STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BANACH
SKRIPSI
AZHAR NOER PANE 020803030
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
AZHAR NOER PANE 020803030
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
i
PERSETUJUAN
Judul : STUDI TENTANG SPECTRUM DARI
OPERA-TOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BA-NACH
Kategori : SKRIPSI
Nama : AZHAR NOER PANE
Nomor Induk Mahasiswa : 020803030
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Medan, Oktober 2007
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si Drs. Pangeran Sianipar, MS.
NIP.131803344 NIP. 130422437
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BANACH
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2007
iii
PENGHARGAAN
Segala puji bagi Allah SWT, Rabb semesta alam yang memberikan segala nikmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” Studi Tentang Spectrum dari Operator Linier Terbatas Pada Ruang Banach ”ini dengan baik.
Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Pada skripsi ini saya melakukan Studi Tentang Spectrum dari Operator Linier Terbatas Pada Ruang Banach.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Bapak Drs. Henry Rani S, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMI-PA USU Medan. Bapak Drs. Pangeran Sianipar, MS, selaku dosen pembimbing I dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matema-tika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Ayahanda dan Ibunda tercinta yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel serta doa yang tiada hentinya kepada penulis serta kepada Abangda Nuhri Pane, Kakanda Yulpida, dan Kakanda Endang Sutiah tercinta yang telah memberikan dorongan semangat kepada penulis.
Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada sahabat - sahabat tercin-ta di Ikwah Gaul Matematika (IGM) yang selalu bersama dalam suka duka selama perkuliahan, teman - teman reuni tahunan, serta stambuk ’02 yang memberikan perhatian dan dukungannya dalam penyelesaian skripsi ini. Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada rekan - rekan seperjuangan di UKMI Al-Falak FMIPA USU, keluarga besar IM3
, yang memberikan motivasi untuk melangkah dalam hidup. Juga buat senior penulis stambuk ’99, stambuk ’00, stambuk ’01 ser-ta buat seluruh adik -adik mahahasiswa sser-tambuk ’03, sser-tambuk ’04, dan sser-tambuk ’05 atas perhatian dan dukungannya . Semoga Allah SWT memberikan balasan atas kebaikan - kebaikan yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
ABSTRAK
Suatu Ruang linier bernorm kompleksE adalah ruang linier yang memenuhi aksioma - aksioma norm di dalamnya. operator linier terbatas T pada E adalah suatu transformasi linier T yang memetakan ruang linier X ke dirinya sendiri. Dan T disebut regular jika memiliki invers dan sebuah bilangan kompleks λ disebut titik regular dari T jika dan hanya jika operator λI −T adalah regular, sehingga him-punan semua titik regular dari T disebut himpunan resolvent dari T. Spectrum dariT atau sp(T)adalah komplemen daerah kompleks C dari himpunan resolvent
v
STUDY ABOUT SPECTRUM OF BOUNDED LINEAR OPERATOR IN BANACH SPACE
ABSTRACT
A complex normed linear space E is linear space which satisfies of norm axioms. Bounded linear operatorT on E is a linear transfomation of a linear spaceE into itself. And T is called regular if have a invers, and a complex number λ is said to be a regular point of T if only if the operator λI −T is regular, so the set of all regular points of T is called the resolvent set of T. Spectrum of T or sp(T) is the complement in complex planeCof the resolvent set ofT. This paper determine the
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
DAFTAR ISI vi
BAB
1. PENDAHULUAN 1
1.1. Latar Belakang 1
1.2. Identifikasi Masalah 2
1.3. Tinjauan Pustaka 2
1.4. Tujuan Penelitian 3
1.5. Manfaat Penelitian 4
1.6. Metodologi Penelitian 4
2. LANDASAN TEORI 5
2.1. Ruang Metrik 5
2.2. Ruang Linier Bernorm 20
2.3. Ruang Banach 24
2.4. Ruang Metrik Compact 27
2.5. Operator Linier Terbatas 37
2.6. Spectrum dari Operator Linier Terbatas 48
3. KONDISI SPECTRUM 51
3.1. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier
Bernorm 51
3.2. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach 53
4. KESIMPULAN DAN SARAN 55
4.1. Kesimpulan 55
4.2. Saran 55
iv
ABSTRAK
Suatu Ruang linier bernorm kompleksE adalah ruang linier yang memenuhi aksioma - aksioma norm di dalamnya. operator linier terbatas T pada E adalah suatu transformasi linier T yang memetakan ruang linier X ke dirinya sendiri. Dan T disebut regular jika memiliki invers dan sebuah bilangan kompleks λ disebut titik regular dari T jika dan hanya jika operator λI −T adalah regular, sehingga him-punan semua titik regular dari T disebut himpunan resolvent dari T. Spectrum dariT atau sp(T)adalah komplemen daerah kompleks C dari himpunan resolvent
STUDY ABOUT SPECTRUM OF BOUNDED LINEAR OPERATOR IN BANACH SPACE
ABSTRACT
A complex normed linear space E is linear space which satisfies of norm axioms. Bounded linear operatorT on E is a linear transfomation of a linear spaceE into itself. And T is called regular if have a invers, and a complex number λ is said to be a regular point of T if only if the operator λI −T is regular, so the set of all regular points of T is called the resolvent set of T. Spectrum of T or sp(T) is the complement in complex planeCof the resolvent set ofT. This paper determine the
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori Spectral adalah satu cabang utama dari analisa fungsi dan aplikasinya. Teori ini juga berbicara tentang invers dari suatu operator, sifat umumnya, dan hubu-ngannya dengan operator aslinya. Sehingga invers dari suatu operator timbul dalam hubungannya dengan masalah persamaan penyelesaian ( sistem persamaan linier aljabar, persamaan diffrensial, persamaan integral ).
Suatu operator T didefinisikan sebagai pemetaan linier dari sebuah ruang linier (E, K) ke ruang linier (E, K) atau ruang itu sendiri jika dan hanya jika T(αx+βy) =αT x+βT y, untuk semuax, y∈E dan semuaα, β ∈K. Kemudian operator linierT yang memetakan suatu ruang linier bernorm E ke dirinya sendiri atau dinotasikan L(E), dikatakan terbatas jika dan hanya jika{kT xk :kxk ≤ 1} adalah suatu himpunan terbatas bilangan rill. Dan T adalah terbatas jika dan hanya jika ada bilangan rillM sehingga kT xk ≤M dimanakxk ≤1.
Operator linier terbatas di L(E) dapat dikatakan sebagai ruang linier, na-mun pemetaan T → kTk adalah sebuah norm di L(E). Di mana ketikaE meru-pakan ruang linier bernorm maka L(E) himpunan semua operator linier terbatas merupakan ruang linier bernorm. Suatu ruang bernorm dapat dikatakan suatu ruang linier/ vektor dengan didefinisikan norm di dalamnya. Suatu Ruang Ba-nach adalah suatu ruang bernorm lengkap ( lengkap dalam pendefinisian metrik oleh norm, atau ruang metrik X dikatakan lengkap jika setiap barisan cauchy di X konvergen di X/ memiliki limit di setiap elemen X).
invers dariT. Dan sebuah bilangan kompleksλdikatakantitik regular dari T jika dan hanya jika operator λI −T adalah regular. Himpunan semua titik regular dari T disebut himpunan resolvent dari T. Pemetaan λ →(λI −T)−1
himpunan resolvent T ke L(E) disebut resolvent T. Komplemen dalam daerah kompleks C himpunan resolvent T disebut spectrum dari T dan dinotasikan sp(T). Bilangan kompleks λ berada di sp(T) jika dan hanya jika operator λI −T adalah tidak regular.
Penelitian tentang spectrum dari operator linier terbatas mencoba menun-jukkan beberapa sifat umum dari spectrum yang bergantung pada pendefinisian jenis ruang dari operator linier terbatasnya. Oleh karena itu, peneliti tertarik untuk melakukan penelitian literatur terhadap kondisi spectrum dari operator li-nier terbatas pada ruang lili-nier bernorm kompleks dan pada ruang banach. Se-hingga secara umum peneliti menjadikan ini sebagai Tugas Akhir II dengan judul ”STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PA-DA RUANG BANACH”.
1.2 Identifikasi Masalah
Spectrum dari sebuah operator linier terbatas T pada ruang linier bernorm kom-pleksEyang dinotasikansp(T) diperoleh ketika operatorλI−T tidak memiliki in-vers, untuk setiapλ∈sp(T). Berdasarkan hal tersebut dalam penelitian diangkat sebuah permasalahan yaitu Bagaimanakah kondisisp(T) denganλ ∈sp(T) ketika E merupakan ruang Banach?
1.3 Tinjauan Pustaka
Mukherjea dan Pothoven [6] menyatakan, Andaikan X dan Y ruang vektor atas daerah skalar yang sama. Maka PemetaanT dari X keY disebut sebuahoperator linier jika untuk semua x1, x2 ∈X dan skalar α, β.
3
Sebuah operator linier T dari sebuah ruang linier bernorm X ke sebuah ruang linierY dikatakan terbatas jika ada sebuah konstanta positif M sehingga
kT(x)k ≤Mkxk, untuk semua x∈X.
Chatelin [2] Menyatakan bahwa, andaikan A himpunan bagian dari ruang Banach X, A adalah compact jika setiap cover terbuka A memiliki subcover ter-batas;A adalah secara relatif compact jika penutup A adalah compact.
Jika T ∈L(E), maka untuk setiap z ∈C, T −z ∈L(E), dimana z menjadi
zI. Maka didefinisikan :
Himpunan resolvent ρ(T) :={z ∈C: (T −z)−1
∈L(E)};
operator resolvent R(T, z) := (T −z)−1
untuk z ∈ ρ(T); R(T, z) memiliki domainX dan range domainT untukz ∈ρ(T);
spectrum T:σ(T) adalah himpunan komplemen pada C dari ρ(T).
Kreyszig [5] Menyatakan, untuk setiap oprator T ∈ B(X, X), dimana X adalah sebuah ruang Banach. Jika kTk ≤ 1, maka ada sebuah operator linier terbatas (I−T)−1
pada ruang X dan (I−T)−1
=Pnj=1kTk
j =I+T +T2 +· · ·
(dimana urutan Pnj=1kTk
j adalah konvergen di norm pada B(X, X))
Brown dan Page [1] Menyatakan bahwa, definisi sp(T) dapat juga dirumuskan untuk sebuah operator linier terbatas T pada sebuah ruang linier bernorm. Dan bagian teori operator linier terbatas yang berfokus pada konsep spectrum disebut teori spectral.
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Manfaat Penelitian
Selain memperkaya literatur dalam analisa fungsi, melalui hasil penelitian ini dapat diketahui nilai dariλ dimanaλ∈sp(T) dan sifat - sifat dari himpunansp(T) jika operator linier yang terbatas T dalam ruang linier bernorm kompleks dan dalam ruang Banach.
1.6 Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Memaparkan beberapa definisi, lemma, akibat serta teorama yang men-dukung dalam memperoleh hasil utama penelian ini.
2. Memberikan pembuktian formal bagi nilaiλdan sifat yang dimiliki oleh him-punan semua nilai λ atau spectrum. Pembuktian formal dilakukan dengan tahapan sebagai berikut :
a. Pada pembuktian Teorema 3.1 dibuktikan untuk mencari nilaiλketika didefinisikan suatu operator linier terbatas pada ruang linier bernorm.
v
STUDY ABOUT SPECTRUM OF BOUNDED LINEAR OPERATOR IN BANACH SPACE
ABSTRACT
A complex normed linear space E is linear space which satisfies of norm axioms. Bounded linear operatorT on E is a linear transfomation of a linear spaceE into itself. And T is called regular if have a invers, and a complex number λ is said to be a regular point of T if only if the operator λI −T is regular, so the set of all regular points of T is called the resolvent set of T. Spectrum of T or sp(T) is the complement in complex planeCof the resolvent set ofT. This paper determine the
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
DAFTAR ISI vi
BAB
1. PENDAHULUAN 1
1.1. Latar Belakang 1
1.2. Identifikasi Masalah 2
1.3. Tinjauan Pustaka 2
1.4. Tujuan Penelitian 3
1.5. Manfaat Penelitian 4
1.6. Metodologi Penelitian 4
2. LANDASAN TEORI 5
2.1. Ruang Metrik 5
2.2. Ruang Linier Bernorm 20
2.3. Ruang Banach 24
2.4. Ruang Metrik Compact 27
2.5. Operator Linier Terbatas 37
2.6. Spectrum dari Operator Linier Terbatas 48
3. KONDISI SPECTRUM 51
3.1. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier
Bernorm 51
3.2. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach 53
4. KESIMPULAN DAN SARAN 55
4.1. Kesimpulan 55
4.2. Saran 55
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori Spectral adalah satu cabang utama dari analisa fungsi dan aplikasinya. Teori ini juga berbicara tentang invers dari suatu operator, sifat umumnya, dan hubu-ngannya dengan operator aslinya. Sehingga invers dari suatu operator timbul dalam hubungannya dengan masalah persamaan penyelesaian ( sistem persamaan linier aljabar, persamaan diffrensial, persamaan integral ).
Suatu operator T didefinisikan sebagai pemetaan linier dari sebuah ruang linier (E, K) ke ruang linier (E, K) atau ruang itu sendiri jika dan hanya jika T(αx+βy) =αT x+βT y, untuk semuax, y∈E dan semuaα, β ∈K. Kemudian operator linierT yang memetakan suatu ruang linier bernorm E ke dirinya sendiri atau dinotasikan L(E), dikatakan terbatas jika dan hanya jika{kT xk :kxk ≤ 1} adalah suatu himpunan terbatas bilangan rill. Dan T adalah terbatas jika dan hanya jika ada bilangan rillM sehingga kT xk ≤M dimanakxk ≤1.
Operator linier terbatas di L(E) dapat dikatakan sebagai ruang linier, na-mun pemetaan T → kTk adalah sebuah norm di L(E). Di mana ketikaE meru-pakan ruang linier bernorm maka L(E) himpunan semua operator linier terbatas merupakan ruang linier bernorm. Suatu ruang bernorm dapat dikatakan suatu ruang linier/ vektor dengan didefinisikan norm di dalamnya. Suatu Ruang Ba-nach adalah suatu ruang bernorm lengkap ( lengkap dalam pendefinisian metrik oleh norm, atau ruang metrik X dikatakan lengkap jika setiap barisan cauchy di X konvergen di X/ memiliki limit di setiap elemen X).
invers dariT. Dan sebuah bilangan kompleksλdikatakantitik regular dari T jika dan hanya jika operator λI −T adalah regular. Himpunan semua titik regular dari T disebut himpunan resolvent dari T. Pemetaan λ →(λI −T)−1
himpunan resolvent T ke L(E) disebut resolvent T. Komplemen dalam daerah kompleks C himpunan resolvent T disebut spectrum dari T dan dinotasikan sp(T). Bilangan kompleks λ berada di sp(T) jika dan hanya jika operator λI −T adalah tidak regular.
Penelitian tentang spectrum dari operator linier terbatas mencoba menun-jukkan beberapa sifat umum dari spectrum yang bergantung pada pendefinisian jenis ruang dari operator linier terbatasnya. Oleh karena itu, peneliti tertarik untuk melakukan penelitian literatur terhadap kondisi spectrum dari operator li-nier terbatas pada ruang lili-nier bernorm kompleks dan pada ruang banach. Se-hingga secara umum peneliti menjadikan ini sebagai Tugas Akhir II dengan judul ”STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PA-DA RUANG BANACH”.
1.2 Identifikasi Masalah
Spectrum dari sebuah operator linier terbatas T pada ruang linier bernorm kom-pleksEyang dinotasikansp(T) diperoleh ketika operatorλI−T tidak memiliki in-vers, untuk setiapλ∈sp(T). Berdasarkan hal tersebut dalam penelitian diangkat sebuah permasalahan yaitu Bagaimanakah kondisisp(T) denganλ ∈sp(T) ketika E merupakan ruang Banach?
1.3 Tinjauan Pustaka
Mukherjea dan Pothoven [6] menyatakan, Andaikan X dan Y ruang vektor atas daerah skalar yang sama. Maka PemetaanT dari X keY disebut sebuahoperator linier jika untuk semua x1, x2 ∈X dan skalar α, β.
3
Sebuah operator linier T dari sebuah ruang linier bernorm X ke sebuah ruang linierY dikatakan terbatas jika ada sebuah konstanta positif M sehingga
kT(x)k ≤Mkxk, untuk semua x∈X.
Chatelin [2] Menyatakan bahwa, andaikan A himpunan bagian dari ruang Banach X, A adalah compact jika setiap cover terbuka A memiliki subcover ter-batas;A adalah secara relatif compact jika penutup A adalah compact.
Jika T ∈L(E), maka untuk setiap z ∈C, T −z ∈L(E), dimana z menjadi
zI. Maka didefinisikan :
Himpunan resolvent ρ(T) :={z ∈C: (T −z)−1
∈L(E)};
operator resolvent R(T, z) := (T −z)−1
untuk z ∈ ρ(T); R(T, z) memiliki domainX dan range domainT untukz ∈ρ(T);
spectrum T:σ(T) adalah himpunan komplemen pada C dari ρ(T).
Kreyszig [5] Menyatakan, untuk setiap oprator T ∈ B(X, X), dimana X adalah sebuah ruang Banach. Jika kTk ≤ 1, maka ada sebuah operator linier terbatas (I−T)−1
pada ruang X dan (I−T)−1
=Pnj=1kTk
j =I+T +T2 +· · ·
(dimana urutan Pnj=1kTk
j adalah konvergen di norm pada B(X, X))
Brown dan Page [1] Menyatakan bahwa, definisi sp(T) dapat juga dirumuskan untuk sebuah operator linier terbatas T pada sebuah ruang linier bernorm. Dan bagian teori operator linier terbatas yang berfokus pada konsep spectrum disebut teori spectral.
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Manfaat Penelitian
Selain memperkaya literatur dalam analisa fungsi, melalui hasil penelitian ini dapat diketahui nilai dariλ dimanaλ∈sp(T) dan sifat - sifat dari himpunansp(T) jika operator linier yang terbatas T dalam ruang linier bernorm kompleks dan dalam ruang Banach.
1.6 Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Memaparkan beberapa definisi, lemma, akibat serta teorama yang men-dukung dalam memperoleh hasil utama penelian ini.
2. Memberikan pembuktian formal bagi nilaiλdan sifat yang dimiliki oleh him-punan semua nilai λ atau spectrum. Pembuktian formal dilakukan dengan tahapan sebagai berikut :
a. Pada pembuktian Teorema 3.1 dibuktikan untuk mencari nilaiλketika didefinisikan suatu operator linier terbatas pada ruang linier bernorm.
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan tian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan peneli-tian ini dan akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Adapun teori-teori tersebut mencakup pejelasan ruang metrik, ruang linier bernorm, ruang Banach, ruang metrik compact, operator linier terbatas, dan spectrum dari operator linier terbatas.
2.1 Ruang Metrik
Ruang metrik adalah himpunan - himpunan yang didefinisikan sebagai ’jarak anta-ra pasangan titik - titik’, yang menyediakan tatacaanta-ra umum dalam mempelajari kekonvergenan dan kekontinuan.
Definisi 2.1 Andaikan X himpunan tak kosong. Suatu Metrik di X adalah se-buah pemetaan d dari X ×X keR, yang yang memenuhi kondisi berikut:
a. d(x, y)≥0 untuk semua x, y∈X,
b. d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x=y,
c. d(x, y) =d(y, x) untuk semua x, y∈X,
d. d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) untuk semua x, y, z∈X.
Sebuah metrik juga disebut fungsi jarak. Kondisi (c) menjelaskan fakta bah-wad adalah simetri di xdan y; ketidaksamaan (d) selalu disebut dengan ketidak-samaan segitiga.
Contoh 1 : Fungsi ddidefinisikan dengan d(x, y) =|x−y|untuk semua x, y∈R
adalah sebuah ruang metrik pada himpunan bilangan riilR.
Untuk melihat bahwa kondisi (d) memenuhi, andaikan x, y, z∈R. Maka
d(x, z) = |x−z|
= |(x−y) + (y−z)|
≤ |x−y|+|y−z|
= d(x, y) +d(y, z)
Bilangan d(x, y) adalah, jelas, merupakan ’jarak’ antara titik x dan y pada garis riil.
Contoh 2 :Andaikan
d(x, y) = n X
r=1
(xr−yr) !1/2
untuk semua x = (x1, x2,· · · , xn) dan y = (y1, y2,· · ·, yn) di Rn. Maka d adalah
sebuah metrik di Rn dan disebutmetrik Euclidean. Ruang metrik (Rn, d) disebut
ruang Euclidean dimensi-n. Sehingga dapat dijelaskan metrik di R2
yaitu:
d(x, y) = ((x1−y1) + (x2 −y2))1/2
adalah jarak antara titik x = (x1, x2) dan y = (y1, y2) dalam bidang. Ketika bilangan kompleks dapat dipresentasikan sebagai titik di diagram Argand (atau daerah kompleks), ada hubungan 1−1 antara Cdan R2 dalam hal jarak.
7
Selanjutnya ditulisBK(E) ={f :f :E →K terbatas }
Contoh 3 :AndaikanE adalah himpunan tak kosong dan andaiakanBK(E) meru-pakan himpunan semua pemetaan terbatas dariE keK. Jikaf, g∈BK(E) maka
|f(t) +g(t)| ≤ |f(t)|+|g(t)|
dan himpunan {|f(t)−g(t)|, t ∈ E} adaalah sebuah himpunan bilangan riil non negatif terbatas. Andaikan
d(f, g) = sup{|f(t)−g(t)|:t∈E}
untuk semuaf, g∈BK(E). Makad adalah sebuah metrik diBK(E). Selanjutnya akan diperlihatkan ketidaksamaan segitiga untukd. Diberikanf, g, h∈Bk(E) dan t∈E,
|f(t)−h(t)| = |f(t)−g(t) +g(t)−h(t)|
≤ |f(t)−g(t)|+|g(t)−h(t)|
≤ d(f, g) +d(g, h),
dan mengakibatkan
d(f, h) =sup{|f(t)−h(t)|, t∈E} ≤d(f, g) +d(g, h).
2.1.1 Himpunan Terbuka dan Tertutup.
Terminologi dan konsep dalam subbab ini merupakan inspirasi dari geometri Eu-clidean berdimensi dua dan tiga. Dan seluruhnya dalam subbab ini X adalah ruang metrik dengan metrikd.
Definisi 2.3 Andaikan x titik di X dan r sebuah bilangan riil non negatif. Him-punan
B(x, y) ={y ∈X :d(x, y)< r}
disebut bola terbuka dengan pusat x dan jari-jarir, dan himpunan
B′(x, y) = {y∈X :d(x, y)≤r}
disebut bola tertutup dengan pusat x dan jari-jari r. Himpunan
S(x, y) ={y∈X :d(x, y) = r}
disebut bola dengan pusat x dan jari-jari r.
Dari kondisi (b) Definisi 2.3, jika r > 0, maka x∈ B(x, r). dari kondisi (a) dan (b) Definisi 2.3 diperolehB(x,0) =∅ danB′(x,0) ={x}. Dengan jelas untuk
semuar≥0,
B′(x, r) = B(x, r)∪S(x, r),
dan untuk 0≤r1 < r2,
B′(x, r1)⊆B(x, r2)⊆B′(x, r2).
Di R3
dengan metrik Euclidean, syarat - syarat bola terbuka dan bola tertutup dan bola memiliki arti yang biasa. DiR2
dengan metrik Euclidean,B(x, r) adalah disc terbuka dengan pusatx dan jari - jarir, dan S(x, r) adalah lingkaran dengan xdan jari - jari r.
9
Teorema 2.5 (a) Himpunan X dan himpunan kosong ∅ adalah terbuka.
(b) Gabungan sebuah koleksi sebarang dari himpunan - himpunan terbuka adalah terbuka.
(c)Irisan sebuah koleksi berhingga dari himpunan - himpunan terbuka adalah ter-buka.
Bukti. Jelas X adalah terbuka. Sejak ∅ tidak memiliki titik - titik, Definisi 2.4 kurang dipenuhi sehingga ∅ adalah terbuka. (Secara eksplisit, sebuah himpunan bagianAdariX tidak terbuka jika dan hanya jika ada sebuah titikx ∈Asehingga bola terbukaB(x, r) tidak termasuk dalam Auntuk beberapa r >0. Himpunan∅
tidak memiliki titik - titik sehingga kondisi ini tidak dipenuhi.) Ini membuktikan (a).
AndaikanAsebuah koleksi dari himpunan - himpunan bagianX dan andaikan x∈S
A∈AA. Maka x∈A0 untuk beberapaA0 ∈ A, dan oleh karena itu adar >0
sehingga B(x, r) ⊆ A0. Akan tetapi A0 ⊆ S
A∈AA, sehingga B(x, r) ⊆
S A∈AA,
yang mana menunjukkan S
A∈AA adalah terbuka.
Untuk yang terakhir, andaikanA1, A2,· · ·, Anhimpunan - himpunan bagian dari X. Jika Tnk=1Ak = ∅, (a) menunjukkan
Tn
k=1Ak adalah terbuka. Misalkan Tn
k=1Ak 6= ∅ dan andaikan x∈ Tn
k=1Ak. Untuk k = 1,2,· · · , n dapat ditemukan rk > 0 sehingga B(x, r) ⊆ Ak. Andaikan r = min{r1, r2,· · · , rn}. Maka r > 0 dan B(x, r) ⊆ B(x, rk) untuk k = 1,2,· · · , n, sehingga B(x, r) ⊆ Tnk=1Ak. Ini membuktikan (c).
Definisi 2.6 Himpunan bagian A dari X dikatakan tertutup di ruang metrik X jika dan hanya jikaX ∼A adalah terbuka di X.
Teorema 2.7 (a) Himpunan X dan himpunan kosong ∅ adalah tertutup.
(c)Gabungan sebuah koleksi berhingga dari himpunan - himpunan tertutup adalah tertutup.
Bukti. Pembuktian ini langsung dari teorema 2.5 dan berikut secara teoritis:
X ∼ ∅=X, X ∼X =∅, X ∼ T
A∈AA=
S
A∈A(X ∼A),
dan X ∼Snj=1Aj =
Tn
j=1(X ∼Aj)
Definisi 2.8 Sebuah ruang metrik yang mana setiap himpunan bagian terbuka dan tertutup dikatakan discrete.
Selanjutnya untuk melengkapi pada himpunan terbuka dan himpunan ter-tutup, diberikan definisi dari penutup, interior, dan frontier.
Definisi 2.9 Penutup pada ruang metrik X dari himpunan bagian A dalam X adalah irisan dari koleksi semua himpunan bagian tertutup dalamX yang memuat A. (Himpunan ini adalah tak kosong karenaX tertutup dan memuatA.) Penutup A di X dinotasikan A−. Interior pada ruang metrik X dari himpunan bagian A
dalamX adalah gabungan koleksi dari semua himpunan bagian terbuka dalam X yang termasuk dalamA. (himpunan ini adalah tak kosong saat ∅ adalah terbuka dan dimuat dalam A). Interior Adinotasikan oleh Ao.
Sedangkan frontier pada ruang metrik X dari A adalah himpunan A− ∼ Ao. Frontier dinotasikan denganF rA.
2.1.2 Barisan.
Pada bab ini diperlihatkan bagaimana barisan sebagai suatu fungsi yang memiliki himpunan bilangan asliNsebagai domain yang memegang peranan penting dalam
11
Definisi 2.10 Sebuah barisan (xn) diX dikatakan konvergen di ruang metrik X ke titik x∈X jika dan hanya jika, untuk setiap bilangan riil positif ε, ada sebuah bilangan bulat positif N, yang berhubungan dengan ε, sehingga d(x, xn) < ε untuk semua n ≥ N. Sebuah barisan dikatakan konvergen di X jika dan hanya jika konvergen di X di beberapa titik X. Jika sebuah barisan konvergen di X di titikx, maka x dikatakan sebuah limit barisan.
Diperkirakan (xn) konvergen di x jika dan hanya jika ’xn adalah tertutup dengan sebarang untuk semua bilangan bulat n yang cukup besar’.
Lemma 2.11 Sebuah barisan konvergen memiliki tepat satu limit.
Bukti. Anggap (xn) konvergen di X dan memiliki dua limit x dan y. Maka d(x, y)>0 dan mengakibatkan ada bilangan - bilangan bulat N1 dan N2 sehingga d(x, xn) < 1
2d(x, y) untuk semua n ≥ N1 dan d(y, xn) < 1
2d(x, y) untuk semua n≥N2. Andaikan N =max{N1, N2}, maka
d(x, y) ≤ d(x, xN) +d(xN, y)
= d(x, xN) +d(y, xN)
< 1
2d(x, y) + 1
2d(x, y) < d(x, y)
yang mana ini kontradiksi jika x dan y adalah dua titik yang berbeda.
Akan digunakan notasi limn→∞xn=xyang menyatakan bahwa barisan (xn)
konvergen dan memiliki limitx.
Definisi kekonvergenan dalam sebarang ruang metrik dapat dirumuskan dalam syarat - syarat kekonvergenan sebuah barisan bilangan riil. Kenyataannya, sebuah barisan (xn) diX konvergen ke limitx∈ X jika dan hanya jika barisan bilangan riil (d(x, xn)) konvergen ke nol: dalam simbol limn→∞xn = x jika hanya jika
Selain itu, dapat juga dinyatakan bahwa: limn→∞xn=xjika dan hanya jika,
untuk setiap persekitaran V dari x, titikxn∈V untuk semua bilangan berhingga pada bilangan bulat positifn.
Teorema 2.12 Andaikan(xk)sebuah barisan diKndenganxk = (x1k, x2k,· · · , xnk) untuk k = 1,2,· · · , dan andaikan d merupakan metrik di Kn yang didefinisikan oleh d(x, y) = (Pnr=1(xr−yr)2
)1/2. Maka barisan (xk) konvergen di (Kn, d) atau didefinisikan limk→∞xk = x, x = (x1, x2,· · · , xn) jika hanya jika limk→∞xmk =
xm untuk m= 1,2,· · · , n.
Bukti. Andaikan ε > 0 dan anggap limk→∞xk =x. Maka ada bilangan bulatK
sehingga d(x, xk)< ε untuk semuak ≥ K, dan sebab itu, untuk m = 1,2,· · · , n dan k ≥K,
|xmk−xm| ≤
n X
j=1
|xjk−xj|2
!1/2
=d(xk, x)< ε.
Ini membuktikan bahwa limk→∞xmk =xm.
Anggap bahwa limk→∞xmk =xm untukm= 1,2,· · · , n. Maka ada bilangan
- bilangan bulat K1, K2,· · · , Kn sehingga, untuk m= 1,2,· · · , n,
|xmk−xm|< n−1/2
ε untuk semua k ≥K. Andaikan K =max{K1, K2,· · · , Kn}. Maka, jikak ≥K,
d(x, xk) = n X
m=1
|xm−xmk|2 !1/2
≤ n1/2
max{|xm−xmk|:m= 1,2,· · · , n}
< ε
Ini menunjukkan limk→∞xk =x.
13
kef diE dan andaikan ε >0. Maka ada bilangan bulatN sehingga d(f, fn) < ε untuk semua n≥N, dan mengakibatkan, melalui definisi metrik diBK(E),
sup {|f(t)−fn(t)|:t∈E}< ε (1)
untuk semua n≥N. Selanjutnya diperoleh
|f(t)−fn(t)|< ε (2)
untuk semuan ≥ N dan semua t ∈E. Ketidaksamaan (2) menunjukkan barisan (fn(t)) konvergen di K untuk setiap t ∈E dan limn→∞fn(t) = f(t) untuk setiap
t∈E.
Selanjutnya dapat juga dilihat bagaimana pamakaian karakteristik penutup sebuah himpunan dalam syarat - syarat barisan.
Teorema 2.13 AndaikanAsebuah himpunan bagian tak kosong dariX dan anggap x ∈ X. Maka x ∈ A− jika dan hanya jika ada sebuah barisan (xn) dalam A
se-hingga limn→∞xn =x.
Bukti. Anggap bahwa x ∈ A−. Karena setiap bilangan bulat positif n bola
terbuka B(x,1/n) memuat paling sedikit satu titikA. Untukn = 1,2,· · · dipilih xn∈A∩B(x,1/n). Jelas bahwa
limn→∞xn =x.
Anggap, sebaliknya, bahwa ada sebuah barisan (xn) dalam A sehingga limn→∞xn = x. Maka, untuk setiap r > 0, ada bilangan bulat N, sehingga
d(x, xn)< r untuk semua n ≥ Nr. Dalam faktanya xNr ∈ A ∼ B(x, r), sehingga
x∈A−.
Akibat 2.14 Sebuah himpunan bagian A dari X adalah tertutup jika dan hanya jika titik limit setiap barisan konvergen dari A berada di A.
Andaikan (xn) sebuah barisan di X dengan limn→∞xn = x dan andaikan
xnk sebuah sub barisan (xn). Saat (nk) adalah sebuah barisan menaik bilangan
bulat positif harus dimilikink ≥k untuk k= 1,2,· · · , dari limk→∞xnk =x. Jadi
setiap sub barisan dari sebuah barisan konvergen adalah konvergen ke limit barisan aslinya. Namun sebuah barisan yang tidak konvergen dapat memiliki sebuah sub barisan yang konvergen. Sebagai contoh, andaikanx2n=ndanx2n+1= 1/nuntuk n= 1,2,· · · ,maka (xn) tidak konvergen tetapi sub barisan x2n+1 konvergen ke 0.
2.1.3 Barisan Cauchy.
Salah satu sifat penting dalam sistem bilangan riil adalah prinsip umum kevergenan cauchy yang menjaga karakteristik yang hakekat pada barisan yang kon-vergen di R.
Definisi 2.15 Sebuah barisan (xn) dikatakansebuah barisan cauchyjika dan hanya jika, setiap bilangan riil positif ε, ada sebuah bilangan bulat positif N, yang berhubungan denganε, sehingga d(xm, xn)< εuntuk semua m, n≥N.
Lemma 2.16 Setiap barisan konvergen di X adalah sebuah barisan Cauchy.
Bukti. Andaikan (xn) sebuah barisan di X dengan limn→∞xn=x, dan andaikan
ε > 0. Maka ada sebuah bilangan bulat N sehingga d(x, xn) < 1
2ε untuk semua n≥N, dan mengakibatkan, jika n≥N dan m≥N
d(xm, xn)≤d(d(xm, x) +d(x, xn)< ε
Jadi (xn) adalah sebuah barisan Cauchy.
Prinsip umum kekonvergenan menyatakan bahwa sebuah barisan di R
15
merupakan pernyataan benar di beberapa ruang metrik. Berikut diberikan contoh sebuah ruang metrik dengan sebuah barisan Cauchy tidak konvergen.
Contoh 4 : Andaikan X subruang (0,1) dari R. Maka
d(s, t) =|s−t|
untuk semua s, t ∈ X. Akan ditunjukkan barisan (1/n) adalah sebuah barisan Cauchy di X tidak konvergen di X. Pertama andaikan ε > 0 dan andaikan N bilangan bulat paling kecil> ε−1
. Jika m, n≥N maka
d(1/m,1/n) =|1/m−1/n| ≤max{1/m,1/n} ≤1/N < ε.
Ini menunjukkan bahwa (1/n) adalah sebuah barisan Cauchy.
Sekarang andaikant∈X dan andaikanN bilangan bulat paling kecil>2t−1 . Maka, jikan ≥N,
d(t,1/n) =|t−1/n| ≥t−1/n≥t−1/N > t−t/2 =t/2.
Ini menunjukkan (1/n) tidak konvergen ke t dan, sebab itu, bahwa (1/n) tidak konvergen di X.
Definisi 2.17 Sebuah ruang metrik X dikatakan lengkap jika dan hanya jika se-tiap barisan Cauchy di X konvergen di X.
Menurut lemma 2.16 bahwa sebuah ruang metrik lengkap adalah sebuah sifat dimana sebuah barisan merupakan konvergen jika dan hanya jika barisan Cauchy. Contoh sebuah ruang metrik lengkap adalah bilangan riilR.
Teorema 2.18 Ruang euclidean Rn adalah lengkap
xk = (x1k, x2k,· · · , xnk)
untukk = 1,2,· · · ,ketidaksamaan
|xmk−xmj| ≤ (Pnl=1|xlk −xlj| 2
)1/2
=d(xk, xj)
dapat ditunjukkan bahwa (xmk)k≥1 adalah sebuah barisan Cauchy di R untuk m = 1,2,· · · , n. Sehingga (xmk)k≥1 kovergen; andaikan xm = limk→∞xmk untuk
m = 1,2,· · · , n, dan andaikan x = (x1, x2,· · · , xn). Berdasarkan teorema 2.12 limk→∞xk =x. Ini membuktikan Rn adalah lengkap.
Teorema 2.19 Ruang metrik (Cn, d) adalah lengkap. Dimana d adalah metrik
yang didefinisikan oleh d(x, y) = (Pnr=1|xr−yr| 2
)1/2 .
Bukti. Terlebih dahulu akan dibuktikanCadalah lengkap. Andaikan (zn) sebuah
barisan Cauchy diC dan andaikan (zn) =xn+iyn, dimana xn, yn∈R. Dimana
|xm−xn| ≤ |zm−zn| dan |ym−yn| ≤ |zm−zn|,
(xn) dan (yn) adalah barisan Cauchy di R dan konvergen ke limit x dan y.
Andaikanz =x+iy. Maka
|z−zn| ≤ |x−xn|+|y−yn|
sehingga limn→∞zn =z. Jadi C adalah lengkap.
Melengkapi (Cn, d) dari C sama ketika melengkapiRn dari R.
17
Bukti. Andaikan (fn) sebuah barisan Cauchy di BK(E) dan ε > 0. Maka ada bilangan bulatN sehinggad(fm, fn)< 1
2εuntuk semua m≥N dan semuan≥N. Dimana d(fm, fn) =sup{|fm(t)−fn(t)|:t∈E} diperoleh
|fm(t)−fn(t)|< 1
2ε (1)
untuk semuam ≥N, n ≥ N dan t ∈E. Oleh (1), (fn(t)) adalah barisan Cauchy diK, dan konvergen di K, untuk setiapt ∈E.
Didefinisikan sebuah pemetaan f dari E ke K dengan f(t) = limn→∞fn(t)
untuk semua t ∈ E. Akan dibuktikan bahwa f ∈ BK(E) dan limn→∞fn = f.
Ketidaksamaan (1) memberikan
|f(t)−fn(t)|= limm→∞|fm(t)−fn(t)| ≤ 12ε (2)
untuk semua n≥N dan semuat∈E, dan jadi
|f(t)| ≤ |f(t)−fN(t)|+|fN(t)| ≤ 1
2ε+|fN(t)|
untuk semua t ∈E. KetikafN adalah terbatas ini menunjukkan bahwa f adalah terbatas sehinggaf berada diBK(E). Sekarang (2) memberikan
d(f, fn) =sup{|f(t)−fn(t)|:t ∈E} ≤ 1 2ε < ε
untuk semua n ≥ N. Ini membuktikan bahwa limn→∞fn = f, dan karenanya
BK(E) adalah lengkap.
Berikut lemma tentang barisan Cauchy di sebuah ruang metrik sebarang dalam beberapa penggunaannya.
Bukti. Andaikan (xn) sebuah barisan Cauchy di X yang memiliki sebuah sub barisan konvergen, katakan (xnk). Andaikan x = limk→∞xnk dan ε > 0. Maka
ada bilangan bulatN danK sehingga d(xm, xn)< 1
2εuntuk semuam, n≥N, dan d(x, xnk) <
1
2ε untuk semua k ≥ K. Andaikan M = max{N, K}. Jika m ≥ M maka, ketikanm ≥m,
d(x, xm)≤d(x, xnm) +d(xnm, xm)< ε
Ini membuktikan bahwa limn→∞xn=x.
2.1.4 Pemetaan Kontinu.
Berikut ini akan diuraikan sedikit tentang pemetaan yang kontinu dari sebuah ruang metrik ke ruang metrik yang lain.
Definisi 2.22 Andaikan X dan Y ruang - ruang metrik dengan metrik dX dan dY. Sebuah pemetaan f dari X ke Y dikatakan kontinu pada titik x0 ∈ X jika dan hanya jika, untuk setiap bilangan riil ε, ada sebuah bilangan riil positif δ, yang bergantung pada ε dan x0, sehingga dY(f(x0), f(x))< ε bila dX(x0, x)< δ. Sebuah pemetaan X keY dikatakan kontinu di X jika dan hanya jika kontinu di setiap titik diX.
Jika suatu pemetaan kontinu dari X ke Y dan dari Y ke Z, maka akan terdapat suatu pemetaan yang kontinu dari X ke Z. Untuk menunjukkan hal tersebuat, terlebih dahulu diberikan sebuah lemma.
Lemma 2.23 Sebuah pemetaan f dari sebuah ruang metrik X ke ruang metrik Y adalah kontinu pada sebuah titik x0 ∈ X jika dan hanya jika f−1
(V) adalah sebuah persekitaran x0 bila V adalah sebuah persekitaran f(x0).
19
dY(f(x0), f(x))< r bila dX(x0, x)< δ. Ini berarti jika x∈B(x0, δ), maka f(x)∈
B(f(x0), r), dan mengakibatkan
B(x0, δ)⊆f−1
(B(f(x0), r))⊆f−1 (V).
Ini membuktikan bahwa f−1
(V) adalah sebuah persekitaran x0.
Anggap sebaliknya bahwa f−1
(V) adalah sebuah persekitaran x0 untuk se-tiap persekitaran V dari f(x0) dan andaikan ε > 0. Ketika B(f(x0, ε)) adalah persekitaran dari f(x0), himpunan f−1
(B(f(x0, ε)) adalah persekitaran x0 dan karena itu ada δ >0 sehingga
B(x0, δ)⊆f−1
(B(f(x0, ε)).
Berikut bahwa jika dX(x0, x) < δ maka dY(f(x0), f(x)) < ε. Ini membuktikanf kontinu di x0.
Teorema 2.24 Sebuah pemetaan f dari sebuah ruang metrik X ke ruang metrik Y adalah kontinu di X jika dan hanya jika f−1
(A) adalah terbuka di X untuk semua himpunan - himpunan bagian terbuka A dari Y.
Bukti. Anggap bahwa f adalah kontinu di X dan andaikan A himpunan bagian terbuka dari Y. Dapat ditunjukkan bahwa f−1
(A) terbuka. Ketika ∅ adalah terbuka, dapat dianggap bahwa f−1
(A) 6= ∅. Andaikan x ∈ f−1
(A). Maka ada f(x) ∈ A dan A adalah persekitaran f(x). Berdasarkan lemma 2.23 himpunan f−1
(A) adalah sebuah persekitaranx. jadif−1
(A) adalah persekitaran setiap titik - titik dan terbuka.
Anggap sebaliknya bahwa f−1
(A) adalah terbuka di X untuk semua him-punan - himhim-punan bagian terbuka Y. Andaikan x ∈ X. Untuk setiap ε > 0 himpunan B(f(x), ε) adalah terbuka dan f−1
ituf−1
(B(f(x), ε)) adalah sebuah persekitaran x, dan ini menunjukkanf kontinu diX.
Setelah diberikan lemma dan teorema diatas, maka dapat ditunjukkan bagaimana kekontinuan dari komposisi fungsi atau pemetaan.
Teorema 2.25 Andaikan X, Y, dan Z ruang - ruang metrik dan andaikan f dan g pemetaan - pemetaan kontinu dari X ke Y danY ke Z, masing - masing. Maka g◦f adalah sebuah pemetaan kontinu dari X ke Z.
Bukti. Andaikan himpunan bagian terbuka Z. Berdasarkan teorema 2.24 him-punan g−1
(A) adalah himpunan bagian terbuka dari Y dan, berdasarkan teo-rema 2.24 juga, f−1
(g−1
(A)) adalah himpunan bagian terbuka dari X. Ketika (g ◦f)−1
(A) = f−1 (g−1
(A)), maka berdasarkan teorema 2.24 bahwa g◦f adalah kontinu di X.
2.2 Ruang Linier Bernorm
Himpunan bilangan riil Rn adalah sebuah ruang linier atas field riil. Berikut diberikan contoh pendefinisian metrik diRn,
d(x, y) =d(x−y,0) dan d(αx,0) =|α|d(x,0) (*)
Struktur ruang metrik atasRn diatas struktur ruang linier dari Rn. Ruang Linier
juga ruang metrik yang mana metrik dan struktur ruang linier dengan hubungan (*) adalah ruang linier bernorm.
21
Definisi 2.26 Sebuah ruang linier atasK adalah sebuah lipat empat (E, K,+,•) dimanaE 6=∅, adalah pemetaan :
+ : E×E →E
(x, y)7→+(x, y) = (x+y)
• : K×E →E
(α, x)7→ •(α, x) = (α•x)
yang memenuhi kondisi berikut :
(a) x+ (y+z) = (x+y) +z untuk semua x, y, z∈E, (b) x+y=y+x untuk semua x, y∈E,
(c) Ada 0∈E sehingga x+ 0 =x untuk semua x∈E, (d) Untuk setiap x∈E ada −x∈E sehingga x+ (−x) = 0, (e) (α+β)x=αx+βx untuk semua x∈E dan α, β ∈K, (f) α(x+y) =αx+αy untuk semua x, y∈E danα ∈K, (g) α(βx) = (αβ)x untuk semua x∈E dan α, β ∈K, (h) 1x=x untuk semua x∈E.
Ruang linier (E, K,+,•) selanjutnya digantikan oleh ruang linierE . Suatu ruang linier atasRsering disebut sebuah ruang linier riel dan sebuah ruang linier
atas C sering disebut sebuah ruang linier kompleks. Sebuah ruang linier atas K
juga disebut sebuahruang vector atas K.
Kemudian akan diperlihatkan bagaimana sebuah norm dari ruang linier.
Definisi 2.27 Andaikan E sebuah ruang linier atas K. Sebuah pemetaan
(a) kxk ≥0 untuk semua x∈E,
(b) Jika x∈E dan kxk= 0 maka x= 0,
(c) kαxk=|α|kxk untuk semua x∈E dan α∈K,
(d) kx+yk ≤ kxk+kyk untuk semua x, y∈E
Sebuah ruang linier bernorm atas K adalah sebuah pasangan (E,k • k), dimana E adalah ruang linier atas K dan k • k adalah sebuah norm pada norm E.
Ruang linier bernorm (E,k • k) selanjutnya disebut dengan ruang linier bernormE. Ketika 0x= 0 untuk semuax∈E, kondisi (c) menunjukkank0k= 0. Oleh karena itu dapat digantikan (b) menjadi (b)’ kxk = 0 jika dan hanya jika x= 0.
Ini diikuti oleh induksi dari (d) sehingga, jika x1, x2,· · · , xn adalah titik di E, maka
kx1+x2+· · ·+xnk ≤ kx1k+kx2k+· · ·+kxnk
Diikuti dengan ketidaksamaan yang selalu kita gunakan :
|kxk − kyk| ≤ kx−yk
Untuk semuax, y∈E.
Banyak ruang metrik yang dapat kita jadikan contoh sebagai ruang linier yang bernorm. Andaikan E sebuah ruang linier bernorm dengan norm k • k dan andaikan d(x, y) = kx−yk untuk semua x, y ∈ E, akan ditunjukkan d metrik di E. Ini jelas bahwa d(x, y) ≥ 0 untuk semua x, y ∈ E dan d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x=yuntuk semua x, y∈E maka
23
dan jikax, y, z∈E maka
d(x, z) = k(x−y) + (y−z)k
≤ kx−yk+ky−zk
= d(x, y) +d(y, z)
Dapat juga diperoleh sifat lanjutan dari barisan didalam sebuah ruang linier bernorm, bahwa sifat yang sama dari barisan pada bilangan riil.
Lemma 2.28 Andaikan (xn) dan (yn) barisan pada sebuah ruang linier bernorm E atas K dengan limn→∞xn = x dan limn→∞yn = y, dan andaikan αn
se-buah barisan di K dengan limn→∞αn = α. Maka limn→∞(xn +yn) = x +y,
limn→∞αnxn =αx, danlimn→∞kxnk=kyk.
Bukti. Andaikan ε > 0. Ada bilangan - bilangan bulat N1 dan N2 sehingga
kx−xnk < 1
2ε untuk semua n ≥ N1 dan ky−ynk < 1
2ε untuk semua n ≥ N2. AndaikanN =max{N1, N2}. Untuk semua n≥N,
k(x+y)−(xn+yn)k = k(x−xn) + (y−yn)k
≤ kx−xnk+ky−ynk
< ε.
Ini membuktikan limn→∞(xn+yn) =x+y.
Selanjutnya andaikan 1 ≥ η > 0. Maka, sesuai di atas, ada bilangan bulat N0 sehingga kx−xnk< η dan |α−αn|< η untuk semua n≥N0.
Jadi, untuk semua n≥N0
dan
kαx−αnxnk = kα(x−xn) + (α−αn)xnk
≤ kα(x−xn)k+k(α−αn)xnk
= |α|kx−xnk+|α−αn|kxnk
< (|α|+||x||+ 1)η.
Diberikanε > 0, andaikanη =min{1, ε(|α|+kxk+1)−1
}. Maka, dapat dibuktikan, ada sebuah bilangan bulat N0 sehingga kαx−αnxnk < ε untuk semua n ≥ N0. Ini membuktikan bahwa limn→∞αnxn=αx.
Yang terakhir, oleh ketidaksamaan |kxk − kyk| ≤ kx−yk diperoleh
|kxk − kxnk| ≤ kx−xnk
dan karenanya limn→∞kxnk=kxk.
2.3 Ruang Banach
Teori ruang bernorm, merupakan salah satu konsep penting yang diperoleh dari kegunaan ruang metrik pada ruang linier atau ruang vektor.
Definisi 2.29 Sebuah ruang linier bernorm lengkap disebut ruang Banach
Berikut akan diberikan contoh - contoh, dimana ruang linier bernorm adalah ruang Banach.
Conto 5 : Ruang linier riilRdan ruang linier kompleksC, dimanax→ |x|adalah
sebuah norm di Rdan di C.
Secara umum, andaikan (E, C) sebuah ruang linier kompleks dan x → kxk sebuah norm di (E, C). Jelas bahwa x → kxk juga sebuah norm di (E, R) yang berasosiasi dengan (E, C).
25
x+y= (x1+y1, x2+y2,· · ·, xn+yn)
dan αx= (αx1, αx2,· · · , αxn),
untuk semua α ∈ K dan semua x = (x1, x2,· · · , xn) dan y = (y1, y2,· · · , yn) di Kn.
Andaikan
kxk= (Pnr=1|xr| 2
)1/2
untuk semua x= (x1, x2,· · · , xn)∈Kn. Maka k • k adalah sebuah norm diKn.
Selanjutnya akan diperlihatkan bagaimana sebuah deret konvergen dengan mutlak di ruang linier bernorm dan ruang Banach.
Definisi 2.30 Andaikan E sebuah ruang linier bernorm. Ada pasangan barisan (xn) dan (sn) di E sehingga berlaku sn = x1 +x2+· · ·+xn untuk n = 1,2,· · · dikatakan sebuah deret tak berhingga dan dinotasikan dengan P
n. sn disebut penjumlahan sebahagian ke-n dari deret P
n.
Definisi 2.31 Andaikan P
n sebuah deret tak berhingga di sebuah ruang linier bernorm E dan andaikan sn penjumlahan sebahagian ke-n dari deret P
n. Deret P
n dikatakan konvergenjika dan hanya jika barisan penjumlahan sebahagian (sn) konvergen. JikaP
n konvergen dan s = limn→∞sn disebutpenjumlahan deret P
n
dan ditulis s =P∞ n=1xn.
Diberikan lemma berikut untuk memperjelas kondisi dari sebuah deret di ruang Banach.
Lemma 2.32 Andaikan P
n sebuah deret tak berhingga di sebuah ruang Banach E. DeretP
Bukti. Andaikansn=x1+x2+· · ·+xn untuk n= 1,2,· · · maka
sn+k −sn =xn+1+xn+2+· · ·+xn+k,
Jadi kondisi lemma adalah kondisi dimana (sn) sebuah barisan Cauchy.
Definisi 2.33 Deret tak berhinggaP
ndi sebuah ruang linier bernormEdikatakan konvergen dengan mutlak jika dan hanya jika deret bilangan riil P
nkxnk adalah konvergen.
Lemma 2.34 Andaikan P
nxn sebuah deret konvergen dengan mutlak di sebuah ruang Banach E. Maka deret P
nxn konvergen dan
kP∞
n=1xnk ≤ P∞
n=1kxnk.
Bukti. Andaikanε > 0. Terdapat bilangan bulat N sehingga
kxn+1k+kxn+2k+· · ·+kxn+kk< ε
untuk semua n≥N dan k= 1,2,· · ·. Dengan melihat bahwa
kxn+1+xn+2+· · ·+xn+kk ≤ kxn+1k+kxn+2k+· · ·+kxn+kk< ε
untuk semua n≥N dan k= 1,2,· · · dapat disimpulkanP
nxn konvergen.
Terakhir, untuk m= 1,2,· · · diperoleh
kPmn=1xnk ≤ Pm
n=1kxnk
dan oleh lemma 2.32 memberikan
kP∞
n=1xnk= limm→∞k Pm
n=1xnk ≤limm→∞ P∞
n=1kxnk= P∞
27
2.4 Ruang Metrik Compact
Banyak konsep dalam teori ruang metrik adalah sifat penting yang abstrak dalam sistem bilangan riil; untuk melengkapi definisi dari prinsip umum Cauchy yang konvergen. Pada sub bab ini akan di jelaskan sifat ’compact’ dalam ruang metrik.
Definisi 2.35 AndaikanY sebuah himpunan bagian tak kosong dari sebuah ruang metrik X. Koleksi A atas himpunan - himpunan bagian X dikatakan cover Y jika dan hanya jika Y ⊆ S
A∈AA. Sebuah himpunan bagian sebuah cover Y
yang juga sebuah cover Y dikatakan subcover Y. Sebuah koleksi berhingga dari himpunan - himpunan bagianX yang merupakan sebuah cover dikatakan sebuah cover berhingga Y. Sebuah coverY yang merupakan himpunan bagian terbuka X dikatakan cover terbuka Y.
Definisi 2.36 Sebuah ruang metrik X dikatakan compact jika dan hanya jika cover terbuka dari X memiliki sebuah subcover berhingga. Sebuah himpunan bagian tak kosongY dari sebuah ruang metrik dikatakan compactjika dan hanya jika subruang Y adalah sebuah ruang metrik compact; dan dikatakan compact relatifjika dan hanya jika Y−, penutup Y, adalah compact.
Dapat diteliti bahwa sebuah himpunan bagian compact dari sebuah ruang metrik harus selalu terbatas dan tertutup.
Definisi 2.37 Sebuah himpunan bagian tak kosong A dari sebuah ruang metrik X dikatakan terbatas jika dan hanya jika himpunan {d(x, y) : x, y∈ A} bilangan riil adalah terbatas. Sebuah barisan (xn) di X dikatakan terbatas jika dan hanya jika range,{xn :n= 1,2,· · · }, adalah sebuah himpunan bagian terbatas X.
X =Rkonsep tentang keterbatasan dikenalkan dengan konsep keterbatasan di R.
Lemma 2.38 Sebuah himpunan bagian compact dari sebuah ruang metrik adalah terbatas dan tertutup.
Bukti. Andaikan A sebuah himpunan bagian compact dari sebuah ruang metrik X. Andaikan x0 titik di A. Himpunan bola terbuka {B(x0, n) : n = 1,2,· · · } adalah cover terbuka A dan karenanya memiliki sebuah subcover berhingga A. Jika N adalah jari - jari bola terbesar pada subcover berhingga ini maka jelas A⊆B(x0, N). Ini menunjukkan bahwa A adalah terbatas.
Sekarang andaikan x0∈X ∼A. Himpunan dari himpunan - himpunan
{X ∼ B′(x0,1/n) :n = 1,2,· · · }
adalah sebuah cover terbukaAdan karenanya memiliki sebuah subcover berhingga. Jika 1/N adalah jari - jari bola tertutup terkecil dihubungkan dengan subcover berhingga ini, maka jelasA∩B(x0,1/N)⊆ A∩B′(x0,1/N) =∅. Ini membuktikan
bahwax0 ∈A− dan karenanya A tertutup.
Dari lemma diatas sebuah himpunan bagian compact dari sebuah ruang metrik adalah juga compact dengan relatif.
Lemma 2.39 Sebuah himpunan bagian tertutup tak kosong dari sebuah ruang metrik compact adalah compact.
Bukti. AndaikanAhimpuan bagian tertutup tak kosong dari sebuah ruang metrik compactX dan andaikanBsebagai cover terbukaA. Himpunanζ =B∪{X ∼A}
adalah cover terbuka dari X dan oleh karena itu memiliki sebuah sub himpunan berhingga,ζ0 katakan, yang mana cover X. Secara jelas, jikaB0 =ζ0 ∼ {X ∼A}
maka B0 adalah sub himpunan berhingga dariB, dan coverA. Ini membuktikan
29
Selanjutnya melalui definisi, lemma dan teorema dapat dilihat bagaimana kesamaan kondisi dengan sifat compact. Di akhir pembahasan sub bab ini akan diperoleh teorema Borel-Lebesgue yaitu salah satu teorema yang nantinya mem-bantu dalam menyelesaikan pembahasan penelitian ini.
Definisi 2.40 Sebuah ruang metrikX dikatakancompact dengan berurutjika dan hanya jika setiap barisan diX memiliki sebuah sub barisan yang konvergen. Him-punan bagian tak kosong Y dari sebuah ruang metrik dikatakan compact dengan berurutjika dan hanya jika subruangY adalah sebuah ruang metrik yang compact dengan berurut; dan dikatakan compact yang berurut relatif jika dan hanya jika Y− adalah compact dengan berurut.
Sasaran selanjutnya adalah membuktikan ruang metrik adalah compact jika dan hanya jika merupakan compact dengan berurut. Ini dilakukan dengan be-berapa tahap, dan dalam hal ini digunakan karakteristik sifat compact. Pertama adalah hal sederhana dari rumus De Morgan.
Definisi 2.41 Koleksi A dari himpunan - himpunan bagian sebuah himpunan dikatakan sifat irisan berhingga jika dan hanya jika setiap himpunan bagian dari
A memiliki irisan tak kosong.
Lemma 2.42 Sebuah ruang metrik X adalah compact jika dan hanya jika setiap koleksi dari himpunan - himpunan bagian tertutup X dengan sifat irisan berhingga yang memiliki irisan tak kosong.
Bukti. Untuk beberapa koleksiA dari himpunan - hampunan bagian X dimiliki S
A∈AA = X jika dan hanya jika
T
A∈A(X ∼ A) = ∅. Menyebabkan X adalah
yang juga memiliki irisan kosong. Pernyataan terakhir adalah jelas sama pada pernyataan lemma.
Berikutnya ditunjukkan sifat compact ke dalam sifat compact dengan beru-rut.
Lemma 2.43 Sebuah ruang metrik compact adalah compact dengan berurut.
Bukti. Andaikan (xn) sebuah barisan pada ruang metrik compactXdan andaikan En={xm :m =n, n+ 1,· · · }. Jika {n1, n2,· · · , nk} adalah himpunan berhingga bilangan bulat positif maka
Tk j=1E
−
nj ⊇EN 6=∅
dimana N = max{n1, n2,· · · , nk}, dan karenanya himpunan dari himpunan -himpunan bagian tertutup {E−
n : n = 1,2,· · · } memiliki sifat irisan berhingga. Oleh lemma 2.40 dimiliki T∞
n=1E
−
n 6= ∅, dan oleh karena itu oleh lemma 2.19 barisan (xn) memiliki paling sedikit satu titik cluster. ini membuktikanX adalah compact dengan berurut.
Berikutnya ditunjukkan sebuah ruang metrik yang compact dengan berurut adalah compact, dan untuk itu digunakan karakteristik lain dari sifat compact.
31
Lemma 2.45 Sebuah himpunan bagian compact dengan berurut relatif dari se-buah ruang metrik adalah terbatas dengan total.
Bukti. AndaikanY sebuah himpunan bagian compact dengan berurut relatif dari sebuah ruang metrik X dan anggap Y tidak terbatas dengan total. Maka untuk beberapa ε > 0 ada ε −net tak berhingga di Y. Didefinisikan dengan induk-si sebuah barisan (xn) bahwa tidak memiliki sub barisan konvergen. Andaikan x1 titik di Y dan anggap titik - titik x2, x3,· · · , xn di Y dipilih sehingga ada d(xj, xk) ≥ ε untuk 1 ≤ j < k ≤ n. Ketika tidak ada ε−net berhingga di Y, dimilikiSnm=1BY(xm, ε)6=Y, dimana
BY(xm, ε) = {y∈Y :d(xm, y)< ε}.
dipilih sebuah titik xn+1 ∈ Y ∼ Snm=1BY(xm, ε). Dengan jelas d(xn+1, xm) ≥ ε untukm= 1,2,· · · , n. Ini melengkapi definisi barisan (xn). Jelas bahwa tidak ada sub barisan (xn) dapat menjadi barisan Cauchy, dan oleh karena itu berdasarkan lemma 2.23 tidak ada sub barisan (xn) yang konvergen. Ketika (xn) barisan di Y dan Y adalah compact dengan berurut relatif, diperoleh sebuah kontradiksi. Akan dipapar dua lemma untuk lebih membantu
Lemma 2.46 Sebuah ruang metrik compact dengan berurut adalah lengkap.
Bukti. AndaikanX sebuah ruang metrik compact dengan berurut. Setiap barisan diX, dan setiap barisan Cauchy di X, memiliki sebuah sub barisan yang konver-gen, oleh karena itu berdasarkan lemma 2.29 setiap barisan Cauchy diX konver-gen.
Bukti. Andaikan Y sebuah himpunan bagian tak kosong dari sebuah himpunan terbatas dengan totalX dan andaikan ε >0. Ada sebuah 1
2ε−netdi X, katakan
{x1, x2,· · · , xn}. Ketika Y tak kosong Y ∩B(xj,1
2ε} 6= ∅ untuk bilangan bulat paling kecilj dengan 1 ≤j ≤n. Dengan memberi indeks titikxj jika dibutuhkan, anggap bahwa Y ∩B(xj,1
2ε) 6= ∅ jika dan hanya jika j = 1,2,· · · , m. Dipilih yj ∈Y ∩B(xj,1
2ε) untukj = 1,2,· · · , m. Maka jikay ∈Y diperolehy∈B(xj, 1 2ε) untuk beberapaj dengan 1 ≤j ≤m dan karenanya
d(y, yj)≤d(y, xj) +d(xj, yj)< ε
Ini menunjukkan bahwa{y1, y2,· · · , ym}adalah sebuah ε−netberhingga diY.
Teorema 2.48 Andaikan X sebuah ruang metrik. Berikut tiga kondisi yang se-muanya sama :
(a) X adalah compact,
(b) X adalah compact dengan berurut,
(c) X adalah terbatas dengan total dan lengkap.
Bukti. Lihat lemma 2.42 bahwa kondisi (a) menyatakan secara tidak langsung kondisi (b), dan di lemma 2.45 dan lemma 2.46 bahwa kondisi (b) menyatakan secara tidak langsung kondisi (c). Secara keseluruhan untuk menunjukkan bahwa kondisi (c) menyatakan secar tidak langsung kondisi (a).
Anggap secara berlawanan bahwaX adalah terbatas denga total dan komplet tetapi tidak compact. Ketika X tidak compact ada cover terbuka, A misalkan, dari X yang mana memiliki subcover tak berhingga dari X. Didefinisikan secara induksi sebuah barisan (xn) diX dengan sifat sebagai berikut : untukn = 1,2,· · ·
33
(2) Bola terbuka B(xn,2−n+1
) tidak dapat di cover oleh sub himpunan berhingga
A.
Dengan hipotesa ada sebuah 1− net behingga di X, katakan {y1, y2,· · · , ym}. Ketika X ⊆ B(yj,1) ada satu bilangan bulat paling kecil j, dengan 1 ≤ j ≤ m, sehingga B(yj,1) tidak dapat di cover oleh sebuah sub himpunan A; andaikan x1 =y1 dimana j adalah bilangan bulat paling kecil. Maka x1 memenuhi kondisi (2) (kondisi (1) jelas dipenuhi).
Anggap bahwa titik - titikx1, x2,· · · , xn diX yang dipilih untuk memenuhi kondisi (1) dan (2). Oleh lemma 2.46 bola terbukaB(xn,2−n+1
) adalah terbatas de-ngan total dan karenanya ada 2−n−netdiB(xn,2−n+1
), katakan{y1, y2,· · · , ym}. Ketika B(xn,2−n+1
) memenuhi kondisi (2) ada satu bilangan bulat paling kecil j, dengan 1 ≤ j ≤ m, sehingga B(yj,2−2
) tidak di cover oleh sub himpunan berhingga A; andaikan xn+1 =yj dimanaj adalah bilangan bulat terkecil. Ketika xn+1 ∈ B(xn,2−n+1) kondisi dipenuhi; kondisi (2) juga dipenuhi. Ini melengkapi definisi barisan (xn).
Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dengan m > n maka
d(xm, xn) ≤ d(xm, xm−2) +d(xm−1, xm−2) +· · ·+d(xn+1, xn)
≤ 1
2m−2 + 1
2m−3 +· · ·+ 1 2n−1
≤ 2n1−2.
Menyebabkan (xn) adalah sebuah barisan Cauchy dan konvergen karena, oleh hipotesa,X adalah lengkap. Andaikan x= limn→∞xn. KetikaAcoverX didapat
x ∈ A untuk beberapa A ∈ A dan ketika A adalah B(x, r) ⊆ A terbuka untuk beberapa r > 0. Ada bilangan bulat N sehingga d(xn, x) < 1
2r dan 2
−n+1 < 1
2r untukn ≥N. Jika y∈B(xN,2−N−1
) maka
d(y, x)≤d(y, xN) +d(xN, x)<2−N+1 +1
Dengan demikian B(xN,2−N+1) ⊆ B(x, r) ⊆ A yang kontradiksi dengan kondisi (2). Ini membuktikan bahwa kondisi (c) menyatakan secara tidak langsung dari kondisi (a).
Akibat 2.49 (a) Sebuah himpunan bagian tak kosong dari sebuah ruang metrik adalah compact dengan relatif jika dan hanya jika compact dengan berurut relatif.
(b) Sebuah himpunan bagian tak kosong dari sebuah ruang metrik lengkap adalah compact dengan relatif jika dan hanya jika terbatas dengan total.
Bukti. AndaikanY sebuah himpunan bagian tak kosong dari sebuah ruang metrik X. Oleh (a) dan lemma 2.44 jika Y adalah compact dengan relatif makaY adalah terbatas dengan total. Anggap sekarang bahwaX adalah lengkap dan Y terbatas dengan total. Maka oleh teorema 2.28, sub ruang Y− adalah lengkap sehingga,
oleh teorema 2.47 dapat dibuktikan bahwaY− adalah terbatas dengan total.
Andaikan ε > 0. Ada 1
2ε−net berhingga di Y, katakan {y1, y2,· · · , yn}. Andaikan x ∈ Y. dapat dipilih y ∈ Y dengan d(x, y) < 1
2ε. Juga d(y, yk) < 1 2ε untuk beberapa bilangan bulatk dengan 1≤k ≤n sehingga
d(x, yk)≤d(x, y) +d(y, yk)< ε.
Ini tunjukkan bahwa {y1, y2,· · ·, yn} adalah ε−net diY−.
Selanjutkan dapat dilihat sebuah himpunan bagian tak kosong dariRadalah
compact jika dan hanya jika tertutup dan terbatas. Dan diperluas hasilnya keRn
dan Cn.
Teorema 2.50 (Borel-lebesgue) Andaikan kxk = (Pnr=1|xr| 2
)1/2
35
Bukti. Dilihat lemma 2.37 bahwa sebuah himpunan bagiang compact dari ruang metrik adalah terbatas dan tertutup. Andaikan A sebuah himpunan bagian tak kosong tertutup dan terbatas dari (Kn,k • k); untuk membuktikanAadalah com-pact. Didefinisikan bahwa suatu pemetaan f dikatakan isometry jika dan hanya jikadX(x1, x2) =dY(f(x1), f(x2)) untuk beberapax1, x2∈X. Untuk ruang metrik (Cn,k • k) dan (R2n,k • k) adalah isometry maka anggap K =R. Oleh teorema 2.25 dan 2.28 sub ruang A adalah lengkap. Secara keseluruhan oleh teorema 2.48 cukup membuktikan A adalah terbatas dengan total. Ketika A adalah terbatas, ada sebuah bilangan bilangan bulat positifN sehingga
A ⊆AN ={(x1, x2,· · · , xn)∈Rn:|xj| ≤Nuntukj= 1,2,·, n}.
Jika dapat dibuktikan bahwa AN adalah terbatas dengan total mengikuti lemma 2.26 bahwaA juga terbatas dengan total.
Andaikan ε > 0, dan m adalah bilangan bulat lebih paling kecil dengan mε≥√n, dan andaikan Emhimpunan{p1m,
p2 m,· · · ,
pn
m}dimanapj adalah bilangan bulat dengan|pj| ≤mN untukj = 1,2,· · · , n. Ada titik (1 +2mN)ndi himpunan Em. Andaikan (x1, x2,· · ·, xn)∈AN. Maka, untuk j = 1,2,· · · , n, ada |xj| ≤N dan sebab itu ditemukan bilangan bulatpj dengan |pj| ≤mN dan|mxj−pj|<1. Ketika
k(x1, x2,· · · , xn)−(p1/m, p2/m,· · · , pn/m)k
= n X
j=1
(xj −pj/m)2 !1/2
<
√
n m ≤ε
Em adalah sebuah ε−net di AN.
Definisi 2.51 Andaikanf sebuah pemetaan dari sebuah ruang linierX ke sebuah ruang metrik Y. Maka f dikatakan kontinu seragam jika dan hanya jika untuk setiap bilangan riilε ada sebuah bilangan positif δ sehingga
d(f(x1), f(x2))< ε
untuk semua x1, x2∈X dengan d(x1, x2)< δ.
Teorema 2.52 Setiap pemetaan kontinu dari sebuah ruang metrik compactX ke sebuah ruang metrik Y adalah kontinu seragam di X.
Bukti. Andaikan f sebuah pemetaan kontinu dari X ke Y dan andaikan ε > 0. Untuk setiap titikx∈X ada δ(x)>0 sehingga
d(f(x), f(y))< 1
2ε (1)
untuk semua y∈X dangan d(x, y)< δ(x). Himpunan bola - bola terbuka
{B(x,1
2δ(x)) :x∈ X}
adalah cover terbukaX dan oleh karena itu memiliki sebuah subcover berhingga, misalkan
{B(x1,1
2δ(x1)), B(x2, 1
2δ(x2)),· · · , B(xn, 1
2δ(xn))}.
Andaikan δ = min{1 2δ(x1),
1
2δ(x2),· · · , 1
2δ(xn)} dan andaikan y1, y2 ∈ X dengan d(y1, y2)< δ. Untuk beberapa bilangan bulatkdengan 1≤k ≤n, y1 ∈B(xk,1
2δ(xk)). Jadi d(xk, y1)< 1
2δ(xk) dan
d(xk, y2)≤d(xk, y1) +d(y1, y2)< 1
2δ(xk) +δ≤δ(xk).
37
d(f(y1, f(y2))≤d(f(y1), f(xk)) +d(f(xk), f(y2))< ε
Ini membuktikan bahwa f adalah kontinu seragam di X.
2.5 Operator Linier Terbatas
Banyak permasalahan analisis klasik adalah permasalahan tentang pemetaan li-nier kontinu satu ruang lili-nier bernorm ke ruang lili-nier bernorm lainnya. Sebagai contoh ada sebuah pemetaan T dari Rn ke Rm, dimana T sering disebut sebagai
transformasi linier dengan persamaan T x=y.
Pada sub bab ini akan di jelaskan tentang operator linier terbatas, dengan terlebih dahulu memberikan definisi sebuah transformasi linier.
Definisi 2.53 Andaikan E dan F sebuah ruang linier atas K dan andaikan T sebuah pemetaan dari E ke F. Maka T dikatakan sebuah pemetaan linier dari ruang linier (E, K) ke ruang linier (F, K) jika dan hanya jika
T(αx+βy) =αT x+βT y
untuk semua x, y ∈ E dan semua α, β ∈ K. Sebuah pemetaan linier dari E ke F disebut sebuah transformasi linier dariE ke F. Dan ketika T sebuah transfor-masi linier dari sebuah ruang linier ke dirinya sendiri, maka transfortransfor-masi
