Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

(1)

Himpunlah minimal tiga masalah penerapan barisan dan deret aritmatika dalam bidang fisika, teknologi informasi, dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret aritmatika di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas!

3. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri

Contoh 6.9

Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, …

× 2 × 2 × 2

16 8

4

2 ...

Nilai perbandingan u u

u u

u u_nⁿ

2 1

3

2 1

2

= = = =

−

... 4

2 8 4

16

8 2

= = =

Jika nilai perbandingan dua suku berurutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka susunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan 2, 2 × 2, … Perhatikan gambar berikut ini.

16 ...

...

8 4

2

a

2 × 2

a × r

ar^1–1 ar^2–1 ar^3–1 ar^4–1 ar^n–1

2 × 2 × 2

a × r × r

u₁ = a u₂ = ar u₃ = ar² u₄ = ar³ u_n = ar^n–1 2 × 2 × 2 × 2

a × r × r × r

Dari pola di atas dapat disimpulkan bahwa u_n = arⁿ^{– 1}

(2)

Perhatikan susunan bilangan 1, 1 2

1 4

1 , , , ... 8

× ¹₂^{, , , ...}¹₄ ¹₈ × ¹₂^{, , , ...}¹₄ ¹₈ × ¹₂^{, , , ...}¹₄ ¹₈ × ¹₂^{, , , ...}¹₄ ¹₈

1 1

2 1 4

1 , , , ... 81

2 1 4

1 , , , ... 8 1

2 1 4

1

, , , ... 8 ₁₆¹

Nilai perbandingan u u

u u

u u_nⁿ

2 1

3

2 1

1

= = = =2

−

... . Jika nilai perbandingan dua suku ber- urutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka susunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan 1, 11 1

2 1 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 … Perhatikan gambar berikut!

a

× r × r × r × r

u₁ u₂ u₃ ... u_n

ar ar² ... ar^n–1

Sehingga:

• u₁ = a = 1

• u1 1 1₂ = u₁. 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 = 1.

1 1 1 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 



⇔ u₂ = u₁.r = a.r

• u1 1 1₃ = u₂. 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 = 1.

1 1 1 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 .

1 1 1 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 = 1. 1

2 1 2

2 3



 

 

 



⇔ u₃ = u₂.r = a.r.r = a.r²

• u1 1 1₄ = u₃. 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 = 1. 1

2 1 2

2 3



 

 

 

 . 1 1 1

2 1 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 = 1.

1 2

2 3



 

 

 

 ⇔ u₄ = u₃.r = a.r².r = a.r³

• u1 1 1₅ =u₄. 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 = 1.

1 2

2 3



 

 

 

 . 1 1 1

2 1 2

1 2

1 4

1 2

1 8

1

,  , , , 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 = 1.

1 2

2 3



 

 

 

 ⇔ u₅ = u₄.r = a.r³.r = a.r⁴ Dari pola di atas, tentunya dengan mudah kamu pahami bahwa,

u_n = u_n–1.r = a.r^n–2 r = a.r^n–1

Contoh 6.10

(3)

Seorang anak memiliki selembar kertas. Berikut ini disajikan satu bagian kertas.

Gambar 6.12 Selembar Kertas

Ia melipat kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar.

Gambar 6.13 Selembar Kertas pada Lipatan Pertama

Kertas terbagi menjadi 2 bagian yang sama besar.

Kertas yang sedang terlipat ini, kemudian dilipat dua kembali olehnya.

Gambar 6.14 Selembar Kertas pada Lipatan Kedua

Kertas terbagi menjadi 4 bagian yang sama besar.

Ia terus melipat dua kertas yang sedang terlipat sebelumnya. Setelah melipat, ia membuka hasil lipatan dan ditemukan kertas tersebut terbagi menjadi 2 bagian.

Perhatikan bagian kertas tersebut membentuk sebuah barisan bilangan yang disajikan sebagai berikut.

1 u₁

2 u₂

4 u₃

...

u_...

Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang sama, yaitu u

u u u

u u_nⁿ

2 1

3

2 1

2

= = = =

−

... . Barisan bilangan ini disebut barisan geometri.

(4)

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berurutan. Nilai r dinyatakan: r u

u u u

u u

u u_nⁿ

= = = =

− 2

1 3 2

4

3 1

... .

Definisi 6.3

Sifat-6.3

Jika u₁, u₂ , u₃, …, u_n merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan u₁ = a dan r adalah rasio, maka suku ke-n dinyatakan

u_n = ar^n–1, n adalah bilangan asli.

b. Deret Geometri

Analog dengan konsep deret aritmetika, deret geometri juga merupakan barisan suku pertama barisan geometri. Cermati masalah di bawah ini!

Masalah-6.8

Sebuah bola jatuh dari gedung setinggi 3 meter ke lantai dan memantul kembali setinggi 4

5 kali dari tinggi sebelumnya Tentukanlah panjang lintasan bola

tersebut sampai pada pantulan ke-10! Gambar 6.15 Pantulan Bola

Alternatif Penyelesaian

Pandang dan amatilah kembali gambar di atas! Tampak pada Gambar 6.15 bahwa terdapat 2 kali lintasan bola yang sama tingginya setelah pantulan pertama. Misalkan

Pantulan ke ... 0 1 2 3 ...

Tinggi pantulan (m) 3 12

5

48 25

192

125 ...

Suku ke ... u u u u ...

Tabel 6.6 Tinggi Pantulan Bola

(5)

dapat diberikan pada tabel berikut.

• Coba kamu teruskan mengisi tabel pada pantulan berikutnya.

• Apakah mungkin terjadi ketinggian pantulan bola sama dengan nol?

Misalkan panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S.

S = u₁ + 2 (u₂ + u₃ + u₄ + ... + u₁₀)

⇔ S = 2 (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + ... + u₁₀) – u₁

⇔ S = 2s₁₀ – u₁ dimana

Tabel 6.7 Deret Pantulan Bola

Deret Jumlah suku-suku Nilai

s₁ u₁ 3

s₂ u₁ + u₂

3 125 3 9

5 3 25 16 + = ( )= ( 5− ) s₃ u₁ + u₂ + u₃

3 125 48 25 3 61

25 3 125 64

+ + = = 25−

( ) ( )

s₄ u₁ + u₂ + u₃ + u₄

3 125 48 25

192

125 3 369

125 3 625 256

+ + + = = 125−

( ) ( )

... ... ...

s_n u₁ + u₂ + u₃ + u₄ ... + u_n

s_n sn

n n

= −n

3 5 −4 5 ¹

( )

Berdasarkan Tabel 6.7 deret bilangan tersebut adalah sebuah barisan jumlah, s s s₁ ₂ ₃ s_n 3 5 4¹ ₀ ¹ ² ₁ ²

5 3 5 4

5 3

, , , ..., , ... yaitu ( − ), ( − ),

((5 4 ), ..., ( )

5 3 5 4

5

3 3

2 1

− −

ⁿ_n− ⁿ . Sehingga s₁₀ 3 5¹⁰ ₉4¹⁰

= 5−

( )

Jadi, panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S = 2s₁₀ – u₁ atau

S = −

6 5 4 −

5 3

10 10

( 9 )

• Coba kamu diskusikan bersama temanmu untuk mencari panjang lintasan bola pantul jika dilemparkan ke atas setinggi 5 meter dan memantul setinggi 4/5 kali dari tinggi sebelumnya.

(6)

Masalah-6.9

Setiap akhir bulan Siti menabung di sebuah bank sebesar Rp 5.000.000,00 dan memperoleh jasa simpanan sebesar 1 % setiap bulan. Jika bank tidak membebankan biaya administrasi. Tentukan simpanan Siti setelah 2 tahun!

Misalkan modal Siti yang disimpan setiap akhir bulan adalah M dengan bunga i %, maka diperoleh

Setelah

Bulan ke- Modal

1 M + Mi = M (1 + i) 2 M (1 + i) + M (1 + i) i

= M (1 + i) (1 + i)

= M (1 + i)²

3 M (1 + i)² + M (1 + i)² . i

= M (1 + i)² (1 + i)

= M (1 + i)³

... ...

n M (1 + i)ⁿ

Berdasarkan tabel di atas maka diperoleh simpanan Siti Bulan ke- 24 adalah : Simpanan Siti = M (1 + i)ⁿ

= 5.000.000 (1 + 0,01)²⁴

= 5.000.000 (0,01)²⁴

= 6.348.673,24

Simpanan Siti setelah Bulan ke- 24 adalah Rp 6.348.673,24

(7)

Deret geometri adalah barisan jumlah n suku pertama barisan geometri, s₁, s₂, s₃, ..., s_n dengan

s_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n

atau

s_n = a + ar + ar² + … + ar^{n – 1} dengan u₁ = a dan r adalah rasio.

Sifat-6.4

Jika suatu deret geometri suku pertama adalah u₁ = a, dan rasio = r, maka jumlah n suku pertama adalah

i. s a r

r s a r

r r r

n

n n

= − n

− = −

− < >

(1 ) ( ) . .

1

1 1 1

, untuk

s a r

r s a r

r r r

n

n n

= − n

− = −

− < >

(1 ) ( ) . .

1

1 1 1

ii.

s a r

r s a r

r r r

n

n n

= − n

− = −

− < >

(1 ) ( ) . .

1

1 1 1

, untuk

s a r

r s a r

r r r

n

n n

= − n

− = −

− < >

(1 ) ( ) . .

1

1 1 1

iii. s_n = na, untuk r = 1.

Bukti:

i. s_n = a + ar + ar² + … + ar^n–1 ………(1) Dengan mengalihkan kedua ruas persamaan 1) dengan r, didapatkan persamaan berikut.

rs_n = ar + ar² + ar³ + … + arⁿ ………(2) Sekarang, selisih persamaan (1) dengan (2), diperoleh

s_n – rs_n = (a + ar + ar² + … + ar^n–1) – (ar + ar² + ar³ + … + arⁿ) s_n(1 – r) = a – arⁿ

s a ar

n r

= − n

1−

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah s_n = a r

r (1 n)

1

−

− , r < 1.

ii. Dengan cara yang sama pada sifat i, buktikan sifat ii, kemudian buktikan juga sifat iii.

(8)

Contoh 6.11

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut ini!

4 1 1 4

1 + + +16+...

Pertama harus ditentukan rasio deret bilangan tersebut.

r uu u u

u

= ² = =u =

1 3 2

4 3

1 4.

Karena r < 1, maka jumlah 10 suku pertama ditentukan melalui rumus, s a r

n r

= − n

− (1 )

1

Akibatnya, s₁₀

10 10

4 1 1

4 114

4 1 1

4 3 4

16 3 1

=

−  





 



=

−  





 



= − 11

2

 10

 





 

.

Perhatikan pola barisan bilangan berikut!

a) 1, 3, 7, 9, … b) 1, 4, 9, 16, … c) 3, 1, 4, 2, 5, …

Apakah barisan tersebut termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri?

Tentukanlah suku ke 10 dari pola barisan di atas!

Pertanyaan Kritis