ANALISIS KINERJA KODE BCH

(1)

Edy Susanto : Analisis Kinerja Kode BCH, 2010.

ANALISIS KINERJA KODE BCH

Oleh :

NAMA : EDY SUSANTO

NIM : 030402002

DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(2)

ANALISIS KINERJA KODE BCH

Oleh :

030402002 EDY SUSANTO

Disetujui oleh,

Pembimbing

NIP : 131 945 815

IR. SIHAR P. PANJAITAN,MT.

Diketahui oleh,

Ketua Departemen Teknik Elektro FT USU

NIP : 131 459 554 IR. NASRUL ABDI, MT.

DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(3)

ANALISA KINERJA KODE BCH

Oleh :

NAMA : EDY SUSANTO

NIM : 030402002

Tugas akhir ini diajukan untuk melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Teknik Elektro pada

DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

Sidang pada tanggal di depan penguji 1.

2. 3.

Diketahui Oleh: Disetujui Oleh:

Ketua Departemen Teknik Elektro Pembimbing Tugas Akhir

IR.NASRUL ABDI,MT.

NIP : 131 459 554 NIP : 131 945 815

(4)

ABSTRAK

Untuk menghasilkan suatu sistem komunikasi yang handal, dalam artian bebas dari error, perlu diterapkan suatu algoritma atau kode yang dapat

mengoreksi kesalahan bit. Salah satu dari kode pengoreksi kesalahan yang cukup popular adalah kode BCH. Dalam tugas akhir ini, penulis menggunakan Visual Basic 6 untuk menunjukkan kinerja kode BCH.

Kode BCH yang dibahas memiliki karakteristik 31 bit kode biner, dengan rincian 16 bit informasi dan 15 bit parity check. Karenanya Kode BCH (31,16) ini mampu mengoreksi sebanyak 3 bit kesalahan.

Pada tulisan ini penulis menggunakan algoritma Berlekamp sebagai algoritma pengdekodean BCH. Tugas Akhir ini membahas bagaimana pengaruh implementasi kode pengoreksi kesalahan terhadap kinerja sistem komunikasi secara keseluruhan. Hasil analisis menunjukkan terjadi penurunan nilai Eb / No yang diperlukan untuk memperoleh BER sama dengan 0. Pada transmisi yang disertai pengkodean BCH, nilai Eb / No yang diperlukan adalah 7, sedang pada transmisi tanpa pengkodean sama dengan 8.

(5)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini.

Laporan Tugas Akhir ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan di Fakultas Teknik Departemen Teknik Elektro Program Studi Teknik Telekomunikasi Universitas Sumatera Utara.

Penyelesaian Tugas Akhir ini tidak terlepas dari bantuan banyak pihak dan pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Kedua orang tua penulis, yang telah memberikan dukungan moril, doa, dan materiil serta limpahan kasih sayang kepada penulis.

2. Saudara-saudara penulis, yang memberikan yang terbaik bagi keluarga. 3. Buat kawan kawan di DCKC, yang selalu memberikan dukungan.

4. Bapak Ir. Sihar P. Panjaitan, MT, selaku dosen pembimbing Tugas Akhir, atas segala bimbingan, pengarahan, dan motivasi dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini.

5. Bapak Ir. Nasrul Abdi, MT. dan Bapak Rahmad Fauzi,ST,MT. selaku Ketua Departemen dan Sekretaris Departemen Teknik Elektro, Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara.

6. Bapak Soeharwinto, ST. MT. selaku Dosen Wali penulis atas segala nasehat dan bimbingannya kepada penulis dalam mengikuti kegiatan akademik.

(6)

7. Seluruh staf pengajar Departemen Teknik Elektro, khususnya konsentrasi telekomunikasi yang telah membekali penulis dengan berbagai disiplin ilmu.

8. Seluruh pegawai dan karyawan Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara.

9. Teman – teman di Departemen Teknik Elektro USU angkatan 2003; yang selama ini telah menjadi teman seperjuangan dalam hari-hari kuliah.

10. Serta semua pihak yang telah banyak membantu penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini tidak luput dari kekurangan-kekurangan. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis memohon maaf, dan penulis menerima saran dan kritik untuk perbaikan Tugas Akhir ini. Akhir kata semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi kita semua.

Medan, Mei 2009

(7)

DAFTAR ISI

Abstrak ... i

Kata Pengantar ... ii

Daftar Isi... ... iv

Daftar Gambar ... vii

Daftar Tabel... ... viii

BAB I Pendahuluan ... 1 11 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 2 1.3 Tujuan Penulisan ... 2 1.4 Batasan Masalah ... 3 1.5 Metode Penulisan ... 3 1.6 Sistematika Penulisan ... 4

BAB II Landasan Teori ... 5

2.1 Komunikasi Data ... 5

2.2 Gangguan Transmisi ... 9

2.3 Konsep Dasar Sistem Pengkodean ... 13

2.4 Pendeteksian Kesalahan ... 20

2.5 Perkembangan Teori Pengkodean ... 20

2.5.1 Formula Shannon ... 21

2.6 Dasar Aljabar ... 23

2.6.1 Group ... 23

(8)

Edy Susanto : Analisis Kinerja Kode BCH, 2010. 2.6.3 Field………..25 2.6.4 Polynomial Ring………...26 2.6.5 Galois Field………...27 2.6.6 Primitif Polinomial………30 2.6.7 Minimal Polinomial………..31

2.7 Kode Block Linear ... 36

2.7.1 Jarak Minimum ... 38 2.8 Kode Siklis………..39 2.9 Kode Hamming………...40 2.10 Kode Reed-Solomon……….41 2.11 Kode Konvolusi………42 2.12 Metode BCH Code………48

BAB III Pemodelan Kode BCH ... 53

3.1 Algoritma Pengkodean dan Pengdekodean BCH ... 53

3.2 Model Sistem ... 64

BAB IV Simulasi Kode BCH ... 68

4.1 Fungsi pada Model Sistem ... 68

4.1.1 Fungsi Pembangkitan Pesan ... 68

4.1.2 Fungsi Encoder ... 69

4.1.3 Fungsi Modulator ... 70

4.1.4 Fungsi Pembangkitan Kesalahan Bit………..71

4.1.5 Fungsi Demodulator………..72

4.1.6 Fungsi Decoding ... .72

(9)

4.3 Contoh Perhitungan Kode BCH ... 77

4.4 Evaluasi Performansi Kode BCH……….83

4.5 Faktor yang mempengaruhi Simulasi……….85

4.6 Hasil Simulasi……….86

BAB V Kesimpulan dan Saran ... 88

V.1 Kesimpulan ... 88

V.2 Saran ... 88

(10)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Gambaran Umum Model Komunikasi ... 7

Gambar 2.2 Rincian Proses Transmisi Data ... 8

Gambar 2.3 Blok Diagram untuk Sistem Pengkodean Digital ... 15

Gambar 2.4 Perbedaan Kode BCH dan Kode R-S ... 46

Gambar 3.1 Proses Encoding pada BCH Code ... 54

Gambar 3.2 Proses Decoding pada BCH Code ... 55

Gambar 3.3 Model Sistem ... 64

Gambar 4.1 Form Input untuk Tutorial Pembelajaran ... 74

Gambar 4.2 Form Tutorial Pembelajaran ... 75

Gambar 4.3 Form Analisis ... 76

Gambar 4.4 Hasil Simulasi untuk carrier rate =20... 86

(11)

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Primitive Polynomial pada GF(2) ... 34

Tabel 2.2 Rincian Minimal Polynomial... 36

Tabel 3.1 Galois Field GF (25) ... 57

(12)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Untuk menghasilkan suatu sistem komunikasi yang bebas error diperlukan suatu pengkodean. Pengkodean ini bertujuan untuk mengoreksi kesalahan atau error yang terjadi. Akan tetapi, masalah yang timbul menunjukkan bahwa diperlukan suatu pengkodean yang tidak hanya dapat mengoreksi error yang terjadi, tetapi juga menawarkan suatu algoritma pengkodean dan pengdekodean yang efisien. Menurut teori Shannon, sebuah kode yang bagus memungkinkan sistem komunikasi untuk mencapai kecepatan transmisi yang mendekati kapasitas kanal itu sendiri.

Semua teori pengkodean, dimulai dari Kode Hamming, telah memberikan kontribusi terhadap permasalahan ini, yaitu bagaimana melewatkan satu kesatuan data melalui suatu kanal dengan kemungkinan error yang besar. Dengan bantuan kode blok linear, dan formula matematika, banyak kode - kode yang telah ditemukan, diantaranya, kode Golay, kode BCH, dan kode Reed – Solomon.

Kode BCH adalah kode pengoreksi kesalahan jamak yang berulang. Kode ini ditemukan oleh Bose, Chaudari, dan Hocquenghem. Kode ini merupakan sebuah kelas yang berisikan kode kode siklis pengoreksi kesalahan. Kode BCH merupakan sebuah kode yang cukup menonjol dalam bidang pengoreksi kesalahan jamak ( multiple error) secara teoritis maupun praktik.

Adapun parameter yang bisa digunakan untuk menentukan kehandalan suatu kode dalam mengoreksi kesalahan pada transmisi sinyal digital adalah laju kesalahan bit dan Eb / No. Oleh karena itu, dalam Tugas Akhir ini akan dianalisis

(13)

performansi system yang menggunakan kode BCH, dibandingkan dengan system yang tidak mengimplementasikannya. Kode BCH dipilih karena kehandalannya dalam mengoreksi sejumlah t kesalahan yang muncul secara acak dengan menggunakan algoritma pengdekodean yang sederhana.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas pada Tugas Akhir ini adalah : a. Bagaimana prinsip kerja BCH dalam mengoreksi kesalahan bit.

b. Bagaimana performansi sistem yang menggunakan kode BCH. c. Bagaimana cara kerja algoritma Berlekamp.

d. Apa saja kinerja yang dihitung atau ditampilkan.

1.3 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan Tugas Akhir ini adalah untuk memperlihatkan

penurunan nilai energy per bit Eb/No yang diperlukan untuk menghasilkan BER =0, bila dibandingkan dengan transmisi data tanpa disertai pengkodean BCH.

1.4 Batasan Masalah

Untuk menghindari pembahasan yang meluas maka penulis membatasi pembahasan permasalahan. Adapun yang menjadi batasan masalah dalam Tugas Akhir ini adalah :

a. Hanya membahas algoritma pengkodean dan pengdekodean BCH (31,16). b. Kanal pentransmisian merupakan kanal diskrit tanpa memory, dan Noise yang

(14)

c. Algoritma yang digunakan adalah algortima pengdekodean Berlekamp d. Model simulasi mengikut i model Jacobs – Viterbi

e. Tidak membahas kode BCH non binary

f. Jumlah bit yang dapat dikoreksi sebanyak 3 bit

g. Tidak membahas Daya Transmisi yang diperlukan untuk mentransmisi bit data

1.5 Metodologi Penulisan

Metode pembahasan yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah Studi Literatur. Studi ini dilakukan dengan rincian sebagai berikut :

a. Pembahasan melalui buku-buku, jurnal, majalah maupun artikel-artikel lainnya yang mendukung dalam analisis kinerja kode BCH

b. Diskusi dengan dosen yang menguasai ataupun memahami Tugas Akhir ini. c. Menggunakan Simulasi untuk menampilkan grafik BER vs Eb / No

d. Simulasi menggunakan bahasa pemrograman Microsoft Visual Basic 6.0. 1.6 Sistematika Penulisan

Untuk mempermudah pembahasan, maka penulisan tugas akhir ini dibagi atas lima bab, yaitu :

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, batasan masalah, metodologi penulisan dan sistematika penulisan sebagai gambaran umum pembahasan secara keseluruhan.

(15)

BAB II BCH

Bab ini berisi Pengertian dan Prinsip Dasar kode BCH, Pembentukan Generator Polinomial, dan Pembentukan Kode BCH.

BAB III MODEL SISTEM

Bab ini berisi uraian mengenai Algoritma Pengkodean dan Algoritma Pengdekodean, Model Sistem, dan Sistem Pembangkitan Salah Bit. BAB IV SIMULASI

Bab ini berisi analisis hasil numerik yang didapatkan dari model simulasi. Kemudian melakukan plot grafik BER vs Eb/ No.

BAB V PENUTUP

Bab ini berisi kesimpulan dari pengaruh implementasi Kode BCH pada sistem Komunikasi.

(16)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Komunikasi Data

Komunikasi data merupakan penggabungan antara dunia komunikasi dengan komputer. Komunikasi manusia adalah komunikasi antar manusia (baik dengan bantuan alat maupun langsung) sedangkan komunikasi data adalah komunikasi antar komputer atau perangkat digital lainnya (PDA, printer, handphone).

Komunikasi data adalah proses transmisi data yang di-encode melalui media elektrik, optik, wireless antara komputer atau prosesor jaringan. Transmisi suara dapat saja dijadikan transmisi data jika informasi suara tersebut dirubah (dikodekan) menjadi bentuk digital. Komunikasi digital merupakan sesuatu hal yang penting dalam suatu infrastruktur komunikasi yang sedang dibangun. Di bawah ini ada beberapa faktor yang harus diperhatikan pada komunikasi data: a. Jumlah dan lokasi pemrosesan data.

b. Jumlah dan lokasi terminal (remote). c. Tipe transaksi.

d. Kepadatan lalu lintas tiap tipe transaksi. e. Prioritas/urgensi informasi yang disalurkan. f. Pola lalu lintas.

g. Bit error rate yang dibutuhkan. h. Keandalan sistem yang digunakan. i. Revenue yang mungkin didapat.

(17)

Supaya suatu sistem komunikasi dapat berjalan secara lancar dan global, maka perlu dibuat suatu standar protokol yang dapat menjamin:

• Kompatibilitas penuh antara dua peralatan setara

• Bisa melayani banyak peralatan dengan kemampuan berbeda-beda • Berlaku umum dan mudah untuk dipelajari atau diterapkan.

Kegunaan dasar dari sistem komunikasi adalah menjalankan pertukaran data antara 2 pihak. Contohnya adalah pertukaran sinyal-sinyal suara antara 2 telepon pada suatu jaringan yang sama.

Elemen-elemen kunci dari model komunikasi dasar adalah: a. Source (Sumber)

Alat ini membangkitkan data sehingga dapat ditransmisikan, contoh: telepon dan PC (Personal Computer).

b. Transmitter (Pengirim)

Biasanya data yang dibangkitkan dari sistem sumber tidak ditransmisikan secara langsung dalam bentuk aslinya. Sebuah transmitter cukup memindah dan menandai informasi dengan cara yang sama seperti menghasilkan sinyal-sinyal elektro-magnetik yang dapat ditransmisikan melewati beberapa sistem transmisi berurutan. Sebagai contoh, sebuah modem tugasnya menyalurkan suatu digital bit stream dari suatu alat yang sebelumnya sudah dipersiapkan misalnya PC, dan mentransformasikan bit stream tersebut menjadi suatu sinyal analog yang dapat melintasi melalui jaringan telepon.

(18)

Berupa jalur transmisi tunggal (single transmission line) atau jaringan kompleks (complex network) yang menghubungkan antara sumber dengan destination (tujuan).

d. Receiver (Penerima)

Receiver menerima sinyal dari sistem transmisi dan menggabungkannya ke dalam bentuk tertentu yang dapat ditangkap oleh tujuan. Sebagai contoh, sebuah modem akan menerima suatu sinyal analog yang datang dari jaringan atau jalur transmisi dan mengubahnya menjadi suatu digital bit stream.

e. Sumber Noise

Noise merupakan gangguan yang muncul selama transmisi data berlangsung. Noise memperngaruhi mutu atau kualitas dari sinyal yang diterima pada bagian receiver. Untuk lebih detailnya, Noise dibahas pada sub-bab 2.2

f. Destination (Tujuan)

Menangkap data yang dihasilkan oleh receiver. Sumber Informasi Pengirim (Transmitter) Sumber Noise Penerima (Receiver) Tujuan Pesan Sinyal yg dikirm Sinyal yg diterima

Gambar 2.1 Gambaran Umum Model Komunikasi

Source (sumber) dan transmitter (pengirim) merupakan bagian dari sistem sumber, sedangkan receiver (penerima) dan destination (tujuan) merupakan bagian dari sistem tujuan.

(19)

Proses transmisi / pengiriman data secara terperinci dapat dilihat pada gambar di bawah ini,

Source Transmitter Transmission

System Receiver Destination

Digital bit stream Digital bit stream Analog signal Analog signal 1 2 3 4 5 6

Gambar 2.2 Rincian proses transmisi data Keterangan :

1. Informasi yang di-input. 2. Data yang di-input.

3. Signal yang akan ditransmisikan berupa signal analog. 4. Signal yang diterima berupa signal analog.

5. Data output. 6. Informasi output.

Sebagai contoh komunikasi data, diambil ilustrasi transmisi data pada surat elektronik (electronic mail) seperti berikut:

Anggap saja perangkat input dan transmitter merupakan komponen dari suatu PC, user bermaksud mengirim suatu pesan m ke user yang lain. User mengaktifkan program electronic mail di dalam PC dan memasukkan pesan melalui keyboard (perangkat input). String karakter secara singkat ditahan di dalam memori utama. PC dihubungkan dengan beberapa media transmisi, misalnya sebuah local network atau jaringan telepon, lewat suatu perangkat I/O (transmitter), dalam hal ini berupa local network transceiver atau modem. Data

(20)

yang masuk ditransfer ke transmitter sebagai rangkaian dari perubahan tegangan yang menunjukkan bit – bit pada communication bus atau kabel. Transmitter dihubungkan secara langsung ke media dan merubah aliran yang masuk menjadi sinyal yang mampu untuk ditransmisikan.

Sinyal yang ditransmisikan yang diserahkan ke media menjadi subyek untuk sejumlah gangguan, sebelum mencapai receiver. Jadi, sinyal yang diterima dapat saja berbeda dari sumbernya. Receiver akan berupaya menganalisis keaslian data sumber, didasarkan atas sinyal yang diterima dan pengetahuannya atas media dan menghasilkan rangkaian bit. Bit – bit ini dikirim ke komputer output, di mana bit – bit tersebut secara singkat ditahan di dalam memori. Dalam beberapa kasus, sistem tujuan akan berupaya untuk memperingatkan bila terjadi error, dan untuk selanjutnya bekerja sama dengan sistem sumber sampai akhirnya mendapatkan data yang bebas dari error (error-free data). Data – data ini kemudian diberikan kepada user melalui suatu perangkat output, seperti printer atau layar monitor. Pesan atau message yang dilihat oleh user biasanya merupakan salinan dari pesan aslinya.

2.2 Gangguan Transmisi

Masalah utama dalam merancang sebuah fasilitas komunikasi adalah gangguan transmisi. Untuk sinyal-sinyal analog, gangguan transmisi memperkenalkan efek random yang menurunkan mutu informasi yang diterima dan kemungkinan mempengaruhi kejelasan data. Sedangkan sinyal-sinyal digital, gangguan transmisi dapat menyebabkan bit error pada receiver.

(21)

a. Atenuasi

Kekuatan sinyal berkurang bila jaraknya terlalu jauh melalui media transmisi. Untuk guided media, penurunan dalam hal kekuatan, atau atenuasi, pada umumnya mengikuti fungsi logarithm. Sehingga biasanya dinyatakan sebagai jumlah desibel konstan per unit jarak. Untuk unguided media, atenuasi adalah fungsi yang lebih kompleks dari jarak. Atenuasi membawa tiga pertimbangan untuk membangun transmisi. Pertama, sinyal yang diterima harus cukup kuat sehingga arus elektronik pada receiver bisa mendekati sinyal. Kedua, sinyal harus mempertahankan level yang lebih tinggi dibanding derau yang diterima tanpa error. Ketiga, atenuasi merupakan fungsi frekuensi yang meningkat. Permasalahan pertama dan kedua berkaitan dengan perhatian terhadap kekuatan sinyal dan penggunaan amplifier atau repeater. Untuk hubungan ujung ke ujung, kekuatan sinyal sebuah transmitter harus cukup kuat agar dapat diterima dengan jelas, namun juga tidak perlu terlalu kuat agar tidak menimbulkan overload pada sirkuit transmitter atau repeater, yang bisa menyebabkan distorsi. Melampaui jarak tertentu, atenuasi tidak dapat diterima dengan baik, dan repeater atau amplifier dipergunakan utnuk memperkuat sinyal pada interval yang wajar. Permasalahan ini menjadi lebih kompleks untuk jalur multipoint dimana jarak dari transmitter menuju receiver tidak tetap.

b. Distorsi Tunda

Distorsi tunda merupakan sebuah fenomena khas pada media guided. Distorsi yang terjadi disebabkan oleh kenyataan bahwa kecepatan penyebaran sebuah sinyal melewati medium guided berbeda dengan frekuensi. Untuk sebuah

(22)

signal band terbatasi, kecepatannya cenderung sangat tinggi di dekat pusat frekuensi dan turun mengarah pada kedua sisi band. Sehingga berbagai komponen frekuensi suatu sinyal akan mencapai receiver pada waktu yang berlainan, dan mengakibatkan fasenya berubah di antara frekuensi yang berbeda-beda.

Efek ini menunjuk pada distorsi tunda, akibat sinyal yang diterima mengalami distorsi karena berbagai penundaan yang dialami pada pemilih frekuensinya. Distrosi tunda sangat kritis bagi data digital. Anggap saja, suatu rangkaian bit sedang ditransmisikan baik dengan menggunakan signal analog maupun signal digital. Karena mengalami distrosi tunda, beberapa komponen sinyal dair satu posisi bit meluap (spill over) ke posisi bit yang lain, dan menimbulkan gangguan inter-simbol, yang merupakan batasan utama terhadap bit rate maksimum sepanjang channel transmisi.

c. Derau

Untuk suatu peristiwa pentransmisian data, sinyal yang diterima akan berisikan sinyal-sinyal yang ditransmisikan, dimodifikasi oleh berbagai distorsi yang terjadi melalui sistem transmisi, plus sinyal-sinyal tambahan yang tidak diinginkan yang diselipkan di suatu tempat di antara transmisi dan penerimaan. Berikutnya, sinyal-sinyal yang tidak diharapkan tersebut disebut sebagai derau. Derau dapat dibagi menjadi empat kategori, yaitu:

i. Derau suhu

Merupakan suatu gejolak thermal elektron. Muncul di semua perangkat elektronik dan media transmisi serta merupakan fugnsi temperatur. Derau suhu secara keseluruhan disebarkan sepanjang spektrum frekuensi dan

(23)

sering juga disebut segagai white noise. Derau suhu tidak dapat dihilangkan dan karena itu menempatkan suatu batas atas pada unjuk kerja sistem komunikasi.

ii. Derau Intermodulasi

Derau intermodulasi akan terjadi bila terdapat beberapa sifat tidak linear pada transmitter, receiver, atau sistem transmisi yang menghalangi. Normalnya, komponen-komponen ini berlaku sebagai sistem linear, yaitu output sama dengan input kali suatu konstanta. Pada suatu sistem nonlinear, output merupakan fungsi yang lebih kompleks dari input. Sifat tidak linear semacam ini disebabkan karena tidak berfungsinya komponen atau penggunaan kekuatan sinyal yang terlalu berlebihan.

iii. Crosstalk

Crosstalk dialami oleh siapapun yang saat menggunakan telepon, terdengan percakapan lain; ini merupakan kopel yang tidak diharapkan yang terjadi di antara sinyal. Dapat pula terjadi karena kopel elektrik di antara twisted pair yang berdekatan. Crosstalk dapat pula terjadi bila sinyal-sinyal yang tidak diharapkan tersebut disebarkan melalui antena gelombang mikro, meskipun antena pengarah dipergunakan, namun energi gelombang mikro tersebar luas selama proses propagasi.

iv. Derau impuls

Derau impuls umumnya hanyalah gangguan kecil bagi data analog. Sebagai contoh, transmisi suara dapat diganggu oleh bunyi klik dan

(24)

gemerisik tanpa mengurangi kejelasannya. Bagaimanapun juga, derau impuls juga merupakan sumber utama terjadinya error dalam komunikasi data digital. Gangguan ini kadang-kadang cukup memadai untuk mengubah 1 menjadi 0 atau 0 menjadi 1.

2.3 Konsep Dasar Sistem Pengkodean

Pada proses transmisi data digital melalui suatu saluran komunikasi fisik dalam sebuah sistem komunikasi dan penyimpanan data pada media penyimpanan dalam sebuah sistem komputer, data digital ditransfer dari suatu sumber informasi ke suatu tujuan. Karena saluran komunikasi atau media pemyimpanan dapat mengalami berbagai macam jenis gangguan, distorsi dan interferensi, output dari saluran komunikasi atau media penyimpanan dapat berbeda dari input. Hal ini disebabkan oleh kesalahan (error) yang dapat menghalangi atau mengganggu proses transmisi. Oleh karena itu, kebutuhan akan pengontrolan kesalahan (error control) semakin besar dalam saluran komunikasi dan media penyimpanan.

Kode dan algoritma pengkodean yang bagus tersedia untuk memenuhi kebutuhan ini. Kemajuan pesat dari teknologi integrated circuit chip memungkinkan proses perancangan dan implementasi dari pasangan encoder-decoder yang menggunakan algoritma pengkodean ini.

Teori dan praktek dari kode pengontrolan kesalahan (error-control coding) berhubungan erat dengan pengamanan dari informasi digital terhadap kesalahan yang muncul pada saat transmisi atau penyimpanan data. Perhatian utama dari designer adalah proses pengontrolan kesalahan sehingga dapat dilakukan reproduksi informasi dan data yang akurat dan dapat dipercaya.

(25)

Blok diagram pada Gambar 2.3 berikut mengilustrasikan elemen-elemen dasar yang diperlukan untuk melakukan proses transmisi atau penyimpanan informasi digital melalui suatu sistem pengkodean. Untuk sistem ini, semua informasi yang ditransmisikan antar blok harus dalam bentuk digital.

Information source Source Encoder Channel Encoder Modulator (writing unit) Channel (storage medium) Demodulator (reading unit) User Source Decoder Channel Decoder Digital source

Digital data sink

Noise Encoder

Decoder

Digital channel

Gambar 2.3 Blok Diagram untuk Sistem Pengkodean Digital

Data yang masuk ke dalam sistem komunikasi (communication system) atau sistem penyimpanan (storage system) dari sumber informasi (information source) akan diproses pertama kali oleh suatu pengkodean sumber (source encoder) yang dirancang untuk mengkonversi informasi sumber menjadi bentuk kode. Biasanya, source encoder akan mengubah output sumber menjadi sebuah deretan bit biner yang disebut sebagai deretan informasi (information sequence) d. Output sumber dapat berupa sebuah gelombang kontinu (continuous waveform) atau sebuah deretan dari simbol diskrit (sequence of discrete symbols). Dalam kasus output analog, source encoder harus memiliki kemampuan konversi dari analog ke digital (A/D), contohnya pulse-code modulation (PCM).

Pengkodean saluran komunikasi (channel encoder) mentransformasikan information sequence d menjadi sebuah barisan pengkodean biner (binary-coded sequence) c yang disebut sebagai code word.

(26)

Code word dari saluran komunikasi (channel) berupa sebuah barisan yang baru dan lebih panjang yang berisi redundansi dari simbol cek paritas (parity-check symbols). Setiap simbol dalam code word dapat diwakili oleh suatu bit ataupun kelompok bit. Secara umum, digit biner tidak cocok untuk proses transmisi melalui saluran komunikasi bergelombang (waveform channel) atau proses penyimpanan pada media penyimpanan digital.

Digit biner pada sebuah code word dari channel encoder dimasukkan ke dalam sebuah modulator atau unit penulisan (writing unit) yang mentransformasikan setiap bit menjadi gelombang sinyal dasar (elementary signal waveform). Oleh karena itu, modulator harus mengubah setiap bit dari code word saluran komunikasi menjadi suatu gelombang yang cocok dengan durasi T sekon agar bit-bit tersebut dapat ditransmisikan. Binary phase shift keying (BPSK) atau frequency shift keying (FSK) sering dipakai sebagai pembentuk signal gelombang untuk mentransmisikan code word.

Gelombang ini akan masuk ke saluran komunikasi atau media penyimpanan dan akan dirusak atau diubah oleh kegaduhan (noise). Saluran komunikasi gelombang ini terdiri dari semua perangkat keras (hardware) dan media fisik yang akan dilalui oleh gelombang dari modulator output atau media penulisan menuju ke demodulator input atau media pembacaan.

Dalam sistem koheren, skema modulasi biner dari BPSK yang sering digunakan. Dengan proses transmisi biner ini, 1 direpresentasikan oleh gelombang

(7)

…(2.1) sedangkan 0 direpresentasikan oleh sinyal antipodal

(27)

dimana kekuatan gelombang adalah

(7)

…(2.3)

.

Dalam sistem BPSK non-koheren, proses demodulasi dari signal gelombang tidak dapat dilakukan. Maka, sebagai penggantinya, digunakan sepasang signal nada (signal tones)

(7)

…(2.4)

dan

(7)

…(2.5)

untuk merepresentasikan digit 0 dan 1 yang ditransmisikan.

Beberapa contoh waveform channel adalah saluran telepon, hubungan microwave, hubungan radio berfrekuensi tinggi, hubungan telemetri dan hubungan satelit. Sedangkan, beberapa contoh media penyimpanan adalah core memory, magnetic tapes, disk files dan optical memory unit.

Setiap elemen dalam contoh yang disebutkan di atas merupakan subjek gangguan dari berbagai jenis noise. Beberapa kegaduhan acak (random noise) atau kegaduhan penuh (burst noise) sering ditambahkan ke waveform channel selama proses transmisi. Distorsi dapat diakibatkan oleh penyaringan padat atau jalur signal ganda. Gangguan ini dapat mengakibatkan terjadinya penahanan signal yang akan mengubah amplitudo dari signal yang diterima ataupun saluran komunikasi itu sendiri akan memiliki berbagai interval waktu yang berbeda-beda. Secara umum, gangguan ini dapat dimodelkan sebagai proses additive gaussian,

(28)

atau dapat berupa berbagai macam kegaduhan area (urban noise) ataupun terjadi karena gangguan disengaja dari pihak yang tidak bersahabat.

Saluran komunikasi (channel) juga memiliki beberapa bentuk. Untuk memoryless channel, noise akan memiliki efek terhadap setiap bit yang ditransmisikan, sehingga kesalahan transmisi terjadi secara acak (random error) pada code word yang diterima. Beberapa contoh memoryless channel adalah saluran komunikasi satelit dan saluran komunikasi jarak jauh. Untuk memory channel, noise tidak terjadi secara bebas pada saluran komunikasi, dan kesalahan transmisi terjadi secara menyeluruh (burst error). Contoh dari channel ini adalah saluran komunikasi radio, saluran telepon dan penyimpanan magnetik. Tentu saja juga terdapat beberapa channel yang memiliki kombinasi dari random error dan burst error.

Setelah itu, signal hasil yang diterima akan diproses pertama kali oleh demodulator dan kemudian oleh channel decoder. Demodulator atau unit pembacaan (reading unit) membuat keputusan untuk setiap signal yang diterima dari durasi T sekon untuk menentukan digit 1 atau 0 yang ditransmisikan. Proses ini disebut hard decision. Output dari demodulator disebut sebagai received word r. Nilai r ini dapat tidak cocok dengan code word c yang ditransmisikan sebagai akibat dari kesalahan transmisi. Setiap digit yang didemodulasi merupakan perkiraan terbaik dari digit yang ditransmisikan , tetapi demodulator dapat membuat beberapa kesalahan karena noise yang terdapat pada channel. Probabilitas bahwa perkiraan ini benar tergantung pada signal-to-noise ratio (SNR) pada data bandwidth, banyaknya distorsi signal yang terjadi sebagai akibat dari penyaringan dan efek nonlinier, dan skema deteksi yang digunakan.

(29)

Channel decoder mentransformasikan deretan r yang diterima ke bentuk deretan biner d, atau deretan informasi yang diperkirakan. Karena noise dapat mengakibatkan beberapa kesalahan decoding, channel decoder harus diimplementasikan untuk meminimisasi probabilitas dari kesalahan decoding. Channel decoder menggunakan sindrom dasri code word r yang diterima untuk memperbaiki kesalahan pada word yang diterima dan menghasilkan perkiraan deretan informasi d. Jika semua kesalahan telah diperbaiki, maka deretan informasi perkiraan d akan cocok dengan informasi sumber d yang asli.

Source decoder mentransformasikan deretan perkiraan d menjadi perkiraan dari output sumber dan mengirimkan perkiraan ini kepada pemakai. Dengan demikian, source decoder melakukan operasi yang berlawanan dengan source encoder dan mengirimkan output-nya ke tujuan.

2.4 Pengdeteksian Kesalahan

Pada saat data berada dalam transmission system terdapat kemungkinan data terkorupsi (data error). Data error tersebut akan diperbaiki oleh receiver melalui proses error detection dan error correction. Proses error detection dilakukan oleh transmitter dengan cara menambahkan beberapa bit tambahan (parity check bit) ke dalam data yang akan ditransmisikan. Proses error detection dan correction ini sering digunakan pada High speed modem, dan telepon selular (cellular phones)

(30)

2.4.1 Ukuran Informasi

Kandungan informasi dari suatu kejadian terkait dengan probabilitas kejadiannya. Suatu pesan dengan probabilitas kejadian tinggi mempunyai informasi yang sedikit. Sebaliknya pesan dengan probabilitas rendah mempunyai informasi yang lebih besar. Suatu sumber informasi yang mengirimkan satu dari sejumlah q pesan yang mungkin : dengan probabilitas kemunculan

: mempunyai probabilitas total . Jumlah

informasi yang terkandung dalam pesan ke-i yang dilambangkan dengan Ii akan

berbanding terbalik dengan probabilitasnya. I akan mendekati 0 jika p mendekati 1 dan I tidak boleh bernilai negatif karena setiap pesan mengandung informasi.

Formula matematisnya dinyatakan sebagai berikut (8) : untuk …(2.1a) untuk …(2.1b) untuk ….(2.1c)

Untuk sumber yang mengeluarkan dua pesan berurutan yang independent : xA dan

xB dengan probabilitas bersama , maka(8) :

...(2.2) Shannon mendefinisikan ukuran informasi dari suatu pesan A dengan probabilitas kejadian PA yang memenuhi persamaan (2.1-2.2) adalah suatu fungsi

(31)

...(2.3) dimana I disebut self-information dan b adalah basis logaritma.

Basis logaritma yang dipergunakan menentukan satuan informasi. Basis logaritma bilangan natural (e) menghasilkan informasi dengan satuan nat, basis 10 mempunyai satuan decit dan basis 2 mempunyai satuan bit.

2.4.2 Entropy dan Kecepatan Informasi

Tinjau suatu sumber informasi yang mengeluarkan sederetan simbol yang berasal dari M simbol yang berbeda, yang dinyatakan dengan . Masing masing simbol mempunyai probabilitas Pi dan self information Ii.

Keseluruhan probabilitas simbol harus memenuhi

...(2.4) Asumsi yang diberikan adalah bahwa sumber stationary dan simbol simbol bersifat statistically independent. Sumber mengeluarkan simbol dengan kecepatan r simbol/detik. Properti seperti ini didefinisikan sebagai discrete memoryless source. Nilai kandungan informasi per simbol diberikan oleh rata rata statistik :

...(2.5)

yang disebut entropy sumber. Jadi, untuk suatu deretan simbol yang panjang, rata rata kandungan informasi tiap simbol adalah H bit, tanpa harus tahu seperti apa deretan simbol tersebut. Jika sumber mengeluarkan simbol, total informasi yang dikirm adalah nH bits. Karena sumber mengeluarkan sejumlah r simbol per detik, maka durasi waktu dari deretan simbol ini adalah n/r. Jadi, informasi harus dikirim dengan kecepatan rata rata :

(32)

...(2.6)

Dimana R adalah kecepatan transmisi informasi.

Shannon menegaskan bahwa informasi dari suatu sumber diskrit tanpa memori bisa dikodekan dalam digit biner dan ditransmisikan melalui kanal bebas noise dengan kecepatan :

(binit/detik)...(2.7)

2.5 Kanal Komunikasi

Elemen sistem komunikasi (digital biner) bisa dibagi dalam tiga bagian utama, yaitu pemancar, penerima, dan kanal fisik. Istilah kanal komunikasi mempunyai pengertian dan karakteristik yang berbeda, tergantung dari terminasi dan fungsinya, seperti ditunjukkan pada gambar 2.2

Σ Channel encoder Channel decoder demodulato r Media transmisi modulator B C D E F Kanal Phisik Pemancar Penerima noise

Kanal Kontinyu (analog) Kanal coding (diskrit)

Kanal Komunikasi data (diskrit) Gambar 2.4 Karakteristik Kanal Komunikasi Biner

Antara titik E-F pada gambar 2.4 disebut dengan kanal koding, yang merupakan kanal diskrit. Dalam kanal diskrit, sinyal yang ditransmisikan di dalamnya adalah sinyal diskrit. Kanal Koding menerima sederetan simbol pada inputnya dan juga menghasilkan sederetan simbol pada outputnya.

(33)

Kanal antara titik C-E menyediakan hubungan elektrik antara pemancar dan penerima, dimana input dan outputnya adalah berupa gelombang listrik analog. Bagian dari kanal ini disebut juga kanal modulasi. Contoh dari kanal ini adalah sistem telepon, dan sistem radio frekuensi tinggi. Sinyal yang ditransmisikan melalui kanal ini mendapatkan beberapa gangguan yang disebabkan oleh karakteristik kanal yang tidak linear. Kanal juga memberikan redaman yang melemahkan amplitudo sinyal. Selain itu, adanya noise juga menimbulkan kerusakan pada sinyal. Semua pengaruh tersebut mengakibatkan munculnya perbedaan antara sinyal yang dikirim dan yang diterima, sehingga cenderung menimbulkan kesalahan dalam transmisi data.

2.5.2 Kapasitas Kanal Kontinyu

Transfer informasi dalam kanal kontinyu adalah berbentuk gelombang elektromagnetik. Sumber mengeluarkan sinyal x(t), yang pada saat ditransmisikan terkena noise, dan diterima sebagai r(t) pada penerima. Shannon menyatakan bahwa transmisi informasi tanpa error pada kanal komunikasi ber-noise bisa diperoleh selama kecepatan informasi R C, dimana C adalah kapasitas kanal.

Model kanal kontinyu yang paling umum dikenal adalah kanal AWGN ( additive white gaussian noise), yang didefinisikan mempunyai sifat sebagai berikut :

1. Kanal menyediakan transmisi bebas error dalam bandwidth B, dengan memberikan penguat untuk menangani rugi rugi transmisi

2. Kanal membatasi input dari sumber sebagai sinyal pita terbatas x(t) dengan daya rata rata S.

(34)

3. Sinyal yang diterima pada tujuan terkontaminasi oleh penjumlahan dengan white gaussian noise n(t) dengan bandwidth B, dan daya noise N =ηB. Η adalah kerapatan spektral daya noise.

4. Sinyal dan noise bersifat independen, sehingga dan

...(2.8)

Pemodelan kanal AWGN ditunjukkan pada gambar 2.5 berikut :

Σ Noise n(t)

Sinyal s(t) Sinyal terima r(t)

Gambar 2.5 Kanal AWGN Kapasitas kanal bisa dirumuskan sebagai berikut :

(11)

bps...(2.9) Persamaan diatas dikenal sebagai Hukum Shannon-Hartley. Persamaan ini memberikan batas atas untuk transmisi informasi dalam kanal AWGN pita terbatas, yaitu :

(11) …(2.10)

2.5.3 Kanal Diskrit

Kanal komunikasi antara titik E-F mempunyai sifat diskrit. Input dan output dari kanal ini adalah deretan simbol yang berasal dari sekumpulan M simbol. Kanal yang didesain untuk mengirim dan menerima satu dari M buah simbol yang tersedia disebut kanal M-ary. Karena adanya error yang ditimbulkan

(35)

pada kanal, simbol output bisa berbeda dengan simbol inputnya. Error terutama disebabkan oleh noise pada bagian kanal kontinyu.

Kanal diskrit dimodelkan dengan probabilitas yang dinotasikan sebagai berikut :

P(xi) adalah probabilitas bahwa input kanal adalah simbol ke-i

P(yi) adalah probabilitas bahwa output kanal adalah simbol ke-i

P(yi|xj) adalah probabilitas bersyarat bahwa output adalah simbol ke-i

dengan input kanal adalah simbol ke-j

P(xi|yj) adalah probabilitas bersyarat bahwa input adalah simbol ke-i

dengan output kanal simbol ke-j

Kanal diasumsikan time-invariant dan memoryless. Pemodelan kanal dengan M=2 ditunjukkan pada gambar 2.6.

P(y1|x1) 1 ₁ X Y P(yo|x1) P(y1|xo) P(yo|xo) 0 0

Gambar 2.6 Model Kanal Diskrit Biner

Input kanal adalah suatu nilai biner yang merupakan suatu variabel acak diskrit X. Output kanal juga merupakan suatu variabel acak diskrit biner Y. Nilai dari kedua variabel acak tersebut digambarkan dengan dua buah titik yang bernilai 1 dan 0. Empat buah lintasan menghubungkan input dan output. Lintasan mendatar P(y0|x0)dan P(y1|x1) menyatakan bahwa simbol yang dikirim diterima

(36)

dengan benar, sedangkan lintasan diagonal P(y1|x0) dan P(y0|x1) merupakan simbol

diterima salah.

Error terjadi secara acak, tetapi bisa dimodelkan secara statistik dengan memberikan nilai probabilitas pada masing masing lintasan. Probabilitas terjadinya kesalahan adalah :

...(2.11)

Jika , maka kanal seperti ini disebut dengan binary

symmetric channel.

2.6 Dasar Aljabar

Dasar penulisan sub-bab Dasar Aljabar ini adalah untuk memperjelas aljabar dan toeri matematika lainnya yang diperlukan untuk memahami teori pengkodean. Untuk menganalisis teori pengkodean beserta implementasi encoder-decodernya diperlukan pemahaman akan Group, Ring, dan Galois Field.

2.6.1 Group

Sebuah group G adalah sebuah set dengan operasi * pada G sedemikian sehingga aksioma berikut dipenuhi(9):

a. Untuk setiap a, b ∈ G, c = a * b ada dalam G (closure).

b. Untuk setiap a, b, c ∈ G, a * (b * c) = (a * b) * c (hukum asosiatif).

c. Terdapat sebuah elemen e ∈ G sedemikian sehingga setiap elemen a pada G, a * e = e * a = a (identitas).

(37)

d. Untuk setiap a ∈ G, terdapat sebuah elemen a-1

pada G sedemikian sehingga a * a-1 = a-1 * a = e (inverse).

Group merupakan kumpulan dari field. Sebuah group yang memiliki sejumlah elemen tertentu disebut sebagai sebuah finite field, jika tidak maka disebut sebagai infinite group. Jumlah elemen pada sebuah finite group G disebut sebagai order dari G. Group dengan properti tambahan yaitu a * b = b * a untuk semua a, b ∈ G, disebut sebagai group komutatif (commutative group) atau abelian group. Dalam sebuah abelian group dengan operasi penjumlahan, terdapat operasi a + (-a) = (-a) + a = 0, dimana elemen inverse dari a ditulis dengan -a. Dalam kasus ini, elemen identitasnya e = 0. Pada operasi perkalian, elemen identitas e = 1 dan elemen inverse dari a ditulis dengan a-1, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = 1.

Terdapat tiga buah group utama yang sangat disukai oleh para ahli matematika yaitu:

1. Group perkalian dari field bilangan prima : GF(p).

2. Group perkalian dari finite field dari karakteristik 2 : GF(2n). 3. Elliptic Curve Group pada finite field F : EC(F).

Jika p adalah modulus dan bilangan prima, maka kompleksitas untuk mencari logaritma diskrit pada GF(p) pada dasarnya sama dengan memfaktorisasi sebuah integer n, dimana n adalah pemangkatan dari dua buah bilangan prima yang hampir sama panjang.

(38)

2.6.2 Ring

Sebuah ring R adalah sebuah set yang memiliki dua buah operasi yang didefinisikan dalam penjumlahan dan perkalian, sedemikian sehingga aksioma berikut dipenuhi(9):

a. Set R adalah sebuah group komutatif ( abelian ) dengan operasi penjumlahan. b. Untuk sembarang a, b ∈ R, hasil perkalian ab adalah dalam R (closure). c. Untuk sembarang a, b, c ∈ R, a(bc) = (ab)c (hukum asosiatif).

d. Untuk sembarang a, b, c ∈ R, a(b + c) = ab + ac dan (b + c)a = ba + ca (hukum distributif).

Operasi penjumlahan selalu bersifat komutatif dalam ring, tetapi operasi perkalian tidak selamanya.

2.6.3 Field

Field adalah kumpulan dari elemen, X dan Y, yang terdapat dalam fungsi. Beberapa contoh dari field adalah bilangan real, bilangan kompleks, bilangan rasional dan bilangan integer modulo bilangan prima. Contoh yang terakhir ini merupakan salah satu contoh finite field. Persyaratan dari sebuah field adalah penjumlahan dan perkalian biasa, ditambah eksistensi dari inversi penjumlahan dan perkalian, kecuali 0 yang tidak mempunyai inversi perkalian. Dengan perkataan lain, sebuah field mempunyai penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Operasi-operasi ini selalu menghasilkan sebuah hasil yang terdapat di dalam field tersebut dengan pengecualian pembagian dengan bilangan nol yang tidak terdefinisi.

(39)

Bilangan kompleks dapat didefinisikan sebagai b.i + a dengan aturan reduksi t2 + 1 = 0. Untuk melakukan perkalian bilangan kompleks, kita dapat menganggap t sebagai unknown (tak dikenal), mengumpulkan bilangan pangkat dari t dan menerapkan aturan reduksi untuk menyederhanakan hasilnya. Konstruksi ini berlaku untuk aturan reduksi lainnya yang mengandung bilangan pangkat lebih besar dari t. Koefisien dari bilangan pangkat dari t boleh berasal dari semua field, tetapi bila kita mengambil integer modulo p sebagai field-nya, kita mendapatkan sebuah finite field dengan pm elemen, dimana m adalah derajat dari aturan reduksi. Tidak semua aturan reduksi berlaku, kita harus menggunakan polinomial yang tidak dapat direduksi lagi (irreducible polynomial).

Sebagai catatan, ketika mengalikan elemen dari field sebenarnya dua aturan reduksi bekerja secara simultan, yaitu aturan untuk mereduksi koefisien modulo p dan aturan untuk mereduksi pangkat besar dari t. Konstruksi ini bekerja untuk semua p dan m, selama p adalah bilangan prima. Faktanya, setiap finite field dapat dikonstruksikan dengan cara ini. Fakta ini sebenarnya direferensikan kepada Galois field dengan pm elemen, dengan menggunakan notasi GF(pm). Bilangan prima p merupakan karakteristik dari field.

Representasi field menentukan bit-pattern mana yang akan digunakan untuk merepresentasikan bermacam-macam elemen field. Representasi dipilih untuk membuat operasi aritmatika field menjadi efisien.

2.6.4 Polynomial Ring

Asumsikan R adalah sebuah ring. Sebuah polinomial f(x) dengan koefisien dalam R dapat diekspresikan dengan sebuah bentuk penjumlahan seperti berikut:

(40)

(6)

…(2.12)

dimana x adalah sebuah variabel sedangkan indeks dan eksponennya adalah integer. Derajat dari f(x) adalah pangkat terbesar dasri x dalam bentuk fn-1 dengan

koefisien bukan bernilai 0. Sebuah polinomial disebut monic jika koefisien dari pangkat tertinggi dari x adalah 1.

Untuk setiap field F, terdapat sebuah ring F(x) yang disebut ring dari polinomial pada F. Sebuah polynomial ring analog dengan sebuah integer ring. Penjumlahan dari dua buah polinomial f(x) dan g(x) pada F(x) adalah sebuah polinomial lain dalam F(x) yang dapat didefinisikan sebagai berikut:

(6)

…(2.13) dimana derajat dari g(x) ≤ derajat dari f(x), dengan ketentuan bahwa derajat dari polinomial hasil tidak lebih besar daripada derajat terbesar dari kedua polinomial. Hasil perkalian dari dua buah polinomial pada F(x) adalah sebuah polinomial lain pada F(x) sedemikian sehingga:

(6)

…(2.14)

dimana derajat dari g(x) ≤ derajat dari f(x)

Derajat dari polinomial hasil perkalian dari dua buah polinomial sama dengan penjumlahan dari derajat kedua faktor.

Dalam sebuah ring dari polinomial, operasi pengurangan selalu dapat dilakukan, tetapi operasi pembagian tidak selamanya dapat dilakukan. Jika terdapat sebuah polinomial a(x) sedemikian sehingga

(6)

…(2.15)

maka dapat dikatakan bahwa polinomial s(x) dapat dibagi oleh polinomial r(x) ataupun dengan perkataan lain polinomial r(x) membagi s(x) atau r(x) merupakan

(41)

sebuah faktor dari s(x). Sebuah polinomial bukan nol p(x) yang hanya dapat dibagi oleh p(x) itu sendiri disebut sebagai irreducible polynomial (sebuah polinomial yang tidak dapat diperkecil lagi). Sebuah monic irreducible polynomial disebut sebagai sebuah primitive polynomial. Semua r(x) yang dapat membagi s(x) dan dapat dibagi oleh s(x), maka :

(6) …(2.16) Oleh karena itu,

(6)

…(2.17)

dengan ketentuan bahwa a(x) dan b(x) harus memiliki pangkat nol. Jadi,

(6) …(2.18)

dimana α adalah sebuah elemen dari field F.

Faktor persekutuan terbesar atau greatest common divisor (GCD) dari dua buah polinomial r(x) dan s(x) dapat dinotasikan dengan GCD[r(x), s(x)], adalah sebuah monic polynomial dari pangkat terbesar yang dapat membagi keduanya. Dua polinomial dikatakan relatif prima apabila GCD dari keduanya adalah sama dengan 1. GCD dari dua buah polinomial r(x) dan s(x) dapat diekspresikan dalam bentuk:

(6)

…(2.19)

Kelipatan persekutuan terkecil atau least common multiple (LCM) dari dua buah polinomial r(x) dan s(x) dapat dinotasikan dengan LCM[r(x), s(x)] adalah sebuah monic polynomial dari pangkat terkecil yang dapat dibagi oleh keduanya.

(42)

Untuk setiap polinomial f(x) dan polinomial bukan nol g(x), terdapat sebuah pasangan unik dari polinomial q(x), polinomial hasil bagi dan s(x), polinomial sisa bagi, sedemikian sehingga

(6)

…(2.20)

dan derajat dari s(x) lebih kecil daripada derajat dari g(x). Sisa hasil bagi s(x) disebut sebagai residu dari f(x) ketika dibagi oleh g(x). Kongruen s(x)f(x) [mod g(x)] berarti bahwa s(x) dan f(x) memiliki sisa hasil bagi yang sama apabila dibagi dengan g(x) tetapi derajat dari s(x) tidak harus sama lebih kecil daripada g(x).

Sebuah elemen a ∈ F adalah sebuah akar dari f(x) ∈ F[x] jika dan hanya jika x – a adalah sebuah faktor dari f(x) pada F[x]. Hal ini dapat dibuktikan melalui penjabaran berikut:

Anggap bahwa f(a) = 0 untuk a ∈ F, maka berdasarkan persamaan 2.15, terdapat q(x), s(x) ∈ F sedemikian sehingga:

(6)

…(2.21) dimana derajat dari s(x) lebih kecil dari 1. Misalkan, diperoleh s(x) = c, untuk c ∈ F, maka:

(6)

…(2.22) Karena f(a) = 0 untuk a ∈ F, maka:

(6)

…(2.23) Agar persamaan di atas memiliki hasil, maka c harus sama dengan 0, sehingga diperoleh:

(6)

…(2.24) Maka, x – a adalah sebuah faktor dari f(x). Kebalikannya, jika x – a adalah sebuah faktor dari f(x) pada F[x], dimana a ∈ F, maka f(a) = 0 dan q(a) = 0.

(43)

Misalkan diberikan dua buah polinomial r(x) dan s(x) pada F[x], maka faktor persekutuan terbesar kedua polinomial tersebut dapat dihitung dengan sebuah aplikasi iteratif dari algoritma pembagian. Jika derajat dari s(x) lebih besar daripada derajat dari r(x), maka perhitungan dari GCD[r(x),s(x)] adalah:

(6)

…(2.25) dimana proses iteratif berhenti ketika diperoleh sisa hasil bagi sama dengan 0. Maka, faktor persekutuan terbesar dari r(x) dan s(x) adalah rn(x) atau

(6)

…(2.26) Misalkan diketahui F[x], ring dari polinomial pada field F. Jika dipilih sembarang monic polynomial p(x) dari F[x], maka dapat ditentukan ring hasil bagi dengan menggunakan p(x) sebagai modulus. Ring dari polinomial modulo p(x) adalah sebuah set dari semua polinomial dengan derajat yang lebih kecil daripada p(x).termasuk hasil dari penjumlahan polinomial dan perkalian polinomial modulo p(x).

Ring dari polinomial modulo p(x) adalah sebuah field jika dan hanya jika p(x) adalah sebuah primitive polynomial. Oleh karena itu, ketika sebuah primitive polynomial p(x) dari derajat m pada GF(q) ditemukan, maka dapat dikonstruksikan sebuah Galois Field GF(qm) dengan qm elemen. Elemen-elemen tersebut direpresentasikan dengan qm polinomial pada GF(q) dengan derajat yang lebih kecil daripada m.

(44)

2.6.5 Galois Field

Misalkan E adalah sebuah perluasan field dengan derajat m pada sebuah finite field F. Jika F memiliki q elemen, maka E memiliki qm elemen. Field semula disebut sebagai ground field. Oleh karena itu, field yang dibentuk dengan mengambil polinomial pada finite field F modulo p(x), dimana p(x) adalah sebuah irreducible polynomial dengan derajat m, disebut sebagai sebuah field perluasan E dengan derajat m pada F. Untuk beberapa pangkat prima dari q dan integer positif m, GF(qm) adalah sebuah field perluasan dari GF(q) atau GF(q) adalah sebuah subfield dari GF(qm).

Setiap Galois Field GF(q) memiliki paling sedikit satu elemen primitif (primitive element). Elemen primitif dari GF(q) adalah sebuah elemen α sedemikian sehingga setiap elemen field kecuali nol dapat diekspresikan sebagai perpangkatan dari α. Elemen primitif sangat berguna dalam mengkonstruksikan field, karena dapat diperoleh elemen field dengan melakukan operasi perkalian terhadap pangkat dari elemen primitif α.

Karena p(α) = 0, maka α adalah sebuah akar dari p(x), dan dapat dikatakan bahwa field perluasan diperoleh dari operasi penggabungan sebuah akar (root) dari p(x) ke ground field. Sebagai tambahan, GF(qn) bukan sebuah subfield dari GF(qm) jika n tidak dapat membagi m. Derajat dari minimal polynomial pada GF(q) dari sembarang elemen pada GF(qm) adalah sebuah pembagi dari m.

(45)

2.6.6 Primitif Polinomial

Sebuah irreducible polynomial p(x) dengan derajat m dikatakan primitif jika dan hanya jika dapat membagi xn + 1 untuk n yang lebih besar atau sama dengan 2m – 1. Kenyataannya, setiap primitive polynomial biner p(x) dengan derajat m adalah sebuah faktor dari x2 – 1 + 1. Primitive polynomial dari setiap derajat ada pada setiap Galois Field dan setiap Galois Field memiliki sebuah primitive element α. Galois Field GF(q) adalah sebuah field perluasan dari subfield GF(p) dimana p adalah sebuah bilangan prima. Sebagai contoh, field biner GF(2) adalah sebuah subfield dari Galois Field GF(2m) dengan q = 2m elemen (m > 1). Subfield dari GF(2) disebut juga sebagai ground field dari GF(2m). Subset {0, 1} membentuk sebuah subfield GF(2) dari GF(2m). Set GF(2m) = {0, 1, α, α2_{, …, α}2 – 1

} adalah sebuah Galois Field dengan 2m elemen. Tabel 2.1 memberikan sebuah daftar dari primitive polynomial pada GF(2)(9)

(46)

Tabel 2.1 Primitive Polynomial pada GF(2)

m p(x) 2 x2 + x + 1 3 x3 + x + 1 4 x4 + x + 1 5 x5 + x2 + 1 6 x6 + x + 1 7 x7 + x3 + 1 8 x8 + x4 + x3 + x2 + 1 9 x9 + x4 + 1 10 x10 + x3 + 1 11 x11 + x2 + 1 12 x12 + x6 + x4 + x + 1 13 x13 + x4 + x3 + x + 1 14 x14 + x10 + x6 + x + 1 15 x15 + x + 1 16 x16 + x12 + x3 + x + 1 17 x17 + x3 + 1 18 x18 + x7 + 1 19 x19 + x5 + x2 + x + 1 20 x20 + x3 + 1 21 x21 + x2 + 1 22 x22 + x + 1 23 x23 + x5 + 1 24 x24 + x7 + x2 + x + 1 25 x25 + x3 + 1 26 x26 + x6 + x2 + x + 1 27 x27 + x5 + x2 + x + 1

(47)

Operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan pada GF(2m) merupakan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 2. Jumlah elemen pada subfield terkecil dari GF(q) disebut sebagai karakteristik dari GF(q). Setiap Galois Field memiliki sebuah subfield terkecil yang unik, dimana memiliki jumlah elemen berupa bilangan prima. Oleh karena itu, GF(pm) adalah sebuah field dari karakteristik p untuk sembarang m. Sebagai contoh, karakteristik dari GF(2m) adalah 2.

2.6.7 Minimal Polinomial

Dalam sebuah finite field (field tertentu / terbatas) GF(q) dengan karakteristik p, maka berlaku:

(6)

…(2.27) untuk sembarang dua elemen α dan β pada GF(q).

Teorema di atas dapat digunakan untuk merumuskan ketentuan berikut:

Anggap bahwa karakteristik p dari sebuah finite field GF(q) adalah sebuah bilangan prima. Jika β1, β2, ..., βn ∈ GF(q) dan jika q adalah hasil perpangkatan

dari p, q = pm, maka:

(6)

…(2.28) Anggap β adalah sebuah elemen bukan nol pada finite field GF(q), maka

(6)

…(2.29)

Misalkan diketahui sebuah ground field GF(2) dan sebuah field perluasan GF(2m), serta anggap β adalah sembarang elemen field dari GF(2m), maka monic polynomial m(x) dari pangkat terkecil dengan koefisien pada GF(2) sedemikian

(48)

sehingga m(β) = 0 disebut sebagai minimal polynomial dari β. Rumusan untuk menentukan minimal polynomial dari β pada GF(2m) adalah sebagai berikut:

(6

…(2.30) Untuk β = αi

, maka minimal polynomial untuk beberapa nilai i memiliki solusi yang sama seperti ditunjukk an oleh Tabel 2.2(9)

Tabel 2.2 Rincian Minimal Polynomial

E Pangkat Konjugasi Minimal Polynomial

2.7 Kode Block Linear

Asumsikan output dari sebuat sumber informasi merupakan susunan bilangan biner “0” atau “1”. Pada pengkodean blok, susunan bit informasi ini disimpan dalam blok pesan dengan panjang yang tetap, dengan setiap satu blok pesan d menyimpan sebanyak k digit informasi. Jadi, ada total blok sepanjang 2k. Kemudian, encoder akan mentransformasikan setiap d menjadi sebuah set data n-biner c dengan ketentuan n > k. Set data n-biner-n c ini disebut sebagai code word dari d. Karena ada kemungkinan pesan sebanyak 2k-buah, maka terdapat 2k code word, yang disebut sebagai kode block. Setiap 2k code word yang dihasilkan haruslah berbeda, oleh sebab itu hubungan antara d dan c berkorespondensi satu-satu.

Untuk setiap kode block dengan 2k code word dan panjang n, kecuali disebutkan mempunyai struktur khusus, akan diperlukan peralatan yang rumit

(49)

untuk mengkodekan informasi dengan nilai k dan n yang besar. Untuk itu, dilakukan pembatasan struktur kode block yang disebut sebagai linearity.

Sebuah kode block dengan 2k code word dan panjang n dikatakan linear jika dan hanya jika 2k code word membentuk vektor berdimensi k untuk semua biner-n GF(2):

(8)

…(2.31) dimana : (8)

…(2.32)

dengan adalah matriks identitas k x k dan mengindikasikan matriks

k x ( n-k). Panjang baris menentukan banyak bit k dalam satu blok data dan panjang

kolom menentukan panjang kode n dalam satu blok kode.

Untuk memeriksa apakah kode yang diterima berisikan vektor kode yang benar,diperlukan suatu matrik parity-check H, yaitu sebuah matriks ( n-k ) x m yang didefinisikan sebagai :

(8)

…(2.33) dimana, adalah matriks transposisi dari pada persamaan 2.4. Matriks H ini diperlukan untuk memeriksa code word yang dihasilkan bebas dari error atau tidak, sesuai dengan persamaan:

(8)

(50)

Jika sindrom S yang dihasilkan bernilai nol, maka code word dinyatakan bebas dari error. Jika S ≠ 0, maka telah terjadi error pada code word yang diterima. Posisi error dapat diketahui dengan membandingkan nilai S dengan baris pada

.

2.7.1 Jarak Minimum

Jarak Minimum dmin menentukan kemampuan sebuah kode untuk

mendeteksi error secara acak sekaligus mengoreksi error tersebut. Jarak minimum dapat dihitung sebagai :

(8)

…(2.35)

Supaya sebuah kode linear dapat mengoreksi t error, maka nilai dmin harus

memenuhi persamaan :

(8)

…(2.36) yang berarti, nilai dmin harus selalu satu lebih banyak dari dua kali jumlah error

yang ingin dikoreksi. Semua kode linear (n,k) yang mempunyai jarak minimum sesuai persamaan (2.36) adalah kode yang sempurna.

2.7.2 Kode Siklis

Jika komponent dari sebuah set data-n digeser satu kali ke arah kanan, akan diperoleh sebuah set data-n yang baru:

(9)

…(2.37) yang disebut sebagai pergeseran siklis V. Demikian juga sebaliknya, jika set data-n V digeser ke arah kiri.

(51)

Sebuah kode linear C (n,k) disebut kode siklis jika setiap vektor kode C yang digeser juga merupakan vektor kode dari C.

Algoritma pengkodean sebuah kode siklis (n,k) adalah sebagai berikut(9) ; 1. Kalikan sumber informasi u(X) dengan ,

2. Cari digit parity-check, yaitu nilai sisa b(X) yang diperoleh dari membagi dengan generator polinomial g(X),

3. Code word yang diperoleh adalah hasil penjumlahan b(X) dan . Algoritma pengdekodean sebuah kode sikils (n,k) membutuhkan perhitungan sindrom pada bagian penerimaan. Pada pengdekodean kode linear, sindrom adalah vektor (n-k)-bit yang dihasilkan persamaan (2.34). Pada kode siklis, sindrom polinomial berderajat n – k – 1 atau kurang adalah :

(6)

…(2.38) dimana = polinomial yang diterima. Jika nilai = 0, maka tidak ada error yang terjadi.

2.8 Kode Hamming

Ide dasar pengkodean Hamming adalah menggunakan metode parity-checking, yaitu menambahkan satu bit parity pada blok data. Bit parity ini berfungsi untuk mendeteksi bit yang salah, sekaligus menentukan lokasi kesalahan bit tersebut. Tetapi pengkodean Hamming hanya sebatas mendeteksi dua kesalahan dan mengoreksi satu bit yang salah.

Untuk setiap integer positif m ≥ 3, terdapat parameter sebagai berikut (8): Panjang kode :

Jumlah simbol informasi : Jumlah simbol pariti-check :

(52)

Kapabilitas koreksi kesalahan :

Karena bit parity-check m sama dengan derajat pada generator polinomial, jumlah bit informasi untuk kode hamming dengan panjang n adalah sebesar k-bit. Dengan demikian secara umum, Kode Hamming bisa disebut juga sebagai kode linear ( n,k ).

Algoritma pembentukan kode Hamming dimulai dengan mengambil sebanyak k bit data yang dikalikan dengan generator matriks. Oleh karena itu dalam pengkodean Kode Hamming diperlukan adanya suatu generator matriks G. Bentuk umum generator matriks dari Kode Hamming yang sistematik sesuai persamaan (2.32).

Generator matriks untuk Kode Hamming (n,k) dapat juga dihitung menggunakan primitif polinomial sesuai dengan persamaan(6) :

…(2.39)

dimana,

Berikut langkah langkah untuk mengubah persamaan diatas menjadi persamaan 2.27 yang sistematis:

1. Gunakan g(x) sebagai baris pertama,

2. Untuk menghasilkan baris kedua, lakukan pergeseran bit yang ada di baris pertama sebanyak satu kolom ke kanan, dengan ketentuan kolom ke-( n - k ) harus bernilai 0. Jika kolom ini bernilai 1, tambahkan baris pertama :

(53)

3. Ulangi langkah kedua, untuk mendapatkan nilai baris selanjutnya. Ulangi proses ini sampai baris ke-( k – 1 ) dicapai.

Sebagai contoh, jika m = 3, maka sesuai parameter Kode Hamming:

, dan

.

Primitif polinomial untuk m = 3 berdasarkan Tabel 2.1 adalah : ,

sehingga Generator matriks sesuai persamaan (2.39) untuk Kode Hamming (7,4) adalah :

Kode Hamming (7,4) dapat dihasilkan sesuai persamaan (2.31). Misalnya, data yang ingin dikirim d = 1000, maka kode yang terbentuk :

Pada pengdekodean Kode Hamming, diperlukan adanya matriks parity-check H. Matriks parity-parity-check dapat dicari dengan menggunakan persamaan (2.32). Untuk generator matriks pada persamaan 2.34, matriks H yang dihasilkan adalah:

(54)

Matriks parity-check H ini ditransposisi menjadi untuk kemudian dikalikan dengan kode yang diterima c , sesuai persamaan (2.34).

Perhitungan sindrom ini untuk mengetahui apakah kode yang diterima benar

atau tidak. Jika sindrom yang dihasilkan bernilai nol, maka tidak ada error yang terdeteksi. Jika sindrom tidak bernilai nol, maka ada error terdeteksi.

Langkah selanjutnya adalah mencari posisi error. Caranya adalah

mentransposisikan sindrom S menjadi ST , dan membandingkan ST yang diperoleh dengan matriks parity-check. Setelah posisi error diketahui, dilakukan

pengoreksian, yaitu dengan cara menukar nilai bit yang ada, bit 1 menjadi bit 0, dan bit 0 menjadi bit 1. Tahap terakhir dari proses pengdekodean adalah

mengeluarkan bit bit parity.

2.9 Kode Reed- Solomon

Pada tahun 1960, Irving Reed dan Gus Solomon menemukan sebuah metode error correcting baru yang sekarang dikenal dengan nama Reed-Solomon (R-S) code. Reed-Solomon merupakan Kode non biner dengan simbol yang terbuat dari rangkaian m-bit, dimana m adalah bilangan integer positif yang memiliki nilai lebih besar dari 2. Terdapat R-S(n, k) code yang terdiri dari m-bit simbol untuk semua n dan k:

0 < k < n < 2m + 2(5) ...(2.41) dimana k adalah jumlah simbol data yang diproses dan n adalah jumlah total simbol dalam 1 blok yang di-encode. Bentuk umum R-S(n, k) code adalah:

(55)

R-S(n, k) = R-S(2m – 1, 2m – 1 – 2t) (5) ...(2.42) dimana t adalah jumlah maksimum error yang dapat dikoreksi, dan n – k = 2t adalah jumlah simbol pariti.

Untuk kode non biner, jarak antara 2 buah codeword adalah banyaknya jumlah simbol yang berbeda antara kedua buah codeword. Untuk Reed-Solomon code, jarak minimum code adalah:

dmin = n – k + 1(5) ...(2.43)

dengan kemampuan untuk mengoreksi hingga t error, maka t dapat dinotasikan:

(5)

…(2.44) dimana x berarti bilangan integer terbesar yang tidak melebihi x. Dari persamaan tersebut, dapat disimpulkan R-S code membutuhkan tidak lebih dari 2t simbol pariti untuk mengkoreksi t simbol error.

Metode Reed-Solomon dapat dibagi dalam 2 proses yaitu:

1. Pengkodean, dilakukan dengan merepresentasikan data ke dalam bentuk simbol-simbol yang kemudian diubah menjadi codeword. Proses encoding dimulai dari pembentukan generator polinomial dengan bentuk umum:

g(x) = g0 + g1x + g2x2 + ... + g2t-1x2t-1 + x2t(5) ...(2.45)

Derajat dari generator polinomial sebanding dengan jumlah simbol pariti. Karena generator polinomial memiliki derajat sebesar 2t, maka tepat ada 2t root yang dimiliki oleh generator polinomial tersebut yaitu α, α2, α3, ..., α2t. Harus diingat bahwa operasi aritmatika yang berlaku disini adalah aritmatika pada GF(23) karena simbol yang digunakan terdiri dari m = 3 bit. Itu dapat terlihat dari besarnya nilai n = 7 = 2m – 1 = 23 – 1. Jika dituliskan mulai dari derajat yang terendah hingga yang tertinggi dan mengubah tanda minus (-)