BAB II. OPTIMISASI EKONOMI 1. Maksimisasi Nilai Perusahaan 2. Metode Penyajian Hubungan-hubungan Ekonomi 3. Hubungan antara Nilai Total, Rata-rata dan Marginal 4. Kalkulus Diferensial 5. Kaidah-kaidah Penurunan Suatu Fungsi

(1)

BAB II. OPTIMISASI EKONOMI

1.

Maksimisasi Nilai Perusahaan

2.

Metode Penyajian Hubungan-hubungan

Ekonomi

3.

Hubungan antara Nilai Total, Rata-rata

dan Marginal

4.

Kalkulus Diferensial

5.

Kaidah-kaidah Penurunan Suatu Fungsi

6.

Penggunaan Turunan untuk Maksimisasi

dan Minimisasi

7.

Optimisasi Fungsi dengan Variabel

(2)

A. Maksimisasi Nilai Perusahaan

08/11/2014

2



Dalam ekonomi manajerial, tujuan pokok manajemen adalah

memaksimumkan nilai perusahaan.

Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar













TR

t

= Total Revenue (penerimaan total) pada periode t

TC

t

= Total Cost (biaya total) pada periode t

TR = P x Q

Faktor-faktor berpengaruh terhadap penerimaan (P x Q)

adalah Demand dan Supply:



Desain produk



Strategi periklanan



Kebijakan harga jual produk



Kondisi ekonomi secara umum; dan

(3)

08/11/2014

3

Proses pengambilan keputusan yg

rumit, baik dalam masalah optimisasi

terpadu maupun optimisasi parsial

terjadi dalam dua tahap, yakni :

1. Penyajian hubungan ekonomi dalam

bentuk

atau

model

yang

bisa

dianalisis (penyajian masalah melalui

hubungan analitis).

(4)

B. Metode Penyajian Hubungan Ekonomi

/2

0

1

4

Hubungan-hubungan ekonomi disajikan dalam bentuk :



Persamaan (hubungan yg kompleks)



Tabel (hubungan yg sederhana)



Grafik (hubungan yg sederhana).

1. Model Persamaan

Hubungan antara jumlah produk yg terjual (Q) dan

penerimaan total (TR) dapat diekspresikan sbb:

TR = f (Q)

TR = P x Q

Misalkan

harga

produk

adalah

konstan

pada

Rp 1.000,00 per unit, maka hubungan antara jumlah

produk yang terjual dengan total penerimaan dapat

dinyatakan dalam suatu fungsi sbb:

[image:4.720.14.720.62.532.2]

(5)

2. Model Tabel dan Grafik

0

8

/1

1

/2

0

1

4

(6)

[image:6.720.226.620.147.484.2]

(7)

C. Hubungan antara Nilai Total, Rata-rata dan

Marginal

0 8 /1 1 /2 0 1 4

7



Hubungan antara nilai total, rata-rata dan marginal

sangat berguna dalam analisis optimisasi.



Hubungan marginal didefinisikan sebagai perubahan

variabel dependen dari suatu fungsi yg disebabkan

oleh perubahan salah satu variabel independen

sebesar satu unit.



Pada fungsi TR, penerimaan marginal (MR) adalah

perubahan penerimaan total yg disebabkan oleh

perubahan satu unit barang yg dijual.



Optimisasi

mencakup

analisis

diferensial

atau

perubahan-perubahan.



Tujuan analisis optimisasi adalah untuk menentukan

nilai dari variabel-variabel independen yg bisa

mengoptimalkan fungsi tujuan dari para pembuat

keputusan.

(8)

(9)

08/11/2014

9

(10)

D. Kalkulus Diferensial



Teknik

analisis

kalkulus

diferensial

bisa

digunakan untuk menemukan nilai maksimum

dan minimum dari suatu fungsi tujuan secara

efisien melalui analisis marginal.



Pendekatan kalkulus sangat bermanfaat bagi

masalah optimisasi terkendala yang merupakan

ciri dari proses pembuatan keputusan manajerial.

(11)



Turunan adalah mengukur tingkat perubahan seketika

dari suatu fungsi, yaitu bagaimana variabel tidak bebas

berubah sehubungan dengan suatu perubahan unit

yang sangat kecil dalam variabel bebas. Terminologi

untuk turunan adalah :



= turunan y berkenaan dengan x, nilainya sama

dengan limit dari rasio

Δ

x/

Δ

y saat

Δ

x mendekati

nol.



Selain , notasi turunan umumnya dinyatakan

dengan y

’ dan f’(

x).

08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar

(12)

E. Kaidah-kaidah Penurunan Suatu Fungsi



Fungsi adlh suatu bentuk hubungan matematis yang

menyatakan hubungan ketergantungan antara suatu

variabel dengan satu atau beberapa variabel yang lain.



Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur, yaitu

variabel, koefisien dan konstanta. Namun, sebuah fungsi

tidak harus mengandung sebuah konstanta, jadi mungkin

sekali mengandung konstanta dan mungkin juga tidak.

Tetapi keadaan ini sama sekali tidaklah mengurangi arti dari

sebuah fungsi.



Variabel pembentuk sebuah fungsi dapat dibedakan

menjadi variabel bebas dan variabel tidak bebas.

•

Variabel bebas (independent variable) : adlh variabel yg

nilainya tidak tergantung (tdk ditentukan) oleh variabel lain.

(13)

08/11/2014

13

Notasi sebuah fungsi secara umum dinyatakan sebagai :

Y =



(x)

Contoh :

Fungsi linear dan univariat

: Y = 5 + 0,7x

atau dapat pula dinyatakan

:



(x) = 5 + 0,7x

Fungsi non linear dan univariat

: Y = 8

–

4x + x

2

, atau



(x) = 8

–

4x + x

2

(14)

(15)

08/11/2014

15

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

F. Penggunaan Turunan untuk Maksimisasi dan

Minimisasi



Untuk mencari nilai maksimum atau minimum relatif maka

suatu fungsi harus berada pada suatu kondisi mendatar

(tidak menaik juga tidak menurun pada suatu titik).



Jika suatu fungsi tidak menaik juga tidak menurun, maka

turunan dari fungsi pada titik tersebut sama dengan nol.



Syarat pertama dan penting (

necessary condition

) agar

suatu fungsi mencapai maksimum atau minimum relatif

adalah turunan pertama dari fungsi tersebut harus sama

dengan nol.

(21)

21



Proses optimisasi seringkali mengharuskan seseorang

untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum dari

suatu fungsi.



Jika suatu fungsi berada pada keadaan maksimum atau

minimum, maka slope atau nilai marginalnya pasti nol.



Turunan suatu fungsi ditunjukkan oleh slope atau nilai

marginalnya pada suatu titik tertentu.

(22)

22

Jika laba total ditetapkan dengan persamaan :



= a

–

bQ + cQ

2

- dQ

3

maka turunan pertama (

first order condition

)

dari fungsi laba

marginal sbg:

2

3

2

cQ

dQ

b

M

dQ

d











Konsep turunan kedua (

second-order condition

) digunakan

untuk membedakan nilai maksimum dengan nilai minimum

dari suatu fungsi. Turunan ini merupakan turunan dari

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

27

Penggunaan Turunan untuk Memaksimumkan Selisih

antara Dua Fungsi

•

Salah satu kaidah dalam ekonomi mikro yaitu

MR = MC

agar laba maksimum dpt tercapai, sebenarnya timbul

berdasarkan pada azas optimisasi kalkulus.

•

Azas tsb timbul dari adanya kenyataan bahwa jarak antara

dua fungsi akan maksimum pada titik dimana slope kedua

fungsi tsb adalah sama.

•

Laba total = TR - TC, & oleh karena itu sama dengan jarak

vertikal antara kedua kurva tsb akan maksimum pada

tingkat output Q

B

dimana slope dari kurva TR & TC tsb

adalah sama.

(28)

(29)

08/11/2014

(30)

G. Optimisasi Fungsi dengan Variabel Majemuk

Konsep diferensiasi terhadap 3 variabel atau lebih; fungsi

permintaan akan suatu produk dimana kuantitas yang diminta

(Q) ditentukan oleh harga (P) yang telah ditetapkan, tingkat

pengeluaran iklan (A), maka fungsi tsb adalah :

Q = f(P,A)

Dengan menggunakan fungsi permintaan di atas, maka dapat

diperoleh dua turunan parsial, yaitu :

•

Turunan parsial Q pada harga (P) =

•

Turunan parsial Q pada pengeluaran iklan (A) =

P

Q



/

A

Q



/

(31)

CONTOH:

0 8 /1 1 /2 0 1 4

31

2

1

.

0

25

.

0

39

50

200

.

3

P

A

PA

A

Q









2

1

.

0

)

25

.

0

(

39

50

200

.

3

P

A

P

A

Q









0

25

,

0

50

0











A

P

Q

= - 50 + 0,25A

A

P

A

Q

2

,

0

25

,

0

39

0











= 39 + 0,25P

–

0,2A

0









A

Q

dan

P

Q

0

25

,

0

50











A

P

Q

0

2

,

0

25

,

0

39









A

P

A

Q

25

,

0

50

0,25A = 50



A =

= 200



substitusikan

ke persamaan



39 + 0,25P

–

0,2(200) = 0



39 + 0,25P

–

40 = 0



0,25P = 1



P =

25

,

0

1

(32)

(33)

Optimisasi Terkendala

33

Optimisasi terkendala dibagi menjadi 2 kelompok, yaitu:



Masalah maksimisasi: laba, penerimaan atau output.

Tunduk kepada: kendala sumberdaya



Masalah minimisasi: biaya

Tunduk kepada: kendala kuantitas atau kualitas output

(34)

34

Ex :

Perusahaan memproduksi produknya dengan menggunakan

dua pabriknya & bekerja dengan fungsi biaya total (TC) sbb :

TC = 3X

2

+ 6Y

2

- XY

Dimana X merupakan output dari pabrik yg I & Y merupakan

output dari pabrik II. Manajemen akan menentukan kombinasi

biaya terendah (

least - cost combination

) antara X & Y,

dengan tunduk kepada kendala bahwa produk total harus

20

unit

. Masalah optimisasi terkendala tsb adalah :

Minimumkan :

TC = 3X

2

+ 6Y

2

- XY

Dengan kendala

X + Y = 20

(35)

(36)

Oleh karena itu, produksi output 13 unit pada pabrik X & 7 unit

pada pabrik Y adalah kombinasi biaya terendah dalam

menghasilkan 20 unit produk dari perusahaan tsb. Biaya total

(TC) tsb adalah ;

(37)

Angka Pengganda Lagrange

08/11/2014

37



Teknik Lagrange untuk memecahkan masalah-masalah

optimisasi terkendala merupakan suatu cara yang

digunakan untuk mengoptimisasikan sebuah fungsi dengan

cara menggabungkan fungsi tujuan mula-mula dengan

persyaratan kendala.



Persamaan gabungan ini disebut fungsi lagrange. Fungsi ini

dibuat untuk memastikan :

•

Bahwa jika fungsi mencapai nilai maksimum (atau

minimum), fungsi tujuan mula-mula juga akan maksimum

(atau minimum).

•

Bahwa semua persyaratan kendala terpenuhi

Ex :

perusahaan berusaha meminimumkan fungsi

TC = 3X

2

+ 6Y

2

- XY

, dengan tunduk kepada kendala

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

42



Teknik Lagrange merupakan teknik yang lebih kuat

untuk memecahkan masalah optimisasi terkendala

ketimbang metode substitusi.



Teknik ini lebih mudah untuk diterapkan pada

masalah dengan kendala majemuk.



Teknik ini memberikan tambahan informasi yang

sangat berarti bagi para pembuat keputusan, hal

ini disebabkan oleh angka pengganda Lagrange

(

λ

) memiliki suatu interpretasi ekonomis yang

sangat penting.

(43)