan . ini juga tidak enderung pada sebuah gaya tetapi pernyataan kontiutasB fluida tidak dapat mele$ati atau keluar dari batas.

gambar 1*L aliran seragam Odalam sebuah saluran persegi

Mntuk lebih jelasnya, kondisi batas dalam sebuah $adah pada gambar dalam fig 1*L dimana B

u = # untuk x = # dan x = x$ w = # utuk z = #

 p = konstan pada z = z $

lebih umumnya jika - (x, y, z) @ konstan dalam batas persamaan, kondisi batas berikut menggambarkan kenyataan bah$a permukaan + dan " adalah garis singgung pada titik .

D = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂  z   -  w  y  -  v  x  -  u menjadi "* gradien + @ 

1*E.F.E Pada saat batas padat mudah di gerakan, 'roda pada turbin, roter padel, dall( kondisi batas menggambarkan fakata bah$a fluida mengikuti batas 'lihat gambar 1*1(. )emudian komponen !elositas dari fluida yanmg tegak lurus dengan baats yang sama pada garsis batas itu sendiri.

ambar 1*1. sebuah gerakan pedal piston dimana dalam keandaan yang mudah digerakan )omponen –komponen yang lain di ikuti oleh gerak dari batas tetapi hanya untuk fluida ideal.

?ika -(x , y, xz, t) @ konstan pada persamaan batas yang mudah digerakan, kondisi  batas berikut menggambarkan kenyataan bah$a fluida tinggal pada batas.

D = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂  z   -  w  y  -  v  x  -  u t   - 

1*E.F.0 Sebuah jarak tak terbatas dapat memberikan sebuah kondisi batas jika  pergerakan enderung menuju ke nilai yang jauh dari ruang lingkup yang kita pelajari. Sebagai ontoh diagaram yang telah di tampilkan dalam gambar 1*11 diketahui saat gerak tak terbaats dan dapat di tulis 'sejauh efek gerakan adalah sederhana( "@ konstan dari x %± .

Sebagai ontoh yang lain, telah diketahui bah$a gerak dalam arir yang dalam menuju daerah atau Cona dekat permukaaan bebas. )areneanya gelombang gra!itasi periodi dalam kedalaman yang tak terbatas berdasakan pada kondisi batas dari permukaan bebas yang enderung pada infinitas B C –  'fig. 1*1%(

Permasalahan

1.1 mengingat sebuah gerak alur dua demensi oleh komponen keepatan atau perepatan u =   5t v = 6 

Dimana 3, # dan 6 adalah ukuran konstan. Di demonstrasikan bah$a garis arus adalah garis lurus dan partikel alurnya berbentuk parabola.

1.% Sebuah piringan N berputar tanpa tergelinir pada sebuah bidang horiContal saat keepatan segitiga konstan k. demontrasikan bah$a garis arus adalah sikular dan bah$a dan alur adalah

1.- Sebuah silinder dalam sebuah arus seragam pada !elositas konstan. &al ini dapat diasumsikan bah$a pada arus itu tidak ada pemisahan. #agan renana dari garis arus, alur dan garis lapisan terbentuk dengn tidak sengaja. Ingat sekarang bah$a sebuah slinder  bergerak pada keepatan 'perepatan( konstant di dalam air yang tenang, dan terbentukah  bagan dari garis arus, alur dan garis lapisan. Penjelasan dari perbedaan anatra dua kasus,

anatara gerak setady dengan gerak unsteady.

1.E Sebuah alat yang disebuat metode garpik seara umum untuk membedakan pola aliran stedy di sekitar benda yang bergerak pada keepatan konstan pada sebuah fluida tetap dari pola garis aurs dengan system koordinat dan sebaliknya.

1.0 Sebuah gerak aliran dua demensi 'pereode linear gelombang gra!itasi dalam kedalaman air d) yang tertuang dalam system koordinat lagrange yang persamaanya B

 x = x$  sin' ( sinh % ( ' osh mx kt  md   z  d  m  0  + ₋  z = z $  os' ( sinh % ( ' sinh mx kt  md   z  d  m  0  + ₋

Dimana & adalah berat gelombang = m, k, dan d  konstan. 'm = &π   /2, 2 adalah gelombang periode dan d adalah kedalaman air(. 5emukan persmaan dari garis arus dan gambar denah mereka. 3sumsikan ' x " x# ( dan ' z " z ( adalah kei, temukan perkiraan  persamaan untuk partikel alur. ambar denah alurnya .

1.F Mngkapan seara matematika untuk banyak jenis dari gerak aliran berada pada batas –  batas 'lihat ganbar 1*1-. sebuah pedal yang dapat berputar akan dapat di asumsikan  punya sebuah gerak sinusoidal keil dari amplitudo e saat pada permukaan.

1.G Sebuah badan dua demensi berggerak saat !elositas *  dalam arah negati! 8. hidung dari  badan ini dapat di gambarkan dalam kur!a bah$a y = x $/' _{dan u dan v adlah komponen} dari !eloity sepanjang badan tersebut. Di tetapkan hubunganya adalah di antara u, v, *

dan  y. )emudian lihat $adah dimana badan selesai dan fluida bergerak pada saat keepatan *.

1.K Sebuah gelombang translator dalam sebuah tero$ongan bergerak tanpa pembentukan  pada saat !elositas konstan 6 dalam arah 8. saat di beri $aktu t  profil gelombang dapat

diramalkan denga hubungan antara z = x$/& _{dimana 3 adlah konstan. #ukkktikan bah$a}  permukaan dari komponen perepatan u z dan w z  bnerhubungan dengan persmaan.

1  z  = (u z  " 6 )

 z   (

% %

1.L Sebuah lapisan radius N bergerak saat pperepatan M 'u, v, w) masuk kedalam fluida. Di tetapkan dari persamaan pada kondisi batas dalam sebuah $adah yaitu fluida sempurna.

1.1 <enggambar garis arus dan alur gelombang periodi monokromatik yang di berikan dalam 1.0, yang berhubungan dengan system koordinat kartesian uang bergerak denga keepatan 6 @ km dalam gelombang arah. Permukaan bebas di tentukan oleh z ≅   dan  pada sisi ba$ah z = % d  apakah mereka semua garis arusJ