Zainul Imron1, I Nengah Parta2, Hery Susanto3
1Pendidikan Matematika Pascasarjana Universitas Negeri Malang, normiluniaz@yahoo.com 2Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang, nengahparta@yahoo.com 3Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang, herysusanto@mat.um.ac.id
Abstrak. Penalaran prorporsional dikenal sebagai dasar untuk keberhasilan siswa dalam menyelesaikan masalah di berbagai topik mata pelajaran Matematika. Pada kenyatannya, masih banyak siswa kelas VI-VIII yang mengalami kesulitan materi perbandingan, khususnya ketidakpahaman masalah perbandingan tertentu atau mengapa strategi yang digunakan berhasil dalam menyelesaikan masalah. Penelitian ini menganalisis proses dan kesalahan 115 siswa kelas VII dalam menyelesaikan masalah perbandingan dan proporsi setelah mempelajari materi Rasio dan Skala. Dengan menggunakan metodologi kualitatif, proses berpikir siswa diselidiki berdasarkan lima tingkatan dalam menyelesaikan masalah rasio dan proporsi. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa lebih dari 75% siswa tidak mampu membedakan masalah yang termasuk proporsi dan yang bukan. Kesalahan ini dikarenakan kurangnya latihan dan pengenalan siswa tentang masalah perbandingan dan proporsi. Siswa cenderung menentukan satuan per unit dan menggunakan strategi perkalian silang untuk penyelesaian masalah nilai yang dicari, namun mereka belum memahami mengapa mereka menggunakan strategi teresebut.
Kata Kunci:penalaran proporsional; rasio, proporsi; perkalian silang.
1 Pendahuluan
Penalaran proporsional merupakan salah satu kemampuan yang harus dikembangkan di sekolah menengah pertama. Siswa menggabungkan pengetahuan mereka mulai matematika sekolah dasar dan membangun pondasi untuk sekolah menengah atas dan penalaran aljabar dengan menggunakan penalaran proporsional [1]. Penalaran proporsional digunakan untuk mendeskripsikan konsep dan pemikiran yang diperlukan untuk memahami kecepatan, rasio, dan proporsi termasuk skala [2].
khususnya ketidakpahaman masalah proporsi atau mengapa strategi yang digunakan berhasil dalam menyelesaikan masalah proporsi [4].
Penalaran proporsional bergantung pada topik yang memiliki keterkaitan, terutama perkalian dan pembagian [5], pecahan [6], dan konsep mengurutkan pecahan dan pecahan senilai [7]. Meskipun pemahaman rasio dan proporsi memiliki banyak keterkaitan dengan banyak topik dalam konsep matematika, intisari dari penalaran proporsional adalah pemahaman tentang struktur perkalian pada situasi yang proporsional [7].
Rasio dan proporsi telah diuraikan sebagai dasar kurikulum Matematika SMP Beberapa penelitian telah menyoroti banyaknya kesulitan siswa dalam menyelesaikan masalah proporsi dan tugas-tugas berkaitan dengan penerapan proporsi (misalnya, [7]; [8]; [9]). Hal ini berarti bahwa banyak siswa akan mengalami kesulitan dalam berbagai topik Matematika di sekolah menengah karena kurangnya pemahaman mereka tentang rasio dan proporsi. Pemahaman rasio dan proporsi tidak hanya sekedar mampu melakukan perhitungan yang tepat dan mampu menerapkan rumus dan algoritma, serta memanipulasi angka dalam proporsi. Siswa yang memiliki pemahaman ini juga akan mampu mengembangkan kemampuan mereka dalam menyelesaikan masalah rasio dan proporsi sebagai tujuan pembelajaran, khususnya bagaimana mengembangkan penalaran proporsional siswa dari konsep yang telah mereka dapatkan sebelumnya. Penelitian ini mendiskusikan proses matematis siswa, termasuk penyajian strategi yang digunakan, serta kesalahan siswa dalam menyelesaikan masalah rasio dan proporsi dalam konteks masalah nilai yang dicari.
Untuk menyelesaikan masalah proporsi dan menggunakan penalaran proporsional, siswa harus memiliki pemahaman dasar rasio dan proporsi. Proporsi merupakan pernyataan kesamaan antara dua rasio yang dapat diwakili secara simbolis sebagai a c
b d [2]. Masalah nilai yang dicari menyatakan tiga nilai yang diketahui dan meminta siswa untuk mencari nilai keempat. Beberapa penelitian telah mengidentifikasi strategi siswa dalam menyelesaikan masalah. Sebagai contoh, [10] dan [11] mengidentifikasi berbagai strategi yang digunakan siswa dalam menyelesaikan masalah proporsi: (i) rasio satuan, strategi yang paling intuitif yang digunakan siswa sebelum mempelajari materi rasio dan proporsi, (ii) faktor perubahan skala [12], strategi yang berkaitan dengan aspek numerik dari masalah dan banyak digunakan oleh siswa, (iii) membandingkan rasio yang terkait dengan masalah proporsi, memungkinkan membandingkan rasio satuan melalui pembagian, dan (iv) algoritma perkalian silang.
TABEL 1 Kategori penalaran proporsional siswa dan strateginya dalam menyelesaikan masalah proporsi.
Level Strategi Penyelesaian
Level 0 - Menebak jawaban
- Menggunakan bilangan-bilangan pada soal, operasi atau strategi penyelesaian secara acak (sembarangan)
- Menyelesaikan dengan menggunakan gambar atau himpunan gambar kemudian menghitungnya atau menggunakan benda manipulatif untuk menyelesaikan masalah menjadi masuk akal
- menggunakan alasan kualitatif (berupa penjelasan yang masuk akal)
- Mengidentifikasi atau menggunakan faktor skalar atau menggunakan tabel
- menyusun dan menguraikan bilangan-bilangan yang diketahui dengan melibatkan penjumlahan, perkalian dan pembagian
- Mampu mengenal pola dan replikasi, namun belum menggunakan struktur perkalian
Level 4
Multiplicative (M) (Penalaran Proporsional
Formal)
- Menggunakan variabel dan menggunakan aturan perkalian silang dalam menyelesaikan masalah - Menggunakan pecahan senilai
- Menggunakan hubungan multiplikatif antara a, b , c, dan
d dalam ac b d.
- Sepenuhnya memahami hubungan co-variation (variabel yang satu mempengaruhi variabel yang lain, misal, semakin besar nilai variabel yang satu menyebabkan nilai variabel yang lain juga membesar)
2 Metodologi
sederhana/P2), dan masalah Sulaman Lucu Mr. Tall dan Mr. Short (nilai yang dicari dengan bantuan gambar/P3).
3
Hasil dan Pembahasan
Respon siswa untuk setiap item tes diberi kode. Pengkodean dilakukan dengan dua jenis, dan karenanya kode dua digit diberikan untuk setiap respon. Angka pertama dalam kode menunjukkan apakah jawaban siswa benar (kode 1), salah (kode 2), atau dilewati/ tidak dikerjakan (kode 0). Angka kedua dalam kode mengidentifikasi strategi berpikir yang digunakan oleh siswa dalam memecahkan masalah, seperti yang diperoleh dari penjelasan tentang bagaimana siswa memecahkan setiap masalah. Secara khusus, strategi penyelesaian yang menunjukkan level 0 diberi kode 0, dengan strategi solusi yang menunjukkan penerapan strategi informal level 1 diberi kode 1. Kode 2 diberikan kepada siswa dengan menggunakan penalaran penjumlahan. Kode 3 diberikan ketika siswa meggunakan strategi penyelesaian pada level 3. Kode 4 diberikan kepada siswa yang menggunakan strategi penyelesaian level 4. Skor dari 11, misalnya menunjukkan bahwa hasil pengerjaan siswa benar dengan menggunakan gambar (level 1). Skor 23 menunjukkan penyelesaian yang salah dengan menggunakan strategi penyelesaian level 3. Sedangkan 00 menunjukan bahwa siswa tidak menunjukkan usaha dalam menyelesaikan masalah. Tabel berikut menunjukkan persentase penggunaan strategi-strategi dalam menyelesaikan setiap masalah.
TABEL 1 Persentase penggunaan strategi untuk jawaban yang salah dan benar.
Item 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 00
P1 2,61 6,09 13,91 0,87 0 37,39 0 3,48 19,13 15,65 0,87 P2 9,57 0,00 0,87 54,78 7,83 12,17 0 6,96 3,48 1,74 2,61 P3 2,61 4,35 1,74 40,00 9,57 13,91 8,70 13,91 0,87 1,74 2,61
Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa lebih dari 75% siswa tidak mampu membedakan masalah yang termasuk proporsi dan yang bukan. Untuk penyelesaian masalah lain, siswa cenderung menentukan besar per unit satuan; menyusun dan menguraikan bilangan-bilangan dengan melibatkan penjumlahan, perkalian dan pembagian. Sedangkan penggunaan aturan perkalian silang dan perbandingan senilai, dari siswa yang menjawab benar masalah ketiga dan keempat, sekitar 5% dan 14% menggunakan strategi tersebut.
siswa masih belum memahami secara baik kapan dan mengapa menggunakan strategi tersebut.
TABEL 2 Perbandingan penggunaan strategi untuk menyelesaikan P1
a. Penyelesaian siswa dengan menggunakan strategi perkalian silang (level 4)
b. Penyelesaian siswa dengan menggunakan penjumlahan berulang (level 2)
P2 adalah masalah yang berkaitan dengan resep (Suatu resep diketahui bahwa 3 ons terigu dicampur dengan 4 gelas santan. Siswa diminta untuk menentukan banyak terigu yang dibutuhkan jika terdapat 2 gelas santan). Sekitar 73% siswa menjawab dengan benar masalah ini. 54,78% dari mereka menyelesaikan masalah ini dengan mencari nilai satuan terlebih dahulu yang kemudian dikalikan dengan banyak santan yang ada (kode 13). Masalah ini mudah dipahami oleh siswa, karena masalah ini realistis. Penggunaan masalah realistik ini, khususnya dalam masalah rasio dan proporsi memberikan dampak positif dalam pengembangan penalaran proporsional siswa [15].
TABEL 3 Perbandingan penggunaan strategi untuk menyelesaikan P2
b. Penyelesaian siswa dengan menggunakan perkalian silang (level 4)
Seperti halnya dengan P2, P3 juga merupakan masalah realistik (Siswa diminta untuk menentukan tinggi Mr. Tall jika diketahui perbandingan tinggi Mr. Short dari dua benda, yakni jepitan kertas dan kancing). Siswa dengan mudah menggunakan model (gambar) dalam menyelesaikan masalah. Meskipun siswa bisa dengan mudah menyelesaikan dengan menggambar (kode 11 sebanyak 4,35%), 40% dari mereka menggunakan strategi level 3 (kode 13), yakni menentukan banyak kancing dibandingkan dengan jepitan kertas. Akan tetapi, dalam menyelesaikan masalah P2 ini, siswa masih terjebak dalam penalaran penjumlahan (level 2). Kode 22 menunjukkan bahwa siswa tidak berhasil dalam menggunakan penalaran ini (13,91%). Boleh jadi disebabkan oleh kesulitan siswa dalam membandingkan dua ukuran yang berbeda. Siswa yang menggunakan strategi di level 2, cenderung menambahkan banyaknya jepitan kertas seperti bertambahnya kancing. Meskipun temuan ini bukanlah hal yang baru, penggunaan yang salah dari penalaran level 2 untuk masalah ini lebih menyoroti pada ketidakstabilan berpikir relasional siswa di sekolah menengah.
TABEL 4 Perbandingan penggunaan strategi untuk menyelesaikan P3
b. Penyelesaian siswa dengan menggunakan perkalian silang (level 4)
Masih kuatnya siswa dalam menggunakan penalaran penjumlahan serta penggunaan perkalian silang namun masih belum memahami kapan dan mengapa menggunakannya, masih menjadi masalah untuk siswa ketika dihadapi soal yang membutuhkan penalaran proporsional.
4
Kesimpulan
Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa siswa cenderung untuk memecahkan masalah dengan menggunakan strategi yang melibatkan hubungan penjumlahan dan perkalian pada saat yang sama (level 3). Dalam menentukan nilai yang hilang, siswa cenderung untuk menghitung nilai satuan untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat kemudian mereka mengalikan dengan nilai yang diminta.
Penelitian ini juga menunjukkan bahwa siswa masih belum mampu dalam menerapkan strategi level 2, yakni penalaran penjumlahan. Level 2 ini perlu diberikan kepada siswa, karena merupakan perlaran proporsional yang awal (intuitif). Dengan memberikan pemahaman kepada siswa mulai awal, yakni tidak secara instan memberikan strategi perkalian silang, siswa akan lebih memahami penggunaan penalaran proporsional dalam berbagai topik matematika.
Kami menyarankan kepada guru, bahwa sebelum penyampaian bagaimana menyelesaikan masalah perbandingan dan proporsi secara formal, diusahakan untuk memecahkan masalah nilai yang dicari dengan menggunakan strategi yang melibatkan penalaran penjumlahan dan perkalian silang secara simultan. Sehingga memungkinkan siswa untuk mengidentifikasi strategi-strategi dasar yang melibatkan unsur-unsur gambar dan nilai satuan.
5
Daftar Pustaka
[1] Langrall, C., & Swafford, J. (2000). Three balloons for two dollars: Developing proportional reasoning. Mathematics Teaching in the Middle School, 6, 254-261. NCTM.
[2] Van den Walle, J. 2007. Elementary and Middle School Mathematics: teaching developmentally. New York: Pearson Education.
[3] Thompson, D.R., Austin, R.A., & Beckmann, C.E. 2002. Using Literature as Vehicle to Explore Proportional Reasoning. Dalam Litwiller, B. H. (Ed.). Makings sense of fractions, ratios, and proportions: 2002 Yearbook. 138-144. Reston, VA: NCTM.
[4] Weinberg, S.L. 2002. Proportional Reasoning: One Problem, Many Solutions!. Dalam Litwiller, B. H. (Ed.). Makings sense of fractions, ratios, and proportions: 2002 yearbook. 138-144. Reston, VA: NCTM.
[5] Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. Dalam R. Lesh, & M. Landau. Acquisition of mathematical concepts and processes (pp. 127-174). Orlando, FL: Academic Press.
[6] English, L. & Halford, G. (1995). Mathematics education: Models and processes. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
[7] Behr, M., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (1992). Rational number, ratio and proportion. Dalam D. Grouws (Ed.), Handbook on research of teaching and learning (pp. 296-333). New York: McMillan.
[8] Ben-Chaim, D., Fey, J., Fitzgerald, W., Benedetto, C. & Miller, J. (1998). Proportional reasoning among 7th grade students with different curricular experiences. Educational Studies in Mathematics, 36, 247-273.
[9] Lo, J-J., & Watanabe, T. (1997). Developing ratio and proportion schemes: A story of a fifth grader. Journal for Research in Mathematics Education, 28 (2), 216-236.
[10] Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1988). Proportional reasoning. In M. Behr & J. Hiebert (Eds.), Number concepts and operations for the middle grades (pp. 93-118). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
[11] Cramer, K., Post, T., & Currier, S. (1993). Learning and teaching ratio and proportion: Research implications. http://education.umn.edu/rationalnumberproject /93_4.html
[12] Hart, K., (1984) Ratio: Children’s strategies and errors. London: NFER Nelson.
[13] Christou, C., & Philippou, G. (2002). Mapping and development of intuitive proportional thinking. Journal of Mathematical Behavior, 20, 321-336.
[14] Lamon, S. (1993). Ratio and proportion: Connecting content and children’s thinking. Journal for Research in Mathematics Education, 24, 41-61.
