PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT
ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE
MATRIKS FORCE OF TRANSITION
FAIZAL HARDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of Transition adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2013
Faizal Hardi
ABSTRAK
FAIZAL HARDI. Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality
Menggunakan Metode Matriks Force of Transition. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan MUHAMMAD ILYAS.
Model select ultimate mortality adalah suatu model tiga state pada bidang aktuaria. Model ini diasumsikan memiliki sifat Markov yang dicirikan oleh adanya matriks peluang transisi. Dalam karya ilmiah ini dibahas salah satu metode penentuan peluang transisi, yaitu metode force of transition. Dalam metode ini, penentuan peluang transisi menggunakan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks segi dengan entri berupa force of transition. Hasil yang diperoleh menunjukkan metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada data penduduk negara Kanada tahun 1982-1988 yang diperoleh dari Individual Ordianary Mortality Table
mempunyai nilai peluang bertahan hidup yang hampir mendekati nilai dari
Individual Ordianary Mortality Table, dengan mean galat absolut sebesar 0,18%. Kata kunci: rantai Markov, peluang transisi, matriks force of transition
ABSTRACT
FAIZAL HARDI. Determination of Transition Probability of Select Ultimate Mortality Model Using the Force of Transition Matrix Method. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and MUHAMMAD ILYAS.
Select Ultimate Mortality Model is a three states model in actuary. This model assume that it holds Markov properties which are characterized by transition probability matrix. This paper discusses a method to determine the transition probability, i.e. the force of transition matrix method. In this method, the probability of transition is determined by using eigenvalues and eigenvectors from a square matrix with the force of transitions as entry points. The force of transition matrix method is applied to data of Canadian population in 1982-1988 which is obtained from Individual Ordinary Mortality Table. This gives result that the value of survival probability is close to the value of Individual Ordianary Mortality Table with the absolute deviation mean 0,18%.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT
ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE
MATRIKS FORCE OF TRANSITION
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality
Menggunakan Metode Matriks Force of Transition
Nama : Faizal Hardi
NIM : G54062175
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS Pembimbing I
Muhammad Ilyas, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Di sini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada orang tua dan kakak satu-satunya atas dukungan yang telah diberikan. Penulis juga ingin menyampaikan terima kasih kepada pembimbing, yaitu Ibu Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S. dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi. yang telah bersabar membantu dalam penulisan skripsi ini hingga selesai. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan untuk para penguji, yaitu Bapak Prof. Dr. Ir I Wayan Mangku, MSc. atas kritik dan saran untuk pengerjaan karya ilmiah ini.
Penulis ingin menyampaikan terima kasih secara khusus kepada Laras, Dede, Andrew, Irawan, Antoni, Erri, Yogi, Miftah dan Bayu atas berbagai bantuan dalam pengerjaan skripsi ini. Secara umum penulis juga ingin berterima kasih kepada teman-teman yang rasanya tidak mungkin penulis sebutkan seluruhnya.
Terakhir rasa terima kasih penulis ucapkan kepada para dosen dan para pegawai Departemen Matematika, khususnya kepada Bu Ida dan Bu Susi.
Penulis berharap karya ilmiah ini dapat memberi manfaat kepada pihak lain dan dapat dikembangkan lebih baik dari ini.
Terakhir, penulis pun selalu berharap Allah ta’ala membalas dengan kebaikan bagi kita semua.
Bogor, Oktober 2013
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
I PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1
II TINJAUAN PUSTAKA 2
Ruang Contoh, Kejadian Acak dan Peluang 2
Peubah Acak 2
Proses Stokastik dan Rantai Markov 3
Aljabar Linear 5
III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY 6
IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION 7
V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION PADA MODEL
SELECT ULTIMATE MORTALITY 9
SIMPULAN DAN SARAN 13
Simpulan 13
Saran 13
DAFTAR PUSTAKA 14
LAMPIRAN 15
DAFTAR TABEL
Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang
berumur 45-70 tahun berdasarkan IOMT 9
Peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur (45+)tahun
berdasarkan IOMT 10
Perbandingan peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur
+ t tahun 12
DAFTAR GAMBAR
Model Select Ultimate Mortality 6
DAFTAR LAMPIRAN
Pembuktian Lema 2.1 15
Pembuktian Persamaan (3) 15
Pencarian vektor eigen pada MSUM 21
Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45 tahun
I PENDAHULUAN
Latar Belakang
Beberapa masalah dalam kehidupan dapat ditampilkan dalam proses multi
state. Suatu waktu individu dapat berada pada suatu state, misalkan sehat, sakit, atau meninggal. Keadaan individu di suatu state atau perpindahan dari satu state ke
state lainnya mungkin berdampak pada berbagai hal, misalnya berdampak pada keuangan individu tersebut.
Model select ultimate mortality ialah suatu model pada bidang aktuaria yang terdiri dari tiga state, yaitu state select, state ultimate dan state dead. Model ini diasumsikan memiliki sifat Markov, yaitu peluang state yang akan datang jika diketahui peluang state saat ini dan state lampau, maka hanya bergantung kepada peluang state saat ini. Sifat Markov dicirikan oleh adanya matriks peluang transisi.
Force of transition adalah laju peluang perubahan sesaat dari satu state ke
state lainnya. Dari force of transition ini bisa diketahui peluang transisi perpindahan antar state, misalnya peluang meninggal ataupun peluang bertahan hidup seseorang.
Penghitungan peluang transisi dengan force of transition ini bisa dilakukan dengan berbagai metode, misalnya menggunakan persamaan Kolmogorov maju ataupun Kolmogorov mundur yang dipaparkan oleh Keyfitz dan Rogers (1982), tetapi metode ini rumit, karena melibatkan pengintegralan yang sukar untuk dilakukan secara analitik.
Karya ilmiah ini membahas metode alternatif untuk menentukan peluang transisi dengan metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada model
select ultimate mortality. Penggunaan metode matriks force of transition bertujuan untuk menghindari perhitungan yang melibatkan pengintegralan, sehingga lebih mudah untuk diselesaikan secara analitik.
Pada metode matriks force of transition, penentuan peluang transisi diganti dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks segi dengan entri berupa force of transition.
Dari peluang transisi, peluang bertahan hidup dengan metode matriks force of transiton dihitung. Lalu hasil perhitungan tersebut dibandingkan dengan peluang hidup yang didapat dari Individual Ordinary Mortality Table, dengan tujuan memeriksa seberapa akurat metode matriks force of transiton tersebut.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari Jones (1994) yang berjudul
“Actuarial Calculations Using a Markov Model”.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
1 Menjelaskan metode untuk mencari peluang transisi dengan menggunakan metode matriks force of transition.
2
3 Membandingkan nilai peluang bertahan hidup yang diperoleh dari Individual Ordinary Mortality Table dengan nilai yang diperoleh menggunakan metode matriks force of transition.
II TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah-masalah pada karya ilmiah ini diperlukan pengetian beberapa konsep berikut
Ruang Contoh, Kejadian Acak, dan Peluang
Definisi 2.1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 2.2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian �adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 2.3 (Medan-σ)
Koleksi Ƒ dari himpunan bagian Ωdisebut medan-σ jika memenuhi syarat: 1. ∅ ∈Ƒ. Pasangan Ω, Ƒ, disebut ruang peluang.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peubah Acak
Definisi 2.5 (Peubah Acak)
Misalkan Ƒ adalah medan-�dari ruang contoh Ω. Peubah acak � merupakan fungsi
�: Ω → � di mana { ∈ Ω: � } ∈ Ƒ untuk setiap ∈ �.
3
Definisi 2.6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak � dikatakan diskret jika himpunan semua nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan diskret berhingga atau terhitung.
(Hoog etal. 2005)
Proses Stokastik dan Rantai Markov
Definisi 2.7 (Ruang State)
Misal ⊂ � merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka disebut ruang state.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 2.8 (Proses Stokastik)
Proses Stokastik �={� , ∈ } adalah suatu koleksi peubah acak, untuk ∈ dengan � adalah peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. Suatu proses stokastik � disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan tercacah. Disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah sebuah interval.
(Ross 1996)
Definisi 2.9 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)
Proses stokastik {��, = , , , . . } dengan ruang state { , , . . , } disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap ∈ { , , , . . , } berlaku
��+ = |�� = , ��− = �− , … , � = ,� = . = ��+ = |�� = .
(Ross 1996)
Definisi 2.10 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret Homogen)
Rantai Markov dengan waktu diskret �� disebut homogen jika
��+ = |�� = = � = |� = = untuk semua n dan , ∈ { , , … , }.
(Ross 1996)
Definisi 2.11 (Matriks Peluang Transisi)
Misal {��, = , , , . } adalah rantai Markov dengan waktu diskret. Nilai dari peluang transisi menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada
state i maka berikutnya akan beralih ke state j. Matriks peluang transisi dapat dituliskan dalam bentuk matriks P, yaitu
� = ( …⋱ � � … ��
).
(Ross 1996)
Definisi 2.12 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {� , } dengan ruang state diskret disebut suatu rantai Markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap , >
4
�+ = |� = , � = , = �+ = |� = .
(Ross 1996)
Definisi 2.13 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu Homogen)
Rantai Markov dengan waktu kontinu {� , } disebut homogen jika peluang transisi �+ = |� = adalah bebas terhadap nilai > , sehingga dapat ditulis sebagai �+ = |� = = .
(Ross 1996)
Definisi 2.14(Force of Transition)
Misal {� } rantai Markov dengan ruang state{ , , , … , }. Force of transition
dari state ke state didefinisikan sebagai berikut
= limℎ→ +� , +ℎ − �ℎ , , ∈ { , , … , }.
(Jones 1994)
Teorema 2.1 (Sifat Peluang Transisi)
Didefinisikan s, s + t = �+ = |� = , menyatakan peluang transisi
Sifat c) juga dikenal dengan nama Persamaan Chapman-Kolmogorov. Jika menunjukkan matriks dengan elemen , sifat (c) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai
, + + = , + + , + + .
(Taylor dan Karlin 1998)
Teorema 2.2 (Persamaan Kolmogorov Maju)
Pada persamaan Kolmogorov maju, laju peluang transisi di waktu yang akan datang memiliki hubungan sebagai jumlah perkalian peluang transisi dengan rate dari peluang transisi sesaat (force of transition saat waktu mendatang). Dalam hal ini peluang transisi , + didiferensialkan terhadap waktu mendatang + , dan hubungan diferensial ini diberikan sebagai berikut
5
Aljabar Linear
Definisi 2.14 (Ruang Vektor Euclid ��)
Ruang Vektor Euclid �� adalah himpunan semua vektor yang berorde × dengan elemen-elemennya berupa bilangan real.
(Leon 1998)
Definisi 2.15 (Bebas Linear)
Vektor-vektor , , � dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika
+ + + � � =
mengakibatkan semua skalar-skalar , , … , � bernilai 0.
(Leon 1998)
Definisi 2.16 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)
Misalkan A adalah suatu matriks × . Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x sehingga � = λ . Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigen λ.
(Leon 1998)
Definisi 2.17 (Diagonalisasi)
Suatu Matriks berorde × dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks Χ taksingular dan suatu matriks diagonal � sedemikian sehingga
�− �� = �. Dikatakan bahwa � mendiagonalisasi �.
(Leon 1998)
Definisi 2.18 (Deret Taylor)
Deret Taylor untuk fungsi di sekitar = didefinisikan sebagai
= ∑ � ! ∞
�=
− �.
(Stewart 2003)
Definisi 2.19 (Eksponensial Matriks Segi)
Eksponensial matriks segi ( � didefinisikan sebagai � = � + � +�
Analog dengan deret Taylor dari fungsi skalar �.
(Leon 1998)
Teorema 2.3
Suatu matriks � berukuran × dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika � mempunyai vektor eigen yang bebas liniear.
6
III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY
Pada tugas akhir ini dibahas model aktuaria yang melibatkan tiga state, yaitu model select ultimate mortality (MSUM). State pertama adalah state select, yaitu
state penyeleksian kesehatan suatu individu yang memenuhi syarat secara medis agar dapat menjadi tanggungan pihak asuransi dan merupakan state yang pertama kali dikunjungi. State kedua adalah state ultimate, yaitu state di mana individu telah mengikuti asuransi hingga individu tersebut meninggal. Ketiga adalah state dead
yaitu state dimana individu dalam keadaan meninggal. Perpindahan state
ditunjukkan pada Gambar 1 di bawah ini.
Gambar 1 Model Select Ultimate Mortality
Tiga transisi yang mungkin terjadi dalam model tersebut, yakni dari state 1 ke state 2, dari state 1 ke state 3, dan dari state 2 ke state 3. Matriks transisi yang terlibat pada Gambar 1 memiliki bentuk seperti berikut:
Untuk < , nilai , = pada matriks di atas karena pada model tersebut, state ultimate tidak mungkin pindah ke state select. Nilai , =
, = , karena suatu individu yang telah mengalami kematian (berada di
state 3) tidak mungkin hidup kembali (berada di state 1 atau state 2). Nilai
, = , pada kondisi ini individu yang meninggal di suatu waktu, di masa mendatang individu tersebut pasti tetap berada pada state meninggal tersebut.
Pada tugas akhir ini dicari peluang transisi dari
, , , , , , , , , dan peluang bertahan hidup
, + , yang memenuhi:
∑ , =
�=
∑ , =
�=
, , , , , , , , , > .
=
1. Select 2. Ultimate
3. Dead
7 Ada beberapa metode untuk menghitung peluang transisi tersebut, salah satunya menggunakan persamaan Kolmogorov maju ataupun Kolmogorov mundur. Akan tetapi, jika persamaan tersebut digunakan, perhitungan peluang transisi akan melibatkan integral yang akan sukar untuk dicari.Oleh karena itu, pada tugas akhir ini dibahas metode matriks force of transition sebagai salah satu metode alternatif untuk mencari peluang transisi.
IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION
Jika nilai = dengan adalah konstanta untuk semua nilai , maka force of transition dikatakan bernilai konstan. Rantai Markov yang berhubungan dengan nilai ini adalah rantai Markov homogen. Jika berlaku rantai Markov waktu homogen, maka fungsi , + bernilai sama untuk semua
, sehingga notasi , + bisa ditulis sebagai .
Definisikan adalah matriks berukuran × dengan elemen-elemen sebagai berikut
Persamaan Chapman-Kolmogorov pada Teorema 2.1 dapat ditulis
, + + = , + + , + + . (1) Rantai Markov yang digunakan adalah rantai Markov homogen, oleh karena itu persamaan (1) berubah menjadi
+ = .
Berdasarkan persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks, maka dapat ditulis
′ = . (2) Dengan nilai awal = �, persamaan (2) mempunyai solusi
= . (3)
8
Dari persamaan (3), berdasarkan Definisi 2.21 diperoleh solusi berupa matriks eksponensial
= + +
! + ! … (4) Metode pencarian matriks peluang transisi yang dibahas dalam karya ilmiah ini membutuhkan nilai-nilai eigen yang berbeda pada matriks Q. Hal ini bertujuan agar matriks Q dapat didiagonalkan. Jika Q mempunyai nilai-nilai eigen berbeda
, , . . , maka matriks Q bisa dibentuk sebagai = ���− dimana � =
diag , , . . ) dan kolom ke i dari A adalah vektor eigen yang berhubungan dengan nilai eigen . Sehingga dari persamaan (4) bisa diperoleh
= � + + ! + ! +
Secara umum untuk � , � dan seterusnya, maka diperoleh bentuk
�� =
Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke (5), maka diperoleh:
9
= � [ ⋱…
…
] �−
= ��� �− . (7) Elemen-elemen matriks pada persamaan (7) yaitu
= ∑�= � � � , (8) dengan adalah banyak state, adalah entri (i,j) dari matriks A dan adalah entri (i,j) dari matriks �− . Dengan demikian, permasalahan mencari fungsi peluang transisi diganti dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
force of transition.
V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION
PADA MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY
Aplikasi dan contoh numerik dalam mencari peluang transisi dan peluang bertahan hidup pada model select ultimate mortality (MSUM) dengan metode matriks force of transition dibahas lebih lanjut dalam bab ini.
Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data dari penduduk negara Kanada tahun 1982-1988 yang didapat dari Individual Ordinary Mortality Table (IOMT), yaitu tabel mortalitas yang disusun oleh Commitee on Expected Experience of the Canadian Institute of Actuaries.
Sampel yang digunakan adalah data force of transition pada populasi penduduk pria berumur antara 45-70 tahun dan data peluang bertahan hidup untuk populasi yang sama untuk umur 46-71 tahun.
Data force of transition dan data peluang bertahan hidup dapat dilihat pada tabel di bawah ini.
Tabel 1 Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang berumur 45-70 tahun berdasarkan IOMT
10
Umur x � � � Umur x � � �
69 . . . 70 . . .
Tabel 2 Peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur
+ t tahun berdasarkan IOMT
t Peluang t Peluang model Gambar 1 pada halaman 6 yakni
� = [ Berdasarkan Lema 2.1, maka matriks force of transition � di atas dapat diubah menjadi
� = [−
� + � � �
− � � ].
Matriks peluang transisi untuk interval waktu tertentu di mana force of transition bernilai konstan dalam tiap tahun dapat dihitung dengan mencari matriks peluang transisi untuk tiap tahun yang menggunakan persamaan (7). Namun sebelum peluang transisi dicari, diperlukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
force of transition � .
11 Nilai-nilai eigen dari persamaan di atas ialah
= , = − � , = − � + � .
Sehingga didapat matriks sebagai berikut
� = [ − �
− � + � ]
�� = [ −��
− ��+�� ].
Perhitungan vektor eigen pada Lampiran 3, didapat matriks ��
�� =
12
Dari matriks pada persamann (9) maka didapat
= = − ��+��
Sehingga didapat peluang bertahan hidup dari suatu individu yaitu
+ = − ��+�� + �
� + � − � −�
�
− − ��+�� .
Berdasarkan persamaan (1), untuk force of transition umur yang diberikan pada Tabel 1 maka dapat dicari matriks peluang transisi untuk mencari peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur + tahun,
∈ [ , ] dengan interval satu tahun yaitu
, + = , , … + , +
= … + .
Perhitungan peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur + tahun dihitung dengan metode matriks force of transition, hasil perhitungan tersebut dibandingkan dengan Individual Ordinary Mortality Table
(IOMT). Hasil perbandingan dapat dilihat pada tabel di bawah ini
13
Berdasarkan pengamatan pada Tabel 3, peluang bertahan hidup seorang individu pria berumur 45 tahun setidaknya sampai umur 46 tahun berdasarkan IOMT adalah 0,99897 dan berdasarkan metode matriks force of transition adalah 0,998931 dengan galat sebesar 0,00388%. Demikian seterusnya sehingga didapat mean pada galat absolut sebesar 0,18%. Dengan demikian, perhitungan peluang transisi dapat dilakukan dengan metode matriks force of transition.
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Peluang transisi dan peluang bertahan hidup dapat dicari dengan menggunakan metode matriks force of transition.
2. Peluang bertahan hidup individu pria yang dicari dengan metode matriks force of transition hampir mendekati nilai peluang bertahan hidup dari Individual Ordinary MortalityTable dengan mean galat absolut sebesar 0,18%.
Saran
Saran yang dapat diberikan yakni mencari peluang transisi dan peluang bertahan hidup dari model Markov yang melibatkan lebih dari tiga state, misalnya pada HIV-AIDS Progression Model.
14
DAFTAR PUSTAKA
Canadian Institute of Actuaries. 1992. 1982-1988 Individual Ordinary Mortality Table. Transactions of Society of Actuaries 1991-92 Reports. 701-711.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Process. Third Ed. Oxford (GB): Clarendon Press.
Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Sixth Ed. New Jersey (US): Prentice Hall.
Jones BL. 1994. Actuarial Calculation Using a Markov Model. Transactions of Society of Actuaries. 46:227-250.
Leon SJ. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardini WB, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Linear Algebra with Applications.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Second Ed. New York (US). Wiley.
Stewart J. 2003. Kalkulus. Jilid 2. Ed 4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Calculus.
15
Lampiran 1 Pembuktian Lema 2.1
Akan dibuktikan ∑�= = 0 , untuk = , , … dan .
Bukti: ∑�
= = + + + + �
= limℎ→ , + ℎ −ℎ , + limℎ→ , + ℎ −ℎ , + …
+ limℎ→ , + ℎ −ℎ , + + limℎ→ � , + ℎ −ℎ � ,
= limℎ→ , + ℎ − , + ℎ , + ℎ − , +
+ , + ℎ − , + +ℎ � , + ℎ − � ,
= limℎ→ , + ℎ + , + ℎ + +ℎ , + ℎ + + � , + ℎ
−limℎ→ , + , + +ℎ , + + � , .
Berdasarkan sifat (d) pada Teorema 2.1, maka persaman terakhir di atas menjadi
∑� = limℎ→ − + + + + +ℎ =
= .
Terbukti ∎
Lampiran 2 Pembuktian Persamaan (3)
Diketahui persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks ′ = dengannilai awal = �.
Akan dibuktikan solusi dari persamaan tersebut adalah = .
Misal = [ ] , = [
ℎ ]. ′ =
= [ ] [
16
= [ ++ ++ ++ ++ ℎℎ ++ ++
+ + + + ℎ + + ]
= [ ].
Dari matriks di atas diperoleh
′ = + + =
′ = + + ℎ =
′ = + + =
′ = + + =
′ = + + ℎ =
′ = + + =
′ = + + =
′ = + + ℎ =
′ = + + = .
Turunan kedua dari
′′ = ′ + ′ + ′
= + +
′′ = ′ + ′ + ′ ℎ
= + + ℎ
′′ = ′ + ′ + ′
= + +
′′ = ′ + ′ + ′
= + +
′′ = ′ + ′ + ′ ℎ
= + + ℎ
′′ = ′ + ′ + ′
= + +
17
= + +
′′ = ′ + ′ + ′ ℎ
= + + ℎ
′′ = ′ + ′ + ′
= + + .
′′ = [
′′ ′′ ′′
′′ ′′ ′′
′′ ′′ ′′ ]
= [ ++ ++ ++ + ℎ+ ℎ ++ ++
+ + + + ℎ + + ]
= [ ] [
ℎ ] = ′
= = .
Dengan cara yang sama diperoleh × � = �−
= �.
Berdasarkan nilai awal = �, diperoleh × � = �
= �. Bentuk deret Taylor untuk di = adalah
= + ′ + ′′ + ′′′ +
= � + + ! + ! +
= .
Terbukti ∎
Diketahui = dengan = � + +
! + ! +
18
Misal = [ ] , = [
ℎ ].
= = [
ℎ ] [ ℎ ]
= [ ++ ++ ++ + ℎ+ ℎ ++ ++
+ ℎ + + ℎ + ℎ + ℎ + ] = [ ].
= = = [ ] [
ℎ ]
= [ ++ ++ ++ + ℎ+ ℎ ++ ++
+ + + + ℎ + + ].
′ = =
= � + + ! + ! +
[ ] = [ ] + [
ℎ ] + [ ] !
+ [ ++ ++ ++ + ℎ+ ℎ ++ ++
+ + + + ℎ + + ] !
+
Dari persamaan matriks di atas didapat entri dari sebagai berikut
= + + ! + + + lg ! +
= + ! + + + ℎ ! +
= + ! + + + ! +
19
= + + ! + + + ℎ ! +
= +
! + + + ! +
= + ! + + + ! +
= ℎ + ! + + + ℎ ! +
= + + ! + + + ! +
Turunan pertama dari entri
′ = +
! + + + lg ! +
= + + + + lg ! +
′ = +
! + + + ℎ ! +
= + + + + ℎ ! +
′ = +
! + + + ! +
= + + + + ! +
′ = +
! + + + ! +
= + + + + ! +
′ = +
! + + + ℎ ! +
= + + + + ℎ ! +
′ = +
20
21
Lampiran 3 Pencarian vektor eigen pada MSUM
=
22
Dari bentuk akhir matriks di atas diperoleh
= , dan − � + � − � + � =
Dari bentuk terakhir matriks diatas diperoleh
23
Untuk = − � + � akan diperoleh vektor eigen [ ].
Dari tiga vektor eigen d iatas maka dapat dibentuk matriks
� =
[
�
� + � − �
] .
Lampiran 4Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45+t) tahun
clear;clc;
it=input('masukkan iterasi jika dilihat dari umur 45 dengan pertambahan umur sebesar 1 dianggap sebagai satu iterasi\n');
P=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; for i=1:it,
fprintf('________________\n'); fprintf('Untuk Selang ke %d\n',i); fprintf('________________\n');
m12(i)=input('Masukkan nilai miuw12;'); m13(i)=input('Masukkan nilai miuw13;'); m23(i)=input('Masukkan nilai miuw23;'); a(i)=m12(i)/(m12(i)+m13(i)-m23(i)); A=[1 a(i) 1;1 1 0;1 0 0]
B=inv(A)
D=[1 0 0;0 exp(-m23(i)) 0;0 0 exp(-(m12(i)+m13(i)))] P=P*A*D*B
p13=P(1,3) surv13=1-p13
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 24 Desember 1987 sebagai anak kedua dari pasangan Hardi Damsir dan (almh) Nurhayati. Tahun 2006 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam pada tahun kedua perkuliahan.
