ANALISIS MODEL REGRESI NONPARAMETRIK SIRKULAR-LINEAR BERGANDA
KOMPETENSI STATISTIKA
SKRIPSI
KOMANG CANDRA IVAN 1108405007
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA
ii
LEMBAR PERSEMBAHAN
Dengan rasa syukur yang mendalam tulisan ini saya persembahkan kepada:
Ida Sang Hyang Widhi Wasa
Atas segala anugerahNya yang sangat melimpah,
Ayah, Ibu, Kakak, Adik, dan seluruh keluarga besar
Atas segala doa, dukungan, motivasi, dan inspirasi yang selalu menyertai,
“Sahabat kumpul bareng” Hardi Karmana, Alit Putra, Agus Widhiantara, dan anggota Markas Sading lainnya
Atas dukungan, motivasi dan segala bantuannya,
Sahabat di Jurusan Matematika, FMIPA Unud
Atas segala doa, semangat dan dukungannya dalam menyelesaian TA ini.
iii
ANALISIS MODEL REGRESI NONPARAMETRIK SIRKULAR-LINEAR
BERGANDA
KOMPETENSI STATISTIKA [SKRIPSI]
Sebagai syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains bidang Matematika
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Udayana
Tulisan ini merupakan hasil penelitian yang belum pernah dipublikasikan
KOMANG CANDRA IVAN 1108405007
Pembimbing II Pembimbing I
iv
LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR
Judul : Analisis Model Regresi Nonparametrik Sirkular-Linear Berganda
Kompetensi : Statistika
Nama : Komang Candra Ivan
NIM : 1108405007
Tanggal Seminar : 18 Maret 2016
Disetujii oleh:
Pembimbing II Pembimbing I
Made Susilawati, S.Si., M.Si. I Wayan Sumarjaya, S.Si., M.Stats. NIP. 197109021998022001 NIP. 197704212005011001
Penguji I
I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si., M.Stats. NIP.197704212005011001
Penguji III Penguji II
Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si., M.Si. Ir. I Komang Gde Sukarsa, M.Si. NIP.197405282002122002 NIP. 196501051991031004
Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
v
Judul : Analisis Model Regresi Nonparametrik Sirkular-Linear Berganda Nama : Komang Candra Ivan
Pembimbing : 1. I Wayan Sumarjaya, S.Si., M.Stats. 2. Made Susilawati, S.Si., M.Si.
ABSTRAK
Data sirkular adalah data yang dapat digambarkan dalam besaran vektor. Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data sirkular adalah analisis statistika sirkular. Dalam analisis regresi, jika salah satu atau keduanya dari variabel prediktor atau variabel respons adalah data sirkular, maka analisis regresi yang digunakan disebut analisis regresi sirkular. Data pengamatan pada statistika sirkular yang bersatuan arah atau waktu memiliki kecenderungan tidak memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji parametrik, sehingga regresi nonparamterik bisa menjadi solusi. Estimasi fungsi regresi nonparametrik menggunakan estimator kernel epanechnikov untuk variabel linear dan von Mises untuk variabel sirkular. Hasil penelitian memperoleh hasil analisis data sirkular dengan statistika deskriptif sirkular memiliki hasil yang lebih baik daripada penggunaan statistika secara umum. Regresi nonparametrik sirkular-linear berganda dengan estimator kernel epanechnikov dan von Mises tidak menghasilkan model estimasi secara eksplisit seperti regresi parametrik melainkan estimasi dari titik-titik amatan.
vi
Title : Nonparametric Cicular-Linear Multiple Regression Model Analysis Name : Komang Candra Ivan
Supervisor : 1. I Wayan Sumarjaya, S.Si., M.Stats. 2. Made Susilawati, S.Si., M.Si.
ABSTRACT
Circular data are data which value are in form of vector. Statistic analysis that is used in analyzing circular data is circular statistic analysis. In regression analysis, if any of predictor or response variables or both are circular then the regression analysis used is called circular regression analysis. Observation data in circular statistic which use direction and time units usually don’t satisfy all of the parametric assumptions, thus making nonparametric regression as a good solution. Nonparametric regression function estimation is using epanechnikov kernel estimator for the linier variables and von Mises kernel estimator for the circular variable. This study showed that the result of circular analysis by using circular descriptive statistic is better than common statistic. Multiple circular-linier nonparametric regressions with Epanechnikov and von Mises kernel estimator didn’t create estimation model explicitly as parametric regression does, but create estimation from its observation knots instead.
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widhi Wasa
karena berkat rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul “Analisis Model Regresi Nonparametrik Sirkular-Linear Berganda”
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai
pihak yang telah memberikan bantuan sehingga tugas akhir ini dapat tersusun
dengan baik, antara lain:
1. Ibu Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si., M.Si selaku Ketua Jurusan
Matematika F.MIPA Universitas Udayana.
2. Bapak I Wayan Sumarjaya, S.Si, M.Stats selaku ketua komisi Tugas Akhir
dan sekaligus selaku pembimbing I telah banyak membantu dan
membimbing dalam penyusunan tugas akhir ini
3. Ibu Made Susilawati, S.Si., M.Si sebagai pembimbing II yang telah
banyak memberikan bimbingan, dukungan dan arahan hingga
terselesaikannya tugas akhir ini.
4. Dosen penguji yaitu I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si., M.Stats., Ir. I
Komang Gde Sukarsa, M.Si., dan Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si., M.Si.,
yang telah memberikan banyak masukan dalam penyempurnaan tugas
akhir ini.
5. Bapak dan Ibu dosen di Jurusan Matematika yang telah memberikan saran
viii
6. Keluarga, terutama kedua orang tua yang telah memberikan dukungan
secara materi, memberikan semangat dan doa dalam menyelesaikan tugas
akhir ini.
7. Teman-teman beserta semua pihak yang telah memberikan semangat dan
membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa tugas akhir ini belum sempurna.
Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan.
Bukit Jimbaran, 18 Maret 2016
ix
BIODATA ALUMNI
Nama Lengkap : Komang Candra Ivan
NIM : 1108405007
Jenis Kelamin : Laki-laki
Tempat, Tanggal Lahir : Busungbiu, 20 November 1992
Alamat : Banjar Kaja, Desa Busungbiu, Kec. Busungbiu, Kab. Buleleng, Bali
Agama : Hindu
Tanggal Lulus : 18 Maret 2016
Kompetensi : Statistika IP Kumulatif : 3,45
Predikat Kelulusan : Sangat Memuaskan
Nilai TOEFL Lokal : 500
Email : candraivankomang@gmail.com
Nomor HP : 081246290270
Nama Ayah : I Wayan Lain
Nama Ibu : Ni Ketut Sumiati
x
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
LEMBAR PERSEMBAHAN ... ii
LEMBAR PERNYATAAN ... iii
LEMBAR PENGESAHAN ... iv
ABSTRAK ... v
ABSTRACT ... vi
KATA PENGANTAR ... vii
BIODATA ALUMNI ... ix
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR TABEL ... xii
DAFTAR GAMBAR ... xiii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 4
1.3 Tujuan Penelitian ... 4
1.4 Manfaat Penelitian ... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 6
2.1 Data ... 6
2.1.1 Ukuran Pemusatan Data ... 6
xi
2.2 Data dan Statistika Sirkular ... 8
2.2.1 Ukuran Pemusatan Data Sirkular ... 11
2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Sirkular ... 16
2.3 Regresi Sirkular ... 16
2.4 Regresi Nonparametrik ... 18
2.4.1 Kernel Standar ... 18
2.4.2 Kernel Sirkular ... 20
2.5 Bandwidth ... 21
2.6 Regresi Nonparametrik Sirkular – Linear Berganda ... 22
BAB III METODE PENELITIAN ... 26
3.1 Jenis Data ... 26
3.2 Identifikasi Variabel Penelitian ... 26
3.3 Metode Analisis... 26
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 28
4.1 Deskripsi Data ... 28
4.2 Analisis Regresi Nonparametrik Sirkular-Linear Berganda ... 33
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN... 42
5.1 Kesimpulan ... 42
5.2 Saran ... 42
DAFTAR PUSTAKA ... 44
xii
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
4.1. Statistika Deskriptif Data Curah Hujan, Temperatur Maksimum,
Temperatur Minimum, Kecepatan Angin, dan Arah Angin ... 28
4.2. Statistika Deskriptif Data Arah Angin ... 29
4.3. Nilai Bandwidth dan CV untuk Variabel Temperatur Maksimum ... 34
4.4. Nilai Bandwidth dan CV untuk Variabel Temperatur Minimum ... 35
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
2.1. Hubungan Koordinat Kartesius dengan Koordinat Polar ... 9
2.2. Arah Acuan dan Arah Rotasi Pengamatan ... 10
2.3. Diagram Pancar (a), Histogram Siklik (b), dan Diagram Mawar (c) ... 11
2.4. Arah Rata-rata Sirkular dengan Statistika Linear untuk Dua Buah Pengamatan ... 12
2.5. Arah Rata-rata Sirkular dengan Statistika Linear untuk Empat Buah Pengamatan... ... 12
2.6. Median Sirkular untuk Data Genap dan Data Ganjil ... 15
2.7. Media Sirkular dan Median Linear ... 15
4.1. Histogram Data Curah Hujan ... 29
4.2. Histogram Data Kecepatan Angin ... 30
4.3. Histogram Data Temperatur Maksimum ... 30
4.4. Histogram Data Temperatur Minimum ... 31
4.5. Diagram Pancar Arah Angin ... 32
4.6. Plot dan ̂ Terhadap Hari Untuk Semua Data Amatan ... 39
4.7. Plot dan ̂ Terhadap Hari Untuk 150 Data Amatan Pertama ... 39
4.8. Plot Residual Terhadap Hari Untuk Semua Data Amatan ... 40
xiv
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran
1. Data Curah Hujan, Temperatur Maksimum, Temperatur Minimum, Kecepatan Angin, dan Arah Angin.
2. Program Statistika Deskriptif dengan Bantuan Software R.
3. Program Statistika Deskriptif Data Sirkular Arah Angin dengan Bantuan Software R.
4. Program Untuk Menentukan Nilai Bandwidth Optimal pada Variabel Temperatur Maksimum Berdasarkan Kriteria CV dengan Kernel Epanechnikov dengan Bantuan Software R.
5. Output Nilai Bandwidth (h) dan CV dengan Kernel Epanechnikov Untuk Variabel Temperatur Maksimum.
6. Program Untuk Menentukan Nilai Bandwidth Optimal pada Variabel Arah Angin Berdasarkan Kriteria CV dengan Bantuan Software R.
7. Program Untuk Menentukan Nilai Fungsi Bessel Termodifikasi Orde Nol dengan Bandwidth sirkular 6,42 dengan Bantuan Software MATLAB R2009a.
8. Fungsi Linear Sirkular
9. Program Untuk Menentukan Nilai Fungsi Linear-Sirkular dengan Bantuan Software MATLAB R2009a.
10. Output Fungsi Linear Sirkular .
11. Program Untuk Menentukan Penduga Kernel ̂ dengan Bantuan Software MATLAB R2009a.
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Dalam beberapa kasus penelitian, peneliti terkadang harus melakukan
pengukuran terhadap data yang bersatuan waktu atau derajat arah yang
nilai-nilainya berulang secara periodik. Sebagai contoh penelitian pada bidang biologi
tentang arah migrasi hewan menghasilkan data pengamatan yang bersatuan arah.
Kumpulan data pengamatan yang bersatuan arah disebut data berarah (directional
data). Jika penelitian tentang arah migrasi hewan tersebut dilakukan pada jarak
migrasi tertentu, maka data pengamatan yang diperoleh akan memiliki besaran
vektor. Jika pengamatan tersebut digambarkan dalam besaran vektor, maka data
pengamatan disebut data sirkular (circular data) (Jammalamadaka dan SenGupta,
2001).
Berbeda dengan data pada umumnya, data sirkular tidak memiliki nilai
minimum dan maksimum dan data awalnya sama dengan data terakhir yaitu data
pada arah 0 radian akan sama dengan data pada arah radian untuk bilangan
bulat positif. Untuk menganalisis data sirkular ada dua fungsi trigonometri yang
dapat digunakan untuk menentukan posisi data yaitu fungsi sinus dan cosinus.
Analisis statistika yang dapat digunakan untuk menganalisis data sirkular adalah
analisis statistika sirkular. Penggunaan fungsi sinus dan cosinus dalam melakukan
pengukuran rataan pada analisis statistika sirkular mengakibatkan pengukuran
rataan pada data sirkular yang bersatuan arah atau waktu dengan analisis statistika
2
Analisis statistika yang digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan
antara variabel prediktor (independent variable) dengan variabel respons
(dependent variable) adalah analisis regresi. Jika salah satu atau keduanya dari
variabel prediktor atau variabel respons tersebut merupakan data sirkular, maka
analisis regresi yang digunakan disebut analisis regresi sirkular. Regresi sirkular
dibagi menjadi tiga jenis (Scoot, 2002) yaitu regresi sirkular–linear
(circular-linear regression), regresi sirkular-sirkular (circular-circular regression), dan
regresi linear-sirkular (linear-circular regression). Diagnosis data sebelum
melakukan penelitian akan sangat bermanfaat untuk menentukan jenis regresi
yang digunakan. Penelitian yang dilakukan Nurhab (2014), menunjukkan bahwa
dalam membangun model antara dua variabel prediktor sirkular dengan sebuah
variabel respons linear, penggunaan analisis regresi linear berganda menghasilkan
model regresi yang kurang baik dibandingkan dengan penggunaan analisis regresi
sirkular.
Pada umumnya, di antara tiga jenis regresi sirkular yang paling sering
digunakan dalam penelitian adalah regresi sirkular-linear atau pengembangannya
(Scoot, 2002), tetapi penelitian menggunakan pengembangan regresi
sirkular-linear dengan variabel prediktornya sirkular dan sirkular-linear masih jarang dilakukan.
Dalam analisis regresi terdapat dua teknik pendekatan yang dapat digunakan
untuk mengestimasi fungsi atau kurva regresi yaitu pendekatan parametrik dan
nonparametrik. Pengamatan-pengamatan pada statistika sirkular yang bersatuan
arah atau waktu akan memiliki kecenderungan tidak memenuhi asumsi-asumsi
3
Pada uji parametrik, pemilihan model yang tidak tepat akan berdampak pada hasil
yang kurang memuaskan dan kurva yang dibentuk juga kurang sesuai, meskipun
transformasi data masih bisa menjadi solusi, tetapi kesalahan dalam transformasi
data bisa menghasilkan model yang lebih rumit (Sukarsa dan Srinadi, 2012).
Regresi nonparametrik bisa menjadi alternatif dalam penelitian jika
pengamatan-pengamatan tidak memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji
parametrik karena penggunaan uji nonparametrik berlandaskan asumsi yang
umum dan tidak memperhatikan asumsi kenormalan galat. Dalam regresi
nonparametrik, estimasi fungsi menggunakan teknik smoothing. Estimator kernel
adalah salah satu teknik smoothing yang paling umum digunakan dalam regresi
nonparametrik karena dapat memberikan langkah-langkah yang mudah dipahami
dalam menemukan struktur dari data (Wand dan Jones, 1995).
Penelitian yang menggunakan analisis regresi sirkular atau
pengembangannya telah dilakukan pada banyak bidang penelitian sebagai
alternatif untuk melakukan pengukuran pada data sirkular, seperti penelitian yang
dilakukan pada bidang biologi, geografi, geologi-geofisika, kedokteran,
meteorologi dan klimatologi, dan kelautan. Penelitian sebelumnya yang
menggunakan analisis regresi sirkular-linear dilakukan oleh Qin (2011) yang
membangun model regresi nonparametrik sirkular-linear berganda yang
diaplikasikan pada data energi angin yang dipengaruhi oleh waktu, kecepatan
angin, dan arah angin menghasilkan kesimpulan yaitu penggunaan regresi
4
regresi parametrik. Penelitian lainnya dilakukan oleh Nurhab (2014) yang
membangun model regresi berganda sirkular(2)-linear pada variabel sirkular yaitu
arah angin dan arah awan terhadap variabel linear yaitu curah hujan di Bogor,
menghasilkan kesimpulan yaitu dalam menganalisis data sirkular, penggunaan
analisis regresi sirkular menghasilkan model yang lebih baik dibandingkan
penggunaan analisis regresi linear berganda.
Banyaknya kasus data berarah yang dianalisis secara umum menjadi
motivasi bagi penulis untuk melakukan penelitian lebih lanjut dengan
menggunakan analisis regresi nonparametrik sirkular-linear berganda antara
variabel respons linear dengan variabel prediktor sirkular dan linear.
1.2Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang penelitian, maka rumusan masalah dalam
penelitian ini adalah sebagai berikut
1. Bagaimana penerapan statistika sirkular pada data berarah atau data sirkular?
2. Bagaimana model regresi nonparametrik sirkular-linear berganda antara
variabel respons linear dengan variabel prediktor sirkular dan linear?
1.3Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini, yaitu sebagai berikut:
1. untuk mengetahui penerapan statistika sirkular pada data berarah atau data
sirkular;
2. untuk mengetahui model regresi nonparametrik sirkular-linear berganda
5
1.4Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan bermanfaat bagi:
1. Bagi Peneliti
Penelitian ini bermanfaat bagi peneliti yang ingin melakukan pengukuran
atau penelitian terhadap data yang bersatuan arah atau waktu karena dapat
menjadi metode alternatif dalam melakukan penelitian terhadap data yang
bersatuan arah atau waktu.
2. Bagi Mahasiswa
Penelitian ini bermanfaat bagi mahasiswa sebagai tambahan bahan ajaran
6 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini membahas teori-teori dasar yang digunakan sebagai landasan
pembahasan pada bab selanjutnya. Pembahasan teori meliputi pengertian data
secara umum dan data sirkular, ukuran pemusatan dan penyebaran data, regresi
sirkular, regresi nonparametrik, dan regresi nonparametrik sirkular-linear
berganda.
2.1 Data
Data adalah nilai numerik hasil dari sebuah pengamatan (observation)
yang dalam penelitian diasumsikan sebagai variabel (Kitchens, 1998). Data diolah
oleh peneliti dan kemudian diinterpretasikan sehingga dapat dimengerti oleh
orang lain yang tidak secara langsung melakukan pengamatan atau pengumpulan
fakta dari sebuah kejadian.
2.1.2 Ukuran Pemusatan Data
Ukuran pemusatan data memberikan informasi tentang titik-titik di mana
data pengamatan terpusat atau terkumpul dan dapat juga menjadi ciri khas dari
kumpulan data pengamatan (Kitchens, 1998).
A. Nilai tengah (mean)
Jika adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran ,
7
∑ . (2.1)
Sedangkan, jika adalah sampel berukuran , maka nilai tengah
sampelnya adalah
̅ ∑ (2.2)
B. Median
Median memiliki sifat membagi dua sama banyak kumpulan data yang
telah diurutkan sebelumnya. Jika banyak data ganjil, maka median adalah data
yang tepat berada di tengah yaitu pada amatan . Sedangkan, jika banyak
data genap, maka median berada di antara dua data yang berada di tengah yaitu
rata-rata dari pengamatan dan pengamatan .
C. Modus
Modus adalah suatu nilai amatan yang paling sering muncul dalam
melakukan penelitian. Nilai modus dalam penelitian mungkin saja akan lebih dari
satu. Penyajian data dalam bentuk grafik akan mempermudah dalam menentukan
nilai modus dari kumpulan data.
2.1.3 Ukuran Penyebaran Data
Ukuran penyebaran data merupakan suatu informasi yang diperoleh dalam
penelitian yang memberikan penjelasan seberapa jauh data-data yang diperoleh
menyebar dari titik pemusatannya (Kitchens, 1998). Ukuran penyebaran data yang
8
rata-rata jarak kuadrat semua titik pengamatan terhadap titik pusat atau rataan.
Jika adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran , maka
ragam populasinya adalah
∑ (2.3)
Sedangkan, jika adalah anggota suatu sampel berukuran , maka
ragam sampelnya adalah
∑ ̅ (2.4)
2.2 Data dan Statistika Sirkular
Data sirkular adalah data yang nilai-nilainya berulang secara periodik
dengan responnya bukan skalar tetapi angular atau berarah sehingga dikategorikan
sebagai data berarah (Jammalamadaka dan SenGupta, 2001). Pengukuran data
sirkular biasanya dalam satuan derajat sampai atau dalam satuan radian
dari 0 radian sampai radian.
Dua alat yang sering digunakan untuk membantu dalam pemilihan arah
pada proses pengukuran data sirkular adalah kompas dan jam. Dalam melakukan
pengukuran, arah utara pada kompas dan pukul 00.00 pada jam biasanya disebut
arah atau 0 radian. Arah migrasi hewan, arah terbang burung, atau arah angin
dihitung dengan bantuan kompas. Waktu kejadian kasus kecelakaan, waktu
kejadian kasus kriminal, waktu datangnya pasien dalam 24 jam di sebuah rumah
9
Berbeda dengan data pada umumnya yang hanya memiliki satu dimensi
pengukuran, data sirkular memiliki dua dimensi pengukuran yaitu jika
pengamatan digambarkan pada koordinat kartesius dapat dinyatakan sebagai
nilai atau pada koordinat polar dapat dinyatakan sebagai nilai dengan
sebagai jarak titik dari titik pusat pada sudut .
Gambar 2.1 Hubungan Koordinat Kartesius dengan Koordinat Polar (Nurhab, 2014)
Pada Gambar 2.1. perubahan koordinat polar menjadi koordinat kartesius dapat
menggunakan persamaan trigonometri berikut
dan . (2.5)
Perbedaan lainnya dengan data pada umumnya adalah data sirkular tidak
memiliki nilai minimum dan maksimum karena data awal sama dengan data akhir
yaitu radian sama dengan radian. Nilai pengamatan pada sudut akan
memiliki nilai yang sama dengan pengamatan yang terletak pada sudut
untuk bilangan bulat positif, karena dalam analisis sirkular yang diperhatikan
adalah arah bukan besaran vektor yaitu setiap titik pengamatan pada keliling
lingkaran menyatakan sebuah arah. Pada Gambar 2.1, sebuah pengamatan
menyatakan arah yang dibuat vektor terhadap sumbu positif atau
menyatakan arah yang dibuat vektor terhadap sumbu positif. Koordinat
kartesius amatan tersebut adalah dan koordinat polarnya x
y
10
adalah . Karena yang diperhatikan adalah arah, maka jarak setiap amatan
dari titik pusat dibuat sama dengan 1 . Sehingga diambil vektor-vektor
tersebut menjadi vektor unit yaitu vektor dengan panjang satuan .
Representasi data sirkular dalam arah yang dipengaruhi sudut tentu tidak
selalu unik yaitu nilai angularnya bergantung pada pemilihan arah acuan dan
arah rotasi apakah searah dengan arah perputaran jarum jam (clockwise) atau
berlawanan arah perputaran jarum jam (counter-clockwise) (Jammalamadaka dan
SenGupta, 2001). Pemilihan arah utara sebagai arah acuan mengakibatkan arah
perputaran positif yaitu searah dengan arah perputaran jarum jam, sedangkan
pemilihan arah timur sebagai arah acuan mengakibatkan arah perputaran
positif yaitu berlawanan arah perputaran jarum jam. Pada Gambar 2.2, arah
adalah jika arah acuannya adalah arah utara dan arah rotasinya searah
perputaran jarum jam, atau jika arah acuannya adalah arah timur dan arah
rotasinya berlawanan arah perputaran jarum jam.
Gambar 2.2. Arah Acuan dan Arah Rotasi Pengamatan
Dalam analisis regresi sirkular-linear, perbedaan pemilihan arah acuan
tidak memengaruhi koefisien determinasi dan statistik lima serangkai yaitu
r P Utara
11
statistik minimum, kuartil bawah, median, kuartil atas, dan statistik maksimum
dari sisaannya, tetapi memengaruhi hasil dugaan parameter persamaan regresi
sirkular-linear. Sedangkan perbedaan pemilihan arah rotasi tidak berpengaruh
terhadap persamaan regresi sirkular-linear yang dibentuk (Nurussadad, 2011).
Representasi data sirkular dalam bentuk grafis menjadi hal yang sangat
penting dan bentuknya tentu akan berbeda dengan representasi grafis data pada
umumnya. Bentuk grafis yang biasa digunakan dalam analisis data sirkular adalah
Gambar 2.3. Diagram Pancar (a), Histogram Siklik (b), dan Diagram Mawar (c)
(Nurhab, 2014)
2.2.1 Ukuran Pemusatan Data Sirkular
Mengalisis data sirkular menggunakan dua fungsi trigonometri yaitu
fungsi sinus � dan fungsi cosinus . Sehingga cara menghitung ukuran pemusatan
dan ukuran penyebaran data sirkular akan berbeda dengan cara menghitung
ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran pada umumnya.
A. Arah rata-rata sirkular
Menurut Jammalamadaka dan SenGupta (2001), menentukan arah
rata-rata data sirkular menggunakan metode yang digunakan pada statistika linear
dapat menghasilkan arah rata-rata yang tidak sesuai dengan pusat dari data
12
pengamatan yang diperoleh. Sebagai contoh penelitian tentang arah migrasi
burung. Misalkan dua burung terbang ke arah dan ke arah dan dipilih
arah acuan nol derajat yaitu arah utara dan arah rotasi searah dengan arah
perputaran jarum jam seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.4. Arah Rata-rata Sirkular dengan Statistika Linear untuk Dua Buah Pengamatan.
Pada Gambar 2.4, dengan menggunakan statistika linear diperoleh arah
rata-rata yaitu yang menuju ke arah selatan, meskipun arah terbang kedua
burung tersebut lebih terkonsentrasi ke arah utara. Jika dimisalkan lagi terdapat
empat burung yang bermigrasi masing-masing ke arah , dan
dengan arah acuan dan arah rotasi yang sama, maka dengan statistika linear
diperoleh arah rata-rata yaitu yang menuju ke arah selatan seperti yang
ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.5. Arah Rata-rata Sirkular dengan Statistika Linear untuk Empat Buah Pengamatan.
13
Pada Gambar 2.5, dengan menggunakan statistika linear diperoleh arah
rata-rata yaitu yang menuju ke arah selatan meskipun data semakin
terkonsentrasi ke arah utara. Berdasarkan contoh tersebut, dapat ditunjukkan
bahwa metode yang digunakan untuk mencari nilai rata-rata statistika linear tidak
cukup baik untuk diterapkan pada data sirkular. Keragaman data sampel yang
sangat bergantung pada nilai rata-rata tentu juga akan sangat dipengaruhi nilainya.
Menentukan arah rata-rata untuk data sirkular dilakukan dengan
memperlakukan data sirkular dalam vektor unit dan menggunakan arah dari
vektor resultannya (Jammalamadaka dan SenGupta, 2001). Arah rata-rata sirkular
̅ diperoleh dari
̅ , (2.6)
̅ , (2.7)
dengan � adalah fungsi cosinus dan fungsi sinus yang diperoleh dari
∑ (2.8)
� ∑ (2.9)
dengan adalah pengamatan ke- dan panjang vektor resultan diperoleh dari
14
Vektor resultan dari vektor unit diperoleh dengan menjumlahkan
semua komponen arahnya
� . (2.11)
Balikan kuadran tertentu (invers quadrant-specific) tangen dari arah
rata-rata sirkular ̅ diberikan untuk segala kemungkinan nilai fungsi dan � yaitu
̅
{
(2.12)
B. Median data sirkular
Mardia (1972) dalam Otieno (2002) menyatakan bahwa median sampel ̃
dari data sampel sirkular adalah titik pada keliling lingkaran yang
memiliki sifat :
1. Diameter dengan adalah anti-median membagi lingkaran menjadi
dua bagian, yang setiap bagiannya memiliki jumlah pengamatan sama
banyak.
2. Sebagian besar data pengamatan berada disekitar titik dibandingkan di
titik .
Jika > dan � ≥ Jika dan � > Jika <
15
Gambar 2.6. Median Sirkular untuk Data Genap dan Data Ganjil (Otieno, 2002)
Jika banyak data adalah genap, maka median sampel sirkular berada di
antara dua pengamatan yang berdekatan dengan . Sedangkan jika banyak data
adalah ganjil, maka median sampel sirkular adalah sebuah titik data pengamatan.
Proses menentukan median pada data sirkular tidak bisa disamakan dengan proses
penentuan median pada data linear yaitu prosedur pengurutan data dari data
amatan terkecil sampai data amatan terbesar tidak bisa diterapkan pada penentuan
median data sirkular (Otieno, 2002). Sebagai contoh, penelitian terhadap arah
terbang tujuh ekor burung yaitu ke arah , , , , , , dan
seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.7. Median Sirkular dan Median Linear
Pada Gambar 2.7., dengan memilih arah acuan nol derajat yaitu arah utara, arah
rotasi searah dengan arah perputaran jarum jam dan dengan menggunakan
prosedur yang diperkenalkan Mardia (1972) dalam Otieno (2002) diperoleh
16
median sirkular pada arah . Sedangkan, jika digunakan prosedur pengurutan
data yang digunakan pada data linear, maka diperoleh median sirkular pada arah
. Tentu saja tidak sama dengan . Shepherd dan Fisher (1982) dalam
Otieno (2002) mengemukakan bahwa bantuan grafik akan sangat membantu
menentukan median sirkular.
C. Modus data sirkular
Modus data sirkular akan mudah ditentukan dengan bantuan grafik. Nilai
modus akan muncul pada data yang terkonsentrasi di keliling lingkaran pada
sudut atau arah tertentu. Seperti data pada umumnya, data sirkular mungkin saja
memiliki nilai modus lebih dari satu.
2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Sirkular
Mardia (1976) dalam Nurhab (2014) mendefinisikan ragam sampel
sirkular sebagai
̅ (2.13)
dengan adalah panjang vektor resultan dan ̅ adalah panjang rata-rata dari
vektor resultan dengan ̅ . Nilai ragam yang semakin kecil menandakan
data semakin terkonsentrasi menuju suatu titik tertentu.
2.3 Regresi Sirkular
Variabel dalam suatu regresi terdiri dari variabel prediktor (independent
17
dengan analisis regresi jika dilihat dari jenis variabelnya akan membentuk tiga
jenis model regresi sirkular yaitu (Scoot, 2002):
1. Regresi Sirkular–Linear (circular-linear regression)
Regresi sirkular–linear yaitu analisis regresi dengan variabel prediktor
sirkular dan variabel responnya linear. Regresi sirkular–linear merupakan analisis
regresi sirkular yang paling sering digunakan. Menurut SenGupta dan Ugwuowo
(2006) model regresi sirkular linear antara variabel respons linear dan variabel
prediktor sirkular adalah
(2.14)
dengan dan adalah parameter yang belum diketahui nilainya, adalah
sebuah acrophase, dan adalah komponen galat acak. Sedangkan, adalah
frekuensi angular (angular frequency) yaitu
(2.15)
atau
(2.16)
dengan adalah periode.
2. Regresi Sirkular-Sirkular (circular-circular regression)
Regresi sirkular-sirkular yaitu analisis regresi dengan variabel prediktor
18
3. Regresi Linear-Sirkular (linear-circular regression)
Regresi linear-sirkular yaitu analisis regresi dengan variabel prediktor
linear dan variabel respons sirkular.
2.4 Regresi Nonparametrik
Statistika nonparametrik adalah statistika bebas sebaran yang digunakan dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi pada statistika
parametrik. Statistika nonparametrik disebut juga statistika bebas distribusi.
Bentuk kurva dalam regresi nonparametrik tidak diketahui dan diasumsikan
termuat dalam suatu ruang fungsi berdimensi tak hingga dan merupakan fungsi
yang mulus (smooth).
Dalam statistika nonparametrik bentuk kurva yang kurang mulus dapat
dipermulus (smoothing) dengan menggunakan teknik smoothing tertentu. Tujuan
dari smoothing adalah membuang variabilitas dari data yang tidak memiliki
efek-efek sehingga ciri-ciri dari data tampak lebih jelas. Salah satu teknik smoothing
yang umum digunakan adalah estimator kernel pada pemanfaatannya
dilakukan pada setiap titik data (Sukarsa dan Srinadi, 2012).
2.4.1 Kernel Standar
Estimator kernel merupakan pengembangan dari estimator histogram.
Menurut Wand dan Jones (1995) bentuk fungsi kernel secara umum yaitu
19
dengan adalah parameter pemulus (smoother) yang disebut bandwidth. Fungsi
kernel memiliki beberapa sifat yaitu:
1. ≥ untuk semua (2.18)
2. ∫ (2.19)
3. ∫ > (2.20)
4. ∫ (2.21)
5. , untuk semua (sifat simetris) (2.22)
Beberapa jenis fungsi kernel yang umum digunakan yaitu
1. Kernel Uniform : | | (2.23)
2. Kernel Segitiga : | | | | (2.24)
3. Kernel Epanechnikov : | | (2.25)
4. Kernel Kuartik :
| | (2.26)
5. Kernel Triweight :
| | (2.27)
6. Kernel Cosinus : | | (2.28)
7. Kernel Gaussian :
√ ( ) < < (2.29)
dengan adalah fungsi indikator untuk suatu himpunan yaitu
{
20
2.4.2 Kernel Sirkular
Kernel sirkular untuk orde dan parameter pemulus (smoothing) >
adalah fungsi [ yang memiliki sifat (Marzio et al., 2009):
(i) untuk [ , representasi deret Fourier konvergen ke
{ ∑⁄ }
(ii) nyatakan ∫ kemudian ,
untuk < < , dan ;
(iii) apabila naik, maka ∫ menuju 1 untuk
Kernel von Mises adalah kernel sirkular orde kedua (second-order circular
kernel) yang memiliki bentuk
[ ] (2.31)
dengan adalah variabel prediktor sirkular, adalah parameter konsentrasi
(concentration parameter), dan adalah fungsi Bessel termodifikasi orde nol,
∫ [ ] . (2.32)
Sebaran von Mises adalah sebaran normal sirkular yang paling umum
digunakan karena memiliki langkah kerja yang sama dengan sebaran normal pada
data linear. Sebaran von Mises pertama kali diperkenalkan oleh von Mises pada
tahun 1981 dengan sebaran
21
dengan adalah variabel prediktor sirkular, adalah arah rata-rata sirkular,
adalah parameter konsentrasi (concentration parameter), dan adalah fungsi
Bessel termodifikasi orde nol,
∫ [ ] . (2.34)
Jika sama dengan nol, maka =
dan akan mengikuti sebaran seragam (uniform) yang tanpa memperhatikan arah.
Sama seperti sebaran normal, metode yang digunakan untuk mengevaluasi
sebaran von Mises adalah QQ-plot. Menurut Fisher (1993) dalam Nurhab (2014),
jika sebaran data mengikuti sebaran von Mises maka plot data mengikuti garis
lurus dengan kemiringan . Proses evaluasi dengan von Mises yaitu
dimulai dengan mencari
̂ untuk (2.35)
kemudian diurutkan dari nilai terkecil sampai terbesar .
Langkah selanjutnya yaitu membuat plot
(Fisher dalam Nurhab, 2014).
2.5 Bandwidth
Parameter bandwidth disebut juga parameter pemulusan (smoothing) yang
memiliki peran seperti lebar interval pada histogram. Parameter bandwidth akan
mengontrol kemulusan kurva regresi yang diestimasi. Pemilihan bandwidth yang
22
pemilihan bandwidth yang terlalu besar akan menghasilkan kurva yang terlalu
mulus yang akibatnya akan tidak sesuai dengan pola data yang sebenarnya
(Hardle, 1994). Oleh karena itu, diperlukan suatu metode untuk memilih
bandwidth yang optimal. Metode yang dapat digunakan yaitu metode
Cross-Validation (CV) yang didefinisikan sebagai berikut
∑ ̂ (2.36)
dengan ̂ adalah penduga leave-one-out dengan menghilangkan .
Pemilihan bandwidth yang optimal dilakukan dengan memilih nilai awal
untuk meminimumkan persamaan (2.36) Langkah-langkah
pemilihan bandwidth yang optimal berdasarkan kriteria CV minimum yaitu:
Langkah 1. Untuk , tentukan nilai dan minimumkan persamaan (2.36)
sehingga diperoleh vektor parameter smoothing dan nilai CV,
dengan .
Langkah 2. Untuk , ulangi langkah 1 sampai menemukan kriteria yang
sesuai sehingga dihasilkan rangkaian(series) nilai CV.
Langkah 3. Pilih nilai CV terkecil dari rangkaian nilai yang
dihasilkan sehingga diperoleh nilai bandwidth optimal yaitu .
2.6 Regresi Nonparametrik Sirkular-Linear Berganda
SengGupta dan Ugwuowo (2006) memperkenalkan bentuk umum model
regresi sirkular–linear berganda antara sebuah variabel respons linear dengan
23
∑ (2.37)
dengan adalah variabel respons linear, adalah nilai rataan, adalah
koefisien regresi, adalah variabel prediktor linear, adalah amplitudo,
adalah frekuensi angular, adalah variabel prediktor sirkular yang menentukan
periode , adalah acrophase dan adalah komponen galat acak. Pendugaan
dinyatakan dalam satuan radian atau derajat arah,
(2.38)
atau
. (2.39)
Kemudian Qin (2011) mengasumsikan bentuk model regresi
nonparametrik sirkular-linear berganda dengan bentuk
(2.40)
dengan adalah variabel respons skalar, adalah fungsi regresi,
( ) , dan masing-masing adalah dimensi linear dan
dimensi sirkular , serta adalah variabel acak berdistribusi IID (Independent
and
Identically Distributed) dengan rataan nol dan ragam unit dan bebas dari .
24
[
] (2.41)
sebagai desain matriks, dan
(2.42)
sebagai bobot matriks, dengan adalah sampel acak dari fungsi densitas peluang
bersama dan adalah fungsi linear–sirkular
√ ∏
∏ ( ) (2.43)
dengan adalah kernel linear standar dan adalah kernel sirkular orde
kedua. Penduga kernel kuadrat terkecil linear lokal dari diperoleh dari
masukan pertama dari vektor
( ̂ ̂) ∑
( ) . (2.44)
Dengan demikian penduga kernel kuadrat terkecil linear lokal dari
adalah
25
dengan adalah vektor berukuran ( dengan nilai 1 pada
masukan pertama dan yang lainnya 0.
Vektor dari nilai yang diduga (fitted values) ̂ ̂ ̂
adalah
