Memecahkan Masalah yang Berkaitan dengan Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Oleh:
Sigit Tri Guntoro
1. Dua orang berselisih mengenai banyaknya pasangan bilangan bulat , yang memenuhi persamaan . Orang pertama mengatakan penyelesaiannya tak hingga dan orang kedua mengatakan berhingga. Buktikan mana yang benar?
Penyelesaian:
Soal di atas bentuknya menemukan sehingga dapat dilakukan metode trial and check, seperti
pada umumnya. Tetapi karena yang diperlukan “semua pasangan berurutan” maka dengan trial
saja tidak cukup. Oleh karena itu diperlukan cara lain yaitu mendaftar semua kemungkinan.
Cara ini memerlukan kejelian, ketelitian dan analisis yang mendalam.
Perhatikan dan cermati pembahasan berikut.
Menentukan semua pasangan bilangan bulat , yang memenuhi
(1)
Untuk bulat negatif jelas tidak mungkin karena tidak menghasilkan 2 bulat
Untuk = 0 maka 1+2x +22x+1 =y2⇔1+20+21=y2⇔4 . Jadi 2 atau
2. Sehingga diperoleh (0,2) dan (0,-2) merupakan salah satu penyelesaiannya.
Untuk 1 maka
1
+
2
x+
2
2x+1=
y
2⇔1
+
2
1+
2
3=
y
2⇔11 . Tidak ada bilanganbulat yang memenuhi.
Observasi untuk 2
Misalkan pasangan bilangan bulat , memenuhi (1) maka
2 dan jelas 0 (2)
Dengan demikian , dan , merupakan solusinya.
Dengan tidak mengurangi keumuman, ambil b yang positif. Karena (a,b) memenuhi (1) maka
2 1 2 2 2
1+ a+ a+ =b
⇔2a+22a+1=b2−1
⇔
2
a(
1
+
2
a+1)
=
b
2−
1
=(b−1)(b+1) (3)Dari hasil ini nampak bahwa(b−1)(b+1) genap karena kelipatan 2. Jelas bahwa keduanya baik
) 1
(b− maupun(b+1)genap, khususnya salah satu factor pasti habis dibagi 4 (ingat: dua
bilangan genap berurutan pasti salah satu merupakan kelipatan 4). Mengingat (1), (2) dan (3)
maka 3.
)
,untuk A ganjil. Berarti A tidak habis dibagi
1
Substitusi ke (1), sehingga diperoleh
1
Dari sini diperoleh ⇔ , dengan penyelesaian
. Mengingat bilangan ganjil positip maka diperoleh .
Kemudian disubstitusike (4), sehingga diperoleh
Substitusike (1), sehingga diperoleh
1 2
2
2
1
++
+
a a = (2a−1m−1)2⇔
2
a+
2
2a+1 =(
2
a−1m
−
1
)
2−
1
⇔
2
a(
1
+
2
a+1)
=22a−2m2−2am=2a.2a−2m2−2am⇔
1
+
2
a+1= 2a−2m2−m⇔ 1 +m = 2a−2m2–2
a+1 …. (5)⇔ 1 +m = 2a−2m2–
2
a+1=2
a−2(
m
2−
8
)
≥ 2(
m
2−
8
)
Dari sini diperoleh dengan penyelesaian
. Mengingat m bilangan ganjil positip maka diperoleh atau
. Untuk , jika disubstitusi ke (5) menghasilkan yang tidak bulat. Berarti
m=1 tidak berlaku (sama seperti kasus 1). Untuk maka dengan menggunakan (5)
diperoleh . Selanjutnya dengan menggunakan (1) diperoleh . Karena
juga merupakan penyelesaian maka didapatkan penyelesaian
dan .
Dengan demikiandi peroleh kesimpulanbahwa solusi da ri (1) adalah (0,2), (0,-2), (4,23) dan
(4,-23).Jadi orang kedua yang benar.
2. Suatu tim pemadam kebakaran sedang mengadakan latihan. Di area latihan ada gang sempit yang berada di antara Gedung 1 dan Gedung 2 seperti tampak pada gambar.
tiba-tiba terjadi kebakaran di sekeliling gedung. Mereka panik, sehingga tidak memperhatikan arah, banyak sekali terjadi tabrakan diantara petugas, yang penting dapat keluar menuju pintu A atau B untuk menyelamat kandiri sekaligus memadamkan api. Setiap terjadi tabrakan, mereka akan berbalik arah karena gang tidak bisa untuk berpapasan. Biasanya waktu yang diperlukan untuk melewati gang (dari A ke B atau sebaliknya) adalah 2 menit. Sementara itu waktu yang diperlukan untuk memadamkan api diperkirakan mengikuti rumus menit, dengan adalah waktu (dalam menit) yang digunakan untuk semua petugas keluar dari gang. Berapa lama api dapat dipadamkan? (diasumsikan: setiap petugas mempunyai kemampuan sama dalam segala hal)
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan masalah ini, sederhanakan dahulu permasalahannya.
Misalkan seorang petugas masuk gang melalui A. Kemudian bertemu dengan petugas lain yang masuk melalui B di C dan mereka berbalik arah. Keduanya berkecepatan sama. Perhatikan ilustrasi di bawah.
B A
C
v v
B A
C
B A
C v v
Perhatikan bahwa karena kecepatan kedua orang sama maka sebenarnya tidak ada perbedaan waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan balik arah.
Kembali pada masalah awal, karena waktu yang diperlukanuntuk melewati gang adalah 2 menit dan tidak ada perbedaan waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan balik arah, maka waktu yang diperlukan untuk 30 petugas keluar dari gang adalah 2 menit. Jadi
