TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN
PERMINTAAN LENTUR
TESIS
Oleh
HERLENA 107021014/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN
PERMINTAAN LENTUR
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
HERLENA
107021014/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
Judul Tesis : TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN LENTUR
Nama Mahasiswa : Herlena Nomor Pokok : 107021014
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M. Si) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
Telah diuji pada
Tanggal 17 Desember 2012
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
Traffic Assignment Problem dengan Permintaan Lentur
T E S I S
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti-pan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 17 Desember 2012 Penulis,
ABSTRAK
Lalu lintas adalah pergerakan suatu objek dari asal ke tujuan. Kemacetan yang se-ring terjadi pada arus lalu lintas dapat mempengaruhi permintaan dalam pendis-tribusian komoditas barang dari asal ke tujuan. Tesis ini bertujuan untuk menye-lesaikan persoalan tersebut, dengan masalah optimasi untuk menghasilkan mi-nimisasi. Metode yang digunakan adalah metode ACCPM (Analytic Center Cut-ting Plane Method) untuk menyelesaikan penugasan lalu lintas dengan perminta-an lentur. ACCPM dengperminta-an relaksasi lagrperminta-angiperminta-an merelaksasi kendala pada penu-gasan lalu lintas dengan variabel ganda menghasilkan masalah dual dan akan dise-lesaikan dengan metode ACCPM. Hasil yang diperoleh dari pendekatan proksimal analytic adalah titik lokalisasi yang merupakan sebagai titik penugasan.
ABSTRACT
Traffic is the movement of an object from origin to destination. Congestion often occurs in the flow of traffic can affect demand for commodities in the distribu-tion of goods from origin to destinadistribu-tion. This thesis aims to solve these problems, with an optimization problem to produce minimization. The method used is the method ACCPM (Analytic Center Cutting Plane Method)to solve the traffic as-signment with flexible demand. ACCPM with Lagrangian relaxation relaxing the constraints on the assignment of traffic to generate dual variable dual problem and will be solved by the method ACCPM. The results obtained from the proximal analytic approach is a localization point as a point assignment.
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah segala puji bagi Allah yang telah memberikan segala limpa-han nikmatnya kepada penulis yang telah memudahkan segala sesuatunya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini. Shalawat dan salam atas junjungan Nabi besar Muhammad SAW sebagai suri tauladan yang telah membawa umatnya meninggalkan masa kejahiliahan. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing II yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA USU dan selaku Pembanding I yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Tulus, M. Si selaku Pembimbing I yang telah banyak memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis selama masa penulisan tesis ini hingga selesai.
Dr. Marwan Ramli, M.Siselaku Pembanding II yang juga telah banyak mem-berikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Seluruh rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2010 genap Dhia, Novi, Vivi, Aghni, Rina, Agus, Ronal, Amin, Hindra, Zulhendriyang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghar-gaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta Hasan Basri/Roslaini dan kepada kakak-kakakku dan adik-adikku Wandi, Nely, Rudi, Wati, Roni, Riky, Ayu, Bobo yang telah memberikan semangat dan doa yang tulus kepa-da penulis, terkhusus kepakepa-da suamiku Anton, S. Pt yang selalu membantu penulis dalam memberikan motivasi dan mengumpulkan mendapatkan bahan-bahan dalam penulisan tesis ini sampai selesai. Tidak lupa ucapan terima kasih kepada teman-teman/rekan kerja di pesantren Ar-Raudhatul Hasanah yang telah memberikan dorongan dari awal mengikuti perkuliahan sampai penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, Januari 2013 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Herlena dilahirkan di Medan pada tanggal 27 Februari 1985 dari pasangan Bapak Hasan Basri & Ibu Roslaini. Penulis anak kelima dari sembilan orang bersaudara, menamatkan pendidikan Sekolah Dasar Negri 060791 pada tahun 1998, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negri 6 (SLTPN 6) pada tahun 2001, Madrasah Aliyah Swasta (MAS) Ar Raudhatul Hasanah pada tahun 2005. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Islam Sumatera Utara Fakul-tas Keguruan Ilmu Pendidikan jurusan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan lulus tahun 2010.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 4
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Manfaat Penelitian 4
1.5 Metode Penelitian 5
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6
BAB 3 TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM, PERMINTAAN LENTUR
TERHADAP LALU LINTAS 8
3.1 Traffic Assignment Problem 8
3.2 Permintaan Lentur dan Permintaan Fix 12
3.3 Metode ACCPM 16
3.4 Relaksasi Lagrangian 18
BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL 20
4.2 Constraint Pada Persoalan Traffic Assignment 21 4.3 Merelaksasi Constraint dengan Relaksasi Lagrangian 24 4.4 Menyelesaikan TAP dengan Permintaan Lentur 26
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 29
5.1 Kesimpulan 29
5.2 Saran 29
ABSTRAK
Lalu lintas adalah pergerakan suatu objek dari asal ke tujuan. Kemacetan yang se-ring terjadi pada arus lalu lintas dapat mempengaruhi permintaan dalam pendis-tribusian komoditas barang dari asal ke tujuan. Tesis ini bertujuan untuk menye-lesaikan persoalan tersebut, dengan masalah optimasi untuk menghasilkan mi-nimisasi. Metode yang digunakan adalah metode ACCPM (Analytic Center Cut-ting Plane Method) untuk menyelesaikan penugasan lalu lintas dengan perminta-an lentur. ACCPM dengperminta-an relaksasi lagrperminta-angiperminta-an merelaksasi kendala pada penu-gasan lalu lintas dengan variabel ganda menghasilkan masalah dual dan akan dise-lesaikan dengan metode ACCPM. Hasil yang diperoleh dari pendekatan proksimal analytic adalah titik lokalisasi yang merupakan sebagai titik penugasan.
ABSTRACT
Traffic is the movement of an object from origin to destination. Congestion often occurs in the flow of traffic can affect demand for commodities in the distribu-tion of goods from origin to destinadistribu-tion. This thesis aims to solve these problems, with an optimization problem to produce minimization. The method used is the method ACCPM (Analytic Center Cutting Plane Method)to solve the traffic as-signment with flexible demand. ACCPM with Lagrangian relaxation relaxing the constraints on the assignment of traffic to generate dual variable dual problem and will be solved by the method ACCPM. The results obtained from the proximal analytic approach is a localization point as a point assignment.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Permasalahan transportasi merupakan masalah yang selalu dihadapi oleh Negara-negara yang telah maju dan juga oleh Negara yang sedang berkembang seperti Indonesia, baik dibidang transportasi perkotaan (urban transportation) maupun transportasi antar kota (rural transportation). Terciptanya suatu sistem transportasi yang menjamin pergerakan manusia, kendaraan dan atau barang secara lancar, aman, cepat, murah, nyaman dan sesuai dengan lingkungan sudah merupakan tujuan pembangunan dalam sektor transportasi.
Lalu lintas adalah pergerakan dari sebuah objek dari titik awal (origina-tion) ke titik tujuan (destina(origina-tion) secara acak (random). Pola pergerakan dalam sistem transportasi sering dijelaskan dalam bentuk arus pergerakan (kendaraan, penumpang, dan barang) yang bergerak dari zona asal ke zona tujuan didalam daerah tertentu dan selama periode waktu tertentu.
Sistem transportasi yang stabil dan baik akan menyediakan sisi kompeti-tif dalam ekonomi global (Chen, 1998). Adanya gangguan pada jaringan jalan seperti kemacetan lalu lintas, perbaikan jalan, bencana alam akan menyebabkan jaringan jalan yang kurang baik karena kurang dapat menghubungkan dengan baik pengguna jalan dari suatu tempat asal ke tujuan tertentu. Hal seperti ini akan mengakibatkan waktu perjalanan semakin bertambah. Sehingga diperlukan rute tertentu yang bisa mempengaruhi pengguna dalam memilih rute untuk bisa meminimisasi waktu perjalanan. Faktor penentu pemilihan rute:
1. Waktu Tempuh yaitu total waktu (berhenti, tundaan, dlsb).
2
3. Biaya Perjalanan yaitu kombinasi jarak, waktu tempuh, uang.
4. Biaya Operasional Kendaraan yaitu BBM, Oli, sparepart, maintenance, dll.
Transportasi adalah sarana dan prasarana dalam lalu lintas. Transportasi menjadi penghubung antar lalu lintas. Bila terjadi peningkatan pada suatu lalu lintas maka beban transportasi meningkat pula. Bila sistem lalu lintas tertutup maka akan terjadi kemacetan total. Beberapa tingkat kondisi keseimbangan pada sistem transportasi:
1. Keseimbangan jaringan jalan: setiap pelaku pergerakan mencoba mencari rute terbaik dengan meminimumkan biaya perjalanan
2. Keseimbangan jaringan multimoda: setiap pelaku pergerakan mencoba me-minimumkan biaya perjalanan dengan memilih moda dan rute tertentu. 3. Keseimbangan sistem (moda, tujuan dan waktu): nilai biaya perjalanan
konsisten dengan arus yang terjadi pada semua sistem jaringan.
Dalam pendistribusian barang dari asal ke tujuan diperlukan pemilihan rute. Pemilihan rute model equilibrium yaitu pada kondisi tidak macet setiap pelaku perjalanan akan berusaha meminimumkan biaya perjalanannya dengan beralih menggunakan rute alternatif. Jika tidak satupun pelaku perjalanan dapat mem-perkecil biaya tersebut, maka sistem dikatakan telah mencapai kondisi keseimba-ngan (Carey, 2008). Pada model ini sistem jarikeseimba-ngan jalan mencapai keseimbakeseimba-ngan menurut persepsi pelaku perjalanan, sehingga model ini adalah salah satu model pemilihan rute yang terbaik untuk kondisi macet. Menurut prinsip pengguna equilibrium, waktu tempuh dari semua rute yang digunakan adalah kurang dari atau sama dengan yang akan dialami oleh driver tunggal pada setiap rute yang tidak digunakan. Kondisi ini dapat ditulis sebagai:
Xkr ≥0⇒λ r
k =minλ p
k, r∈Rk, k∈K (1.1)
3
assignment dengan permintaan lentur adalah jumlah total suplai sama dengan jumlah total permintaan P
i
ai =P j
bj
Dengan demikian jika P
i
ai =
P
j
bj maka semua suplai yang ada akan
ter-distribusi habis, dan semua permintaan tujuan terpenuhi. Maka kendala sumber dan kendala tujuan menjadi dalam bentuk persamaan. Jumlah sumber suplai dan tujuan permintaan tidak selalu sama. Jika kelebihan suplai maka tamba-han tujuan semu yang akan menampung kelebitamba-han suplai yang permintaannya = P
ai −Pbj. Jika kekurangan suplai maka tambahan tujuan semu yang akan
menyuplai kekurangan tersebut yang kapasitasnya =P
bj−Pai.
Masalah transportasi membicarakan cara pendistribusian suatu komoditi dari sejumlah sumber (origin) ke sejumlah tujuan (destination). Sasarannya adalah mencari pola pendistribusian dan banyaknya komoditi yang diangkut dari masing-masing sumber ke masing-masing tujuan yang meminimalkan ongkos ang-kut secara keseluruhan, dengan kendala-kendala yang ada. Dengan persoalan lalu lintas yang terjadi diperlukan suatu metode yang dapat menyelesaikan persoalan kepadatan lalu lintas dengan mengalihkan beban pada suatu rute ke rute yang lain. Sehingga diperlukan metode yang dapat menemukan titik lokalisasi untuk mengalihkan kepadatan lalu lintas tersebut.
Titik lokalisasi adalah titik yang dapat mengalihkan kepadatan lalu lintas pada rute alternatif yang dapat menghubungkan pengguna jalan dari asal ke tu-juan dengan biaya yang dapat diminimalisasi. Traffic assignment problem dengan permintaan lentur adalah persoalan penugasan lalu lintas terhadap driver dengan mengalihkan suatu rute yang dianggap padat pada titik lokasi tertentu sehing-ga dapat menyalurkan komoditas dari daerah asal ke tujuan dimana akan ada permintaan yang berbeda-beda tetapi komoditi dapat terdistiribusi ke tujuan.
4
metode ACCPM merupakan metode lokalisasi dengan relaksasi Lagrangian vari-abel ganda dan disebut dengan relaksasi ganda akan merelaksasi kendala pada traffic assignment problem, sehingga dapat menemukan titik daerah yang dapat mengalihkan kepadatan lalu lintas yang terjadi dengan mengalihkan pengguna jalan pada rute alternatif.
1.2 Perumusan Masalah
Lalu lintas adalah pergerakan dari sebuah objek dari titik awal (origina-tion) ke titik tujuan (destina(origina-tion) secara acak (random). Dalam pendistribusian barang dari asal ke tujuan diperlukan pemilihan rute dengan equilibrium biaya perjalanan dapat diperkecil dalam menggunakan rute alternatif. Penugasan lalu lintas dengan permintaan lentur adalah penugasan lalu lintas pada titik lokalisasi tertentu dalam penyaluran barang dari asal ke tujuan dimana suplai akan ter-distibusi habis. Pada penelitian sebelumnya Babonneau JP Vial menyelesaikan elastisitas dan suatu permintaan terhadap penugasan lalu lintas dan menemukan suatu metode penyelesaiannya yaitu metode ACCPM. Dalam hal ini metode AC-CPM yang telah digunakan Babonneau dalam penelitiannya akan dikembangkan untuk menyelesaikan persoalan TAP dengan permintaan lentur dengan menggu-nakan titik lokalisasi.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah mengembangkan metode ACCPM yang telah ditemukan Babonneau dalam penelitiannya. Metode ACCPM dengan titik lokalisasi digunakan untuk menyelesaikan traffic assignment problem dengan permintaan lentur.
1.4 Manfaat Penelitian
5
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literature dan kepustakaan dengan mengum-pulkan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Mempelajari teori yang berhubungan dengan materi ini. 2. Menentukan model traffic assignment problem.
3. Membuat kendala traffic assignment problem dengan permintaan lentur. 4. Merelaksasikan kendala dengan relaksasi Lagrangian.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Persoalan traffic assignment problem dengan permintaan lentur merupakan persoalan dalam menemukan rute yang dapat menghubungkan sumber ke tujuan dalam mendistribusikan komoditas pada permintaan lentur dengan biaya yang dapat diminimalisasikan. Sehingga diperlukan metode yang dapat menyelesaikan persoalan tersebut. Metode ACCPM diangggap dapat menyelesaikan persoalan penugasan lalu lintas dengan permintaaan lentur, karena metode ini dapat me-nemukan titik lokalisasi yang dapat mengalihkan pengguna jalan dalam meng-gunakan rute yang dianggap lebih efisien. Sehingga permintaan dari sumber ke tujuan dapat terpenuhi dengan minimisasi cost.
Dalam penelitian Babonneau dan Vial. (2008), yang menemukan metode efisien untuk menghitung persoalan penugasan lalu lintas dengan permintaan lentur. Metode yang ditemukan adalah metode ACCPM, dengan metode terse-but Babonneau memperoleh numerical result sebagai hasil dalam penyelesaian persoalan dalam penelitiannya. Menggunakan tiga fungsi: fungsi konstan dengan kapasitas arc, fungsi BPR transportasi dan fungsi Kleinrock.
realis-7
tis atau akurat cenderung membuat model keseluruhan kurang komputasi. Un-tuk membantu mengatasi persoalan tersebut dikembangkan keseimbangan tingkat pengguna kerangka kerja yang memisahkan penugasan atau pemuatan arus pa-da jaringan ruang-waktu pa-dari pemodelan arus pa-dan waktu perjalanan pa-dalam link individu. Pada penelitian ini ditunjukkan bahwa model memenuhi definisi kese-imbangan/ekulibrium pada lalu lintas.
Penelitian Hamdouch,et al.(2004), bertujuan membuat sebuah model penu-gasan lalu lintas yang dinamis di mana pilihan strategis merupakan bagian integral dari perilaku pengguna jalan. Model ini didasarkan pada deskripsi diskrit variasi waktu mengalir melalui jaringan jalan yang melibatkan arc dengan kapasitas kaku. Dalam jaringan tersebut, strategi pengemudi terdiri dalam aturan ke setiap node dari jaringan set arc pada titik utama dari simpul tersebut, berdasarkan pada permintaan. Penugasan kesetimbangan dicapai ketika penundaan yang diharap-kan dari strategi aktif minimal, untuk setiap pasangan asal-tujuan. Penelitian ini membuktikan bahwa keberadaan penugasan ada dan memberikan hasil numerik pada jaringan pengujian.
BAB 3
TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM, PERMINTAAN LENTUR TERHADAP LALU LINTAS
3.1 Traffic Assignment Problem
Masalah transportasi umumnya berkaitan dengan mendistribusikan barang sembarang komoditi dari sembarang kelompok pusat pemasok, yang disebut de-ngan sumber, ke sembarang pusat penerima disebut dede-ngan tujuan. Sedemikian rupa sehingga meminimumkan biaya disribusi total. Seperti masalah transportasi, masalah penugasan (assignment problem) merupakan kasus khusus dari masalah linear programming pada umumnya. Dalam dunia usaha (bisnis) dan industri, manajemen sering menghadapi masalah-masalah yang berhubungan dengan penu-gasan optimal dari bermacam-macam sumber yang produktif atau personalia yang mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda untuk tugas yang berbeda pula. Metode Hungarian adalah salah satu dari beberapa teknik pemecahan masalah penugasan. Untuk dapat menerapkan metode Hungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan harus sama persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Selain itu, setiap sumber harus ditugaskan hanya satu tugas. Jadi masalah penu-gasan akan mencakup sejumlah n sumber yg mempunyai n tugas. Ada n! (n faktorial) penugasan yg mungkin dalam suatu masalah karena perpasangan satu-satu. Masalah ini dapat dijelaskan dengan mudah oleh bentuk matrik segi empat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolom-kolomnya menun-jukkan tugas-tugas.
Penugasan adalah suatu model yang berhubungan dengan jaringan. Metode ini merupakan model khusus dari suatu program linear yang serupa dengan metode transportasi. Perbedaannya adalah dalam model penugasan penawaran pada tiap sumber dan permintaan pada setiap tempat tujuan dibatasi sebanyak satu unit barang/orang saja.
ma-9
salah penugasan ini diasumsikan bahwa jumlah assignment sama dengan jumlah assignee. Jadi data pokok pertama yang harus dimiliki dalam menyelesaikan suatu masalah penugasan adalah jumlah assignment dan data assignee. Se-lain data dan jumlah assignment yang terlibat, data lain yang biasa diperlukan adalah besar kerugian yang ditimbulkan atau besar keuntungan yang didapatkan oleh assignee dalam menyelesaikan assignment. Sedangkan tujuan dari masa-lah penugasan adamasa-lah berusaha untuk menjadwalkan setiapassignee pada suatu assignment sedemikian rupa sehingga kerugian yang ditimbulkan minimal atau keuntungan yang didapatkan maksimal.
Yang dimaksud dengan kerugian pada masalah penugasan adalah biaya dan waktu, sehingga diasumsikan bahwa masalah penugasan adalah masalah mi-nimisasi dan maksimisasi. Masalah penugasan berkaitan dengan keinginan pe-rusahaan dalam mendapatkan pembagian atau alokasi tugas (penugasan) yang op-timal, dalam arti apabila penugasan tersebut berkaitan dengan keuntungan maka bagaimana alokasi tugas atau penugasan tersebut dapat memberikan keuntungan yang maksimal, begitu pula sebaliknya jika menyangkut biaya. Permasalahan penugasan lalu lintas terkait dalam menemukan distribusi arus lalu lintas di selu-ruh jaringan rute. Hal ini memungkinkan permasalahan dengan menggunakan model jaringan dapat dirumuskan dan arus lalu lintas dari satu atau lebih ko-moditas pada link jaringan dapat dihitung, setiap koko-moditas terkait dengan arus daerah asal dan tujuan.
peng-10
gunaannya. Sebagai contohnya pada jalur lalu lintas, andaikan node 1 adalah rumah (asal) akan menuju daerah tujuan, dengan:
1. Node 1 akan menuju node 2 sebanyak 2400 kendaraan. 2. Node 1 akan menuju node 3 sebanyak 1500 kendaraan. 3. Node 1 akan menuju node 4 sebanyak 3670 kendaraan.
Dari contoh dapat dilihat pada Node 1 menuju node 4 terjadi pembebanan lalu lintas yang dapat menyebabkan terjadi hambatan pada lalu lintas seperti kemacetan, karena banyaknya beban pada jalur lalu lintas tersebut dengan jum-lah kendaraan yang lebih banyak dari tujuan node yang lain. Dalam hal ini pem-bebanan lalu lintas harus dialihkan untuk memperoleh keseimbangan pada jalur lalu lintas tersebut. Sehingga diperlukan rute yang dapat mengatur keseimbangan lalu lintas tersebut, dengan cost yang minimum bagi pengguna jalan. Fenomena kemacetan yang terjadi terkait dengan fungsional biaya pada link model jaringan yang nonlinear dan arus jaringan yang meningkat padat. Sebagian besar aplikasi biaya fungsional dianggap monoton, karena kemonotonan biaya fungsional diang-gap perlu untuk kesetaraan solusi. Jika biaya fungsional adalah gradien maka persoalan ini disebut dengan persoalan penugasan lalu lintas dan dapat diformu-lasikan dalam persoalan varisional inequality( Dulce, 2007). Masalah transportasi diformulasikan menurut karakteristik-karakteristik unik sebagai berikut :
1. Suatu barang dipindahkan, dari sejumlah sumber ke tempat tujuan dengan biaya seminimum mungkin.
2. Setiap sumber dapat memasok suatu jumlah yang tetap dan tiap tempat tujuan mempunyai permintaan yang tetap.
11
dalam bentuk persamaan yang menghasilkan jalur efisien yang dapat diambil oleh pengguna jalan, yaitu:
T =T0[0,15 + 1( pengguna jalan
beban muatan jalan)] (3.1)
dimana:
T = Kelajuan lalu lintas/waktu dimana pengguna jalan mengambil jalur efisien T0= Waktu sebelum pengguna jalan mengambil jalur efisien
Traffic Assigment problem memiliki dua syarat:
1. Beban setiap jalur lalu lintas tidak berlebihan
2. Setiap pengguna jalan yang meninggalkan asal harus sampai di destinasi.
Perumusan umum dalam menyelesaikan penugasan adalah: z =X
k,j,i
l(i)a(i, j, k)v(j, k) (3.2)
Dimana :
X
k,j
a(i, j, k)v(j, k)< c(i) (3.3)
X
j
v(j, k) = t(k) (3.4)
dengan l(i)= Lama perjalanan pada jalur i
a(i, j, k) = 1, jika jaluri dalam arus (j, k), (0, sebaliknya)
v(j, k) = Aliran pada arus (j, k) diantara pasangan O-D yang ke k t(k) = Saling bertukar perjalanan antara pasangan O-D yang kek c(i) = Muatan pada jalur i
12
3.2 Permintaan Lentur dan Permintaan Fix
Dalam traffic assignment problem dengan permintaan fix atau tetap, jumlah perjalanan antara asal dan tujuan adalah konstan. Traffic assignmnt problem dengan permintaan lentur jumlah perjalanan antara asal dan tujuan bergantung pada waktu tempuh antara asal dan tujuan. Menurut (Larry, 1981):
tod=god(yod) (3.5)
dimana
tod = Perjalanan antara titik asal nodeo dan tujuan noded
yod = Waktu tempuh antara titik asal node o dan tujuan node d
Bentuk dari fungsi waktu tempuh:
Aij(Xij) =aij+bij(Xij (3.6)
dimana
Aij = Waktu tempuh yang dilalui pada setiap arus link ij
Xij = Arus pada linkij, ribuan kendaraan pada tiap jalurnya
aij = Waktu tempuh kecepatan bebas pada link ij
bij = Kongesi parameter untuk link ij
Unit perjalanan tod sama dengan unit dari variabel arus X
ij. Fungsi god
diasum-sikan turun dan waktu tempuh naik, sehingga jumlah perjalanan akan semakin kecil. Jika diberikan himpunan untuk arus dan perjalanan (x, t), maka:
M inXT∇f(x, t)
X = Himpunan arus T = Himpunan waktuT x = Elemen himpunan arus X t = Elemen himpunan waktu T
13
Kendala dalam subproblem sama dengan original problem. Untuk setiap asal-tujuan pair od, jika perjalanan yang dipilihTod >0, maka banyak perjalanan
harus melalui beberapa rute atau rute dari asal ke tujuan. Pada permintaan fix Xij ≤ 0 dan Yod 6 0, sehingga permintaan optimal naik. Dalam permintaan
lentur permintaan optimal harus diturunkan sehingga tod = yod. Untuk
mence-gah subproblem menjadi tak terbatas, batas atas pada variabel perjalanan yang dibutuhkan Tod6U semua perjalanan dari asal-tujuan OD
Dalam permintaan lentur transportasi yang baik sangat diperlukan. Per-mintaan transpotasi merupakan perPer-mintaan tidak langsung (derived demand) artinya perjalanan tidak dilakukan semata-mata untuk perjalanan itu sendiri tapi karena adanya kebutuhan yang harus dipenuhi dalam perjalanan. Permintaan dipengaruhi oleh banyak faktor, dengan adanya perubahan faktor akan mempe-ngaruhi perubahan permintaan. Elastisitas atau kelenturan merupakan ukuran yang sering digunakan untuk menyatakan perubahan reaksi permintaan (respon-sive of demand) terhadap faktor-faktor yang mempengaruhi permintaan. Dalam konsep elastisitas dikenal elastisitas permintaan atau kelenturan permintaan dan penawaran. Permintaan lentur mengukur perubahan relatif dalam jumlah unit barang yang dibeli sebagai akibat salah satu faktor yang mempengaruhinya. Lebih lanjut diungkapkan bahwa kelenturan yang dikaitkan dengan harga barang itu disebut kelenturan harga atau elastistas harga, sedangkan bila dikaitkan dengan pendapatan disebut dengan elastisitas pendapatan.
fasilitas-14
nya. Semakin banyak dan pentingnya aktivitas yang ada maka tingkat akan ke-butuhan perjalananpun meningkat, merupakan cerminan akan keke-butuhan trans-portasi dari pemakai sistem tersebut. Pada dasarnya permintaan jasa transtrans-portasi diturunkan dari:
1. Kebutuhan seseorang untuk berjalan dari suatu lokasi ke lokasi lainnya un-tuk melakukan suatu kegiatan.
2. Permintaan akan angkutan barang tertentu agar tersedia tempat yang di-inginkan.
Dalam mengakomodasi permintaan akan perjalanan tentunya diperlukan biaya (harga). Permintaan akan transportasi timbul dari perilaku manusia akan per-pindahan manusia atau barang yang mempunyai ciri-ciri khusus. Ciri-ciri khusus tersebut bersifat tetap dan terjadi sepanjang waktu. Dalam pendekatan teori mikro ekonomi standar supply dan demand dikatakan berada pada kompetisi sem-purna bila terdiri dari sejumlah besar pembeli dan penjual. Dimana tidak ada satupun penjual ataupun pembeli yang dapat mempengaruhi secara dispropo-sional harga dari barang demikian juga dalam hal transportasi. Dikatakan men-capai kompetisi sempurna bila tarif atau biaya transportasi tidak terpengaruh oleh pihak penumpang maupun penyedia sarana transportasi. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa supply dirasa cukup, bila permintaan terpenuhi tanpa adanya pengaruh dalam tarif perjalanan baik dari penyedia transportasi maupun penumpang.
15
pengganti apabila biaya transportasi meningkat. Jika konsumen mendapati bah-wa harga dan ketersediaan barang pengganti tidak sulit, permintaan akan lebih elastis. Dalam konteks yang sama, semakin banyak waktu yang dimilki konsumen untuk memperoleh barang pengganti, permintaan akan menjadi semakin elastis.
Dalam menyelesaikan persoalan lalu lintas dengan permintaan lentur diper-lukan manajemen transportasi salah satunya dengan mengurangi jarak perjalanan atau menyediakan rute perjalanan yang lebih efisien dalam perjalanan dari da-erah asal ke tujuan. Karena jarak perjalanan dapat mempengaruhi pengguna jalan dalam memilih rute. Pengguna jalan akan memilih rute yang dapat mempe-ngaruhi biaya menjadi lebih kecil. Terdapat beberapa faktor yang mempemempe-ngaruhi pemilihan rute pada saat melakukan perjalanan, yaitu:
1. Waktu tempuh; 2. Jarak;
3. Biaya (bahan bakar dan lainnya); 4. Kemacetan dan antrian;
5. Jenis jalan raya (jalan tol, arteri); 6. Kelengkapan rambu dan marka jalan; 7. Pemandangan;
8. Kebiasaan.
16
3.3 Metode ACCPM
ACCPM ( Analytic Center Cutting Plane Method) adalah metode lokalisasi dengan polyhedron, masalah pada ACCPM adalah menemukan titik pada him-punan konveksP ={zaTi z 6bi, i= 1, ...m}
(Boyd, et al. 2007)
Titik permintaan berikutnya
xk+1 =AC(Pk) (3.9)
Dengan versi kanonik max{f(u) =f1(u) +f2(u)|u>0} ACCPM mengeks-ploitasi fakta bahwa smooth komponen f2 dari fungsi objektif adalah konkav dengan eksplisit pertama dan turunan kedua. (Babonneau dan Vial, 2008) Cutting plane dapat diformulasikan aTz 6 b a t x(k) untuk persoalan standard konveks (a, b) disebutcutting-plane, karena mengeliminasihalf space{zaTz > b} di titikx, meminimisasif0(x).
Untuk fi(x) 6 0, i = 1, ...m. Jika x(k) dengan kendala fix(k) > 0, maka
a = gi, b = giTx(k) −fi(x(k)), dimana gi ∈ ∂fi(x(k)). Jika x(k) ada, maka a =
g0, b = g0Tx(k) −f0(x(k)) +fbestk , dimana g0 ∈ ∂f0(x(k)) dan fbestk adalah nilai
objektif terbaik yang ditujukan untuk iterasi yang layak.
Setiap iterasi ACCPM memerlukan komputasi analytic center dari him-punan inequality linear aT
ix 6 bi, i = 1, ...m (x adalah halfspace yang
dipo-tong) yang menentukan lokalisasi polyhedron P. Diasumsikan bahwa inequality didefinisikan denganai danbi sertam adalah jumlah sebanyakidapat mengubah
17
f0, ..., fm : Rn → R Konveks ; X adalah himpunan dari titik optimal: p∗
adalah nilai optimal Jika x tidak layak, makafj(x)>0 titik layaknya adalah:
fj(x) +gjT(z−x)60, gj ∈∂fj(x) (3.10)
(Boyd, 2007)
Jika x layak, maka titik objektifnya:
g0T(z−x) +f0(x)−fbestk 60, g0 ∈∂f0(x) (3.11)
Untuk menemukan analytic center, persoalan berikut harus diselesaikan
minimizeΦ(x) = −Xm
i=1log(bi−a
T
i x) (3.12)
(Boyd, 2007)
Ini adalah persoalan yang tak terbatas, tapi domain fungsi objektif poly-hedron terbuka. Dom Φ = {x|aT
ix < bi, i = 1, ...m}, interior dari polyhedron.
Dalam komputasi analytic center tidak diberikan titik pada domain. Salah satu pendekatan sederhana adalah dengan fase I metode optimisasi untuk menemukan titik pada dom Φ (atau menentukan bahwa dom Φ = ϕ). Menemukan titik pada himpunan konveks X∈Rn atau menentukan X =ϕ
Dalam ACCPM titik permintaan adalah perkiraan proximal analytic center dari set lokalisasi didefinisikan sebagai intersection dari cutting planes. Analytic center proximal didefinisikan sebagai minimisasi dari logaritmik barrier untuk lokalisasi, ditambah dengan proximal. ACCPM berdasarkan dengan relaksasi Lagrangian. Jika vektor arcu> 0 digunakan sebagai vector variabel ganda maka Lagrangian dual problem :
max
u>0 f(u) (3.13)
18
3.4 Relaksasi Lagrangian
Untuk memahami masalah relaksasi Lagrange dalam diperlukan bebera-pa pengertian/konsep tentang pemrograman linear. Konsep dasar yang harus dipahami terkait pemrograman linear adalah fungsi linear dan pertidaksamaan linear. Definisi 1. Misalkan f(x1, x2, ..., xn) menyatakan suatu fungsi dalam
dalam variabel-variabel x1, x2,..., xn fungsi f(x1, x2, ..., xn) dikatakan linear
ji-ka dan hanya jiji-ka untuk suatu himpunan konstanta c1, c2,..., cn, f(x1, x2, ..., xn)
= c1x1+c2x2+· · ·+cnxn. (Winston, 2004).
Definisi 2. Untuk sembarang fungsi linear f(x1, x2, ..., xn) dan sembarang
bilangan b, pertidaksamaan f(x1, x2, ..., xn) = b dan f(x1, x2, ..., xn) = b adalah
pertidaksamaan linear. (Winston, 2004) Ide dari permasalahan relaksasi lagrange berawal dari metode penalti. Metode penalti ini merupakan metode yang di-gunakan untuk mencari solusi hampiran dari masalah pemrograman berkendala. Pada permasalahan relaksasi lagrange kendala yang direlaksasi digantikan dengan suku penalti pada fungsi objektifnya dengan melibatkan kendala yang direlaksasi dan variabel masalah dual.
Misalkan diberikan masalah maksimisasi interger programming dengan: M ax Z = cx terhadap
Ax6b (3.14)
Dx6e (3.15)
x >0 dan integer
Untuk memformulasikan masalah relaksasi Lagrange, misalkan kendala yang akan direlaksasi adalah Ax ≤ b dan didefinisikan u adalah pengali Lagrange, dengan u ≥ 0 sehingga u(b −Ax) > 0. Lagrangian merupakan metode untuk mengoptimasi suatu permasalahan pemecahan /pemisahan nonlinear program-ming ataupun linear programprogram-ming. Ide pokok dari pendekatan ini adalah suatu
19
BAB 4
PEMBAHASAN DAN HASIL
4.1 Model Traffic Assignment Problem
Persoalan penugasan lalu lintas atau traffic assignment problem mempunyai beberapa model, salah satu bentuk model penugasan adalah:
min
x,y
X
a∈A
fa(ya) (4.1)
(Babonneau dan Vial, 2008) X
k∈K
xka =ya, ∀a∈A (4.2)
N xk=dkδk, xk >0 ∀k ∈K (4.3)
(Boyce,et al. 2001)
G(N, A) merupakan graph berorientasi, dimana: N = Insiden matriks
fa = Fungsi kongesi pada arc a
dk = Vektor permintaan untuk komoditask
δk = Permintaan dari daerah asal ke tujuan untuk komoditask
Jika G = (N, A) merupakan jaringan dimana N merupakan node dan A merupakan link, dan notasi insiden matrik G dengan A. Jika K merupakan indeks asal-tujuan (o, d) dimanao∈ N dan d∈N, maka k = (o, d) untuk k∈K dan menunjukkan k sebagai komoditi, tk merupakan komponen vektort. Vektor
flow komoditi dinotasikan dengan variabel xk. Total dari vektor flow komoditi
dinotasikan dengan v dimana v = P
kx
k. Persoalan traffic assignment dengan
permintaan lentur dapat didefinisikan dalam bentuk: v =X
k∈Kx k
(4.4)
21
xk >0 ∀k ∈K (4.6)
tk>0 ∀k∈K (4.7)
(Donald, 2002).
Dimana Ek =eo−ed, dan eo dan ed adalah unit vektor. Ek adalah kolom
insiden matrik untuk komoditik= (o, d) dengan -1 untuk origin atau daerah asal dan +1 pada destinasi atau tujuan.(Donald, 2002)
Pemodelan traffic assignment dengan permintaan lentur dengan fungsi wak-tu tempuhta(ya) dimana waktu tempuh monoton naik pada fungsi kongesi adalah
min
4.2 Constraint Pada Persoalan Traffic Assignment
JikaG merupakan graph, dimana N adalah himpunan nodes dan A adalah himpunan arcs. Graph menunjukkan jaringan pada perjalanan pengemudi dari asal ke tujuan. Ditentukan K adalah himpunan pasangan zona asal dan tujuan. Jika N adalah node arc matriks dari G dan jika x menunjukkan arus vektor, maka flow set dapat didefinisikan:
22
δk adalah permintaan untuk daerah pasangan asal-tujuan k. Vektor dk
mempu-nyai dua komponen tak nol: -1 pada asal dan 1 pada tujuan. δ adalah vektor semua permintaan (Babonneau and Vial, 2008)
Jika flow x ∈ Xs, maka dapat dihitung waktu tempuh yang dihabiskan
driver mencakup jarak dari asal ke tujuan. Diasumsikan bahwa waktu tempuh arc dinotasikan dengan, tta adalah nondecreasing positif. Fungsi arus total pada arc
a dinotasikan dengan ya. Waktu tempuh total adalah jumlah waktu perjalanan
dari arc yang digunakan. Misalkan Rk adalah himpunan semua rute dari asal
driver k ke tujuan. Waktu tempuh dari ruter ∈Rk adalah:
λrk =X
a∈r
tta(ya) (4.15)
Permintaan δk untuk k pasangan asal tujuan bergantung pada waktu terpendek
dari suplay node ke node permintaan. Fungsi permintaanδk(λ) , dimanaλadalah
waktu tempuh sepanjang jalur terpendek. (Josefsson and Patriksson, 2007). Hal ini menunjukkan bahwa total fungsi permintaan dapat dipisahkan menjadi fungsi permintaan pasangan asal tujuan. Implikasi lainnya bahwa fungsi Invers δk ada. Ditunjukkan Λk(s) = δ−k1(s) dimana s adalah permintaan. Menurut
prinsip pengguna-equilibrium, waktu tempuh dari semua rute yang digunakan adalah kurang dari atau sama dengan waktu yang dialami oleh driver tunggal pada rute yang tidak terpakai. Kondisi ini ditunjukkan dalam bentuk persamaan:
xrk>0⇒λrk = min
Ketika waktu tempuh dan fungsi permintaan terpisah dan integral, kondisi equi-librium merupakan solusi dari masalah optimisasi
23
F didefinisikan sebagai:
F ={(x, s)|δ>0, x∈Xδ (4.20)
F adalah Polyhedron sederhana yang berkaitan dengan jaringan matrik. Lebih tepatnya untuk setiapk mempunyai
(N.−dk)
Matrik (N,−dk) sesuai dengan jaringan original dengan tambahan arc dari daerah
tujuan ke asal pada pasangan asal tujuank. Kondisi ini menunjukkan konservasi arus pada jaringan. Arc berkaitan dengan vektor dk. Formulasi ini tidak secara
langsung ekuivalen terhadap traffic assignment problem dengan permintaan tetap atau fix. Dengan menambahkan node dan busur dapat dibuat model setara pada traffic assignment problem dengan permintaan yang fix. Konstrain pada persoalan penugasan lalu lintas adalah fungsi kemacetan dan fungsi disutility yang dapat didefinisikan:
dan fungsi permintaan disutility:
h(s) =X
Dapat diasumsikan bahwa tta(s) adalah naik dan Λk(s) adalah turun. Sehingga
g dan h adalah convex dan kendala dalam traffic assignment problem: y= X
k∈K
Xk (4.24)
dalam bentuk abstrak
y =M x (4.25)
Persoalan optimisasi yang muncul adalah min
24
Fungsi tujuan adalah
M x6y (4.26)
(x, δ)∈F
4.3 Merelaksasi Constraint dengan Relaksasi Lagrangian
Vektor arc u > 0 dikaitkan dengan waktu tempuh. Vektor yang digu-nakan dua varibel merelax konstrain M x 6 y akan memperoleh permasalahan Lagrangian dual.
max
u>0 f(u) (4.27)
Dimana f didefinisikan dalam bentuk persamaan dengan vektor u: f(u) = min
y,x,δ{g(y) +h(δ) +hu, M x−yi |(x, δ)∈F} (4.28)
Dapat diketahui bahwa fungsi dual konkav dan nilai optimalnya adalah batas bawah. Dalam kondisi keteraturan masalah primal dan dual memiliki nilai optimal yang identik. Inspeksi yang cepat menunjukkan terpisah paday dan xdan dapat dituliskan: ekuivalen dengan dua tahap minimisasi.
f1(u) = min
δ {h(δ) + minx
25
Minimisasix untuk δ mengurangi persoalan kanonikδ = 1 min Sisi kanan dari persamaan diatas adalah masalah lintasan terpendek yang ter-definisi dengan baik, karena MTu >0 menutupi siklus negatif. Andai ε
u adalah
penugasan jalur terpendek relative terhadap waktu tempuh tentative u D
Fungsi h adalah konveks dan differensial. Selain itu h′(δ) = Λ(δ) > 0 adalah
cenderung turun. Oleh karena itu minimum dicapai pada: δu =−(h′)−1(
Untuk mengimplementasikan cutting plane, antisubgradient dari f1 harus dihi-tung. Andai u dan u merupakan dua titik yang berbeda, maka diperoleh:
f1(u′
Jika δu dan ε pada sisi kanan diganti dengan δu dan εu maka suboptimal solusi
26
4.4 Menyelesaikan TAP dengan Permintaan Lentur
Padaf2sama halnya sepertif1 merupakan titik minimum dari koleksi fungsi affineudan konkav,f2dapat ditulis secara explicit sebagai fungsi differensial kon-tinue dua kali. Untuk menafsirkan relaksasi lagrangian, akan relevan memban-dingkannya dengan pendekatan primal, pada fixed demand TAP. Dalam pen-dekatan dual, konsep utamanya adalah waktu tempuh. Relaksasi Lagrangian berkaitan dengan waktu tempuh fungsi dual. Fungsi dual memiliki dua kom-ponen. Yang pertama diperoleh dengan menetapkan semua arus pada lintasan terpendek untuk asal-tujuan. Hal ini kan membentuk arus x(u). Komponen ke-dua diperoleh dengan menghitung hipotesis total arus arcy(u) menghasilkan arus waktu tempuhu. y(u) sama sepertih(y(u)) =tt(y(u). Dapat diasumsikan bahwa M x(u)−y(u) adalah suatu ascent untuk objektif dual. ACCPM mengeksploitasi fakta bahwa smooth komponenf2 dari fungsi objektif adalah konkav dengan eks-plisit pertama dan turunan kedua.
Dengan versi kanonik
max{f(u) =f1(u) +f2(u)|u>0 (4.43) dimana u ∈ Rm, f
1 : Rm → R adalah fungsi konkav dan f2 : Rm →R mengem-balikan pada titik permintaan−u
aT(u−−u+Γ(u−>Γ(u), ∀u∈domΓ (4.44) Dimana vektora ∈ −∂(−Γ(−u))⊂Rm
Definisi : 2. Orde kedua oracle untuk dua kali fungsi konkav differensial kontinue Γ : Rm → R adalah sistem dengan properti ketika permintaan pada −u, oracle
27
ditambah dengan proksimal. Fungsi augmented barrier
P hi(u, z1, z2) = ρ
jika analitic center pada polyhedron:
(P) = arg min
maka titik lokalisasi dengan vektor u adalah: uk+1 = arg min
u,z
Φk(u, z1, z2) (4.51)
28
dalam penyelesaiannya dengan parameter (β, α). Dengan memilih dua nilai yang berbeda untuk βks dan menentukan βk yang sama dengan fix demand.
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini diberikan kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian pada bab sebelumnya. Selanjutnya akan diberikan saran untuk penelitian lebih lanjut.
5.1 Kesimpulan
Dalam tesis ini, penulis mengembangkan metode ACCPM yang telah di-gunakan Babonneau pada penelitiannya. Pada penelitian Bobonneau diperoleh numerical result sebagai penyelesaian dalam masalah penugasan lalu lintas dengan permintaan lentur. Pada penelitian ini peneliti mengembangkan metode ACCPM dengan menggunakan titik lokalisasi untuk mengalihkan kepadatan pada lalu lin-tas. Memformulasikan permintaan lentur dengan permintaan fix atau permintaan tetap dengan menggunakan parameter (α, β). Permintaan fix merupakan permin-taan tidak lentur, pada perminpermin-taan tidak lentur parameter akan mendekati nol. Sehingga dilakukan percobaan untuk mengetahui apakah permintaan merupakan permintaan lentur. Jika permintaan mendekati nol maka permintaan menjadi tidak lentur. Sehingga parameter harus dinaikkan untuk menurunkan perminta-an optimal. Jika permintaperminta-an optimal menurun maka persoalperminta-an kemacetperminta-an atau gangguan pada jaringan jalan dapat diselesaikan.
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Akhmed, D. dan Rully S. 2011. Optimasi Pengaturan Rute Kendaraan Dengan Muatan Kontainer Penuh Menggunakan Metode Dekomposisi Lagrangian.
Jurnal Penelitian Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya.
Babonneau, F. Vial, J-f. 2008. An effecient Method to Compute Traffic Assignment Problem with Elastic Demands. HEC/Logilab, University of Geneva, 40 Bd-du Pont d’Arve, CH-1211 Geneva 4, Switzerland
Boyce, Der-Hong Lee dan Bin Ran. 2001. Analytical Models of The Dynamic Traffic Assignmen Problem. Network and Spatial Economics, 2001 Kluwer Academic Publisher, Netherlands.Vol 1, issue 3-4, pp 377-390
Boyd. S, L. Vender Berghe and J. Skaf. 2007. Analytical Center Cutting Plane Method. Stanford University.
Carey. M. 2008. A Framework For User Equilibrium Dynamic Traffic Assignment Problem. Queen’s University, Belfast, UK.
Chen, H-K. dan Hsueh, C-F. 1998. A model an algorithm for dynamic-user optimal route choice problem. Trans Re. Part B 32:219 -234.
Denault, M dan Goffin, J. L. 1998. On a primal-dual analytic center cutting plane method for varitional Inequalities.McGill University, Montreal Quebec, Canada.
Donalt, W. Hearn dan Mehmet, B. Yildrim. 2002. A toll Pricing Framework for Traffic Assignment Problems With Elastic Demand. Center for Applied Opti-mization Industrial and Systems Engineering Department University of Flori-da.
Dulce .R, Jordi .C dan Lidia . M. 2007. Using ACCPM in Simplicial Decomposition Algorithm For Traffic Assignment Problem.Universidad Nacional Autonoma de Mexico.
Hamdouch. Y, P. Marcotte dan S. Nguyen. 2004. A Strategic Model For Dynamic Traffic Assignment. Kluwer Academic Publisher, Netherlands.
Joseffson, M, M. Patriksson (2007). Sensitivity analysis of separable traffic equilib-rium equilibria, with application to bilevel optimazation in network design.
Transportation Res. Part B 41(1) 4-31
Larry J. Leblang, Innese dan Keyvan F. 1981. Efficient Algorihms For Solving Elastic Demands Traffic Assignment Problems and Mode Split-Assignment Problem. Vanderbit University, Nashville.
Patriksson, M. (1994). Traffic Assignment Problem: Models and Methods. VSP, Utrecht, The Netherlands.
31
